Sechs Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Jeder Sachverhalt führt auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei oder drei Variablen. Vorgehen: Variablen definieren → Gleichungen aufstellen → System lösen (Verfahren wählen) → Probe in allen Gleichungen → Antwortsatz mit Einheit. Musterlösungen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Grösse | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|---|
| 1 | Mobilität | Begegnung zweier Züge | 2×2 | ●○○ |
| 2 | Mischung | Lötzinn-Legierung mischen | 2×2 | ●●○ |
| 3 | Elektrotechnik | Spannungsteiler dimensionieren | 2×2 | ●●○ |
| 4 | Architektur | Tragwerk-Knoten: drei Stäbe | 3×3 | ●●● |
| 5 | Life Sciences | Drei Nährlösungen mischen | 3×3 | ●●● |
| 6 | Logistik | Transportbedarf bestimmen | 3×3 | ●●● |
Zwei Züge fahren auf parallelen Gleisen aufeinander zu. Zug A startet um 8:00 Uhr in Bern Richtung Zürich mit konstant 130 km/h. Zug B startet zur gleichen Zeit in Zürich Richtung Bern mit konstant 110 km/h. Die Strecke Bern–Zürich beträgt 120 km.
(a) Wann begegnen sich die zwei Züge? (b) Wo liegt der Begegnungspunkt (Distanz ab Bern)?
In einer Werkstatt sollen 200 g einer Lötzinn-Legierung mit 60 % Zinngehalt hergestellt werden. Verfügbar sind zwei Vorräte: eine Sorte mit 80 % Zinn und eine Sorte mit 30 % Zinn.
(a) Stelle ein 2×2-System für die zu mischenden Massen \(x\) (Sorte 80 %) und \(y\) (Sorte 30 %) auf. (b) Löse mit einer Methode deiner Wahl. (c) Probe.
An eine Spannungsquelle mit \(U_0 = 12\) V werden zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) in Serie geschaltet. Über \(R_2\) fällt eine Spannung von \(U_2 = 4{.}5\) V ab. Der Gesamtwiderstand soll \(R_1 + R_2 = 200\) Ω betragen.
Bestimme \(R_1\) und \(R_2\). Hinweis: Die Spannungsteiler-Regel besagt \(U_2 / U_0 = R_2 / (R_1 + R_2)\).
An einem Knotenpunkt eines Stahlfachwerks treffen drei Stäbe \(a\), \(b\), \(c\) zusammen (Kräfte in kN). Die Kräftebilanz und die Längenverteilung führen auf das System
\[ \begin{cases} a + b + c = 18 \\ 2a - b + c = 11 \\ a + 2b - c = 5 \end{cases} \](a) Bestimme \(a\), \(b\), \(c\) mit Additions- und Einsetzmethode. (b) Mache die Probe in allen drei Gleichungen.
Aus drei Stammlösungen sollen 600 ml einer Endlösung gemischt werden. Die Inhaltsstoffe pro Liter Stammlösung sind:
| Glukose [g/L] | Salz [g/L] | Vitamin C [g/L] | |
|---|---|---|---|
| Stamm 1 | 40 | 10 | 5 |
| Stamm 2 | 20 | 30 | 10 |
| Stamm 3 | 10 | 20 | 30 |
Die Endlösung soll genau 19 g Glukose, 9 g Salz und 6 g Vitamin C enthalten.
Bestimme die Volumen \(x\), \(y\), \(z\) (in Litern) der drei Stammlösungen. Hinweis: drei Bilanzen — eine pro Inhaltsstoff. Eine vierte Bilanz für das Gesamtvolumen ist nicht nötig und würde das System überbestimmen.
Eine Spedition transportiert die drei Frachtarten Stahl (S), Beton (B) und Holz (H). Die Beladungs-Verhältnisse je Tour und die Gesamtfracht je Tour (in Tonnen) sind:
| Tour | Stahl-Einheiten | Beton-Einheiten | Holz-Einheiten | Total [t] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 1 | 19 |
| 2 | 1 | 3 | 2 | 34 |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 27 |
Wie schwer ist eine Einheit Stahl, Beton bzw. Holz? Stelle das System auf und löse mit Additions- und Einsetzmethode. Mache die Probe.
Sei \(t\) die Zeit ab 8:00 in Stunden, \(s\) die Position in km ab Bern.
\[ \begin{cases} s = 130 \cdot t \\ s = 120 - 110 \cdot t \end{cases} \]Gleichsetzen: \(130 t = 120 - 110 t \;\Rightarrow\; 240 t = 120 \;\Rightarrow\; t = 0{.}5\) h. Einsetzen: \(s = 130 \cdot 0{.}5 = 65\) km.
Probe: \(120 - 110 \cdot 0{.}5 = 65\;\checkmark\).
Antwort: Die zwei Züge begegnen sich um 8:30 Uhr, 65 km nach Bern.
Mit \(x\) = Masse Sorte 80 %, \(y\) = Masse Sorte 30 % (in g):
\[ \begin{cases} x + y = 200 \\ 0{.}80 x + 0{.}30 y = 0{.}60 \cdot 200 = 120 \end{cases} \]Aus (I): \(y = 200 - x\). Einsetzen in (II): \(0{.}80 x + 0{.}30 (200 - x) = 120 \;\Rightarrow\; 0{.}50 x = 60 \;\Rightarrow\; x = 120\) g, \(y = 80\) g.
Probe: \(120 + 80 = 200\;\checkmark\); \(0{.}8 \cdot 120 + 0{.}3 \cdot 80 = 96 + 24 = 120\;\checkmark\).
Antwort: 120 g der 80 %-Sorte und 80 g der 30 %-Sorte mischen.
Aus der Spannungsteiler-Regel: \(\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{4{.}5}{12} = \dfrac{3}{8}\). Da \(R_1 + R_2 = 200\) Ω, ist \(R_2 = \tfrac{3}{8} \cdot 200 = 75\) Ω und somit \(R_1 = 125\) Ω.
Alternative als 2×2-System: aus \(8 R_2 = 3 (R_1 + R_2)\) folgt \(5 R_2 = 3 R_1\), also
\[ \begin{cases} R_1 + R_2 = 200 \\ 3 R_1 - 5 R_2 = 0 \end{cases} \;\Rightarrow\; R_1 = 125\ \Omega,\quad R_2 = 75\ \Omega. \]Probe: \(125 + 75 = 200\;\checkmark\); \(75/200 \cdot 12 = 4{.}5\) V \(\checkmark\).
System: \(\;a + b + c = 18\) (G1), \(\;2a - b + c = 11\) (G2), \(\;a + 2b - c = 5\) (G3).
z eliminieren mit Addition: G1 + G3 ergibt \(2a + 3b = 23\) (G4). G2 + G3 ergibt \(3a + b = 16\) (G5).
2×2-System lösen: aus G5 nach b auflösen: \(b = 16 - 3a\). Einsetzen in G4: \(2a + 3 \cdot (16 - 3a) = 23 \Rightarrow 2a + 48 - 9a = 23 \Rightarrow -7a = -25 \Rightarrow a = \tfrac{25}{7}\) kN \(\approx 3{.}57\) kN.
Daraus \(b = 16 - 3 \cdot \tfrac{25}{7} = \tfrac{37}{7}\) kN \(\approx 5{.}29\) kN und aus G1: \(c = 18 - a - b = 18 - \tfrac{62}{7} = \tfrac{64}{7}\) kN \(\approx 9{.}14\) kN.
Probe: \(\tfrac{25 + 37 + 64}{7} = \tfrac{126}{7} = 18\;\checkmark\); \(2 \cdot \tfrac{25}{7} - \tfrac{37}{7} + \tfrac{64}{7} = \tfrac{77}{7} = 11\;\checkmark\); \(\tfrac{25}{7} + 2 \cdot \tfrac{37}{7} - \tfrac{64}{7} = \tfrac{35}{7} = 5\;\checkmark\).
Mit \(x\), \(y\), \(z\) in Litern. Bilanzen pro Inhaltsstoff (Glukose, Salz, Vitamin C):
\[ \begin{cases} 40x + 20y + 10z = 19 & \text{(G1)} \\ 10x + 30y + 20z = 9 & \text{(G2)} \\ 5x + 10y + 30z = 6 & \text{(G3)} \end{cases} \]x eliminieren mit Addition: \(4 \cdot \text{G2} - \text{G1}\) ergibt \(100y + 70z = 17\) (G4). \(8 \cdot \text{G3} - \text{G1}\) ergibt \(60y + 230z = 29\) (G5).
2×2-System lösen mit Addition: \(5 \cdot \text{G5} - 3 \cdot \text{G4}\) ergibt \(940z = 94 \Rightarrow z = 0{.}1\) L.
Einsetzen: in G4: \(100y + 7 = 17 \Rightarrow y = 0{.}1\) L. In G1: \(40x + 2 + 1 = 19 \Rightarrow 40x = 16 \Rightarrow x = 0{.}4\) L.
Probe: Glukose: \(40 \cdot 0{.}4 + 20 \cdot 0{.}1 + 10 \cdot 0{.}1 = 16 + 2 + 1 = 19\;\checkmark\). Salz: \(4 + 3 + 2 = 9\;\checkmark\). Vitamin C: \(2 + 1 + 3 = 6\;\checkmark\).
Antwort: 400 ml Stamm 1, 100 ml Stamm 2, 100 ml Stamm 3 mischen — Total 600 ml.
Mit \(s\), \(b\), \(h\) in Tonnen pro Einheit:
\[ \begin{cases} 2s + b + h = 19 & \text{(G1)} \\ s + 3b + 2h = 34 & \text{(G2)} \\ 3s + 2b + h = 27 & \text{(G3)} \end{cases} \]h eliminieren mit Addition: \(\text{G1} - \text{G3}\) ergibt \(-s - b = -8\), also \(s + b = 8\) (G4). \(2 \cdot \text{G1} - \text{G2}\) ergibt \(3s - b = 4\) (G5).
2×2-System lösen mit Addition: G4 + G5 ergibt \(4s = 12 \Rightarrow s = 3\). Aus G4: \(b = 8 - 3 = 5\).
Einsetzen: in G1: \(2 \cdot 3 + 5 + h = 19 \Rightarrow h = 8\).
Probe: G1: \(6 + 5 + 8 = 19\;\checkmark\); G2: \(3 + 15 + 16 = 34\;\checkmark\); G3: \(9 + 10 + 8 = 27\;\checkmark\).
Antwort: Eine Einheit Stahl wiegt 3 t, Beton 5 t, Holz 8 t.