2.2a Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung wie \(2x - 5 = 11\) lässt sich mit wenigen Äquivalenzumformungen lösen — sauber, eindeutig und nachprüfbar. Hier lernst du die Standard-Lösungsmethoden, übst den Umgang mit Parametern (wann hat die Gleichung keine, eine oder unendlich viele Lösungen?).
- lineare Gleichungen lösen, verschiedene Lösungsmethoden erklären und anwenden, inkl. Parameterdiskussion auch ohne Hilfsmittel
Die quadratischen Gleichungen werden in Teil 2 (g2-2b) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann lineare Gleichungen mit Äquivalenzumformungen sicher lösen und die Schritte begründen.
- Ich kann die Normalform \(a \cdot x + b = 0\) herstellen und die Lösung \(x = -\tfrac{b}{a}\) deuten.
- Ich kann die drei Lösungsfälle (genau eine Lösung, keine, unendlich viele) erkennen und unterscheiden.
- Ich kann eine Parameterdiskussion führen: die Lösung in Abhängigkeit von \(k\) formulieren und Sonderfälle benennen.
- Ich kann lineare Ungleichungen lösen — inklusive Vorzeichenkipp bei Multiplikation mit negativen Zahlen.
Einstieg — Mietkosten als Geradenmodell
Eine Werkstatt mietet eine Hebebühne. Die Mietfirma berechnet eine Grundgebühr von 45 CHF plus 12 CHF pro Stunde. Wie viele Stunden lassen sich für ein Budget von 117 CHF mieten?
Modellbildung: Sei x die Anzahl Mietstunden, K die Mietkosten in Franken. Dann ist
\[ K(x) \;=\; 12 \cdot x + 45 \]eine lineare Funktion. Die Frage „wie viele Stunden für 117 CHF?" wird zur linearen Gleichung
\[ 12 \cdot x + 45 \;=\; 117. \]Die Lösung lässt sich grafisch ablesen: dort, wo die Gerade K(x) = 12·x + 45 die waagrechte Linie K = 117 schneidet. Das ergibt x = 6 Stunden. Algebraisch erhält man dasselbe Ergebnis durch Äquivalenzumformungen — dazu kommen wir gleich.
Definition und Normalform
Eine lineare Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformungen auf die Form
\[ a \cdot x + b \;=\; 0 \qquad \text{mit } a \neq 0,\; b \in \mathbb{R} \]bringen lässt. Diese Form heisst Normalform. Die Variable x kommt dabei nur in der ersten Potenz vor — keine Quadrate, keine Wurzeln, kein x im Nenner.
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Koeffizient | \(a\) | Faktor vor der Variablen, \(a \in \mathbb{R},\; a \neq 0\) |
| Absolutglied | \(b\) | konstanter Summand, \(b \in \mathbb{R}\) |
| Lösungsformel | \(x = -\dfrac{b}{a}\) | gilt nur, wenn \(a \neq 0\) |
| Normalform | \(a \cdot x + b = 0\) | Zielform für die Klassifikation |
Die Gleichung \(12 \cdot x + 45 = 117\) ist eine lineare Gleichung. Subtraktion von 117 auf beiden Seiten liefert die Normalform:
\[ 12 \cdot x + 45 - 117 \;=\; 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 12 \cdot x - 72 \;=\; 0. \]Hier ist \(a = 12\) und \(b = -72\). Daraus die Lösungsformel: \(x = -\dfrac{-72}{12} = 6\).
✏️ Mini-Check — Normalform
Die Normalform der linearen Gleichung lautet …
- \(a x^2 + b = 0\)
- \(a \cdot x + b = 0\) mit \(a \neq 0\)
- \(a \cdot x + b\)
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\(2x - 3 = 5\) hat die Lösung \(x =\) .
Lösung anzeigen
Bringe \(2x - 3 = 5\) auf Normalform.
Lösung anzeigen
Warum verlangt die Definition \(a \neq 0\)?
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Drei Sichten auf dieselbe Gleichung
Die Gleichung \(a \cdot x + b = c\) lässt sich auf drei Arten lesen — algebraisch, tabellarisch und grafisch. Alle drei Darstellungen enthalten dieselbe Information, machen aber unterschiedliche Aspekte sichtbar.
Die algebraische Sicht ist die Gleichung selbst. Die tabellarische Sicht probiert Werte aus. Die grafische Sicht zeichnet beide Seiten als Funktionen — der x-Wert des Schnittpunkts ist die Lösung. Letzteres heisst Funktionen-Methode und wird im Kapitel 3.2 Lineare Funktionen systematisch ausgebaut.
Lösungsverfahren — Äquivalenzumformungen ↩ 1.3
Eine lineare Gleichung wird gelöst, indem man die Variable durch Äquivalenzumformungen Schritt für Schritt isoliert. Die Strategie ist immer dieselbe: zuerst alle x-Terme auf eine Seite, dann alle Konstanten auf die andere, schliesslich durch den Koeffizienten teilen.
- Klammern auflösen, Brüche durch Multiplikation eliminieren.
- Alle x-Terme auf eine Seite, alle Konstanten auf die andere Seite.
- Zusammenfassen.
- Durch den Koeffizienten von x dividieren.
- Probe in der ursprünglichen Gleichung.
Löse \(\dfrac{x}{3} + 2 \;=\; \dfrac{x}{2} - 1\).
Beide Seiten mit 6 multiplizieren (Hauptnenner), um die Brüche zu eliminieren:
\[ 2 \cdot x + 12 \;=\; 3 \cdot x - 6. \]Subtraktion von \(2 \cdot x\) und Addition von 6 auf beiden Seiten:
\[ 18 \;=\; x. \]Probe: \(\tfrac{18}{3} + 2 = 8\) und \(\tfrac{18}{2} - 1 = 8\). ✓
- Vorzeichen vergessen beim Hinüberbringen: Aus \(2x = 3x - 6\) wird durch Subtraktion von 3x die Gleichung \(-x = -6\), nicht \(x = -6\).
- Klammer falsch verteilt: Aus \(2(x - 3) = 4\) wird \(2x - 6 = 4\) — der Faktor 2 muss auf beide Glieder.
- Mit 0 multipliziert: Multiplikation oder Division mit 0 ist keine Äquivalenzumformung.
✏️ Mini-Check — Lösungsverfahren
\(5x - 7 = 2x + 8\): Welcher erste Schritt sammelt die Variablen links?
- beidseitig \(: 5\)
- beidseitig \(- 2x\)
- beidseitig \(\cdot\, 2\)
Lösung anzeigen
Ziel der Äquivalenzumformungen ist, die Variable zu .
Lösung anzeigen
Löse \(5x - 7 = 2x + 8\) fertig.
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Löse \(4 \cdot (x - 2) = 2x + 6\).
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Drei Lösungsfälle
Bringt man eine lineare Gleichung auf die Normalform \(a \cdot x + b = 0\), so entscheidet das Wertepaar \((a, b)\) darüber, wie viele Lösungen es gibt:
\(2 \cdot (x + 3) \;=\; 2 \cdot x + 9\). Ausmultiplizieren:
\[ 2 \cdot x + 6 \;=\; 2 \cdot x + 9. \]Subtraktion von \(2 \cdot x\) liefert \(6 = 9\). Das ist falsch für jedes x. Also \(\mathbb{L} = \emptyset\).
\(4 \cdot x + 8 \;=\; 4 \cdot (x + 2)\). Ausmultiplizieren rechts:
\[ 4 \cdot x + 8 \;=\; 4 \cdot x + 8. \]Beide Seiten sind identisch. Die Gleichung ist für jedes x wahr. Also \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).
Parameterdiskussion
In der Praxis enthält eine Gleichung oft einen Parameter — einen zweiten Buchstaben neben der Unbekannten \(x\), von dem man wissen will, wie die Lösung von ihm abhängt. Beispiel: Wir untersuchen
\[ k \cdot x + 6 \;=\; 2 \cdot x + 3 \cdot k \qquad (k \in \mathbb{R}). \]Sortieren auf die Form \(a(k) \cdot x = b(k)\):
\[ (k - 2) \cdot x \;=\; 3 \cdot k - 6 \quad\Longleftrightarrow\quad (k - 2) \cdot x \;=\; 3 \cdot (k - 2). \]Jetzt entscheidet der Parameterwert k, in welchen der drei Lösungsfälle wir landen.
- Gleichung auf die Form \(a(k) \cdot x = b(k)\) sortieren.
- Den kritischen Parameterwert finden, bei dem \(a(k) = 0\) wird.
- Drei Fälle unterscheiden:
- \(a(k) \neq 0\): eindeutig lösbar, \(x = \tfrac{b(k)}{a(k)}\).
- \(a(k) = 0\) und \(b(k) \neq 0\): keine Lösung.
- \(a(k) = 0\) und \(b(k) = 0\): Identität, \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).
- Die Lösungsmenge in Abhängigkeit von k formulieren.
Für die obige Gleichung \((k-2) \cdot x = 3 \cdot (k - 2)\) gilt:
- k = 2: beide Seiten werden 0, also \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\) (Identität).
- k ≠ 2: Division durch \((k - 2)\) ergibt \(x = 3\), also \(\mathbb{L} = \{3\}\).
Bemerkenswert: für jedes k ≠ 2 ist die Lösung dieselbe (x = 3). Das hatten wir nicht zwingend erwarten müssen — es kommt vom Faktor \((k-2)\) auf beiden Seiten.
Das vorige Beispiel liefert beim kritischen Wert \(k = 2\) eine Identität (\(\mathbb{L} = \mathbb{R}\)) — das ist Fall 3. Der andere Sonderfall „keine Lösung" (\(\mathbb{L} = \emptyset\), Fall 2) tritt nur auf, wenn bei \(a(k) = 0\) der Term \(b(k)\) nicht ebenfalls verschwindet. Das zeigt folgendes System:
\[ k \cdot x + 1 \;=\; 2 \cdot x + 3 \qquad (k \in \mathbb{R}). \]Sortieren auf \(a(k) \cdot x = b(k)\):
\[ (k - 2) \cdot x \;=\; 2. \]Hier ist \(a(k) = k - 2\) und \(b(k) = 2\) — eine Konstante, die unabhängig von k ungleich 0 ist. Drei Fälle:
- k ≠ 2: \(a(k) \neq 0\), eindeutig lösbar mit \(x = \tfrac{2}{k - 2}\).
- k = 2: \(a(k) = 0\) und \(b(k) = 2 \neq 0\), also \(0 \cdot x = 2\) — das ist für kein x erfüllbar. \(\mathbb{L} = \emptyset\).
Probe für \(k = 3\): Gleichung \(3x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow x = 2\). Formel: \(x = \tfrac{2}{3-2} = 2\) ✓. Für \(k = 4\): \(4x + 1 = 2x + 3 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1\). Formel: \(x = \tfrac{2}{4-2} = 1\) ✓.
Vergleich der beiden Beispiele: Was Fall 2 von Fall 3 unterscheidet, ist allein \(b(k)\): verschwindet \(b\) am kritischen Wert mit, gibt's eine Identität (Fall 3); verschwindet \(b\) nicht mit, gibt's einen Widerspruch (Fall 2).
✏️ Mini-Check — Lösungsfälle und Parameter
\(2x + 3 = 2x + 3\) hat …
- keine Lösung
- genau eine Lösung
- unendlich viele Lösungen
Lösung anzeigen
\(0 \cdot x = 5\) hat Lösung.
Lösung anzeigen
Löse \(k \cdot x = 6\) — für \(k \neq 0\) und für \(k = 0\).
Lösung anzeigen
Für welchen Wert von \(k\) hat \(kx - 2x = 4\) keine Lösung?
Lösungsweg anzeigen
Lineare Ungleichungen
Eine lineare Ungleichung entsteht, wenn das Gleichheitszeichen durch \(<,\;\le,\;>\) oder \(\ge\) ersetzt wird. Statt einer einzelnen Lösung erhält man typischerweise ein Intervall.
Addition und Subtraktion sowie Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl funktionieren genau wie bei Gleichungen. Aber: Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl kehrt das Ungleichheitszeichen um.
\(-x \le 5 \;\;\mid\, \cdot(-1) \;\;\Longleftrightarrow\;\; x \ge -5\)
Ab welcher gefahrenen Strecke übersteigen die Kosten \(K(x) = 30 + 0.45 \cdot x\) das Budget von 75 CHF?
\(30 + 0.45 \cdot x > 75 \;\;\mid\, -30\)
\(0.45 \cdot x > 45 \;\;\mid\, : 0.45\)
\(x > 100\). Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 100\}\) — also ab mehr als 100 km.
Vertiefung: Zwei Ungleichungs-Aufgaben (Vorzeichen-Umkehr und doppelte Ungleichung) findest du in der Druckseite „Teste dich selbst".
Bevor du eine lineare Gleichung Schritt für Schritt umformst, lohnt sich ein kurzer Überblick:
- Klammern auflösen (Distributivgesetz) — danach sind alle \(x\)-Terme einzeln sichtbar.
- Brüche entfernen — mit dem Hauptnenner durchmultiplizieren, dann hat man nur noch ganze Koeffizienten.
- Sortieren — alle \(x\)-Terme auf eine Seite, alle Konstanten auf die andere.
- Durch den \(x\)-Koeffizienten teilen — letzter Schritt zur isolierten Variablen.
Wer von Anfang an erkennt, welche Schritte nötig sind, vermeidet überflüssiges Hin-und-Her — und kann bei einer Parametergleichung sofort sehen, wo der kritische Koeffizient \((a)\) auftritt.
Beim Verschieben eines Summanden über das Gleichheitszeichen ändert sich sein Vorzeichen. Aus \(2x + 5 = 11\) wird also \(2x = 11 - 5 = 6\), nicht \(2x = 11 + 5\). Wer mit Äquivalenzumformungen rechnet (\(-5\) auf beiden Seiten), läuft selten in diese Falle — bei mentalem „Rüberholen" passiert sie häufig. Tipp: Im Zweifel die Äquivalenzumformung explizit hinschreiben.
✏️ Mini-Check — Lineare Ungleichungen
\(-2x < 6\) — die Lösungsmenge ist …
- \(x < -3\)
- \(x > -3\)
- \(x < 3\)
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Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen.
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Löse \(3x - 5 \leq 7\).
Lösung anzeigen
Schreibe die Lösungsmenge von \(x > -3\) als Intervall.
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Aufgaben
Ordne jeder Gleichung den passenden Lösungsfall zu (eindeutig · keine Lösung · Identität). Klick auf die Buttons.
Bringe die Gleichungen auf die Normalform \(a \cdot x + b = 0\) und gib a und b an.
- \(7 \cdot x - 4 = 3 \cdot x + 12\)
- \(5 - 2 \cdot (x + 1) = x\)
- \(\dfrac{x}{4} + 3 = \dfrac{x}{2} - 1\)
- \(4 \cdot x - 16 = 0\), also \(a = 4,\; b = -16\).
- \(5 - 2x - 2 - x = 0 \Rightarrow -3x + 3 = 0\), also \(a = -3,\; b = 3\) (oder gleichwertig \(3x - 3 = 0\)).
- Mit 4 multiplizieren: \(x + 12 = 2x - 4 \Rightarrow -x + 16 = 0\), also \(a = -1,\; b = 16\).
Löse die Gleichungen und führe die Probe durch.
- \(3 \cdot (x - 2) = 2 \cdot x + 1\)
- \(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{5}\)
- \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{x - 3}{4} = 1\)
- \(3x - 6 = 2x + 1 \Rightarrow x = 7\). Probe: \(3(7-2) = 15\), \(2 \cdot 7 + 1 = 15\) ✓. \(\mathbb{L} = \{7\}\).
- Mit 15 multiplizieren: \(5(2x-1) = 3(x+4) \Rightarrow 10x - 5 = 3x + 12 \Rightarrow 7x = 17 \Rightarrow x = \tfrac{17}{7}\). Probe einsetzen ✓.
- Mit 4 multiplizieren: \(2x - (x-3) = 4 \Rightarrow x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1\). Probe: \(\tfrac{1}{2} - \tfrac{-2}{4} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1\) ✓.
Löse \(\;4 \cdot x + 11 \;=\; 9 \cdot x - 4\) und gib x ein.
Diskutiere die Lösungsmenge der Gleichung in Abhängigkeit vom Parameter m ∈ ℝ:
\[ m \cdot x - 4 \;=\; 2 \cdot x + 2 \cdot m. \]Wann ist sie eindeutig lösbar? Wann hat sie keine Lösung? Wann ist sie eine Identität?
Sortieren: \((m - 2) \cdot x = 2m + 4\), also \((m - 2) \cdot x = 2 \cdot (m + 2)\).
Fallunterscheidung:
- m = 2 → linke Seite wird 0, rechte Seite wird \(2 \cdot 4 = 8 \neq 0\). Widerspruch, also \(\mathbb{L} = \emptyset\).
- m ≠ 2 → eindeutig lösbar mit \(x = \dfrac{2(m+2)}{m-2}\).
Bemerkung: Für \(m = -2\) wird \(x = \tfrac{2 \cdot 0}{-4} = 0\) — die Standardformel funktioniert hier problemlos, anders als bei \(m = 2\). Kritisch ist also nur \(m = 2\), wo der Faktor \((m-2)\) vor dem \(x\) null wird.
Eine Identität (Lösungsmenge ganz \(\mathbb{R}\)) tritt für kein \(m\) auf: dafür müssten beide Seiten gleichzeitig null werden — also \((m-2) = 0\) und \(2(m+2) = 0\). Das widerspricht sich (\(m = 2\) bzw. \(m = -2\)).
Anbieter A verlangt eine Grundgebühr von 30 CHF plus 0.20 CHF pro Minute Telefonzeit. Anbieter B hat keine Grundgebühr, aber 0.35 CHF pro Minute. Ab welcher Gesprächsdauer kostet A weniger als B?
Sei t die Gesprächsdauer in Minuten. Kosten: \(K_A(t) = 0.20 \cdot t + 30\) und \(K_B(t) = 0.35 \cdot t\). Die Frage „Ab wann kostet A weniger als B?" ist eine Ungleichung:
\[ 0.20 \cdot t + 30 \;<\; 0.35 \cdot t \;\;\mid\, -0.20 \cdot t \] \[ 30 \;<\; 0.15 \cdot t \;\;\mid\, : 0.15 \] \[ 200 \;<\; t \quad\text{bzw.}\quad t \;>\; 200. \]Antwort: Ab t > 200 Minuten ist A günstiger. Bei t = 200 Minuten kosten beide gleich viel (je 70 CHF) — das ist der Schnittpunkt der beiden Kostengeraden.
Eine Schülerin überlegt sich zwei Nebenjobs:
- (A) Café-Job: 25 CHF pro Stunde, sonst nichts.
- (B) Stadtführungen: 18 CHF pro Stunde plus eine pauschale Antrittsgebühr von 70 CHF pro Tag (auch wenn nur eine Stunde geleistet wird).
- Stelle für beide Jobs eine lineare Funktion auf, die den Tagesverdienst \(L(t)\) in Abhängigkeit von der Arbeitszeit \(t\) (in Stunden) beschreibt.
- Bei welcher Arbeitszeit verdient sie in beiden Jobs gleich viel?
- Welches Modell ist für einen Halbtagsjob (4 h) lukrativer?
- \(L_A(t) = 25\cdot t\) und \(L_B(t) = 18\cdot t + 70\).
- Gleichsetzen: \(25t = 18t + 70 \Rightarrow 7t = 70 \Rightarrow t = 10\,\text{h}\). Gemeinsamer Wert: \(L = 250\,\text{CHF}\).
- Bei \(t = 4\): \(L_A = 100\,\text{CHF}\), \(L_B = 72 + 70 = 142\,\text{CHF}\). Für Halbtage sind Stadtführungen klar lukrativer — die Pauschale wirkt sich stark aus. Erst ab 10 h Tagesarbeit lohnt sich der Café-Job.
Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung: \(5 - 2 \cdot x \;\ge\; 13\).
Konstante isolieren:
\[ 5 - 2 \cdot x \;\ge\; 13 \quad\big|\, -5 \] \[ -2 \cdot x \;\ge\; 8 \]Jetzt durch \(-2\) teilen. Achtung — negativer Faktor: Ungleichheitszeichen kippt (\(\ge\) wird zu \(\le\)):
\[ x \;\le\; -4. \]Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \le -4\} = \,]\!-\!\infty;\;-4]\). Probe mit \(x = -5\): \(5 - 2 \cdot (-5) = 5 + 10 = 15 \ge 13\) ✓. Probe mit \(x = -3\) (sollte nicht erfüllt sein): \(5 - 2 \cdot (-3) = 11 \not\ge 13\) ✓ (also korrekt ausserhalb).
Zusammenfassung
Eine lineare Gleichung beschreibt einen Schnittpunkt zweier Geraden. Sortiere x-Terme und Konstanten getrennt; bei einem Parameter trenne auf \(a(k) \cdot x = b(k)\) und prüfe drei Fälle.
| Lineare Gleichung | \(a \cdot x + b = 0\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) |
| Lösungsformel | \(x = -\dfrac{b}{a}\) für \(a \neq 0\) |
| Drei Fälle | eindeutig (\(a \neq 0\)) · keine Lösung (\(a=0,\; b\neq 0\)) · Identität (\(a=b=0\)) |
| Lösungsstrategie | Klammern → Brüche → x sortieren → dividieren → Probe |
| Geometrie | Lösung = x-Wert des Schnittpunkts der beiden Seitengeraden |
| Parameterdiskussion | auf \(a(k) \cdot x = b(k)\) bringen, dann drei Fälle in k |