Eine quadratische Gleichung in einer Variablen \(x\) lässt sich auf die allgemeine Form bringen:
\[ a \cdot x^2 + b \cdot x + c \;=\; 0 \qquad (a \neq 0). \]Die normierte Form mit \(a = 1\) wird als pq-Form bezeichnet:
\[ x^2 + p \cdot x + q \;=\; 0. \]| Verfahren | Geeignet für | Lösung |
|---|---|---|
| Reinquadratisch | \(b = 0\) | falls \(-c/a \geq 0\): \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-c/a}\); sonst \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
| Ausklammern | \(c = 0\) | \(x_1 = 0,\;\; x_2 = -b/a\) |
| Mitternachtsformel | universell | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a},\; D = b^2 - 4ac\) |
| pq-Formel | normierte Form (\(a = 1\)) | \(x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{(p/2)^2 - q}\) |
Der Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel heisst Diskriminante:
\[ D \;=\; b^2 - 4 \cdot a \cdot c. \]Sie entscheidet allein durch ihr Vorzeichen über die Anzahl reeller Lösungen — der Wurzelterm \(\sqrt{D}\) ist je nach Vorzeichen positiv, null oder gar nicht definiert.
| Vorzeichen von \(D\) | Wurzelterm \(\sqrt{D}\) | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| \(D > 0\) | positive reelle Zahl — \(\pm\) liefert zwei Werte | \(\mathbb{L} = \{x_1,\, x_2\}\) |
| \(D = 0\) | \(\sqrt{0} = 0\) — \(\pm\)-Term verschwindet | \(\mathbb{L} = \{-b/(2a)\}\) (doppelt) |
| \(D < 0\) | in \(\mathbb{R}\) nicht definiert | \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
Hat die normierte Form \(x^2 + p \cdot x + q = 0\) zwei reelle Lösungen \(x_1, x_2\), so gilt:
\[ x_1 + x_2 \;=\; -p \qquad \text{und} \qquad x_1 \cdot x_2 \;=\; q. \]Bei einfachen ganzzahligen Lösungen ist Vieta oft schneller als die pq-Formel: gesucht sind zwei Zahlen, deren Summe \(-p\) und deren Produkt \(q\) ist.
Vorzeichenfehler bei \(b\): in der Mitternachtsformel steht \(-b\), nicht
\(b\). Bei \(2x^2 - 5x - 3 = 0\) ist \(b = -5\), also \(-b = 5\).
Klammern beim Diskriminanten-Term: \(b^2 - 4ac\), aber Achtung mit dem Vorzeichen
von \(c\). Bei \(c = -3\) und \(a = 2\) ist \(-4ac = -4 \cdot 2 \cdot (-3) = +24\).
Beide Vorzeichen vergessen: bei reinquadratischen Gleichungen liefert das
Wurzelziehen zwei Lösungen \(\pm\), nicht nur eine.
Die Gleichung \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) lässt sich auf drei äquivalente Arten ansehen:
| Form | Beispiel \(x^2 - 4x + 3 = 0\) | Stärke |
|---|---|---|
| algebraisch | Mitternachtsformel: \(x_{1} = \tfrac{4+2}{2} = 3\), \(\;x_{2} = \tfrac{4-2}{2} = 1\) | exaktes Rechnen |
| Wertetabelle | \(f(1) = 0\), \(f(3) = 0\) | Probe, Erkennen ganzzahliger Lösungen |
| Faktorform | \((x - 1)(x - 3) = 0\) | Lösungen direkt ablesbar |
Beim Faktorisieren wird der quadratische Term als Produkt zweier linearer Faktoren geschrieben. Drei Strukturen lassen sich besonders schnell erkennen:
| Methode | Wann? | Vorgehen / Beispiel |
|---|---|---|
| x ausklammern | \(c = 0\) | \(2x^2 - 8x = 2x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4\) Stolperstein: nicht durch \(x\) teilen — \(x = 0\) wäre sonst weg. |
| Binom erkennen | Mittelterm \(= \pm 2 a b\) | \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3\) (doppelt). Stolperstein: Mittelterm muss exakt passen — kontrollieren. |
| Zweiklammersatz / Vieta | Normalform mit ganzzahligen Lösungen | \(x^2 - 5x + 6 = 0\): suche zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6 → 2 und 3 →
\((x - 2)(x - 3) = 0\). Stolperstein: klappt nur bei rationalen Lösungen — sonst Mitternachtsformel. |
Hängen die Koeffizienten von einem Parameter \(k\) ab, läuft die Diskussion stets über die Diskriminante:
| Allgemeine Form | \(a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0\) mit \(a \neq 0\) |
| Reinquadratisch | \(x^2 = -c/a\), Wurzel mit beiden Vorzeichen |
| Ausklammern | \(x \cdot (a x + b) = 0\): \(x_1 = 0,\, x_2 = -b/a\) |
| Mitternachtsformel | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) |
| pq-Formel | \(x_{1,2} = -p/2 \pm \sqrt{(p/2)^2 - q}\) |
| Diskriminante | \(D = b^2 - 4ac\): drei Fälle |
| Vieta | \(x_1 + x_2 = -p,\; x_1 \cdot x_2 = q\) |