12 Aufgaben — Lösungsmenge, Sonderfälle, Ungleichungen, Modellieren, Parameter-Diskussion.
12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 35-45 Minuten.
Löse: \(3 \cdot x + 5 = 17\).
Löse: \(7 \cdot x - 4 = 2 \cdot x + 11\).
Löse: \(2 \cdot (3x - 4) = 5 \cdot (x - 1) + 1\).
Löse: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x - 1}{3} = 4\).
Bestimme die Lösungsmenge:
a) \(3 \cdot (x + 2) = 3x + 6\) b) \(4x - 7 = 4x + 3\) c) \(5x = 0\)
Löse: \(-3 \cdot x + 8 \geq 2\). Schreibe das Ergebnis als Intervall.
Löse: \(-1 < 2x + 3 \leq 9\).
Eine Werkstatt mietet ein Gerät: 50 Fr. Grundgebühr und 14 Fr. pro Stunde. Wie lange darf das Gerät benutzt werden, wenn die Gesamtkosten höchstens 200 Fr. betragen sollen?
Zwei Autos starten 240 km voneinander entfernt aufeinander zu. Auto A fährt 80 km/h, Auto B 100 km/h. Nach welcher Zeit treffen sie sich?
Diskutiere die Lösung von \(\,k \cdot x = 6\,\) in Abhängigkeit von \(k\).
Diskutiere die Lösungsmenge von \(\,(k - 2) \cdot x = k^2 - 4\,\) in Abhängigkeit von \(k\). Hinweis: \(k^2 - 4 = (k - 2)(k + 2)\).
Eine Maschine produziert in \(t\) Stunden \(p \cdot t + 5\) Werkstücke (\(p\) ist die stündliche Produktionsrate). Für welche \(p\) braucht es genau 8 Stunden, um 45 Werkstücke zu produzieren? Was passiert für \(p = 0\)?
\(3x + 5 = 17 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Probe: \(3 \cdot 4 + 5 = 17\) ✓. \(\mathbb{L} = \{4\}\).
\(7x - 4 = 2x + 11 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3\). Probe: \(7 \cdot 3 - 4 = 17\) und \(2 \cdot 3 + 11 = 17\) ✓. \(\mathbb{L} = \{3\}\).
Klammern auflösen: \(6x - 8 = 5x - 5 + 1 = 5x - 4\). Sortieren: \(x = 4\). Probe: \(2 \cdot (12 - 4) = 16\), \(5 \cdot 3 + 1 = 16\) ✓. \(\mathbb{L} = \{4\}\).
Hauptnenner ist 6 (kgV von 2 und 3). Beide Seiten mit 6 multiplizieren:
\(6 \cdot \dfrac{x}{2} + 6 \cdot \dfrac{x - 1}{3} = 6 \cdot 4\)
\(3 \cdot x + 2 \cdot (x - 1) = 24\) | Klammer auflösen
\(3 \cdot x + 2 \cdot x - 2 = 24\) | \(x\)-Terme zusammenfassen
\(5 \cdot x - 2 = 24\) | \(+2\)
\(5 \cdot x = 26\) | \(:5\)
\(x = \tfrac{26}{5} = 5.2\). Probe: \(\tfrac{5.2}{2} + \tfrac{5.2 - 1}{3} = 2.6 + \tfrac{4.2}{3} = 2.6 + 1.4 = 4\) ✓. \(\mathbb{L} = \{26/5\} = \{5.2\}\).
a) Linke Seite gleich rechte: Identität, \(\mathbb{L} = \mathbb{R}\).
b) \(-7 = 3\): Widerspruch, \(\mathbb{L} = \emptyset\).
c) \(5x = 0 \Rightarrow x = 0\), \(\mathbb{L} = \{0\}\).
\(-3x + 8 \geq 2 \Rightarrow -3x \geq -6\). Dividieren durch \(-3\) (Vorzeichen-Umkehr): \(x \leq 2\). Intervall: \(\mathbb{L} = ]-\infty; 2]\).
Beide Seiten der Doppel-Ungleichung gleichzeitig umformen: \(-1 < 2x + 3 \leq 9\) \(\Rightarrow -4 < 2x \leq 6 \Rightarrow -2 < x \leq 3\). Intervall: \(\mathbb{L} = ]-2;\, 3]\).
\(50 + 14 \cdot t \leq 200 \Rightarrow 14 t \leq 150 \Rightarrow t \leq 75/7 \approx 10.71\) h. Höchstens etwa 10.7 Stunden, ganzzahlig also 10 Stunden. Praxis: Mietgeräte werden meist in 30-Minuten-Schritten abgerechnet. \(10{.}71 \cdot 60 \approx 643\,\text{Min}\) — auf halbe Stunden abgerundet \(10{.}5\,\text{h} = 630\,\text{Min}\). Bei diesem Modus zahlt man also für maximal 10.5 h ohne das Budget zu überschreiten.
Sei \(t\) die Zeit in h. Auto A fährt \(80t\) km, Auto B \(100t\) km. Sie treffen sich, wenn \(80t + 100t = 240\), also \(180 t = 240 \Rightarrow t = \dfrac{240}{180} = \dfrac{4}{3}\) h \(= 80\) min (exakt). Probe: nach \(t = 4/3\) h hat A \(80 \cdot 4/3 = 320/3 \approx 106{.}\overline{6}\) km, B \(100 \cdot 4/3 = 400/3 \approx 133{.}\overline{3}\) km zurückgelegt — Summe \(720/3 = 240\) km ✓. Die exakten Brüche \(320/3\) und \(400/3\) addieren sich genau zu 240; die gerundeten Dezimalzahlen 106.7 und 133.3 addieren sich nur näherungsweise (240.0) — gerundet wird erst am Schluss.
\(k \cdot x = 6\).
\(k \neq 0\): \(x = 6/k\), \(\mathbb{L} = \{6/k\}\).
\(k = 0\): die Gleichung wird \(0 = 6\) — Widerspruch, \(\mathbb{L} = \emptyset\).
Ausgangsgleichung: \((k - 2) \cdot x = k^2 - 4\). Rechte Seite faktorisieren mit der dritten binomischen Formel:
\(k^2 - 4 = k^2 - 2^2 = (k - 2) \cdot (k + 2)\).
Eingesetzt: \((k - 2) \cdot x = (k - 2) \cdot (k + 2)\). Jetzt ist auf beiden Seiten der gemeinsame Faktor \((k - 2)\) sichtbar, und die Parameter-Fallunterscheidung wird offensichtlich:
Der „verbotene Fall" \(\mathbb{L} = \emptyset\) tritt hier nicht auf, weil bei \(k = 2\) auch die rechte Seite verschwindet — der Faktor \((k - 2)\) ist auf beiden Seiten.
Bedingung: \(p \cdot 8 + 5 = 45 \Rightarrow 8p = 40 \Rightarrow p = 5\) Werkstücke pro Stunde. Für \(p = 0\) wird die Gleichung \(5 = 45\) — Widerspruch, also keine Produktionsrate \(p = 0\) erfüllt die Bedingung. Intuitiv: Wenn die Maschine nichts produziert (\(p = 0\)), liegt der Output nach 8 Stunden bei den anfänglichen 5 Werkstücken — nicht bei den verlangten 45. Mathematisch zeigt sich das als Widerspruch in der Bilanzgleichung; physikalisch zeigt sich, dass eine bestimmte Produktionsrate nötig ist, um das Ziel zu erreichen.