Grundlagenfach · Lerngebiet 2 · Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme · 35 Lektionen

2.2a Lineare Gleichungen

RLP 2.2 · Teil 1 von 2

Eine lineare Gleichung wie \(2x - 5 = 11\) lässt sich mit wenigen Äquivalenzumformungen lösen — sauber, eindeutig und nachprüfbar. Hier lernst du die Standard-Lösungsmethoden, übst den Umgang mit Parametern (wann hat die Gleichung keine, eine oder unendlich viele Lösungen?).

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 2.2

lineare Gleichungen lösen, verschiedene Lösungsmethoden erklären und anwenden, inkl. Parameterdiskussion auch ohne Hilfsmittel

Die quadratischen Gleichungen werden in Teil 2 (g2-2b) behandelt.

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen sicher lösen und die Schritte begründen.
Ich kann die Normalform \(a \cdot x + b = 0\) herstellen und die Lösung \(x = -\tfrac{b}{a}\) deuten.
Ich kann die drei Lösungsfälle (genau eine Lösung, keine, unendlich viele) erkennen und unterscheiden.
Ich kann eine Parameterdiskussion führen: die Lösung in Abhängigkeit von \(k\) formulieren und Sonderfälle benennen.
Ich kann lineare Ungleichungen lösen — inklusive Vorzeichenkipp bei Multiplikation mit negativen Zahlen.

Einstieg — Mietkosten als Geradenmodell

Eine Werkstatt mietet eine Hebebühne. Die Mietfirma berechnet eine Grundgebühr von 45 CHF plus 12 CHF pro Stunde. Wie viele Stunden lassen sich für ein Budget von 117 CHF mieten?

Modellbildung: Sei x die Anzahl Mietstunden, K die Mietkosten in Franken. Dann ist

\[ K(x) \;=\; 12 \cdot x + 45 \]

eine lineare Funktion. Die Frage „wie viele Stunden für 117 CHF?" wird zur linearen Gleichung

\[ 12 \cdot x + 45 \;=\; 117. \]

Schieber: Wann erreicht K(x) das Budget?

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schiebe \(x\), bis beide Seiten gleich sind: Bei welchem Wert kippt der Vergleich von «unter dem Budget» zu «über dem Budget»?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Die Lösung der Gleichung ist genau der Kipppunkt: dort sind linke und rechte Seite wertgleich. Links davon gilt \(<\), rechts davon \(>\) — die Gleichung trennt die beiden Ungleichungs-Bereiche.

Der Schieber verändert x. Die linke Seite zeigt die Mietkosten, die rechte das Budget. Die Lösung ist der Wert, bei dem beide Seiten gleich sind.

Stunden x 3

Aktuelle Bilanz

12·3 + 45 = 81 < 117 — Budget nicht ausgeschöpft

Die Lösung lässt sich grafisch ablesen: dort, wo die Gerade K(x) = 12·x + 45 die waagrechte Linie K = 117 schneidet. Das ergibt x = 6 Stunden. Algebraisch erhält man dasselbe Ergebnis durch Äquivalenzumformungen — dazu kommen wir gleich.

Definition und Normalform

📘 Definition · Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form

\[ a \cdot x + b \;=\; 0 \qquad \text{mit } a \neq 0,\; b \in \mathbb{R} \]

bringen lässt. Diese Form heisst Normalform. Die Variable x kommt dabei nur in der ersten Potenz vor — keine Quadrate, keine Wurzeln, kein x im Nenner.

Begriff	Symbol	Bedeutung
Koeffizient	\(a\)	Faktor vor der Variablen, \(a \in \mathbb{R},\; a \neq 0\)
Absolutglied	\(b\)	konstanter Summand, \(b \in \mathbb{R}\)
Lösungsformel	\(x = -\dfrac{b}{a}\)	gilt nur, wenn \(a \neq 0\)
Normalform	\(a \cdot x + b = 0\)	Zielform für die Klassifikation

🟢 Beispiel · Auf Normalform bringen

Die Gleichung \(12 \cdot x + 45 = 117\) ist eine lineare Gleichung. Subtraktion von 117 auf beiden Seiten liefert die Normalform:

\[ 12 \cdot x + 45 - 117 \;=\; 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 12 \cdot x - 72 \;=\; 0. \]

Hier ist \(a = 12\) und \(b = -72\). Daraus die Lösungsformel: \(x = -\dfrac{-72}{12} = 6\).

✏️ Mini-Check — Normalform

Multiple Choice

Die Normalform der linearen Gleichung lautet …

\(a x^2 + b = 0\)
\(a \cdot x + b = 0\) mit \(a \neq 0\)
\(a \cdot x + b\)

Lösung anzeigen

B. Ohne Gleichheitszeichen (C) ist es nur ein Term; mit \(x^2\) (A) wäre die Gleichung quadratisch.

Lückentext

\(2x - 3 = 5\) hat die Lösung \(x =\) .

Lösung anzeigen

\(4\): \(2x = 8\), also \(x = 4\).

Kurze Rechnung

Bringe \(2x - 3 = 5\) auf Normalform.

Lösung anzeigen

Beidseitig \(-5\): \(2x - 8 = 0\) — Form \(ax + b = 0\) mit \(a = 2\), \(b = -8\).

Transfer

Warum verlangt die Definition \(a \neq 0\)?

Lösungsweg anzeigen

Mit \(a = 0\) verschwindet die Variable: \(0 \cdot x + b = 0\) ist keine Gleichung in \(x\) mehr, sondern nur noch die Aussage \(b = 0\) — je nach \(b\) immer wahr oder immer falsch.

Drei Sichten auf dieselbe Gleichung

Die Gleichung \(a \cdot x + b = c\) lässt sich auf drei Arten lesen — algebraisch, tabellarisch und grafisch. Alle drei Darstellungen enthalten dieselbe Information, machen aber unterschiedliche Aspekte sichtbar.

x 3

x	linke Seite \(2x - 3\)	rechte Seite \(5\)	gleich?

Drei Darstellungen · dieselbe Gleichung, dreimal gesehen

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Schiebe \(x\) langsam von links nach rechts. Beobachte die Tabellenzeile «aktuell» und die orange Strecke zwischen den beiden Punkten: Wie ändern sich das Vergleichszeichen und der Abstand der Seiten — und was zeigt der Graph, wenn der Abstand 0 wird?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Eine Gleichung lösen heisst: die Stelle finden, an der linke und rechte Seite denselben Wert haben. In der Tabelle kippt dort das Vergleichszeichen von \(\lt\) über \(=\) zu \(\gt\), im Graphen schrumpft der Abstand der Seiten auf 0 — die beiden Geraden schneiden sich. Tabelle, Graph und Term sind drei Ansichten derselben Frage — keine drei verschiedenen Verfahren.

Die algebraische Sicht ist die Gleichung selbst. Die tabellarische Sicht probiert Werte aus. Die grafische Sicht zeichnet beide Seiten als Funktionen — der x-Wert des Schnittpunkts ist die Lösung. Letzteres heisst Funktionen-Methode und wird im Kapitel 3.2 Lineare Funktionen systematisch ausgebaut.

Lösungsverfahren — Äquivalenzumformungen ↩ 1.3

Eine lineare Gleichung wird gelöst, indem man die Variable durch Äquivalenzumformungen Schritt für Schritt isoliert. Die Strategie ist immer dieselbe: zuerst alle x-Terme auf eine Seite, dann alle Konstanten auf die andere, schliesslich durch den Koeffizienten teilen.

📘 Strategie · Lineare Gleichung lösen

Klammern auflösen, Brüche durch Multiplikation eliminieren.
Alle x-Terme auf eine Seite, alle Konstanten auf die andere Seite.
Zusammenfassen.
Durch den Koeffizienten von x dividieren.
Probe in der ursprünglichen Gleichung.

🟢 Beispiel · Mit Brüchen

Löse \(\dfrac{x}{3} + 2 \;=\; \dfrac{x}{2} - 1\).

Beide Seiten mit 6 multiplizieren (Hauptnenner), um die Brüche zu eliminieren:

\[ 2 \cdot x + 12 \;=\; 3 \cdot x - 6. \]

Subtraktion von \(2 \cdot x\) und Addition von 6 auf beiden Seiten:

\[ 18 \;=\; x. \]

Probe: \(\tfrac{18}{3} + 2 = 8\) und \(\tfrac{18}{2} - 1 = 8\). ✓

⚠ Häufige Fehler

Vorzeichen vergessen beim Hinüberbringen: Aus \(2x = 3x - 6\) wird durch Subtraktion von 3x die Gleichung \(-x = -6\), nicht \(x = -6\).
Klammer falsch verteilt: Aus \(2(x - 3) = 4\) wird \(2x - 6 = 4\) — der Faktor 2 muss auf beide Glieder.
Mit 0 multipliziert: Multiplikation oder Division mit 0 ist keine Äquivalenzumformung.

✏️ Mini-Check — Lösungsverfahren

Multiple Choice

\(5x - 7 = 2x + 8\): Welcher erste Schritt sammelt die Variablen links?

beidseitig \(: 5\)
beidseitig \(- 2x\)
beidseitig \(\cdot\, 2\)

Lösung anzeigen

B. \(- 2x\) ergibt \(3x - 7 = 8\) — alle \(x\)-Glieder auf einer Seite.

Lückentext

Ziel der Äquivalenzumformungen ist, die Variable zu .

Lösung anzeigen

isolieren — am Ende steht \(x = \ldots\) allein.

Kurze Rechnung

Löse \(5x - 7 = 2x + 8\) fertig.

Lösung anzeigen

\(3x - 7 = 8\) → \(3x = 15\) → \(x = 5\).

Transfer

Löse \(4 \cdot (x - 2) = 2x + 6\).

Lösungsweg anzeigen

Klammer auflösen: \(4x - 8 = 2x + 6\). Dann \(2x = 14\), also \(x = 7\). Probe: \(4 \cdot 5 = 20 = 14 + 6\) ✓.

Drei Lösungsfälle

Bringt man eine lineare Gleichung auf die Normalform \(a \cdot x + b = 0\), so entscheidet das Wertepaar \((a, b)\) darüber, wie viele Lösungen es gibt:

Fall 1: eindeutig

\(a \neq 0\)

\(\mathbb{L} = \{ -\tfrac{b}{a} \}\)

Fall 2: leer

\(a = 0,\; b \neq 0\)

\(\mathbb{L} = \{\,\}\)

Fall 3: alle

\(a = 0,\; b = 0\)

\(\mathbb{L} = \mathbb{R}\)

Beispielgleichung

3·x + 2 = 11

Eindeutiger Lösungsfall. Die Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen auf x = 3 reduziert. Geometrisch sind das zwei sich schneidende Geraden \(y = 3x + 2\) und \(y = 11\).

Drei Lösungsfälle · was beim Umformen mit \(x\) passiert

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Klicke die drei Fälle durch. Forme jede Gleichung im Kopf um, bis \(x\) allein stünde: In welchem Fall verschwindet \(x\) ganz — und was bleibt dann übrig?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Die Lösungsanzahl entscheidet sich daran, was beim Umformen passiert. Bleibt \(x\) stehen, gibt es genau eine Lösung (die Geraden schneiden sich). Verschwindet \(x\) und es bleibt eine falsche Aussage wie \(3 = 5\), gibt es keine Lösung (parallel). Bleibt eine wahre Aussage wie \(5 = 5\), ist jede Zahl Lösung (identisch).

🟢 Beispiel · Fall 2 (keine Lösung)

\(2 \cdot (x + 3) \;=\; 2 \cdot x + 9\). Ausmultiplizieren:

\[ 2 \cdot x + 6 \;=\; 2 \cdot x + 9. \]

Subtraktion von \(2 \cdot x\) liefert \(6 = 9\). Das ist falsch für jedes x. Also \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

🟢 Beispiel · Fall 3 (Identität)

\(4 \cdot x + 8 \;=\; 4 \cdot (x + 2)\). Ausmultiplizieren rechts:

\[ 4 \cdot x + 8 \;=\; 4 \cdot x + 8. \]

Beide Seiten sind identisch. Die Gleichung ist für jedes x wahr. Also \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).

Parameterdiskussion

In der Praxis enthält eine Gleichung oft einen Parameter — einen zweiten Buchstaben neben der Unbekannten \(x\), von dem man wissen will, wie die Lösung von ihm abhängt. Beispiel: Wir untersuchen

\[ k \cdot x + 6 \;=\; 2 \cdot x + 3 \cdot k \qquad (k \in \mathbb{R}). \]

Sortieren auf die Form \(a(k) \cdot x = b(k)\):

\[ (k - 2) \cdot x \;=\; 3 \cdot k - 6 \quad\Longleftrightarrow\quad (k - 2) \cdot x \;=\; 3 \cdot (k - 2). \]

Jetzt entscheidet der Parameterwert k, in welchen der drei Lösungsfälle wir landen.

Schiebe den Parameter k

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Fahre in Beispiel A und in Beispiel B langsam über den ganzen \(k\)-Bereich: Wo bleibt \(x\) gleich, wo wandert es? Bei welchem Wert passiert etwas Besonderes mit dem Lösungsfall — und welche Aussage bleibt dort in A, welche in B übrig?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Eine Parameterdiskussion behandelt alle \(k\)-Werte auf einmal: am Sonderwert ändert sich der Lösungsfall, überall sonst gibt es genau eine Lösung als Formel in \(k\). Was am Sonderwert passiert, entscheidet \(b(k)\): Verschwindet es mit (A), bleibt \(0 = 0\) und \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\); bleibt es stehen (B), entsteht der Widerspruch \(0 = 2\) und \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

Wähle ein Beispiel. Die Anzeige zeigt die Zwischenform \(a(k) \cdot x = b(k)\) mit eingesetztem \(k\) und darunter den daraus folgenden Lösungsfall.

Parameter k 4

(4 − 2)·x = 3·(4 − 2)

Fall 1: a = 2 ≠ 0 → eindeutig lösbar.

x = 6 : 2 = 3

📘 Vorgehen bei Parameterdiskussion

Gleichung auf die Form \(a(k) \cdot x = b(k)\) sortieren.
Den kritischen Parameterwert finden, bei dem \(a(k) = 0\) wird.
Drei Fälle unterscheiden:
- \(a(k) \neq 0\): eindeutig lösbar, \(x = \tfrac{b(k)}{a(k)}\).
- \(a(k) = 0\) und \(b(k) \neq 0\): keine Lösung.
- \(a(k) = 0\) und \(b(k) = 0\): Identität, \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).
Die Lösungsmenge in Abhängigkeit von k formulieren.

🟢 Beispiel · Lösung in Abhängigkeit von \(k\)

Für die obige Gleichung \((k-2) \cdot x = 3 \cdot (k - 2)\) gilt:

k = 2: beide Seiten werden 0, also \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\) (Identität).
k ≠ 2: Division durch \((k - 2)\) ergibt \(x = 3\), also \(\mathbb{L} = \{3\}\).

Bemerkenswert: für jedes k ≠ 2 ist die Lösung dieselbe (x = 3). Das hatten wir nicht zwingend erwarten müssen — es kommt vom Faktor \((k-2)\) auf beiden Seiten.

🟢 Zweites Beispiel · jetzt mit leerer Lösungsmenge

Das vorige Beispiel liefert beim kritischen Wert \(k = 2\) eine Identität (\(\mathbb{L} = \mathbb{R}\)) — das ist Fall 3. Der andere Sonderfall „keine Lösung" (\(\mathbb{L} = \{\,\}\), Fall 2) tritt nur auf, wenn bei \(a(k) = 0\) der Term \(b(k)\) nicht ebenfalls verschwindet. Das zeigt folgendes System:

\[ k \cdot x + 1 \;=\; 2 \cdot x + 3 \qquad (k \in \mathbb{R}). \]

Sortieren auf \(a(k) \cdot x = b(k)\):

\[ (k - 2) \cdot x \;=\; 2. \]

Hier ist \(a(k) = k - 2\) und \(b(k) = 2\) — eine Konstante, die unabhängig von k ungleich 0 ist. Drei Fälle:

k ≠ 2: \(a(k) \neq 0\), eindeutig lösbar mit \(x = \tfrac{2}{k - 2}\).
k = 2: \(a(k) = 0\) und \(b(k) = 2 \neq 0\), also \(0 \cdot x = 2\) — das ist für kein x erfüllbar. \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

Probe für \(k = 3\): Gleichung \(3x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow x = 2\). Formel: \(x = \tfrac{2}{3-2} = 2\) ✓. Für \(k = 4\): \(4x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\). Formel: \(x = \tfrac{2}{4-2} = 1\) ✓.

Vergleich der beiden Beispiele: Was Fall 2 von Fall 3 unterscheidet, ist allein \(b(k)\): verschwindet \(b\) am kritischen Wert mit, gibt's eine Identität (Fall 3); verschwindet \(b\) nicht mit, gibt's einen Widerspruch (Fall 2).

✏️ Mini-Check — Lösungsfälle und Parameter

Multiple Choice

\(2x + 3 = 2x + 3\) hat …

keine Lösung
genau eine Lösung
unendlich viele Lösungen

Lösung anzeigen

C. Die Gleichung ist allgemeingültig: \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).

Lückentext

\(0 \cdot x = 5\) hat Lösung.

Lösung anzeigen

keine — \(\mathbb{L} = \{\,\}\), die Aussage \(0 = 5\) ist für jedes \(x\) falsch.

Kurze Rechnung

Löse \(k \cdot x = 6\) — für \(k \neq 0\) und für \(k = 0\).

Lösung anzeigen

\(k \neq 0\): genau eine Lösung \(x = \tfrac{6}{k}\). \(k = 0\): \(0 = 6\) ist falsch, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).

Transfer

Für welchen Wert von \(k\) hat \(kx - 2x = 4\) keine Lösung?

Lösungsweg anzeigen

Zusammenfassen: \((k - 2) \cdot x = 4\). Für \(k = 2\) wird daraus \(0 = 4\) — Widerspruch, \(\mathbb{L} = \{\,\}\). Für alle \(k \neq 2\) gibt es genau eine Lösung \(x = \tfrac{4}{k-2}\).

Lineare Ungleichungen

Eine lineare Ungleichung entsteht, wenn das Gleichheitszeichen durch \(<,\;\le,\;>\) oder \(\ge\) ersetzt wird. Statt einer einzelnen Lösung erhält man typischerweise ein Intervall.

📘 Umformen wie bei Gleichungen — mit zwei Ausnahmen

Addition und Subtraktion sowie Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl funktionieren genau wie bei Gleichungen. An zwei Stellen aber kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.

Erstens: Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl.

\(-x \le 5 \;\;\mid\, \cdot(-1) \;\;\Longleftrightarrow\;\; x \ge -5\)

Zweitens: das Vertauschen der beiden Seiten. Diese Stelle wird leicht übersehen: Wer beim Sortieren die Unbekannte rechts stehen lässt, muss das Zeichen mitdrehen, sobald er die Lösung in der üblichen Form mit \(x\) auf der linken Seite aufschreibt.

\(-3 < x \;\;\Longleftrightarrow\;\; x > -3\)

In beiden Fällen ändert sich nur die Schreibweise, nicht die Aussage — die kleinere Zahl bleibt die kleinere.

Vorzeichenkipp beim Multiplizieren

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Fahre \(k\) von \(+3\) langsam nach \(-3\). Die beiden Bildpunkte rücken zusammen, treffen sich bei \(k = 0\) — und tauschen danach die Plätze. Was heisst das für das Zeichen?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Ein negatives \(k\) spiegelt die Zahlengerade am Nullpunkt. Dabei kehrt sich jede Reihenfolge um — deshalb muss das Ungleichheitszeichen mitkippen. Für \(k = 0\) fällt alles auf die Null: Aus \(2 < 5\) wird \(0 = 0\). Multiplikation mit \(0\) ist darum keine Äquivalenzumformung; sie zerstört die Information.

Multipliziere die wahre Aussage \(2 < 5\) mit \(k\) und beobachte, was mit der Reihenfolge geschieht:

Faktor \(k\): 2.0

Multiplikation beider Seiten mit k

🟢 Beispiel — Mietkosten als Ungleichung

Ab welcher gefahrenen Strecke übersteigen die Kosten \(K(x) = 30 + 0.45 \cdot x\) das Budget von 75 CHF?

\(30 + 0.45 \cdot x > 75 \;\;\mid\, -30\)

\(0.45 \cdot x > 45 \;\;\mid\, : 0.45\)

\(x > 100\). Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 100\}\) — also ab mehr als 100 km.

Vertiefung: Zwei Ungleichungs-Aufgaben (Vorzeichen-Umkehr und doppelte Ungleichung) findest du in der Druckseite „Teste dich selbst".

💡 Strategie — bei linearen Gleichungen vor dem Rechnen sortieren

Bevor du eine lineare Gleichung Schritt für Schritt umformst, lohnt sich ein kurzer Überblick:

Klammern auflösen (Distributivgesetz) — danach sind alle \(x\)-Terme einzeln sichtbar.
Brüche entfernen — mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren, dann hat man nur noch ganze Koeffizienten.
Sortieren — alle \(x\)-Terme auf eine Seite, alle Konstanten auf die andere.
Durch den \(x\)-Koeffizienten teilen — letzter Schritt zur isolierten Variablen.

Wer von Anfang an erkennt, welche Schritte nötig sind, vermeidet überflüssiges Hin-und-Her — und kann bei einer Parametergleichung sofort sehen, wo der kritische Koeffizient \((a)\) auftritt.

⚠ Häufiger Fehler — Vorzeichen beim Umstellen

Beim Verschieben eines Summanden über das Gleichheitszeichen ändert sich sein Vorzeichen. Aus \(2x + 5 = 11\) wird also \(2x = 11 - 5 = 6\), nicht \(2x = 11 + 5\). Wer mit Äquivalenzumformungen rechnet (\(-5\) auf beiden Seiten), läuft selten in diese Falle — bei mentalem „Rüberholen" passiert sie häufig. Tipp: Im Zweifel die Äquivalenzumformung explizit hinschreiben.

✏️ Mini-Check — Lineare Ungleichungen

Multiple Choice

\(-2x < 6\) — die Lösungsmenge ist …

\(x < -3\)
\(x > -3\)
\(x < 3\)

Lösung anzeigen

B. Division durch \(-2\) kippt das Zeichen: \(x > -3\).

Lückentext

Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen.

Lösung anzeigen

kippt (dreht sich um).

Kurze Rechnung

Löse \(3x - 5 \leq 7\).

Lösung anzeigen

\(3x \leq 12\), also \(x \leq 4\) — kein Kipp, da durch \(+3\) geteilt wird.

Transfer

Schreibe die Lösungsmenge von \(x > -3\) als Intervall.

Lösungsweg anzeigen

\(\mathbb{L} = \;]{-3};\, \infty[\) — links offen (die \(-3\) gehört nicht dazu), rechts offen gegen unendlich.

Aufgaben

🟠 A1Lösungsfall erkennen

Ordne jeder Gleichung den passenden Lösungsfall zu (eindeutig · keine Lösung · Identität). Klick auf die Buttons.

🟠 A2Auf Normalform bringen

Bringe die Gleichungen auf die Normalform \(a \cdot x + b = 0\) und gib a und b an.

\(7 \cdot x - 4 = 3 \cdot x + 12\)
\(5 - 2 \cdot (x + 1) = x\)
\(\dfrac{x}{4} + 3 = \dfrac{x}{2} - 1\)

🟢 Lösung

\(4 \cdot x - 16 = 0\), also \(a = 4,\; b = -16\).
\(5 - 2x - 2 - x = 0 \Rightarrow -3x + 3 = 0\), also \(a = -3,\; b = 3\) (oder gleichwertig \(3x - 3 = 0\)).
Mit 4 multiplizieren: \(x + 12 = 2x - 4 \Rightarrow -x + 16 = 0\), also \(a = -1,\; b = 16\).

🟠 A3Lösen mit Probe

Löse die Gleichungen und führe die Probe durch.

\(3 \cdot (x - 2) = 2 \cdot x + 1\)
\(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{5}\)
\(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 3}{4} = 1\)

🟢 Lösung

\(3x - 6 = 2x + 1 \Rightarrow x = 7\). Probe: \(3(7-2) = 15\), \(2 \cdot 7 + 1 = 15\) ✓. \(\mathbb{L} = \{7\}\).
Mit 15 multiplizieren: \(5(2x-1) = 3(x+4) \Rightarrow 10x - 5 = 3x + 12 \Rightarrow 7x = 17 \Rightarrow x = \tfrac{17}{7}\). Probe einsetzen ✓.
Mit 4 multiplizieren: \(2x - (x-3) = 4 \Rightarrow x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1\). Probe: \(\tfrac{1}{2} - \tfrac{-2}{4} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1\) ✓.

🟠 A4Eigene Lösung eingeben

Löse \(\;4 \cdot x + 11 \;=\; 9 \cdot x - 4\) und gib x ein.

x =

🟠 A5Parameterdiskussion

Diskutiere die Lösungsmenge der Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter m ∈ ℝ:

\[ m \cdot x - 4 \;=\; 2 \cdot x + 2 \cdot m. \]

Wann ist sie eindeutig lösbar? Wann hat sie keine Lösung? Wann ist sie eine Identität?

🟢 Lösung

Sortieren: \((m - 2) \cdot x = 2m + 4\), also \((m - 2) \cdot x = 2 \cdot (m + 2)\).

Fallunterscheidung:

m = 2 → linke Seite wird 0, rechte Seite wird \(2 \cdot 4 = 8 \neq 0\). Widerspruch, also \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
m ≠ 2 → eindeutig lösbar mit \(x = \dfrac{2(m+2)}{m-2}\).

Bemerkung: Für \(m = -2\) wird \(x = \tfrac{2 \cdot 0}{-4} = 0\) — die Standardformel funktioniert hier problemlos, anders als bei \(m = 2\). Kritisch ist also nur \(m = 2\), wo der Faktor \((m-2)\) vor dem \(x\) null wird.

Eine Identität (Lösungsmenge ganz \(\mathbb{R}\)) tritt für kein \(m\) auf: dafür müssten beide Seiten gleichzeitig null werden — also \((m-2) = 0\) und \(2(m+2) = 0\). Das widerspricht sich (\(m = 2\) bzw. \(m = -2\)).

🟠 A6Anwendung — Gleicher Stand

Anbieter A verlangt eine Grundgebühr von 30 CHF plus 0.20 CHF pro Minute Telefonzeit. Anbieter B hat keine Grundgebühr, aber 0.35 CHF pro Minute. Ab welcher Gesprächsdauer kostet A weniger als B?

🟢 Lösung

Sei t die Gesprächsdauer in Minuten. Kosten: \(K_A(t) = 0.20 \cdot t + 30\) und \(K_B(t) = 0.35 \cdot t\). Die Frage „Ab wann kostet A weniger als B?" ist eine Ungleichung:

\[ 0.20 \cdot t + 30 \;<\; 0.35 \cdot t \;\;\mid\, -0.20 \cdot t \] \[ 30 \;<\; 0.15 \cdot t \;\;\mid\, : 0.15 \] \[ 200 \;<\; t \quad\text{bzw.}\quad t \;>\; 200. \]

Antwort: Ab t > 200 Minuten ist A günstiger. Bei t = 200 Minuten kosten beide gleich viel (je 70 CHF) — das ist der Schnittpunkt der beiden Kostengeraden.

🟠 A7Zwei Stundenlohn-Modelle Brücke zu 3.2

Eine Schülerin überlegt sich zwei Nebenjobs:

(A) Café-Job: 25 CHF pro Stunde, sonst nichts.
(B) Stadtführungen: 18 CHF pro Stunde plus eine pauschale Antrittsgebühr von 70 CHF pro Tag (auch wenn nur eine Stunde geleistet wird).

Stelle für beide Jobs eine lineare Funktion auf, die den Tagesverdienst \(L(t)\) in Abhängigkeit von der Arbeitszeit \(t\) (in Stunden) beschreibt.
Bei welcher Arbeitszeit verdient sie in beiden Jobs gleich viel?
Welches Modell ist für einen Halbtagsjob (4 h) lukrativer?

🟢 Lösung

\(L_A(t) = 25\cdot t\) und \(L_B(t) = 18\cdot t + 70\).
Gleichsetzen: \(25t = 18t + 70 \Rightarrow 7t = 70 \Rightarrow t = 10\,\text{h}\). Gemeinsamer Wert: \(L = 250\,\text{CHF}\).
Bei \(t = 4\): \(L_A = 100\,\text{CHF}\), \(L_B = 72 + 70 = 142\,\text{CHF}\). Für Halbtage sind Stadtführungen klar lukrativer — die Pauschale wirkt sich stark aus. Erst ab 10 h Tagesarbeit lohnt sich der Café-Job.

🟠 A8Reine Ungleichung mit Zeichenkippung Kurz

Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: \(5 - 2 \cdot x \;\ge\; 13\).

🟢 Lösung

Konstante isolieren:

\[ 5 - 2 \cdot x \;\ge\; 13 \quad\big|\, -5 \] \[ -2 \cdot x \;\ge\; 8 \]

Jetzt durch \(-2\) teilen. Achtung — negativer Faktor: Ungleichheitszeichen kippt (\(\ge\) wird zu \(\le\)):

\[ x \;\le\; -4. \]

Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le -4\} = \,]\!-\!\infty;\;-4]\). Probe mit \(x = -5\): \(5 - 2 \cdot (-5) = 5 + 10 = 15 \ge 13\) ✓. Probe mit \(x = -3\) (sollte nicht erfüllt sein): \(5 - 2 \cdot (-3) = 11 \not\ge 13\) ✓ (also korrekt ausserhalb).

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Eine lineare Gleichung beschreibt einen Schnittpunkt zweier Geraden. Sortiere x-Terme und Konstanten getrennt; bei einem Parameter trenne auf \(a(k) \cdot x = b(k)\) und prüfe drei Fälle.

Lineare Gleichung	\(a \cdot x + b = 0\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\)
Lösungsformel	\(x = -\dfrac{b}{a}\) für \(a \neq 0\)
Drei Fälle	eindeutig (\(a \neq 0\)); keine Lösung (\(a=0,\; b\neq 0\)); Identität (\(a=b=0\))
Lösungsstrategie	Klammern → Brüche → x sortieren → dividieren → Probe
Geometrie	Lösung = x-Wert des Schnittpunkts der beiden Seitengeraden
Parameterdiskussion	auf \(a(k) \cdot x = b(k)\) bringen, dann drei Fälle in k

Clips

Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt

Anim

Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen

Lineare Gleichungen: Minus vor der Klammer

0:00Eine Klammer mit einem Minus davor. Hier entscheidet sich, ob die ganze Aufgabe stimmt.
0:09Minus zwei mal x ist minus zwei x. Minus zwei mal minus vier ist plus acht.
0:21Ein Zeichen Unterschied — und ein völlig anderes Ergebnis.
0:31Die Probe entscheidet. Einundzwanzig ist nicht fünf — der linke Weg ist falsch.
0:42So sieht der ganze Weg aus, mit angeschriebenen Umformungen und Lösungsmenge.
0:55Das Minus gehört zu jedem Summanden in der Klammer. Im Zweifel: Probe.

Lineare Gleichungen: nennerfrei mit dem kgV

0:00Eine Gleichung mit Zahlenbrüchen. Die macht man zuerst nennerfrei.
0:09Die Nenner sind zwei und drei. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist sechs.
0:19Mal sechs. Und zwar jeden Summanden einzeln, auch die Vier ohne Bruchstrich.
0:32Klammer auflösen, sortieren, fertig.
0:43Probe: links minus neun, rechts minus neun. Stimmt.
0:53Wer die Vier vergisst, bekommt minus zwei. Und die Probe verrät es sofort.
1:02Mit dem kgV multiplizieren heisst: jeden Summanden. Auch den ohne Nenner.

Lineare Gleichungen: drei Ausgänge

0:00Jede lineare Gleichung endet in einem von drei Fällen.
0:09Der Normalfall: das x bleibt stehen, und am Schluss steht eine Zahl.
0:21Manchmal fällt das x weg. Dann ist die Gleichung nicht kaputt — sie antwortet anders.
0:28Minus fünfzehn ist nicht vier. Eine falsche Aussage — also gibt es keine Lösung.
0:40Sechs ist sechs. Eine wahre Aussage — also passt jedes x.
0:51Erst rechnen. Dann anschauen, was übrig geblieben ist.
1:00Ist das x weg, liest man die übrig gebliebene Aussage. Wahr heisst alle, falsch heisst keine.

Ungleichungen: das Zeichen kippt

0:00Ungleichungen rechnet man wie Gleichungen. Bis auf eine einzige Stelle.
0:09Zwei ist kleiner als drei. Mal minus eins: minus zwei ist grösser als minus drei.
0:21Plus und minus ändern nichts. Mal und geteilt durch eine positive Zahl auch nicht.
0:30Mal sechs macht die Brüche weg. Sechs ist positiv, das Zeichen bleibt stehen.
0:40Geteilt durch minus fünf. Jetzt dreht das Zeichen: x ist kleiner gleich eins.
0:51Man kann das Kippen auch umgehen: das x auf die andere Seite bringen, dann bleibt der Faktor positiv.
1:04Wer die beiden Seiten tauscht, dreht das Zeichen mit. Sonst behauptet man das Gegenteil.
1:15Null erfüllt die Ungleichung, zwei nicht. Genau das sagt x kleiner gleich eins.
1:24Zwei Mal dreht das Zeichen: bei negativ mal oder geteilt, und beim Seitentausch. Sonst nie.

Ungleichungen: Lösungsmenge und Intervall

0:00Die Rechnung ist fertig. Aber das ist noch nicht die Antwort.
0:08Entweder als Menge oder als Intervall. Beides heisst genau dasselbe.
0:17Ein Zeichen Unterschied entscheidet, ob die Eins dazugehört oder nicht.
0:28Auch Ungleichungen können unerfüllbar oder allgemeingültig sein.
0:41Aus der Rechnung von vorhin: x kleiner gleich eins, sauber angeschrieben.
0:51Gefragt ist die Lösungsmenge, nicht nur die Zahl.

Parametergleichung: nach x auflösen

0:00Eine Gleichung, in der ausser dem x noch andere Buchstaben stehen.
0:09Links mit Zahlen, rechts mit Parametern. Schritt für Schritt derselbe Weg.
0:21Schritt eins: alles mit x nach links, alles andere nach rechts.
0:31Schritt zwei: beide Terme links enthalten x. Also x ausklammern.
0:40Schritt drei: durch die Klammer teilen. Und zwar durch alles, was drinsteht.
0:50Oben und unten die Vorzeichen drehen. Der Bruch bleibt derselbe, sieht aber freundlicher aus.
0:59Sortieren, ausklammern, dividieren. Und immer fragen, ob man teilen darf.

Parametergleichung: Bedingung für Lösung

0:00Am Schluss der letzten Rechnung stand eine Bedingung. Woher kommt die?
0:08Dann wird der Nenner null. Und durch null teilen ist nicht definiert.
0:16Statt zu behaupten, setzen wir fünf ein und schauen, was aus der Gleichung wird.
0:28Ist b null, stimmt die Aussage immer. Ist b nicht null, stimmt sie nie.
0:38Nur wenn a ungleich fünf ist, gibt es genau eine Lösung. Deshalb die Bedingung.
0:46Durch etwas teilen heisst: es darf nicht null sein. Dieselbe Regel wie bei jedem Nenner.

Budget-Schieber: die Lösung ist der Kipppunkt

0:00Eine Hebebühne kostet fünfundvierzig Franken Grundgebühr und zwölf Franken pro Stunde. Das Budget ist hundertsiebzehn Franken. Bei welcher Stundenzahl kippt der Vergleich?
0:10Bei drei Stunden kostet die Miete einundachtzig Franken. Das ist weniger als hundertsiebzehn: Der Punkt liegt unter der grünen Budget-Linie.
0:20Bei sechs Stunden kostet die Miete genau hundertsiebzehn Franken. Beide Seiten sind gleich, also ist x gleich sechs die Lösung. Hier schneidet die Gerade die Budget-Linie.
0:30Bei acht Stunden kostet die Miete hunderteinundvierzig Franken, mehr als das Budget. Der Punkt liegt jetzt über der grünen Linie.
0:39Merke: Die Lösung der Gleichung ist genau der Kipppunkt. Links von sechs ist die linke Seite kleiner, rechts davon grösser. Die Gleichung trennt die beiden Bereiche der Ungleichung.

Drei Darstellungen: Abstand null ist die Lösung

0:00Die Gleichung zwei x minus drei gleich fünf lässt sich als Term, als Tabelle und als Graph lesen. Was zeigen Tabelle und Graph an der Lösung?
0:09Bei x gleich eins ist die linke Seite minus eins, kleiner als fünf. Im Graphen liegen die beiden Punkte sechs Einheiten auseinander.
0:19Bei x gleich vier sind beide Seiten fünf. Der Abstand ist null, die beiden Geraden schneiden sich im Punkt vier, fünf. Also ist x gleich vier die Lösung.
0:28Bei x gleich sechs ist die linke Seite neun, grösser als fünf. Der Abstand wächst wieder, jetzt liegt die blaue Gerade oben.
0:38Merke: Eine Gleichung lösen heisst, die Stelle zu finden, an der beide Seiten gleich sind. In der Tabelle kippt dort das Zeichen, im Graphen wird der Abstand null. Tabelle, Graph und Term sind drei Ansichten derselben Frage.

Drei Lösungsfälle: was von x übrig bleibt

0:00Drei harmlos aussehende Gleichungen. Forme jede um, bis x allein stünde. In welchem Fall verschwindet x, und was bleibt dann übrig?
0:09Drei x plus zwei gleich elf. Minus zwei, dann durch drei: x gleich drei. x bleibt stehen, es gibt genau eine Lösung. Die beiden Geraden schneiden sich.
0:19Zwei x plus fünf gleich zwei x plus eins. Minus zwei x, und x ist weg. Übrig bleibt fünf gleich eins, eine falsche Aussage. Es gibt keine Lösung, die Geraden sind parallel.
0:31Rechts ausmultipliziert steht auf beiden Seiten vier x plus acht. Minus vier x ergibt acht gleich acht, eine wahre Aussage. Jede Zahl ist Lösung, beide Seiten sind dieselbe Gerade.
0:43Merke: Bleibt x beim Umformen stehen, gibt es genau eine Lösung. Verschwindet x, entscheidet die Aussage, die übrig bleibt: Ist sie falsch, gibt es keine Lösung, ist sie wahr, ist jede Zahl Lösung.

Parameter k: der Sonderwert entscheidet

0:00Beide Beispiele haben links den Faktor k minus zwei vor x. Rechts steht in A drei mal k minus zwei, in B die Zahl zwei. Bei welchem k ändert sich der Lösungsfall?
0:11In Beispiel A mit k gleich vier steht zwei x gleich sechs, also x gleich drei. Schiebst du k weiter, bleibt x bei drei, solange k nicht zwei ist.
0:21Bei k gleich zwei werden beide Seiten null. Es bleibt null gleich null, eine wahre Aussage. Jede Zahl ist Lösung.
0:30In Beispiel B wird bei k gleich zwei die linke Seite null, rechts bleibt zwei. Null gleich zwei ist falsch: Es gibt keine Lösung.
0:40Merke: Am Sonderwert k gleich zwei wird der Faktor vor x null. Dann entscheidet die rechte Seite: Verschwindet sie mit, ist jede Zahl Lösung, bleibt sie stehen, gibt es keine. Für jedes andere k gibt es genau eine Lösung.

Vorzeichenkipp: negatives k spiegelt die Zahlengerade

0:00Die wahre Aussage zwei kleiner fünf wird mit k multipliziert. Was passiert mit der Reihenfolge, wenn k negativ wird?
0:09Mit k gleich zwei wird aus zwei die Vier und aus fünf die Zehn. Beide werden gestreckt, die Reihenfolge bleibt: vier ist kleiner als zehn.
0:19Mit k gleich null fallen beide Zahlen auf die Null. Aus der wahren Ungleichung wird null gleich null. Die Multiplikation mit null ist keine Äquivalenzumformung.
0:28Mit k gleich minus zwei wird aus zwei die minus Vier und aus fünf die minus Zehn. Die Zahlengerade wird am Nullpunkt gespiegelt: Jetzt ist minus vier grösser als minus zehn.
0:39Merke: Ein negativer Faktor spiegelt die Zahlengerade am Nullpunkt. Dabei kehrt sich die Reihenfolge um, darum kippt das Zeichen. Die Multiplikation mit null zerstört die Information.