Eine lineare Gleichung in einer Variablen \(x\) lässt sich auf die Normalform bringen:
\[ a \cdot x + b = 0 \qquad (a, b \in \mathbb{R}) \]Eine Gleichung heisst linear, weil die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt (kein \(x^2\), kein \(\sqrt{x}\), nicht im Nenner).
Drei Schritte führen jede lineare Gleichung in einer Variablen zur Normalform:
Aus \(a \cdot x + b = 0\) folgt für \(a \neq 0\):
\[ x \;=\; -\dfrac{b}{a} \qquad \mathbb{L} = \left\{-\dfrac{b}{a}\right\} \]Beim Lösen werden Äquivalenzumformungen verwendet (siehe Kapitel 2.1):
| Operation | Bedingung |
|---|---|
| beide Seiten \(\pm c\) (Addition/Subtraktion) | — |
| beide Seiten \(\cdot c\) oder \(:c\) (Multiplikation/Division) | \(c \neq 0\) |
Beim Auflösen von \(a \cdot x + b = 0\) entscheiden die Parameter \(a\) und \(b\) über die Lösungsmenge:
| Fall | Bedingung | Lösungsmenge | Beispiel |
|---|---|---|---|
| eindeutig lösbar | \(a \neq 0\) | \(\mathbb{L} = \{-b/a\}\) | \(2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3\) |
| keine Lösung | \(a = 0\) und \(b \neq 0\) | \(\mathbb{L} = \emptyset\) | \(0 \cdot x + 5 = 0\) |
| unendlich viele Lösungen (Identität) | \(a = 0\) und \(b = 0\) | \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\) | \(2x + 4 = 2(x + 2)\) |
Bei \(a \cdot x + b \;\square\; 0\) mit \(\square \in \{<, \leq, >, \geq\}\) gelten dieselben Umformungsregeln — mit einer Ausnahme:
Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl kehrt das Relationszeichen um: \(\;-2x < 6 \;\Leftrightarrow\; x > -3.\)
Wenn die Koeffizienten selbst von einem Parameter \(k\) abhängen, schreiben wir:
\[ a(k) \cdot x \;=\; b(k) \]Dann müssen drei Fälle unterschieden werden:
| Fall | Bedingung | Lösung |
|---|---|---|
| eindeutig | \(a(k) \neq 0\) | \(x = b(k) / a(k)\) |
| keine Lösung | \(a(k) = 0\) und \(b(k) \neq 0\) | \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
| unendlich | \(a(k) = 0\) und \(b(k) = 0\) | \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\) |
Als Erstes wird der kritische Parameterwert gesucht, der \(a(k) = 0\) macht — und nur für diesen Wert müssen die Sonderfälle untersucht werden.
Beispiel: Diskutiere \((k-2) \cdot x = k^2 - 4\) in Abhängigkeit von \(k\).
Hier ist \(a(k) = k-2\) und \(b(k) = k^2 - 4 = (k-2)(k+2)\). Kritischer Wert: \(a(k) = 0 \Leftrightarrow k = 2\).
Ein Fall „keine Lösung" tritt hier nicht auf, weil \(b(k)\) genau bei \(k = 2\) ebenfalls null wird.
Eine lineare Gleichung lässt sich auf drei äquivalente Arten beschreiben:
| Form | Beispiel | Stärke |
|---|---|---|
| algebraisch | \(2x - 3 = 5\) | exaktes Rechnen |
| Wertetabelle | \(x = 4 \Rightarrow 2 \cdot 4 - 3 = 5\) ✓ | Probe, Erkennen der Lösung |
| grafisch | Schnittpunkt der Geraden \(y = 2x - 3\) und \(y = 5\) | qualitatives Verständnis |
| Normalform | \(a \cdot x + b = 0\) mit \(a, b \in \mathbb{R}\) |
| Lösung (für \(a \neq 0\)) | \(x = -b/a\) |
| drei Lösungsfälle | eindeutig · keine · unendlich (je nach \(a, b\)) |
| Vorgehen | Klammern auflösen → \(x\)-Glieder isolieren → durch Koeffizient teilen |
| Probe | Lösung in die ursprüngliche Gleichung einsetzen |