2.3 Lineare Gleichungssysteme
Wenn zwei oder mehr Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, hilft ein lineares Gleichungssystem. Hier löst du Systeme mit zwei oder drei Variablen — algebraisch mit Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren — und visualisierst die Lösungsmenge bei zwei Variablen als Schnittpunkt zweier Geraden.
- ein lineares Gleichungssystem mit maximal drei Variablen lösen auch ohne Hilfsmittel
- die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen grafisch veranschaulichen und interpretieren auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, was ein lineares Gleichungssystem ist und was eine Lösung (ein Zahlenpaar) erfüllen muss.
- Ich kann 2×2-Systeme mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren lösen und das passende Verfahren wählen.
- Ich kann die Lösungsmenge grafisch deuten: Schnittpunkt, parallele oder identische Geraden.
- Ich kann die drei Lösungsfälle rechnerisch erkennen (eindeutig, leer, unendlich).
- Ich kann 3×3-Systeme durch schrittweises Eliminieren auf 2×2 zurückführen.
Einstieg — Wie viele Erwachsene und Kinder?
Eine Reisegruppe besucht das Kino. Insgesamt gehen 20 Personen mit, und sie zahlen für die Tickets zusammen 240 CHF. Ein Erwachsenen-Ticket kostet 15 CHF, ein Kinder-Ticket 9 CHF. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder sind dabei?
Sei x die Anzahl Erwachsener und y die Anzahl Kinder. Die zwei Bedingungen ergeben zwei Gleichungen — und zwar gleichzeitig:
\[ \begin{cases} x + y = 20 & \text{(Personenzahl)} \\ 15 \cdot x + 9 \cdot y = 240 & \text{(Gesamtbetrag)} \end{cases} \]Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Eine einzelne Gleichung wie \(x + y = 20\) hat unendlich viele Lösungen — z. B. wären 5 Erwachsene und 15 Kinder denkbar, ebenso 8 und 12. Erst die zweite Bedingung legt das Paar eindeutig fest.
Definition — Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Im Grundlagenfach genügen die Bezeichnungen x und y (bei zwei Variablen) bzw. x, y und z (bei drei Variablen).
Das allgemeine 2×2-System lautet
\[ \begin{cases} a \cdot x + b \cdot y = c \\ d \cdot x + e \cdot y = f \end{cases} \]mit Koeffizienten \(a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}\). Eine Lösung ist ein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt.
Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) eines LGS enthält alle Tupel, die das System erfüllen. Sie kann
- genau ein Tupel enthalten — z. B. \(\mathbb{L} = \{(10 \mid 10)\}\) (eindeutige Lösung)
- leer sein — \(\mathbb{L} = \emptyset\) (keine Lösung, das System ist widersprüchlich)
- unendlich viele Tupel enthalten — die zwei Gleichungen sind dann äquivalent
✏️ Mini-Check — Was ist ein LGS?
Die Lösung eines 2×2-Systems ist …
- eine einzelne Zahl
- ein Zahlenpaar \((x \mid y)\)
- eine Gerade
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Eine Lösung muss Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen.
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Ist \((2 \mid 3)\) Lösung von \(2x + y = 7\) und \(x - y = -1\)?
Lösung anzeigen
Warum genügt eine Gleichung mit zwei Unbekannten nicht für eine eindeutige Lösung?
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Drei Darstellungen für ein 2×2-System
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen lässt sich auf drei Wegen darstellen — algebraisch, tabellarisch und grafisch. Alle drei Darstellungen enthalten dieselbe Information, machen aber unterschiedliche Aspekte sichtbar.
Vier Lösungsverfahren
Es gibt vier Wege zur Lösung eines linearen Gleichungssystems: drei analytische — Einsetzen, Gleichsetzen, Addition — und das grafische Verfahren. Sie führen alle zur selben Lösungsmenge, aber je nach System ist die eine oder die andere Methode am bequemsten.
| Verfahren | Wann besonders gut | Was wird gemacht |
|---|---|---|
| Grafisch | Verständnis, schnelle Überschlags-Antwort | Beide Gleichungen als Gerade zeichnen, Schnittpunkt ablesen. |
| Einsetzen | Eine Variable steht schon allein (z. B. \(y = 2x+1\)) | Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. |
| Gleichsetzen | Beide Gleichungen sind nach derselben Variable aufgelöst | Die zwei Ausdrücke gleichsetzen. |
| Addition | Eine Variable hat in beiden Gleichungen passende Koeffizienten | Eine Gleichung passend multiplizieren, dann beide addieren — eine Variable fällt weg. |
Wir zeigen die drei analytischen Verfahren am gleichen Beispielsystem aus dem vorhergehenden Abschnitt. Wähle ein Verfahren und klicke dich Schritt für Schritt durch:
✏️ Mini-Check — Lösungsverfahren
Bei \(x - y = -1\) bietet sich besonders an …
- das Einsetzungsverfahren (nach \(x\) auflösen)
- beidseitiges Quadrieren
- Raten
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Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so vorbereitet, dass beim Addieren eine Variable .
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Löse \(2x + y = 7\), \(x - y = -1\) mit dem Additionsverfahren.
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Was bedeutet die rechnerische Lösung \((2 \mid 3)\) im grafischen Bild der beiden Geraden?
Lösungsweg anzeigen
Drei Lösungsfälle bei 2×2-Systemen ↩ 2.2a
Beim Lösen eines 2×2-Systems gibt es genau drei mögliche Ergebnisse. Geometrisch sind das die drei Lagebeziehungen, die zwei Geraden in der Ebene haben können:
| Lösungsfall | Was passiert beim Rechnen | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| Eindeutig | Es kommt eine Gleichung wie \(x = 2\) heraus. | \(\mathbb{L} = \{(x \mid y)\}\) — ein Tupel |
| Keine Lösung | Es kommt etwas Falsches heraus, z. B. \(0 = 5\). | \(\mathbb{L} = \emptyset\) |
| Unendlich viele | Es kommt etwas immer Wahres heraus, z. B. \(0 = 0\). | \(\mathbb{L}\) ist eine Gerade |
✏️ Mini-Check — Lösungsfälle
Zwei parallele, nicht identische Geraden — das System hat …
- genau eine Lösung
- keine Lösung
- unendlich viele Lösungen
Lösung anzeigen
Identische Geraden → viele Lösungen.
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Welcher Fall liegt bei \(x + y = 3\) und \(2x + 2y = 6\) vor?
Lösung anzeigen
Untersuche \(x + y = 3\) und \(x + y = 5\) rechnerisch und geometrisch.
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3×3-Systeme — drei Variablen, drei Gleichungen
Bei drei Variablen \(x, y, z\) ist eine einzelne Gleichung der Form \(a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\) geometrisch eine Ebene im Raum. Drei solcher Ebenen schneiden sich im Allgemeinen in genau einem Punkt — und dieser Punkt ist die Lösung des 3×3-Systems.
Zur Lösung wenden wir die gleichen Verfahren wie beim 2×2-System mehrfach an. Eine besonders systematische Variante: Zuerst mit der Additionsmethode eine Variable eliminieren, sodass ein 2×2-System bleibt. Dieses lösen wir wieder mit Addition oder Einsetzen, und durch Einsetzen kommen wir auf die dritte Variable.
Mit \(x = 1, y = 2, z = 3\): \(\;1 + 2 + 3 = 6\) ✓, \(\; 2 \cdot 1 - 2 + 3 = 3\) ✓, \(\; 1 + 2 \cdot 2 - 3 = 2\) ✓. Alle drei Gleichungen sind erfüllt, also \(\mathbb{L} = \{(1 \mid 2 \mid 3)\}\).
Wie bei 2×2-Systemen kann auch ein 3×3-System verschiedene Lösungs-„Geometrien" haben. Geometrisch beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum; gesucht ist der gemeinsame Schnitt der drei Ebenen:
- Genau ein Punkt — die drei Ebenen schneiden sich in einem einzigen Punkt. \(\mathbb{L} = \{(x_0 \mid y_0 \mid z_0)\}\). Beim Eliminieren erhält man am Ende eine eindeutige Aussage wie \(z = 3\).
- Eine Gerade (unendlich viele Lösungen, eine Variable frei) — die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden. Eine Variable ist frei wählbar, die anderen zwei hängen davon ab. Beim Eliminieren wird eine Gleichung trivial (\(0 = 0\)).
- Eine Ebene (unendlich viele Lösungen, zwei Variablen frei) — alle drei Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Sehr selten in Anwendungen; beim Eliminieren werden zwei Gleichungen trivial.
- Keine Lösung — die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt (z.B. zwei parallele Ebenen). \(\mathbb{L} = \emptyset\). Beim Eliminieren entsteht ein Widerspruch wie \(0 = 5\).
Merkregel: An der Endaussage erkennt man den Fall — \(z = 3\) (eindeutig), \(0 = 0\) (eine Variable frei → Gerade, zwei frei → Ebene), \(0 = 5\) (keine Lösung).
Wir lösen mit der Additionsmethode:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 & \text{(G1)} \\ x - y \phantom{ + 0z} = 0 & \text{(G2)} \\ 2 \cdot x + z = 6 & \text{(G3)} \end{cases} \]Schritt 1: Aus G2 folgt \(y = x\). Einsetzen in G1: \(x + x + z = 6\), also \(2x + z = 6\). Das ist aber genau G3 — die dritte Gleichung liefert keine neue Information.
Schritt 2: Aus \(2x + z = 6\) folgt \(z = 6 - 2 \cdot x\). Wir setzen den Parameter \(x = t \in \mathbb{R}\) und erhalten
\[ x = t, \qquad y = t, \qquad z = 6 - 2 \cdot t. \]Die Lösungsmenge ist eine ganze Gerade im Raum:
\[ \mathbb{L} = \{ (t \mid t \mid 6 - 2t) \;|\; t \in \mathbb{R} \}. \]Probe für \(t = 1\): \((1 \mid 1 \mid 4)\) — G1: \(1+1+4=6\) ✓, G2: \(1-1=0\) ✓, G3: \(2+4=6\) ✓. Probe für \(t = 2\): \((2 \mid 2 \mid 2)\) — G1: \(6\) ✓, G2: \(0\) ✓, G3: \(6\) ✓.
Geometrische Deutung: Jede der drei Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum. Hier ist die dritte Ebene die Summe der ersten beiden — sie trägt keine eigene Bedingung bei. Die ersten zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, und die dritte enthält diese Gerade ebenfalls. Das System ist unterbestimmt: drei Gleichungen, aber effektiv nur zwei unabhängige.
Beim Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren ermittelt man zuerst eine Variable (z. B. \(x = 4\)). Dann muss man \(x = 4\) in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um \(y\) zu bestimmen — nicht in die umgeformte Gleichung, aus der man \(x\) gewonnen hat (dort kommt nur \(0 = 0\) oder ähnliches heraus). Tipp: Die einfachere der zwei Originalgleichungen für den Rück-Einsetzungs-Schritt wählen.
Erscheint nach dem Eliminieren \(0 = 0\), ist das System unterbestimmt (unendlich viele Lösungen, die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade). Erscheint \(0 = 5\) oder ein anderer Widerspruch, ist das System unlösbar (parallele Geraden ohne Schnittpunkt). Wer das Verfahren stur durchzieht und am Ende „keine Lösung gefunden" als Antwort schreibt, verpasst die geometrische Aussage. Immer fragen: liegt einer der beiden Sonderfälle vor?
Die vier Verfahren sind nicht gleichwertig — je nach Form des Systems ist eines besonders schnell:
- Einsetzung: eine Gleichung ist bereits nach einer Variable aufgelöst (z.B. \(y = 2x + 3\)).
- Gleichsetzung: beide Gleichungen sind nach derselben Variable aufgelöst (häufig bei Funktions-Schnittpunkten).
- Addition / Subtraktion: Koeffizienten von \(x\) oder \(y\) sind gleich oder entgegengesetzt (z.B. \(3x + 2y = 7\) und \(3x - 2y = 1\)).
- Gauss-Verfahren (fakultativ, über RLP hinaus — siehe Zusatz-Druckseite): bei 3×3-Systemen oder wenn keines der anderen Verfahren offensichtlich passt.
Schau dir das System 5 Sekunden lang an, bevor du losrechnest — die Wahl des Verfahrens entscheidet oft, ob du in 2 oder 8 Zeilen am Ziel bist.
✏️ Mini-Check — 3×3-Systeme
Ein 3×3-System löst man systematisch durch …
- Raten und Probieren
- schrittweises Eliminieren auf ein 2×2-System
- grafisches Zeichnen in der Ebene
Lösung anzeigen
Ein eindeutig lösbares System mit drei Variablen braucht unabhängige Gleichungen.
Lösung anzeigen
Aus \(x + y + z = 6\) und \(y + z = 4\): bestimme \(x\).
Lösung anzeigen
Welche geometrische Bedeutung hat eine eindeutige Lösung eines 3×3-Systems?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Lies die Lösung des Systems aus dem Graph ab:
\[ \begin{cases} y = 2 \cdot x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases} \]Schnittpunkt: \((2 \mid 3)\). Probe: \(2 \cdot 2 - 1 = 3\) ✓ und \(-2 + 5 = 3\) ✓. Also \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 3)\}\).
Löse mit der Einsetzmethode:
\[ \begin{cases} y = 4 - x \\ 3 \cdot x + 2 \cdot y = 11 \end{cases} \]\(y = 4 - x\) in die zweite Gleichung einsetzen:
\[ 3 \cdot x + 2 \cdot (4 - x) = 11 \;\Longrightarrow\; x + 8 = 11 \;\Longrightarrow\; x = 3, \quad y = 1. \]\(\mathbb{L} = \{(3 \mid 1)\}\).
Löse mit der Additionsmethode:
\[ \begin{cases} 2 \cdot x + 3 \cdot y = 13 \\ 4 \cdot x - 3 \cdot y = 5 \end{cases} \]Beide Gleichungen addieren — die \(y\)-Terme heben sich weg:
\[ 6 \cdot x = 18 \;\Longrightarrow\; x = 3. \]Eingesetzt in G1: \(6 + 3 \cdot y = 13 \Rightarrow y = \tfrac{7}{3}\). Also \(\mathbb{L} = \left\{\left(3 \mid \tfrac{7}{3}\right)\right\}\). Du kannst „7/3" oder „2.33" eingeben.
Bestimme die Lösungsmenge:
\[ \begin{cases} 2 \cdot x - y = 4 \\ -4 \cdot x + 2 \cdot y = -8 \end{cases} \]Multipliziert man die erste Gleichung mit \(-2\), erhält man genau die zweite. Die zwei Gleichungen sind äquivalent, ihre Geraden sind identisch.
Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{(x \mid 2 \cdot x - 4) : x \in \mathbb{R}\}\) — eine ganze Gerade.
Löse das System:
\[ \begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2 \cdot x - y + z = 5 \\ x + y - z = 1 \end{cases} \]Subtrahiere G3 von G1, um \(x\) und \(y\) zugleich zu eliminieren.
G1 − G3: \(\;2 \cdot z = 8 \Rightarrow z = 4\).
Um \(z\) zu eliminieren, rechnen wir G1 − G2: \(-x + 2 \cdot y = 4\), also \(2 \cdot y - x = 4\).
Aus G1 mit \(z = 4\): \(x + y = 5\). Zusammen mit \(2y - x = 4\) addieren: \(3 \cdot y = 9 \Rightarrow y = 3\), und damit \(x = 2\).
Probe: G1: \(2+3+4 = 9\) ✓, G2: \(4-3+4 = 5\) ✓, G3: \(2+3-4 = 1\) ✓. Also \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 3 \mid 4)\}\).
Aus zwei Lötzinn-Sorten mit 80 % bzw. 30 % Zinngehalt soll eine 200 g schwere Legierung mit 60 % Zinngehalt gemischt werden. Wie viele Gramm der jeweiligen Sorte sind nötig?
Stelle ein 2×2-System auf und löse es.
Sei \(x\) die Masse der 80 %-Sorte und \(y\) die der 30 %-Sorte:
\[ \begin{cases} x + y = 200 \\ 0.80 \cdot x + 0.30 \cdot y = 0.60 \cdot 200 = 120 \end{cases} \]Aus G1: \(y = 200 - x\). Eingesetzt in G2: \(0.8 \cdot x + 0.3 \cdot (200 - x) = 120 \Rightarrow 0.5 \cdot x = 60 \Rightarrow x = 120\). Daraus \(y = 80\). Antwort: \(\mathbb{L} = \{(120 \mid 80)\}\), also 120 g der 80 %-Sorte und 80 g der 30 %-Sorte.
Bei Mischungsaufgaben braucht es immer zwei Gleichungen — und sie haben verschiedene Rollen:
- Mengenbilanz (G1): die Summe der Teilmengen ergibt die Gesamtmenge. Hier \(x + y = 200\) — wir mischen 200 g zusammen.
- Stoffbilanz / Massenbilanz (G2): die Masse des reinen Stoffes (Zinn) bleibt beim Mischen erhalten. Vor dem Mischen: \(0.80 \cdot x\) Gramm Zinn aus Sorte A plus \(0.30 \cdot y\) Gramm Zinn aus Sorte B. Nach dem Mischen: \(0.60 \cdot 200 = 120\) Gramm Zinn in der Legierung. Diese Bilanz ist die zweite Gleichung.
Dieses Schema („Mengenbilanz + Stoffbilanz") funktioniert für Lösungen, Legierungen, Treibstoffmischungen, Anlagestrategien (Geld + Zinsen) — im Kern immer dasselbe System.
Eine Schreinerei baut drei Möbel: Hocker (\(x\)), Stuhl (\(y\)) und Tisch (\(z\)). Der Materialverbrauch pro Stück:
- Bretter: Hocker 1, Stuhl 2, Tisch 3
- Schrauben (Schachteln à 10): Hocker 2, Stuhl 1, Tisch 0
- Leim (Tuben): Hocker 1, Stuhl 1, Tisch 2
Vorrat: 11 Bretter, 7 Schachteln Schrauben, 7 Tuben Leim. Wie viele Hocker, Stühle und Tische müssen gebaut werden, damit alle drei Materialien vollständig verbraucht werden?
System:
\[\begin{cases} x + 2y + 3z = 11 \\ 2x + y \phantom{ + 0z} = 7 \\ x + y + 2z = 7 \end{cases}\]
Aus (II): \(y = 7 - 2x\). In (III) einsetzen: \(x + (7 - 2x) + 2z = 7 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z\). In (I) einsetzen: \(2z + 2(7 - 4z) + 3z = 11 \Rightarrow 2z + 14 - 8z + 3z = 11 \Rightarrow -3z = -3 \Rightarrow z = 1\). Daraus \(x = 2\), \(y = 7 - 4 = 3\).
Lösung: 2 Hocker, 3 Stühle, 1 Tisch. Probe: Bretter \(2 + 6 + 3 = 11\) ✓, Schrauben \(4 + 3 + 0 = 7\) ✓, Leim \(2 + 3 + 2 = 7\) ✓.
Zusammenfassung
Vier Wege führen zur Lösung — Grafik, Einsetzen, Gleichsetzen, Addition. Welcher Weg am bequemsten ist, hängt vom Aussehen des Systems ab. Zum Schluss immer eine Probe in alle Originalgleichungen einsetzen.
| Begriff / Verfahren | Kernidee | Spezialität |
|---|---|---|
| 2×2-System | zwei lineare Gleichungen, zwei Variablen | geometrisch: zwei Geraden in der Ebene |
| 3×3-System | drei lineare Gleichungen, drei Variablen | geometrisch: drei Ebenen im Raum |
| Grafisch | beide Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen | nur grobe Genauigkeit, schnelle Übersicht |
| Einsetzen | eine Variable isolieren, Term in andere Gleichung einsetzen | ideal, wenn schon eine Variable allein steht |
| Gleichsetzen | beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen, gleichsetzen | ideal, wenn beide schon nach y aufgelöst sind |
| Addition | passend multiplizieren, dann beide Gleichungen addieren | ideal, wenn Koeffizienten direkt passen |
| 3 Lösungsfälle | eine / keine / unendlich viele Lösungen | erkennbar an Aussagen wie \(x = 2\) / \(0 = 5\) / \(0 = 0\) |
Zusatzmaterial
Zum Ausdrucken und Mitnehmen — Theorie, Formelsammlung, Karteikarten und Aufgaben mit Lösungen.