12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 40 Minuten.
Löse: \(2 \cdot x^2 - 18 = 0\).
Löse: \(3 \cdot x^2 + 12 \cdot x = 0\).
Löse: \(2 \cdot x^2 + x - 6 = 0\).
Löse mit pq-Formel: \(x^2 - 8 \cdot x + 12 = 0\).
Bringe auf die allgemeine Form und löse: \(\,(x - 1)(x + 5) = 7\).
Bestimme die Lösungen von \(\,x^2 - 7x + 10 = 0\,\) ohne pq-Formel, nur durch Probieren mit dem Satz von Vieta.
Bestimme nur über die Diskriminante, wie viele reelle Lösungen die Gleichungen haben:
a) \(\,x^2 - 6x + 9 = 0\) b) \(\,2x^2 + x + 3 = 0\) c) \(\,3x^2 - 5x - 1 = 0\)
Ein Ball wird vertikal nach oben geworfen mit \(h(t) = -5 \cdot t^2 + 15 \cdot t\). Wann erreicht er den Boden wieder? Wann ist er auf 10 m Höhe (zwei Antworten)?
Ein Rechteck hat die Diagonale 13 cm und einen Umfang von 34 cm. Bestimme Länge und Breite. Hinweis: System aus zwei Gleichungen, eine quadratisch.
Der Bremsweg eines PWs (in m) lässt sich näherungsweise als \(s(v) = 0.01 \cdot v^2\) beschreiben (\(v\) in km/h). Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Bremsweg genau 36 m?
Diskutiere die Lösungsmenge von \(\,x^2 - 4x + k = 0\,\) in Abhängigkeit vom Parameter k.
Für welche Werte von \(k\) hat die Gleichung \(\,x^2 + (k - 2) \cdot x + 1 = 0\,\) genau eine doppelte Lösung? Bestimme diese Lösung in Abhängigkeit von \(k\).
\(2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 3\). \(\mathbb{L} = \{-3, 3\}\).
Faktorisieren: \(3x \cdot (x + 4) = 0\). Nullproduktsatz: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -4\). \(\mathbb{L} = \{-4, 0\}\).
\(a = 2, b = 1, c = -6\), \(D = 1 + 48 = 49\). Mitternachtsformel: \(x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm 7}{4}\) — also \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1.5\). \(\mathbb{L} = \{-2,\, 1.5\}\). Probe mit verallgemeinertem Vieta (gilt für die nicht-normierte Form \(a x^2 + b x + c = 0\)): \(x_1 + x_2 = -b/a = -1/2\) ✓ und \(x_1 \cdot x_2 = c/a = -6/2 = -3\) ✓. (Alternativ: erst durch \(a = 2\) dividieren, um die Normalform \(x^2 + 0.5\,x - 3 = 0\) zu erhalten, und dann Vieta mit \(p = 0.5\), \(q = -3\) anwenden.)
pq-Formel mit \(p = -8, q = 12\): \(x_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 - 12} = 4 \pm 2\). \(\mathbb{L} = \{2, 6\}\).
\((x - 1)(x + 5) = x^2 + 4x - 5 = 7 \Rightarrow x^2 + 4x - 12 = 0\). pq-Formel: \(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 12} = -2 \pm 4\). \(\mathbb{L} = \{-6, 2\}\).
Gesucht zwei Zahlen, deren Summe 7 (\(= -p\)) und Produkt 10 (\(= q\)) ist. Probieren mit Faktoren von 10: \(2 \cdot 5 = 10\) und \(2 + 5 = 7\) ✓. Also \(\mathbb{L} = \{2, 5\}\).
a) \(D = 36 - 36 = 0\): genau eine doppelte Lösung.
b) \(D = 1 - 24 = -23 < 0\): keine reelle Lösung.
c) \(D = 25 + 12 = 37 > 0\): zwei reelle Lösungen.
Boden: \(-5 t^2 + 15 t = 0 \Rightarrow t (15 - 5t) = 0 \Rightarrow t_1 = 0\)
(Start), \(t_2 = 3\) s — Landung nach 3 s.
Höhe 10 m: \(-5 t^2 + 15 t = 10 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0\).
Vieta: Summe 3, Produkt 2 → \(t_1 = 1\) s (Aufstieg), \(t_2 = 2\) s (Fall).
Mit \(\ell\) Länge und \(b\) Breite: \(\ell + b = 17\) (Halbumfang) und \(\ell^2 + b^2 = 169\) (Pythagoras). Aus erster Gleichung \(b = 17 - \ell\) einsetzen: \(\ell^2 + (17 - \ell)^2 = 169 \Rightarrow 2\ell^2 - 34\ell + 120 = 0 \Rightarrow \ell^2 - 17 \ell + 60 = 0\). Vieta: \(5 + 12 = 17\), \(5 \cdot 12 = 60\) ✓. Also \(\ell = 12\) cm und \(b = 5\) cm (oder umgekehrt). Probe: \(12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2\) ✓.
\(0.01 \cdot v^2 = 36 \Rightarrow v^2 = 3600 \Rightarrow v = \pm 60\). Negative Geschwindigkeit ist nicht sinnvoll, also \(v = 60\) km/h.
\(D(k) = 16 - 4k = 4(4 - k)\). Kritischer Wert: \(k = 4\).
Bedingung: \(D(k) = (k - 2)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (k - 2)^2 = 4 \Rightarrow k - 2 = \pm 2 \Rightarrow k_1 = 0\) oder \(k_2 = 4\).
Doppelte Lösung: \(x = -(k - 2)/2 = (2 - k)/2\). Für \(k = 0\): \(x = 1\). Für \(k = 4\): \(x = -1\). Probe: bei \(k = 0\) wird \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0\) ✓. Bei \(k = 4\) wird \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0\) ✓.