2.2b Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung der Form \(a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0\) kann keine, eine oder zwei Lösungen haben. Hier vergleichst du verschiedene Lösungsmethoden — Lösungsformel, quadratische Ergänzung, Faktorisieren, Satz von Vieta — und entscheidest aufgabenbezogen, welche am schnellsten zum Ziel führt.
- quadratische Gleichungen lösen, verschiedene Lösungsmethoden erklären und anwenden, inkl. Parameterdiskussion auch ohne Hilfsmittel
Die linearen Gleichungen werden in Teil 1 (g2-2a) behandelt.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann quadratische Gleichungen erkennen und auf die Normalform \(x^2 + p \cdot x + q = 0\) bringen.
- Ich kann das passende Lösungsverfahren wählen: Wurzelziehen, Ausklammern, Faktorisieren oder Lösungsformel.
- Ich kann mit der Diskriminante die Anzahl der Lösungen bestimmen — vor dem Rechnen.
- Ich kann den Satz von Vieta zum Faktorisieren und zur Kontrolle der Lösungen nutzen.
- Ich kann eine Parameterdiskussion führen: die Lösungsfälle in Abhängigkeit von \(k\) bestimmen.
Einstieg — Anna fährt Velo
Anna fährt mit dem Velo zur Schule und wieder zurück. Die Strecke beträgt je 12 km. Auf dem Hinweg fährt sie mit einer gewissen Geschwindigkeit \(v\) (in km/h). Auf dem Rückweg ist sie wegen Gegenwind 4 km/h langsamer. Insgesamt ist sie 1 Stunde 30 Minuten unterwegs. Wie schnell ist sie auf dem Hinweg gefahren?
Stell den Schieber so ein, dass Annas Gesamtzeit möglichst nahe an 1 h 30 min herankommt:
Du siehst: Die Gesamtzeit hängt empfindlich vom Wert von \(v\) ab — und nur für einen bestimmten Wert kommt genau 90 Minuten heraus. Wie findet man diesen Wert ohne Probieren? Schreibt man die Aufgabe als Gleichung mit „Zeit = Strecke / Geschwindigkeit":
\[ \underbrace{\frac{12}{v}}_{\text{Hinweg}} + \underbrace{\frac{12}{v - 4}}_{\text{Rückweg}} = \tfrac{3}{2}. \]Das ist eine Bruchgleichung — sie dient hier nur als Lieferantin: Multipliziert man sie mit dem Hauptnenner und vereinfacht, entsteht eine quadratische Gleichung in \(v\) — genau die Sorte Gleichung, die dieses Kapitel behandelt. (Bruchgleichungen als eigener Typ werden systematisch erst im Schwerpunktfach 2.2 behandelt.) Sie hat im Allgemeinen zwei Lösungen; eine davon wird Annas Geschwindigkeit sein, die andere passt zwar zur Gleichung, ergibt aber im Sachzusammenhang keinen Sinn (z. B. negative Rückweg-Geschwindigkeit).
Quadratische Gleichungen tauchen überall auf, wo zwei Faktoren in einem Produkt vorkommen: Flächenberechnungen, Bewegungsaufgaben, Wurfbewegungen. In diesem Kapitel lernst du, sie systematisch zu lösen — mit Faktorisieren, der pq-Formel und der Mitternachtsformel.
Definition und Normalformen
Eine Gleichung der Form
\[ a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0 \quad (a \neq 0) \]mit \(a, b, c \in \mathbb{R}\) heisst quadratische Gleichung in der Variable x. Der Term \(a \cdot x^2\) heisst quadratisches Glied, \(b \cdot x\) lineares Glied und \(c\) konstantes Glied.
| Form | Aussehen | Wann praktisch |
|---|---|---|
| Allgemeine Form | \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) | Mitternachtsformel |
| Normalform | \(x^2 + p \cdot x + q = 0\) | pq-Formel, Vieta |
| Faktorform | \((x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0\) | Lösungen direkt ablesbar |
| Reine Form | \(x^2 = c\) | Wurzelziehen genügt |
✏️ Mini-Check — Quadratische Gleichung
Welche Gleichung ist quadratisch?
- \(3x + 1 = 0\)
- \(x^2 - 4 = 0\)
- \(x^3 - x = 0\)
Lösung anzeigen
Die Normalform \(x^2 + px + q = 0\) entsteht aus \(ax^2 + bx + c = 0\) durch Division durch .
Lösung anzeigen
Bringe \(2x^2 - 12x + 10 = 0\) auf Normalform.
Lösung anzeigen
Warum hat \(x^2 = -4\) keine reelle Lösung?
Lösungsweg anzeigen
Drei Darstellungen — Gleichung, Tabelle, Lösungsmenge
Eine quadratische Gleichung lässt sich auf drei Wegen darstellen: als Term, als Wertetabelle und über ihre Lösungsmenge. Verschiebe die Schieber für die Koeffizienten p und q und beobachte, welche Werte den Term zu null machen.
Lösungsverfahren — wann welches?
Es gibt vier wichtige Verfahren zum Lösen einer quadratischen Gleichung. Welches am schnellsten zum Ziel führt, hängt vom Aussehen der Gleichung ab.
| Verfahren | Wann besonders gut | Was wird gemacht |
|---|---|---|
| Wurzelziehen | \(b = 0\) (rein quadratisch: \(a \cdot x^2 + c = 0\)) | Nach \(x^2\) auflösen, Wurzel ziehen. |
| Faktorisieren | spezielle Struktur erkennbar | Drei Sub-Methoden, siehe unten. |
| pq-Formel | Normalform \(x^2 + p \cdot x + q = 0\) | \(x_{1,2} = -\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q}\) |
| Mitternachtsformel | allgemeine Form, immer einsetzbar | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\) |
Woher kommt die pq-Formel? Sie folgt aus einem einzigen Trick: quadratisch ergänzen, sodass auf der linken Seite ein vollständiges Quadrat steht.
① Ausgangsgleichung in Normalform:
\[ x^2 + p \cdot x + q = 0 \;\;\mid\, -q \;\;\Longrightarrow\;\; x^2 + p \cdot x = -q. \]② Quadratisch ergänzen: Auf beiden Seiten \(\left(\tfrac{p}{2}\right)^2\) addieren, damit links die binomische Formel anwendbar wird:
\[ x^2 + p \cdot x + \left(\tfrac{p}{2}\right)^2 = \left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q \;\;\Longleftrightarrow\;\; \left(x + \tfrac{p}{2}\right)^2 = \left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q. \]③ Wurzelziehen (mit \(\pm\), weil zu \(u^2 = a\) mit \(a > 0\) zwei Lösungen \(u = \pm\sqrt{a}\) gehören), dann nach \(x\) auflösen:
\[ x + \tfrac{p}{2} = \pm\sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q} \;\;\Longleftrightarrow\;\; x_{1,2} = -\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q}. \]Das ist die pq-Formel. Die Mitternachtsformel folgt analog aus \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) — Division durch \(a\) liefert die Normalform mit \(p = b/a\), \(q = c/a\), und nach Einsetzen und Vereinfachen erhält man \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
✏️ Mini-Check — Verfahrenswahl
\(x^2 = 9\) löst man am schnellsten durch …
- Lösungsformel
- Wurzelziehen
- Satz von Vieta
Lösung anzeigen
\(x^2 = 9\) hat die Lösungen \(x = \pm\).
Lösung anzeigen
Löse \(x^2 - 5x = 0\).
Lösung anzeigen
Warum darf man bei \(x^2 = 5x\) nicht einfach durch \(x\) teilen?
Lösungsweg anzeigen
Faktorisieren — drei Sub-Methoden ↩ 1.3
Faktorisieren heisst, das quadratische Polynom als Produkt von zwei linearen Faktoren zu schreiben:
\[ a \cdot x^2 + b \cdot x + c \;=\; a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2). \]Sobald das gelingt, sieht man die Lösungen direkt: ein Produkt ist null, wenn (mindestens) einer der Faktoren null ist. Es gibt drei häufige Wege, das Faktorisieren zu schaffen — wähle eine Methode und sieh dir das Beispiel Schritt für Schritt an.
Diskriminante und Anzahl Lösungen
Schaue dir den Wurzelterm der Mitternachtsformel an:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\,\overbrace{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}^{\,D = \text{Diskriminante}}\,}}{2 \cdot a}. \]Der Ausdruck unter der Wurzel — \(D = b^2 - 4 \cdot a \cdot c\) — heisst Diskriminante („das Unterscheidende"). Sie entscheidet allein durch ihr Vorzeichen, wie viele reelle Lösungen die Gleichung hat. Klicke die drei Fälle durch und beobachte, was im Wurzelterm passiert:
| Diskriminante | Wurzelterm | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| \(D > 0\) | \(\sqrt{D}\) ist eine reelle Zahl > 0 — \(\pm\) liefert zwei verschiedene Werte. | \(\mathbb{L} = \{x_1,\, x_2\}\) |
| \(D = 0\) | \(\sqrt{D} = 0\) — der \(\pm\)-Term verschwindet. | \(\mathbb{L} = \left\{-\tfrac{b}{2a}\right\}\) (doppelte Lösung) |
| \(D < 0\) | \(\sqrt{D}\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert — kein Ergebnis. | \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
✏️ Mini-Check — Diskriminante
\(D < 0\) bedeutet …
- zwei Lösungen
- genau eine Lösung
- keine reelle Lösung
Lösung anzeigen
\(D = 0\) → genau Lösung.
Lösung anzeigen
Bestimme \(D\) und die Lösungen von \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Lösung anzeigen
Für welche \(p\) hat \(x^2 + px + 4 = 0\) genau eine Lösung?
Lösungsweg anzeigen
Satz von Vieta
Sind \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen der Gleichung \(x^2 + p \cdot x + q = 0\), so gilt
\[ x_1 + x_2 \;=\; -p, \qquad x_1 \cdot x_2 \;=\; q. \]In Worten: Die Summe der Lösungen ist \(-p\), das Produkt ist \(q\).
Wozu kann ich Vieta brauchen?
Du hast \(x^2 - 5 \cdot x + 6 = 0\) gelöst und glaubst \(x_1 = 2, x_2 = 3\) zu haben. Schnelltest mit Vieta:
\[ x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 \stackrel{?}{=} -p = 5 \;\checkmark \qquad x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 \stackrel{?}{=} q = 6 \;\checkmark \]Beides stimmt — die Lösungen sind richtig. Vieta ist eine Probekontrolle, die schneller geht als Einsetzen in die Originalgleichung.
Bei \(x^2 - 7 \cdot x + 12 = 0\): Welche zwei ganzen Zahlen ergeben Summe 7 und Produkt 12? Probiere die Teiler von 12: 3 und 4 ergeben Summe 7 ✓. Also \(x_1 = 3, x_2 = 4\).
Kein Rechnen mit Wurzeln, keine Mitternachtsformel — nur Kopfrechnen mit den Teilern von q. Funktioniert allerdings nur, wenn die Lösungen ganze Zahlen sind.
Mit den gefundenen Lösungen schreibst du die Gleichung als Produkt:
\[ x^2 - 7 \cdot x + 12 \;=\; (x - 3) \cdot (x - 4). \]Diese Form ist beim Kürzen von Bruchtermen oder beim Lösen von Polynom-Ungleichungen oft nützlich.
✏️ Mini-Check — Satz von Vieta
Für \(x^2 + px + q = 0\) mit Lösungen \(x_1, x_2\) gilt: \(q = \;?\)
- \(x_1 + x_2\)
- \(x_1 \cdot x_2\)
- \(-(x_1 \cdot x_2)\)
Lösung anzeigen
Nach Vieta gilt \(x_1 + x_2 =\) .
Lösung anzeigen
Löse \(x^2 - 7x + 12 = 0\) mit Vieta.
Lösung anzeigen
Stelle eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(2\) und \(-5\) auf.
Lösungsweg anzeigen
Parameterdiskussion
In Anwendungen taucht oft eine quadratische Gleichung mit einem zusätzlichen Parameter k auf. Für welche k hat die Gleichung wie viele Lösungen? Die Diskriminante beantwortet die Frage — sie wird selbst zu einer Funktion von k.
- k < 9: \(D(k) > 0\) → zwei verschiedene reelle Lösungen
- k = 9: \(D(k) = 0\) → eine doppelte Lösung \(x = 3\)
- k > 9: \(D(k) < 0\) → keine reelle Lösung, \(\mathbb{L} = \emptyset\)
Aus \(x^2 = 9\) folgt \(x = \pm 3\), nicht nur \(x = 3\). Beide Werte erfüllen die Gleichung: \(3^2 = 9\) und \((-3)^2 = 9\). Das Quadrieren „löscht" das Vorzeichen, also gibt es im Allgemeinen zwei Lösungen. Vergessen wird oft die negative — sie ist aber genauso gültig wie die positive, solange der Sachzusammenhang sie zulässt.
Die pq-Formel \(x_{1,2} = -\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{p}{2}\right)^2 - q}\) gilt nur für \(x^2 + p\cdot x + q = 0\) — also Leitkoeffizient \(1\). Bei \(2x^2 + 4x - 6 = 0\) zuerst durch \(2\) teilen: \(x^2 + 2x - 3 = 0\), dann \(p = 2\), \(q = -3\). Wer die pq-Formel direkt mit \(p = 4\) und \(q = -6\) rechnet, erhält falsche Lösungen. Alternativ: Mitternachtsformel benutzen — die funktioniert auch ohne vorheriges Teilen.
Quadratische Gleichungen lassen sich auf vier Wegen lösen — und der schnellste hängt von der Form ab:
- Reine quadratische Form (\(x^2 = c\), kein \(x\)-Term): direkt Wurzel, \(x = \pm \sqrt{c}\).
- Kein Konstantenglied (\(ax^2 + bx = 0\)): \(x\) ausklammern, Produkt-gleich-Null-Regel.
- Schöne Koeffizienten, ganzzahlige Lösungen vermutet: Vieta-Probe — geht im Kopf in 10 Sekunden.
- Sonst: Mitternachtsformel — funktioniert immer, ist aber rechenaufwendiger.
Wer vor dem Rechnen die Form analysiert, spart oft mehr als die Hälfte des Aufwands.
✏️ Mini-Check — Parameterdiskussion
\(x^2 - 6x + k = 0\) hat zwei Lösungen, wenn …
- \(k < 9\)
- \(k > 9\)
- \(k = 9\)
Lösung anzeigen
Bei \(x^2 - 6x + k = 0\) ist \(D = 36 -\) .
Lösung anzeigen
Was passiert bei \(k = 9\)?
Lösung anzeigen
Beschreibe den Fall \(k = 10\) rechnerisch und geometrisch.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Welche Methode wählst du am schnellsten? Ordne den Gleichungen den passenden Weg zu.
| Gleichung | Empfohlenes Verfahren |
|---|---|
| \(x^2 - 49 = 0\) | Wurzelziehen (rein quadratisch) |
| \(2 \cdot x^2 - 8 \cdot x = 0\) | Faktorisieren · x ausklammern (c = 0) |
| \(x^2 - 6 \cdot x + 9 = 0\) | Faktorisieren · Binom \((x - 3)^2\) |
| \(x^2 - 5 \cdot x + 6 = 0\) | Faktorisieren · Vieta (Summe 5, Produkt 6) |
| \(3 \cdot x^2 + 7 \cdot x - 2 = 0\) | Mitternachtsformel |
Die Tabelle oben zeigt direkt, welches Verfahren am schnellsten zum Ziel führt. Faustregel: Erst nach Spezialstrukturen schauen (rein quadratisch, c = 0, Binom, ganzzahlige Lösungen mit Vieta) — erst zur Mitternachtsformel greifen, wenn nichts davon offensichtlich ist.
Vieta-Zwischenrechnung für \(x^2 - 5 \cdot x + 6 = 0\): Vergleich mit der Normalform \(x^2 + p \cdot x + q = 0\) liefert \(p = -5\) und \(q = 6\). Vieta sagt: \(x_1 + x_2 = -p = -(-5) = 5\) und \(x_1 \cdot x_2 = q = 6\). Gesucht sind also zwei Zahlen mit Summe \(5\) und Produkt \(6\) — das sind \(2\) und \(3\). Also \(\mathbb{L} = \{2, 3\}\). Der Vorzeichen-Wechsel \(p \to -p\) ist die häufigste Stolperstelle bei Vieta.
Löse: \( 3 \cdot x^2 - 12 \cdot x = 0 \).
\(3 \cdot x^2 - 12 \cdot x = 3 \cdot x \cdot (x - 4) = 0\). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: \(x_1 = 0\) oder \(x_2 = 4\). Also \(\mathbb{L} = \{0, 4\}\).
Löse: \( 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x - 5 = 0 \).
\(D = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\). Mit \(a = 2\):
\[ x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \;\;\Longrightarrow\;\; x_1 = 1,\; x_2 = -\tfrac{5}{2}. \]\(\mathbb{L} = \left\{1,\, -\tfrac{5}{2}\right\}\). Brüche kannst du als 5/2 oder 2.5 eingeben.
Wie viele reelle Lösungen hat die Gleichung \(x^2 - 4 \cdot x + 5 = 0\)?
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\). Da \(D < 0\), gibt es keine reelle Lösung. \(\mathbb{L} = \emptyset\).
Löse mit Vieta (ohne Mitternachtsformel): \( x^2 - 9 \cdot x + 20 = 0 \).
Gesucht: zwei Zahlen mit Summe 9 und Produkt 20. Teiler von 20: 1·20, 2·10, 4·5. Davon hat 4 + 5 = 9 die richtige Summe. Also \(x_1 = 4, x_2 = 5\), \(\mathbb{L} = \{4, 5\}\).
Löse die Bruchgleichung aus dem Einstieg: \(\dfrac{12}{v} + \dfrac{12}{v - 4} = \dfrac{3}{2}\). Wie schnell fährt Anna auf dem Hinweg?
Die Definitionsmenge ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}\) — sonst entstünde Division durch null. Hauptnenner: \(2 \cdot v \cdot (v - 4)\). Multiplikation jedes Bruchs damit:
\[ \tfrac{12}{v} \cdot 2v(v-4) + \tfrac{12}{v-4} \cdot 2v(v-4) = \tfrac{3}{2} \cdot 2v(v-4) \] \[ 24 \cdot (v-4) + 24 \cdot v = 3 \cdot v \cdot (v-4) \]Klammern auflösen und sortieren:
\[ 24v - 96 + 24v = 3v^2 - 12v \quad\Longrightarrow\quad 48v - 96 = 3v^2 - 12v \] \[ 3v^2 - 60v + 96 = 0 \quad\Big|:3 \quad\Longrightarrow\quad v^2 - 20 \cdot v + 32 = 0 \]Mit der Mitternachtsformel: \(D = 400 - 128 = 272\), \(\sqrt{D} \approx 16.49\). Wir nennen die beiden Lösungen \(v_a\) und \(v_b\):
\[ v_{a,b} = \tfrac{20 \pm 16.49}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; v_a \approx 18.25,\; v_b \approx 1.75. \]Bei \(v_b \approx 1.75\) wäre die Rückweg-Geschwindigkeit \(v_b - 4 \approx -2.25\) negativ — physikalisch nicht sinnvoll. Damit ist \(v = v_a \approx 18.25\); Anna fährt etwa 18.2 km/h auf dem Hinweg.
Die quadratische Gleichung „kennt" den Sachzusammenhang nicht — sie liefert formal beide Lösungen. Der Sachkontext (Geschwindigkeit positiv, Rückweg-Geschwindigkeit \(v - 4 > 0\)) sortiert die unsinnige Lösung aus. Bei jeder Anwendungsaufgabe gehört darum nach dem Rechnen eine kurze Sinn-Prüfung beider Lösungen.
Eine Strecke der Länge \(1\) wird so in zwei Teile \(\varphi\) und \(1 - \varphi\) geteilt, dass sich der grössere Teil zum kleineren verhält wie die ganze Strecke zum grösseren:
\[\dfrac{\varphi}{1 - \varphi} = \dfrac{1}{\varphi}.\]
- Forme die Verhältnisgleichung in eine quadratische Standardgleichung in \(\varphi\) um.
- Löse die quadratische Gleichung.
- Welche Lösung ist im Kontext sinnvoll (\(0 < \varphi < 1\))? Drücke das Resultat als exakten Wurzelausdruck aus.
- Über Kreuz multiplizieren: \(\varphi^2 = 1 - \varphi\), also \(\varphi^2 + \varphi - 1 = 0\).
- Mit der pq-Formel (\(p = 1\), \(q = -1\)): \(\varphi_{1,2} = -\tfrac{1}{2} \pm \sqrt{\tfrac{1}{4} + 1} = -\tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\).
- Mit \(\sqrt{5} \approx 2.236\) gilt \(\varphi_1 \approx 0.618\) (positiv, im Intervall) und \(\varphi_2 \approx -1.618\) (negativ, raus). Die im Kontext sinnvolle Lösung ist also \(\varphi = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) — bekannt als Goldener Schnitt. Der Kehrwert \(1/\varphi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\) heisst „Goldene Zahl" und taucht in Architektur, Kunst und Natur (Blattstellung, Schneckenhaus-Spiralen) immer wieder auf.
\(\varphi_1 \approx 0.618\) ist der Goldene Schnitt (die im Intervall liegende Lösung). \(\varphi_2 \approx -1.618\) ist die verworfene Lösung der quadratischen Gleichung — sie ist negativ, hat keinen Bezug zum Verhältnis-Problem und ist insbesondere nicht die „Goldene Zahl". Die Goldene Zahl \(\Phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx +1.618\) ist der Kehrwert von \(\varphi_1\) — gleicher Betrag wie \(\varphi_2\), aber positiv. Der Vorzeichen-Unterschied ist entscheidend.
Zusammenfassung
Vor der Mitternachtsformel: schau hin. Ist \(b = 0\)? Ist \(c = 0\)? Sieht es nach einem Binom aus? Hat \(q\) zwei Teiler, deren Summe \(-p\) ist? Spezialstrukturen sparen viel Rechnerei — die Mitternachtsformel ist der Allzweck-Hammer für den Rest.
| Begriff / Verfahren | Kernidee | Spezialität |
|---|---|---|
| Quadratische Gleichung | \(a x^2 + b x + c = 0\) mit \(a \neq 0\) | Drei Glieder: quadratisch, linear, konstant |
| Wurzelziehen | nur bei \(b = 0\) | \(x^2 = -c/a\); falls \(-c/a \geq 0\): \(x = \pm\sqrt{-c/a}\), sonst \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
| Faktorisieren | als Produkt schreiben | 3 Sub-Methoden: c = 0 / Binom / Vieta |
| pq-Formel | nach Division durch a | \(x_{1,2} = -\tfrac{p}{2} \pm \sqrt{(\tfrac{p}{2})^2 - q}\) |
| Mitternachtsformel | immer einsetzbar | \(x_{1,2} = \tfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), \(D = b^2 - 4ac\) |
| Diskriminante | \(D = b^2 - 4 a c\) | D > 0 / D = 0 / D < 0 → 2 / 1 / 0 Lösungen |
| Vieta | \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 \cdot x_2 = q\) | Probe, Erraten, Faktorisieren |