Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Jeder Sachverhalt führt auf eine quadratische Gleichung. Vorgehen: Variable festlegen → Gleichung aufstellen → auf allgemeine Form bringen → lösen → Probe → Antwortsatz mit Einheit. Negative Lösungen werden in physikalischen Kontexten oft verworfen — kommentiere das jeweils. Musterlösungen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Mobilität | Velotour mit Bruchgleichung | ●●● |
| 2 | Mobilität | Bremsweg eines PKWs | ●●○ |
| 3 | Verpackung | Optimale Dose | ●●● |
| 4 | Elektrotechnik | Leistung und Spannung | ●●○ |
| 5 | Life Sciences | Bakterienwachstum bis zur Schwelle | ●●● |
| 6 | Architektur | Rechteckiger Garten am Haus | ●●○ |
Anna fährt mit dem Velo eine Tour von 12 km. Auf dem Hinweg fährt sie mit einer Geschwindigkeit \(v\) (in km/h). Auf dem Rückweg ist sie 4 km/h langsamer. Insgesamt benötigt sie für Hin- und Rückweg zusammen 1.5 Stunden.
(a) Stelle eine Gleichung mit \(v\) auf (Tipp: Zeit = Strecke / Geschwindigkeit).
(b) Bringe die Bruchgleichung auf Normalform und löse mit der Mitternachtsformel.
(c) Wie schnell fährt sie hin, wie schnell zurück? Antwortsatz mit Einheit.
Der Bremsweg lässt sich (ohne Reaktionsweg) durch \(s(v) = v^2/(2 a)\) modellieren, mit \(a = 7\) m/s² (typische Vollbremsung trockene Strasse). Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Bremsweg genau 25 m? Gib das Ergebnis in km/h an.
Eine zylindrische Dose hat das Volumen \(V = 500\) cm³. Die Mantelhöhe sei \(h\), der Radius \(r\). Aus \(V = \pi r^2 h\) folgt \(h = V / (\pi r^2)\). Die Oberfläche ist \(O(r) = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r^2 + 2V/r\).
Bei welchem Radius \(r\) wird \(O(r) = 350\) cm² erreicht? Hinweis: nach Multiplikation mit \(r\) und Umformen entsteht eine quadratische Gleichung in \(r\) — mit \(r\) als Variable und einem Restterm in \(r^3\) ist sie eigentlich kubisch. Vereinfachung: setze direkt \(r = 4\) cm ein und prüfe rechnerisch, ob die Oberfläche in der Nähe von 350 cm² liegt; bestimme dann die Höhe \(h\).
An einem Widerstand \(R = 18\) Ω wird die Leistung \(P = U^2/R\) abgegeben. Bei welcher Spannung \(U\) (in V) wird die Leistung \(P = 50\) W abgegeben? Diskutiere, weshalb die negative Lösung physikalisch zwar gültig ist (umgekehrte Polarität), aber dieselbe Leistung liefert.
In einer Petrischale wächst eine Bakterienkolonie näherungsweise quadratisch in der Anfangsphase: \(N(t) = 50 + 4 \cdot t^2\), mit \(t\) in Stunden und \(N\) in Tausend Zellen. Ab welcher Zeit übersteigt die Population eine kritische Schwelle von 250'000 Zellen? Wann liegt sie bei genau 150'000?
An eine Hauswand soll ein rechteckiger Garten angebaut werden. Auf der Hausseite ist keine Umzäunung nötig; die anderen drei Seiten sollen mit insgesamt 40 m Zaun umfasst werden. Sei \(b\) die Breite (parallel zum Haus) und \(t\) die Tiefe.
(a) Drücke \(b\) durch \(t\) aus.
(b) Stelle die Fläche \(A\) als Funktion von \(t\) auf und löse \(A(t) = 192\) m².
(c) Beide Lösungen sind geometrisch sinnvoll — was bedeuten sie?
(a) Hinweg dauert \(t_1 = 12/v\), Rückweg \(t_2 = 12/(v-4)\). Total: \(\dfrac{12}{v} + \dfrac{12}{v-4} = \dfrac{3}{2}\).
(b) Mit \(v(v-4)\) durchmultiplizieren: \(12(v-4) + 12 v = \dfrac{3}{2} \cdot v(v-4)\). Beide Seiten mal 2: \(24 v - 96 + 24 v = 3 v^2 - 12 v\), also \(48 v - 96 = 3 v^2 - 12 v\). Auf Normalform: \(3 v^2 - 60 v + 96 = 0 \;\Leftrightarrow\; v^2 - 20 v + 32 = 0\).
Mitternachtsformel: \(v = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 128}}{2} = \dfrac{20 \pm \sqrt{272}}{2} \approx \dfrac{20 \pm 16.49}{2}\), also \(v_1 \approx 18.25\) km/h oder \(v_2 \approx 1.75\) km/h.
(c) Die zweite Lösung ergibt einen negativen Rückweg-Wert (\(v_2 - 4 < 0\)) und ist physikalisch sinnlos. Antwort: Anna fährt hin mit ca. 18.25 km/h und zurück mit ca. 14.25 km/h. Probe: \(12/18.25 + 12/14.25 \approx 0.658 + 0.842 = 1.50\) h ✓.
\(v^2 / 14 = 25 \Rightarrow v^2 = 350 \Rightarrow v \approx 18.71\) m/s. In km/h: \(18.71 \cdot 3.6 \approx 67.3\) km/h. Negative Lösung wird verworfen (Geschwindigkeit positiv).
Bei \(r = 4\) cm: \(O(4) = 2\pi \cdot 16 + 2 \cdot 500/4 = 32\pi + 250 \approx 100.5 + 250 = 350.5\) cm² — sehr nahe an 350 ✓. Höhe: \(h = 500/(\pi \cdot 16) \approx 9.95\) cm. Bemerkung: das eigentliche Optimum (minimale Oberfläche) liegt bei \(h = 2r\), also \(r \approx 4.30\) cm.
\(U^2 / 18 = 50 \Rightarrow U^2 = 900 \Rightarrow U = \pm 30\) V. Beide Lösungen sind physikalisch gültig; die negative entspricht umgekehrter Polarität. Da die Leistung \(P = U^2/R\) quadratisch in \(U\) ist, liefern \(+30\) V und \(-30\) V dieselbe Leistung 50 W. Üblicherweise notiert man \(U = 30\) V.
Schwelle 250: \(50 + 4 t^2 = 250 \Rightarrow t^2 = 50 \Rightarrow t = \sqrt{50} \approx 7.07\) h. Ab etwa 7.07 h wird die Schwelle überschritten.
Genau 150: \(50 + 4 t^2 = 150 \Rightarrow t^2 = 25 \Rightarrow t = 5\) h. Negative Lösung \(t = -5\) ist physikalisch sinnlos.
(a) Drei Seiten zäunen: \(b + 2 t = 40 \;\Rightarrow\; b = 40 - 2 t\).
(b) Fläche \(A = b \cdot t = (40 - 2 t) \cdot t = 40 t - 2 t^2\). Setze \(A = 192\): \(40 t - 2 t^2 = 192 \;\Leftrightarrow\; 2 t^2 - 40 t + 192 = 0 \;\Leftrightarrow\; t^2 - 20 t + 96 = 0\).
Mitternachtsformel: \(t = \dfrac{20 \pm \sqrt{400 - 384}}{2} = \dfrac{20 \pm 4}{2}\), also \(t_1 = 12\) m oder \(t_2 = 8\) m.
(c) Beide Lösungen sind sinnvoll: zu \(t_1 = 12\) m gehört \(b_1 = 40 - 24 = 16\) m (Garten 16 m × 12 m), zu \(t_2 = 8\) m gehört \(b_2 = 40 - 16 = 24\) m (Garten 24 m × 8 m). Beide haben Fläche 192 m². Welche Form sinnvoller ist, hängt vom verfügbaren Platz an der Hauswand ab.