2.2b Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen: rein quadratisch, wenn b = 0

1. 0:00Der einfachste Fall einer quadratischen Gleichung: Es kommt kein einzelnes x vor, nur x hoch zwei. Dann braucht es keine Formel.
2. 0:09Zuerst x hoch zwei allein hinstellen: plus achtzehn, dann durch zwei. Es bleibt x hoch zwei gleich neun.
3. 0:17Jetzt die Wurzel — und hier steckt die eigentliche Sache: Zu x hoch zwei gleich neun gehören zwei Zahlen, drei und minus drei. Beide ergeben quadriert neun.
4. 0:27Der häufigste Fehler ist, nur die positive Wurzel hinzuschreiben. Die Wurzelfunktion liefert zwar nur den nichtnegativen Wert — aber die Gleichung x hoch zwei gleich neun hat zwei Lösungen. Das ist derselbe Unterschied wie in der Potenzreihe.
5. 0:41Je nachdem, was rechts steht, gibt es zwei Lösungen, eine oder keine. Steht rechts eine positive Zahl, sind es zwei. Steht null, ist es eine. Steht eine negative Zahl, gibt es in den reellen Zahlen keine — kein Quadrat ist negativ.
6. 0:56Zum Mitnehmen: Fehlt das einfache x, braucht es keine Lösungsformel. Freistellen, Wurzel ziehen, beide Vorzeichen hinschreiben.

Quadratische Gleichungen: ausklammern, wenn c = 0

1. 0:00Zweiter Spezialfall: Es fehlt das konstante Glied. Auch hier braucht es keine Formel — es braucht das Ausklammern.
2. 0:09Beide Glieder enthalten drei x. Ausgeklammert steht da: drei x mal Klammer x minus vier gleich null.
3. 0:17Der Nullproduktsatz: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Also drei x gleich null oder x minus vier gleich null.
4. 0:26Und hier der teure Fehler: Wer die Gleichung durch x teilt, bekommt drei x minus zwölf gleich null und nur die Lösung vier. Die Null ist verschwunden — denn durch null darf man nicht teilen, und genau diesen Fall hat man weggeworfen.
5. 0:39Zum Mitnehmen: Fehlt das konstante Glied, ist null immer eine Lösung. Man sieht es der Gleichung sofort an — setzt man null ein, wird jedes Glied null.

Quadratische Gleichungen: faktorisieren statt rechnen

1. 0:00Dritter Spezialfall: Manchmal lässt sich die Gleichung als Produkt schreiben. Dann steht die Lösung praktisch schon da — ohne jede Formel.
2. 0:09Gesucht sind zwei Zahlen, deren Produkt sechs ist und deren Summe fünf. Zwei und drei erfüllen beides. Weil in der Gleichung minus fünf steht, sind es minus zwei und minus drei.
3. 0:21Damit lässt sich die Gleichung als Produkt zweier Klammern schreiben: x minus zwei mal x minus drei. Wer die Probe machen will, multipliziert aus.
4. 0:30Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Also x gleich zwei oder x gleich drei — und die Klammern zeigen die Lösungen mit umgekehrtem Vorzeichen.
5. 0:39Ein Sonderfall lohnt den zweiten Blick: Wenn beide Zahlen gleich sind, steht eine binomische Formel da. x hoch zwei minus sechs x plus neun ist x minus drei zum Quadrat — eine einzige, doppelte Lösung.
6. 0:51Zum Mitnehmen: Zuerst kurz nach zwei ganzen Zahlen suchen. Findet man sie in ein paar Sekunden, ist man schneller als mit jeder Formel. Findet man sie nicht, hört man auf zu suchen und nimmt die Lösungsformel — nicht jede Gleichung hat ganzzahlige Lösungen.

Quadratische Gleichungen: der allgemeine Fall — quadratisch ergänzen

1. 0:00Und wenn keiner der drei Spezialfälle greift? Wenn also b und c beide da sind und sich keine zwei ganzen Zahlen finden lassen? Dann stellt man das Quadrat selbst her.
2. 0:10Zuerst die Konstante auf die rechte Seite: x hoch zwei minus vier x gleich eins.
3. 0:16Jetzt der Trick. Zu x hoch zwei minus vier x fehlt genau vier, damit links die binomische Formel dasteht: die Hälfte von vier ist zwei, quadriert vier. Diese vier wird auf beiden Seiten addiert.
4. 0:28Links steht jetzt genau die zweite binomische Formel, rückwärts gelesen: x minus zwei zum Quadrat. Rechts steht fünf.
5. 0:36Jetzt ist es der erste Spezialfall: Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen. x minus zwei ist plus oder minus Wurzel fünf, also x gleich zwei plus minus Wurzel fünf.
6. 0:46Zum Mitnehmen: Die quadratische Ergänzung führt jeden allgemeinen Fall auf den einfachsten zurück. Sie setzt aber voraus, dass vor dem x Quadrat eine Eins steht — sonst teilt man zuerst durch diesen Faktor. Und sie ist mehr als ein Rechenweg — aus genau dieser Rechnung entsteht die Lösungsformel, wenn man sie mit Buchstaben statt mit Zahlen durchführt.

Quadratische Gleichungen: die Mitternachtsformel anwenden

1. 0:00Die Lösungsformel, auch Mitternachtsformel genannt, weil man sie um Mitternacht aufsagen können soll. Sie funktioniert bei jeder quadratischen Gleichung — auch bei denen, wo die Spezialfälle greifen.
2. 0:12Zuerst a, b und c ablesen — und zwar mit Vorzeichen. a ist zwei, b ist minus sieben, c ist drei. Das Minus gehört zum b, nicht zur Rechnung daneben.
3. 0:22Dann die Diskriminante: b zum Quadrat minus vier a c. Minus sieben zum Quadrat ist neunundvierzig, minus vier mal zwei mal drei ist minus vierundzwanzig. Bleibt fünfundzwanzig — eine Quadratzahl, das wird schön.
4. 0:36Einsetzen: minus b ist plus sieben, plus minus Wurzel fünfundzwanzig ist plus minus fünf, geteilt durch zwei mal zwei, also vier. Zwölf durch vier ist drei, zwei durch vier ist ein Halb.
5. 0:49Die Diskriminante verrät die Anzahl der Lösungen, bevor man weiterrechnet. Ist sie positiv, gibt es zwei. Ist sie null, verschwindet das plus minus und es bleibt eine. Ist sie negativ, steht unter der Wurzel eine negative Zahl — in den reellen Zahlen gibt es keine Lösung.
6. 1:05Zum Mitnehmen: erst a, b, c mit Vorzeichen, dann D, dann einsetzen. Und ein letzter Rat: Die Formel ist ein Werkzeug, kein Ersatz für den Blick. Bei b gleich null oder c gleich null ist der Spezialweg schneller.

Quadratische Gleichungen: woher die Mitternachtsformel kommt

1. 0:00Die Formel fällt nicht vom Himmel. Sie ist genau die Rechnung aus Folge vier — quadratisch ergänzen — nur einmal allgemein durchgeführt, mit Buchstaben statt Zahlen.
2. 0:09Zuerst durch a teilen, damit vor dem x hoch zwei eine Eins steht. Dann die Konstante nach rechts.
3. 0:17Jetzt die Hälfte des x-Koeffizienten, quadriert: b durch zwei a, zum Quadrat. Auf beiden Seiten addieren. Links steht dann das Binom x plus b durch zwei a, zum Quadrat.
4. 0:29Rechts auf einen Bruchstrich bringen: c durch a wird mit vier a erweitert, das gibt vier a c durch vier a Quadrat. Übrig bleibt b Quadrat minus vier a c, geteilt durch vier a Quadrat. Im Zähler steht die Diskriminante.
5. 0:43Wurzel ziehen, mit beiden Vorzeichen. Unten wird aus der Wurzel von vier a Quadrat zwei a. Dann b durch zwei a nach rechts — und beides steht über demselben Nenner. Das ist die Formel.
6. 0:54Zum Mitnehmen: Die Formel ist keine Erfindung, sondern das Ergebnis einer einzigen Idee — ein Quadrat herstellen. Dieselbe Idee löst auch die einzelne Gleichung, wenn man die Formel gerade nicht zur Hand hat.

Quadratische Gleichungen: erst die Definitionsmenge, dann rechnen

1. 0:00Steht x im Nenner, gibt es Zahlen, die man gar nicht einsetzen darf. Wer sie am Anfang notiert, sieht am Ende sofort, welche Lösung nicht zählt.
2. 0:10Schritt eins, noch bevor gerechnet wird: Der dritte Nenner ist x minus zwei mal x plus zwei. Null wird er bei zwei und bei minus zwei. Diese beiden Zahlen sind verboten.
3. 0:20Schritt zwei: mit dem Hauptnenner multiplizieren. Übrig bleibt x Quadrat plus fünf x minus vierzehn gleich null. Faktorisiert: x plus sieben mal x minus zwei. Das ergibt zwei Kandidaten, minus sieben und zwei.
4. 0:34Warum taucht die Zwei überhaupt auf? In der Gleichung nach dem Multiplizieren stimmt sie: zwei mal vier plus drei mal null gibt acht. In der ursprünglichen Gleichung steht aber zwei durch null. Für x gleich zwei hat man mit null multipliziert, und das ist keine Äquivalenzumformung.
5. 0:50Schritt drei: jeden Kandidaten gegen die Definitionsmenge halten. Zwei ist verboten, also eine Scheinlösung. Minus sieben ist erlaubt, und die Probe ergibt links und rechts acht Fünfundvierzigstel.
6. 1:03Zum Mitnehmen: Die Scheinlösung ist kein Rechenfehler, sie entsteht beim Multiplizieren. Wer die Definitionsmenge zuerst notiert, muss am Schluss nur noch nachsehen.

Quadratische Gleichungen: Rücksubstitution nicht vergessen

1. 0:00Eine Gleichung vierten Grades, und trotzdem genügt, was man von quadratischen Gleichungen kennt. Die Falle kommt erst ganz am Schluss.
2. 0:09Schritt eins: x Quadrat bekommt einen neuen Namen, u. Dann ist x hoch vier gleich u Quadrat, und es steht eine gewöhnliche quadratische Gleichung da.
3. 0:19Schritt zwei: faktorisieren. Produkt neun, Summe zehn: u gleich eins oder u gleich neun. Hier hören viele auf. Aber gesucht war nicht u, sondern x.
4. 0:29Schritt drei, die Rücksubstitution: x Quadrat gleich eins gibt plus und minus eins, x Quadrat gleich neun gibt plus und minus drei. Aus zwei Werten für u werden vier Lösungen.
5. 0:41Anders bei x hoch vier minus zehn x Quadrat minus neun. Hier ist u gleich fünf plus oder minus Wurzel aus vierunddreissig. Der kleinere Wert ist negativ, und kein Quadrat ist negativ. Es bleiben nur zwei Lösungen.
6. 0:54Zum Mitnehmen: Jedes positive u liefert zwei x, u gleich null eines, ein negatives u keines. Die Lösungen für u sind nie die Antwort, erst die Rücksubstitution liefert sie.

Quadratische Gleichungen: mit poly-solv lösen

1. 0:00Der Rechner kann quadratische Gleichungen exakt lösen. Er verlangt dafür aber eine bestimmte Form — und die herzustellen ist Handarbeit.
2. 0:08Zuerst alles auf eine Seite: sieben x abziehen. Es steht zwei x Quadrat minus sieben x plus fünf gleich null. Erst jetzt lassen sich a, b und c ablesen — und zwar mit ihren Vorzeichen: a ist zwei, b ist minus sieben, c ist fünf.
3. 0:22Jetzt der Rechner. Zweit-Taste, poly-solv, die quadratische Form wählen. Dann die drei Zahlen der Reihe nach: zwei, enter. Minus sieben — mit der Vorzeichentaste — enter. Fünf, enter.
4. 0:42Enter löst. Der Rechner zeigt beide Lösungen: x eins gleich zweieinhalb, x zwei gleich eins. Hier sind es zwei. Über den reellen Zahlen können es je nach Diskriminante auch eine sein oder keine.
5. 0:54Zum Mitnehmen: Der Rechner löst, aber er formt nicht um. Die Gleichung auf null zu bringen und a, b, c mit Vorzeichen abzulesen, bleibt deine Arbeit — und genau dort passieren die Fehler.

Quadratische Gleichungen: wenn der Rechner Domain meldet

1. 0:00Wenn die Diskriminante negativ ist, steht unter der Wurzel etwas Negatives. Von Hand schreibst du dann: keine Lösung in den reellen Zahlen. Was macht der Rechner an dieser Stelle?
2. 0:10Tippst du die Wurzel aus minus drei ein, meldet der Rechner Domain. Das heisst nicht, dass etwas kaputt ist. Domain heisst Definitionsbereich: Das Argument liegt ausserhalb. Für die Quadratwurzel steht im Handbuch genau das — Fehler, wenn x kleiner als null ist.
3. 0:25Dasselbe passiert mitten in der Mitternachtsformel. Minus eins plus Wurzel aus minus drei, alles durch zwei — der Rechner kommt bis zur Wurzel und bricht dort ab. Die Meldung erscheint also nicht, weil du dich vertippt hast, sondern weil die Gleichung in den reellen Zahlen keine Lösung hat.
4. 0:41Und jetzt die Stelle, an der Verwirrung entsteht. Im mode-Menü gibt es eine Zeile REAL, a plus b i, r Winkel Theta. Steht dort a plus b i, dann rechnet der Rechner die Wurzel aus einer negativen Zahl aus — Wurzel aus minus vier gibt zwei i.
5. 0:56Woran du es merkst: Im Ergebnis steht ein i, wo keins hingehört. Dann mode drücken, in der Zeile auf REAL gehen, enter — und der Rechner meldet wieder Domain, wo in den reellen Zahlen nichts zu holen ist.
6. 1:08Und was steht am Schluss im Heft? Nicht Domain. Sondern: Die Diskriminante ist negativ, also gibt es keine reelle Lösung, also ist die Lösungsmenge leer. Die Meldung des Rechners ist die Vorstufe, nicht die Antwort.
7. 1:21Domain heisst: ausserhalb des Definitionsbereichs. Ein i heisst: falscher Modus.

Quadratische Ungleichungen: erst die Nullstellen, dann die Skizze

1. 0:00Bei einer quadratischen Ungleichung genügt es nicht, die Nullstellen zu kennen. Man muss auch wissen, wo der Term positiv ist und wo negativ — und das sagt am schnellsten eine Skizze.
2. 0:11Die linke Seite steht schon allein. Die Nullstellen findet man durch Faktorisieren: Produkt sechs, Summe fünf — also zwei und drei.
3. 0:19Jetzt die Skizze. Der Faktor vor x hoch zwei ist positiv, die Parabel ist also nach oben geöffnet. Zwischen den Nullstellen liegt sie unter der Achse, ausserhalb darüber.
4. 0:29Gesucht war grösser null, also die Bereiche über der Achse: alles links von zwei und alles rechts von drei. Die Nullstellen selbst gehören nicht dazu, denn dort ist der Term null und nicht grösser null.
5. 0:41Wer der Skizze nicht traut, macht die Stichprobe: Man setzt aus jedem Bereich eine Zahl ein. Null gibt sechs, positiv. Zweieinhalb gibt minus null Komma zwei fünf, negativ. Vier gibt zwei, wieder positiv.
6. 0:54Zum Mitnehmen: auf null bringen, Nullstellen suchen, Öffnung prüfen, ablesen. Bei nach oben geöffneter Parabel ist der Term zwischen den Nullstellen negativ und ausserhalb positiv — bei nach unten geöffneter genau umgekehrt.

Quadratische Ungleichungen: das Vorzeichenmuster am Zahlenstrahl

1. 0:00Für eine quadratische Ungleichung braucht es keine Parabel. Es genügt zu wissen, wo ein Produkt positiv ist, und das verraten die Vorzeichen seiner Faktoren.
2. 0:09Schritt eins: acht nach links bringen, damit rechts null steht. Dann faktorisieren, Produkt minus acht, Summe zwei: x plus vier mal x minus zwei. Die Nullstellen minus vier und zwei teilen den Zahlenstrahl in drei Bereiche.
3. 0:24Schritt zwei: jeder Faktor für sich. x plus vier ist links von minus vier negativ und rechts davon positiv. x minus zwei wechselt erst bei zwei. Das trägt man Zeile für Zeile ein.
4. 0:36Schritt drei: die Vorzeichenregel. Gleiche Vorzeichen ergeben plus, verschiedene minus. So entsteht das Muster des Produkts: plus, null, minus, null, plus.
5. 0:46Schritt vier: Gesucht ist grösser null, also die beiden Plus-Bereiche. Die Nullstellen gehören nicht dazu, denn null ist nicht grösser null, die Klammern zeigen nach aussen. Hiesse es kleiner gleich, wäre es der Bereich dazwischen, mit den Grenzen.

Quadratische Parametergleichungen: was der Parameter entscheidet

1. 0:00Jetzt steht statt einer Zahl ein Buchstabe in der Gleichung. Gefragt ist nicht mehr die Lösung, sondern: Für welche Werte des Parameters gibt es überhaupt Lösungen, und wie viele?
2. 0:10Die Anzahl der Lösungen hängt allein an der Diskriminante. Also a, b und c ablesen und einsetzen: minus sechs zum Quadrat ist sechsunddreissig, minus vier mal eins mal k ist minus vier k. D ist sechsunddreissig minus vier k.
3. 0:24Jetzt die drei Fälle. D grösser null heisst sechsunddreissig grösser vier k, also k kleiner neun: zwei Lösungen. D gleich null bei k gleich neun: eine doppelte. D kleiner null für k grösser neun: keine reelle Lösung.
4. 0:38Die Grenze lohnt die Probe. Für k gleich neun steht dort x hoch zwei minus sechs x plus neun — das ist die binomische Formel, x minus drei zum Quadrat. Die doppelte Lösung ist drei.
5. 0:49Anschaulich verschiebt k die Parabel nach oben und unten. Bei kleinem k liegt der Scheitel unter der Achse und sie schneidet zweimal. Bei k gleich neun berührt sie. Bei grösserem k schwebt sie darüber und trifft die Achse nicht mehr.
6. 1:03Zum Mitnehmen: Bei einer Parametergleichung wird die Diskriminante zur Bedingung. Man löst nicht nach x auf, sondern nach dem Parameter — und antwortet mit einer Ungleichung statt mit einer Zahl.

Quadratische Gleichungssysteme: Gerade trifft Parabel

1. 0:00Ein Gleichungssystem muss nicht aus zwei Geraden bestehen. Trifft eine Gerade auf eine Parabel, ist der Weg derselbe wie beim Gleichsetzverfahren — nur entsteht dabei eine quadratische Gleichung.
2. 0:11Gleichsetzen: x hoch zwei gleich x plus zwei. Alles auf eine Seite bringen gibt x hoch zwei minus x minus zwei gleich null.
3. 0:20Produkt minus zwei, Summe eins: minus eins und zwei. Also x gleich zwei oder x gleich minus eins.
4. 0:28Zu jedem x gehört noch ein y. Einsetzen in die einfachere Gleichung: zwei hoch zwei ist vier, minus eins hoch zwei ist eins. Die Schnittpunkte sind zwei, vier und minus eins, eins.
5. 0:40Wie bei zwei Geraden gibt es drei Möglichkeiten — nur heissen sie hier anders. Zwei Schnittpunkte, ein Berührpunkt, oder gar keiner. Und wieder entscheidet die Diskriminante: positiv, null oder negativ.
6. 0:52Zum Mitnehmen: Das Verfahren ändert sich nicht, nur die Gleichung, die dabei entsteht. Und ein Berührpunkt ist rechnerisch nichts anderes als eine doppelte Lösung.

Annas Velofahrt: v im Nenner, Gleichung quadratisch

1. 0:00Anna fährt zwölf Kilometer zur Schule und zurück, auf dem Rückweg vier Kilometer pro Stunde langsamer. Wie stark hängt ihre Gesamtzeit von der Geschwindigkeit ab?
2. 0:10Bei zwanzig Kilometern pro Stunde braucht Anna zusammen einundachtzig Minuten. Einen Kilometer pro Stunde langsamer wären es rund sechsundachtzig, nur fünf mehr.
3. 0:20Bei sechs Kilometern pro Stunde fährt Anna zurück nur noch zwei. Das dauert sechs Stunden, zusammen vierhundertachtzig Minuten. Ein Kilometer pro Stunde mehr spart schon über zwei Stunden.
4. 0:31Bei achtzehn Komma zwei sind es gut neunzig Minuten. Genau trifft man es mit der Gleichung. Multipliziert man mit den Nennern, entsteht v Quadrat minus zwanzig v plus zweiunddreissig gleich null.
5. 0:44Merke: Die Zeit ist Weg durch Geschwindigkeit, und v steht im Nenner. Darum wirkt eine Änderung bei kleinem v viel stärker. Verlangt man eine feste Gesamtzeit und beseitigt die Nenner, entsteht eine quadratische Gleichung.

Drei Darstellungen: zwei, eine oder keine Lösung

1. 0:00In der Animation stellst du p und q ein. Die Tabelle zeigt die Werte von f von x, und die Lösungen sind die Stellen, an denen f von x null ist. Wovon hängt ab, wie viele es gibt?
2. 0:12Mit p gleich minus vier und q gleich drei wird f von x bei eins und bei drei null. Dazwischen ist f von x negativ. D ist sechzehn minus zwölf, also vier und positiv: zwei Lösungen.
3. 0:25Ist q um eins grösser, steigt jeder Wert der Tabelle um eins. Jetzt wird f von x nur bei zwei null, ohne Vorzeichenwechsel. D ist genau null: eine doppelte Lösung.
4. 0:35Bei q gleich fünf ist der kleinste Wert f von zwei gleich eins. Null wird nie erreicht, und D ist minus vier: keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer.
5. 0:45Merke: Ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt, entscheidet allein die Diskriminante, D gleich p Quadrat minus vier q. Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen, bei null eine, und ist sie negativ, keine.

Flächenmodell: die fehlende Ecke (p/2)²

1. 0:00In der Animation wird x Quadrat plus p mal x als Fläche gelegt: ein blaues Quadrat und ein oranges Rechteck. Welches Stück fehlt, damit daraus ein grosses Quadrat wird?
2. 0:11Mit p gleich sechs wird das Rechteck halbiert: zwei Streifen drei mal x. Je einer liegt rechts und unten am Quadrat. Die Fläche bleibt gleich, doch rechts unten fehlt eine Ecke.
3. 0:22Die fehlende Ecke ist ein Quadrat mit der Seite drei, der Hälfte von p, also mit der Fläche neun. Mit ihr wird die Figur zum grossen Quadrat mit der Seite x plus drei.
4. 0:32Jetzt ist x gleich zwei. Das Quadrat wird kleiner, die Ecke bleibt drei mal drei. Weil sie nicht zu x Quadrat plus sechs x gehört, wird sie wieder abgezogen.
5. 0:41Merke: Zum Quadrat fehlt genau die Ecke p Halbe im Quadrat. Sie hängt nur von p ab, nicht von x. Darum addiert man sie und zieht sie wieder ab. Das Bild braucht ein positives p, die Umformung gilt für jedes.

Vorzeichenmuster: Wechsel nur an einfachen Nullstellen

1. 0:00In der Animation stellst du die Nullstellen a und b ein. Die letzte Zeile zeigt das Vorzeichen des Produkts. Wo wechselt es, und wann gehören die Grenzen zur Lösung?
2. 0:10x plus zwei wechselt bei minus zwei das Vorzeichen, x minus drei bei drei. Zwischen den Nullstellen ist genau ein Faktor negativ, das Produkt also negativ. Gesucht ist kleiner gleich null: das Intervall von minus zwei bis drei.
3. 0:24Schiebt man a auf drei, fallen die Nullstellen zusammen. Beide Faktoren wechseln an derselben Stelle, das Produkt bleibt links und rechts positiv. Kleiner gleich null gilt nur bei drei.
4. 0:36Mit kleiner statt kleiner gleich fallen die Nullstellen weg, denn dort ist f von x null, und null ist nicht kleiner als null. Die Klammern zeigen nach aussen.
5. 0:45Merke: Ein Linearfaktor wechselt sein Vorzeichen genau an seiner Nullstelle. Darum wechselt das Muster an jeder einfachen Nullstelle, an einer doppelten nicht. Bei kleiner gleich gehören die Grenzen dazu, bei kleiner nicht.

Parameter k: zwei Lösungen rücken zusammen

1. 0:00In der Animation schiebst du k aufwärts, und die Parabel x Quadrat minus sechs x plus k steigt. Die grünen Punkte sind die Lösungen. Was passiert mit ihnen, wenn k gegen neun geht?
2. 0:12Bei k gleich fünf steht unter der Wurzel sechzehn. Die Lösungen sind fünf und eins, vier auseinander.
3. 0:20Bei k gleich acht steht unter der Wurzel nur noch vier. Die Lösungen vier und zwei sind näher zusammengerückt.
4. 0:29Bei k gleich neun ist die Wurzel null. Beide Lösungen fallen bei drei zusammen: eine doppelte Lösung.
5. 0:39Merke: Je grösser k, desto kleiner die Diskriminante, und die Lösungen rücken zusammen. Bei k gleich neun ist D null, es bleibt eine doppelte Lösung. Für k grösser als neun ist D negativ, und die Lösungsmenge ist leer.

D am Zahlenstrahl: Scheitel unter, auf oder über der Achse

1. 0:00In der Animation läuft beim Schieben von k der Wert der Diskriminante über einen Zahlenstrahl. Gleichzeitig wandert die Parabel. Was verrät das Vorzeichen von D über ihre Lage?
2. 0:10Bei k gleich eins ist D zweiunddreissig, der Punkt liegt rechts von null. Der Scheitel liegt bei minus acht, unter der Achse, und die Parabel schneidet sie zweimal.
3. 0:20Bei k gleich neun ist D genau null. Der Scheitel liegt auf der x-Achse, die Parabel berührt sie nur.
4. 0:30Bei k gleich dreizehn ist D minus sechzehn, links von null. Der Scheitel liegt bei vier, über der Achse, und es gibt keinen Schnittpunkt.
5. 0:39Merke: Hier ist D gleich minus vier mal die y-Koordinate des Scheitels. Ist D positiv, liegt der Scheitel unter der Achse, bei null auf ihr, und bei negativem D darüber. So zeigt D die Anzahl der Lösungen, bevor man rechnet.

Bruchgleichungen → quadratisch: drei andere Ausgänge

1. 0:00Bisher fiel das x Quadrat immer weg. Wenn es stehen bleibt, gelten andere Regeln: Dann entscheidet nicht mehr die Definitionsmenge allein, sondern zuerst die Diskriminante.
2. 0:10Die Definitionsmenge ist schnell: nur x gleich null ist verboten. Mal x genommen steht rechts x mal Klammer x minus eins — und da entsteht das x Quadrat.
3. 0:20Produkt minus sechs, Summe eins: drei und minus zwei. Beide liegen in der Definitionsmenge, beide gelten. Die Diskriminante war fünfundzwanzig, also positiv — zwei Lösungen.
4. 0:33Zweiter Ausgang, andere Gleichung: x durch x minus zwei gleich acht durch x. Über Kreuz gibt das x Quadrat gleich acht x minus sechzehn, also x minus vier zum Quadrat. Die Diskriminante ist null — eine doppelte Lösung, die Vier.
5. 0:47Dritter Ausgang: x durch x minus zwei gleich drei durch x. Über Kreuz gibt das x Quadrat minus drei x plus sechs. Die Diskriminante ist neun minus vierundzwanzig, also minus fünfzehn — es gibt keine reelle Lösung, obwohl die Definitionsmenge nichts verbietet.
6. 1:03Dazu kommt der vierte Weg, den du aus Folge eins des Verfahrens kennst: Die Gleichung liefert zwei Lösungen, aber eine davon liegt nicht in der Definitionsmenge. Dann bleibt trotz positiver Diskriminante nur eine übrig.
7. 1:15Zum Mitnehmen: Beim linearen Fall gab es eine Zahl, eine falsche Aussage oder eine wahre. Beim quadratischen sind es zwei Lösungen, eine doppelte oder keine — und darüber liegt noch die Definitionsmenge, die streichen kann.