Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Jeder Sachverhalt führt auf eine lineare Gleichung oder Ungleichung. Vorgehen: Variable festlegen → Gleichung aufstellen → lösen → Probe → Antwortsatz mit Einheit. Musterlösungen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Elektrotechnik | Spannungsteiler dimensionieren | ●●○ |
| 2 | Mobilität | Kraftstoffverbrauch | ●●○ |
| 3 | Bauwesen | Betontemperatur kühlen | ●●● |
| 4 | Logistik | Lagerbestand auffüllen | ●●○ |
| 5 | Architektur | Rampen-Steigung | ●●● |
| 6 | Life Sciences | Verdünnungsreihe (Parameter) | ●●● |
Ein Spannungsteiler aus zwei Widerständen \(R_1\) und \(R_2 = 220\) Ω an 12 V soll an \(R_2\) eine Spannung von 5 V abgeben. Es gilt \(U_2 = U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\).
Bestimme \(R_1\).
Lösungsweg:
Ein Lieferwagen verbraucht 8.5 L Diesel pro 100 km. Im Tank sind noch 25 L. Wie weit kann er fahren, bis die Reservelampe bei 5 L angeht? Stelle eine Gleichung für die gefahrene Strecke \(s\) auf.
Lösungsweg:
Frischer Beton hat die Temperatur 32 °C. Durch Begiessen mit kaltem Wasser kühlt er näherungsweise linear mit 0.4 °C pro Minute ab. Ab wann unterschreitet die Temperatur 20 °C? Wann erreicht sie 15 °C? Was bedeutet die zweite Gleichung physikalisch?
Lösungsweg:
Ein Werkstück-Lager hat aktuell 480 Stück, der Verbrauch beträgt 35 Stück pro Tag. Wie viele Stück müssen nach 7 Tagen nachgeliefert werden, damit der Bestand wieder auf 480 ist? Wann ist das Lager leer, wenn nichts nachgeliefert wird?
Lösungsweg:
Eine barrierefreie Rampe darf nach Schweizer Norm SIA höchstens 6 % Steigung haben (Höhenunterschied durch waagrechte Länge). Ein Eingang liegt 84 cm über dem Vorplatz. Wie lang muss die waagrechte Strecke der Rampe mindestens sein? Wenn nur 13 m Platz vorhanden sind: ist die Rampe normgerecht?
Lösungsweg:
Im Labor wird eine Wirkstoff-Lösung mit Konzentration \(c_0\) (mg/mL) verdünnt: Zu \(V = 100\) mL der Stammlösung wird \(x\) mL Wasser gegeben. Die neue Konzentration ist \(c(x) = \dfrac{c_0 \cdot V}{V + x}\).
(a) Forme so um, dass sich \(x\) als lineare Funktion von \(c\) und \(c_0\) ausdrücken lässt.
(b) Welche Wassermenge ergibt \(c = c_0 / 4\)? Diskutiere den Sonderfall \(c = c_0\).
Lösungsweg:
Gegeben: \(U = 12\) V, \(U_2 = 5\) V, \(R_2 = 220\) Ω. Gesucht: \(R_1\).
Ausgangsgleichung mit Bruch — zuerst Hauptnenner \((R_1 + R_2)\) wegmultiplizieren:
\(U_2 = U \cdot \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\) | \(\cdot (R_1 + R_2)\)
\(U_2 \cdot (R_1 + R_2) = U \cdot R_2\) | Klammer auflösen
\(U_2 \cdot R_1 + U_2 \cdot R_2 = U \cdot R_2\) | \(- U_2 \cdot R_2\)
\(U_2 \cdot R_1 = U \cdot R_2 - U_2 \cdot R_2 = R_2 \cdot (U - U_2)\) | \(: U_2\)
\(R_1 = R_2 \cdot \dfrac{U - U_2}{U_2} = 220 \cdot \dfrac{12 - 5}{5} = 220 \cdot \dfrac{7}{5} = 220 \cdot 1.4 = 308\) Ω.
Probe: \(U_2 = 12 \cdot \dfrac{220}{308 + 220} = \dfrac{12 \cdot 220}{528} = \dfrac{2640}{528} = 5\) V ✓.
Verbrauch pro km: \(8.5 / 100 = 0.085\) L/km. Restmenge nach \(s\) km: \(25 - 0.085 \cdot s\). Bedingung: \(25 - 0.085 \cdot s = 5 \Rightarrow 0.085 \cdot s = 20 \Rightarrow s = \dfrac{20}{0.085} = \dfrac{20\,000}{85} = \dfrac{4000}{17} \approx 235.29\) km. Rundung: Da km in der Praxis ganzzahlig gemessen werden, lautet die sinnvolle Antwort \(s \approx 235\) km. Probe mit dem exakten Wert: \(0.085 \cdot 4000/17 = 340/17 = 20\) L verbraucht, also genau 5 L übrig ✓. Mit dem gerundeten Wert 235: \(0.085 \cdot 235 = 19.975\) L verbraucht, also 5.025 L übrig — der Rundungsfehler beträgt 25 mL.
\(T(t) = 32 - 0.4 \cdot t\). Für 20 °C: \(32 - 0.4 t = 20 \Rightarrow t = 30\) min. Für 15 °C: \(32 - 0.4 t = 15 \Rightarrow t = 42.5\) min. Physikalisch nur eingeschränkt sinnvoll: das lineare Modell gilt nur, solange die Umgebung kälter als der Beton ist und die Wassermenge ausreicht. Unter 20 °C kühlt frischer Beton in der Praxis viel langsamer ab. Realistisches Modell: Das Newtonsche Abkühlungsgesetz beschreibt die Temperatur-Differenz exponentiell: \(T(t) - T_\infty = (T_0 - T_\infty) \cdot e^{-k \cdot t}\), wobei \(T_\infty\) die Umgebungstemperatur und \(k\) eine Materialkonstante ist. Die Abkühlung verlangsamt sich, je näher \(T\) an \(T_\infty\) kommt — exponentielle Modelle folgen in 3.4 Exponentialfunktionen.
Bestand nach 7 Tagen: \(480 - 35 \cdot 7 = 235\). Nachlieferung: \(480 - 235 = 245\) Stück.
Lager leer wenn \(480 - 35 \cdot t = 0 \Rightarrow t = 480/35 \approx 13.7\) Tage. Praktisch: Am Tag 13 sind noch \(480 - 35 \cdot 13 = 25\) Stück da, am Tag 14 wäre der Bestand rechnerisch \(-10\) — das Lager ist im Laufe des 14. Tages leer, nicht am Anfang. Bei diskreten Verbrauchsmengen ist die Differenz zwischen „rechnerisch 13.7" und „tatsächlich 14" relevant für die Bestellplanung.
Steigung \(s = h / L \leq 0.06\). Mit \(h = 84\) cm \(= 0.84\) m: \(L \geq 0.84 / 0.06 = 14\) m. Bei nur 13 m Platz wäre die effektive Steigung \(0.84 / 13 \approx 0.0646 = 6.46\,\%\) — über der Norm. Die Rampe wäre nicht normgerecht. Norm-Hinweis: Die Schweizer Norm SIA 500 („Hindernisfreie Bauten") regelt die Rampensteigung im Detail. Bei Längen > 6 m sind zusätzliche Zwischenpodeste verlangt. Die 6 %-Grenze ist die Obergrenze, empfohlen sind 4–5 % für längere Rampen.
(a) \(c \cdot (V + x) = c_0 \cdot V \Rightarrow x = V \cdot \left(\dfrac{c_0}{c} - 1\right)\) — linear in \(c_0/c\).
(b) Für \(c = c_0/4\): \(x = 100 \cdot (4 - 1) = 300\) mL Wasser. Sonderfall \(c = c_0\): \(x = 100 \cdot (1 - 1) = 0\) mL — keine Verdünnung notwendig, die Konzentration bleibt unverändert. Grenzfall \(c \to 0\): Der Term \(c_0/c\) wird beliebig gross, also \(x \to \infty\). Physikalisch: Konzentration 0 erreicht man nie durch Verdünnung — egal wie viel Wasser man zugibt, einige Wirkstoff-Moleküle bleiben in der Lösung. Mathematisch zeigt die Funktion eine vertikale Asymptote bei \(c = 0\).