2.3 Lineare Gleichungssysteme
Wenn zwei oder mehr Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein sollen, hilft ein lineares Gleichungssystem. Hier löst du Systeme mit zwei oder drei Variablen — algebraisch mit Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren — und visualisierst die Lösungsmenge bei zwei Variablen als Schnittpunkt zweier Geraden.
- ein lineares Gleichungssystem mit maximal drei Variablen lösen auch ohne Hilfsmittel
- die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen grafisch veranschaulichen und interpretieren auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann erklären, was ein lineares Gleichungssystem ist und was eine Lösung (ein Zahlenpaar) erfüllen muss.
- Ich kann 2×2-Systeme mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- und Additionsverfahren lösen und das passende Verfahren wählen.
- Ich kann die Lösungsmenge grafisch deuten: Schnittpunkt, parallele oder identische Geraden.
- Ich kann die drei Lösungsfälle rechnerisch erkennen (eindeutig, leer, unendlich) und bei einem Parameter \(k\) angeben und geometrisch begründen, für welche Werte welcher Fall eintritt.
- Ich kann Systeme mit Unbekannten im Nenner durch Substitution auf ein lineares System zurückführen und zurücksubstituieren.
- Ich kann 3×3-Systeme durch schrittweises Eliminieren auf 2×2 zurückführen.
Einstieg — Wie viele Erwachsene und Kinder?
Eine Reisegruppe besucht das Kino. Insgesamt gehen 20 Personen mit, und sie zahlen für die Tickets zusammen 240 CHF. Ein Erwachsenen-Ticket kostet 15 CHF, ein Kinder-Ticket 9 CHF. Wie viele Erwachsene und wie viele Kinder sind dabei?
Sei x die Anzahl Erwachsener und y die Anzahl Kinder. Die zwei Bedingungen ergeben zwei Gleichungen — und zwar gleichzeitig:
\[ \begin{cases} x + y = 20 & \text{(Personenzahl)} \\ 15 \cdot x + 9 \cdot y = 240 & \text{(Gesamtbetrag)} \end{cases} \]Das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Eine einzelne Gleichung wie \(x + y = 20\) hat unendlich viele Lösungen — z. B. wären 5 Erwachsene und 15 Kinder denkbar, ebenso 8 und 12. Erst die zweite Bedingung legt das Paar eindeutig fest.
Definition — Was ist ein lineares Gleichungssystem?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt werden müssen. Im Grundlagenfach genügen die Bezeichnungen x und y (bei zwei Variablen) bzw. x, y und z (bei drei Variablen).
Das allgemeine 2×2-System lautet
\[ \begin{cases} a \cdot x + b \cdot y = c \\ d \cdot x + e \cdot y = f \end{cases} \]mit Koeffizienten \(a, b, c, d, e, f \in \mathbb{R}\). Eine Lösung ist ein Zahlenpaar \((x \mid y)\), das beide Gleichungen erfüllt.
Die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) eines LGS enthält alle Tupel, die das System erfüllen. Sie kann
- genau ein Tupel enthalten — z. B. \(\mathbb{L} = \{(10 \mid 10)\}\) (eindeutige Lösung)
- leer sein — \(\mathbb{L} = \{\,\}\) (keine Lösung, das System ist widersprüchlich)
- unendlich viele Tupel enthalten — die zwei Gleichungen sind dann äquivalent
✏️ Mini-Check — Was ist ein LGS?
Die Lösung eines 2×2-Systems ist …
- eine einzelne Zahl
- ein Zahlenpaar \((x \mid y)\)
- eine Gerade
Lösung anzeigen
Eine Lösung muss Gleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen.
Lösung anzeigen
Ist \((2 \mid 3)\) Lösung von \(2x + y = 7\) und \(x - y = -1\)?
Lösung anzeigen
Warum genügt eine Gleichung mit zwei Unbekannten nicht für eine eindeutige Lösung?
Lösungsweg anzeigen
Drei Darstellungen für ein 2×2-System
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen lässt sich auf drei Wegen darstellen — algebraisch, tabellarisch und grafisch. Alle drei Darstellungen enthalten dieselbe Information, machen aber unterschiedliche Aspekte sichtbar.
Vier Lösungsverfahren
Es gibt vier Wege zur Lösung eines linearen Gleichungssystems: drei analytische — Einsetzen, Gleichsetzen, Addition — und das grafische Verfahren. Sie führen alle zur selben Lösungsmenge, aber je nach System ist die eine oder die andere Methode am bequemsten.
| Verfahren | Wann besonders gut | Was wird gemacht |
|---|---|---|
| Grafisch | Verständnis, schnelle Überschlags-Antwort | Beide Gleichungen als Gerade zeichnen, Schnittpunkt ablesen. |
| Einsetzen | Eine Variable steht schon allein (z. B. \(y = 2x+1\)) | Ausdruck in die andere Gleichung einsetzen. |
| Gleichsetzen | Beide Gleichungen sind nach derselben Variable aufgelöst | Die zwei Ausdrücke gleichsetzen. |
| Addition | Eine Variable hat in beiden Gleichungen passende Koeffizienten | Eine Gleichung passend multiplizieren, dann beide addieren — eine Variable fällt weg. |
Wir zeigen die drei analytischen Verfahren am gleichen Beispielsystem aus dem vorhergehenden Abschnitt. Wähle ein Verfahren und klicke dich Schritt für Schritt durch:
✏️ Mini-Check — Lösungsverfahren
Bei \(x - y = -1\) bietet sich besonders an …
- das Einsetzungsverfahren (nach \(x\) auflösen)
- beidseitiges Quadrieren
- Raten
Lösung anzeigen
Beim Additionsverfahren werden die Gleichungen so vorbereitet, dass beim Addieren eine Variable .
Lösung anzeigen
Löse \(2x + y = 7\), \(x - y = -1\) mit dem Additionsverfahren.
Lösung anzeigen
Was bedeutet die rechnerische Lösung \((2 \mid 3)\) im grafischen Bild der beiden Geraden?
Lösungsweg anzeigen
Nicht lineare Gleichungssysteme: wenn x im Nenner steht
Nicht jedes System mit zwei Unbekannten ist linear. Manche sehen aber nur schwierig aus: Ersetzt man den störenden Term durch eine neue Variable, steht ein gewöhnliches lineares System da, und das löst du mit den drei bekannten Verfahren.
Ein Gleichungssystem ist nicht linear, sobald eine Unbekannte nicht nur als «Zahl mal Variable» vorkommt, sondern zum Beispiel
- im Nenner: \(\frac{3}{x}\), \(\frac{2}{x+y}\)
- unter einer Wurzel: \(\sqrt{x}\)
- als Produkt oder Potenz: \(x \cdot y\), \(x^2\)
Harmlos ist dagegen \(\frac{x}{2}\): Das ist \(\frac{1}{2} \cdot x\), also linear. Entscheidend ist, ob die Unbekannte im Nenner steht, nicht eine Zahl.
Kommt derselbe nicht lineare Term in beiden Gleichungen vor, ersetzt man ihn durch eine neue Variable. Stehen \(x\) und \(y\) im Nenner, heisst das
\[ u = \frac{1}{x}, \qquad v = \frac{1}{y}. \]- Definitionsmenge notieren: Kein Nenner darf null werden, hier \(x \neq 0\) und \(y \neq 0\).
- Substituieren: Mit \(u\) und \(v\) wird das System linear.
- Lösen mit Einsetzen, Gleichsetzen oder Addition.
- Rücksubstituieren: \(x = \frac{1}{u}\) und \(y = \frac{1}{v}\).
- Probe in den Originalgleichungen und Abgleich mit der Definitionsmenge.
Genauso geht es mit \(u = \sqrt{x}\) oder mit einer ganzen Klammer wie \(u = \frac{1}{x+y}\). Ein Produkt \(x \cdot y\) lässt sich so meist nicht ersetzen; dort führt Einsetzen oft auf eine quadratische Gleichung ↩ 2.2b.
Substituieren mit \(u = \frac{1}{x}\) und \(v = \frac{1}{y}\):
\[ \begin{cases} 3 \cdot u + 2 \cdot v = 7 \\ 6 \cdot u - 2 \cdot v = 2 \end{cases} \]Lösen mit Addition, die \(v\)-Terme heben sich weg: \(9 \cdot u = 9\), also \(u = 1\). In die erste Gleichung: \(3 + 2 \cdot v = 7\), also \(v = 2\).
Rücksubstituieren: \(x = \frac{1}{u} = 1\) und \(y = \frac{1}{v} = \frac{1}{2}\).
Probe: \(\frac{3}{1} + 2 : \frac{1}{2} = 3 + 4 = 7\) ✓ und \(\frac{6}{1} - 2 : \frac{1}{2} = 6 - 4 = 2\) ✓. Beide Werte sind von null verschieden, also \(\mathbb{L} = \left\{\left(1 \mid \tfrac{1}{2}\right)\right\}\).
Definitionsmenge: \(x + y \neq 0\) und \(x - y \neq 0\), also \(y \neq -x\) und \(y \neq x\).
Im Nenner steht jetzt eine ganze Klammer. Substituiert wird deshalb die Klammer: \(u = \frac{1}{x+y}\) und \(v = \frac{1}{x-y}\).
\[ \begin{cases} 4 \cdot u + 2 \cdot v = 2 \\ 8 \cdot u - 6 \cdot v = -1 \end{cases} \]Lösen: Die erste Gleichung mal 2 ergibt \(8 \cdot u + 4 \cdot v = 4\). Davon die zweite subtrahieren: \(10 \cdot v = 5\), also \(v = \frac{1}{2}\). In die erste Gleichung: \(4 \cdot u + 1 = 2\), also \(u = \frac{1}{4}\).
Rücksubstituieren ergibt ein zweites, ganz einfaches lineares System:
\[ \begin{cases} x + y = \frac{1}{u} = 4 \\ x - y = \frac{1}{v} = 2 \end{cases} \]Addieren: \(2 \cdot x = 6\), also \(x = 3\) und \(y = 1\).
Probe: \(\frac{4}{4} + \frac{2}{2} = 2\) ✓ und \(\frac{8}{4} - \frac{6}{2} = 2 - 3 = -1\) ✓. Die Nenner \(x + y = 4\) und \(x - y = 2\) sind nicht null, also \(\mathbb{L} = \{(3 \mid 1)\}\).
Mit \(u = 1\) und \(v = 2\) ist die Aufgabe noch nicht gelöst: Gefragt sind \(x\) und \(y\). Ausserdem hat nicht jeder Wert eine Rücksubstitution. Der Kehrwert \(\frac{1}{x}\) ist nie null. Ergibt die Rechnung \(u = 0\) oder \(v = 0\), gibt es kein passendes \(x\) bzw. \(y\), und das System hat keine Lösung.
Beispiel: Aus \(\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3\) und \(\frac{4}{x} + \frac{1}{y} = 3\) wird \(2 \cdot u + v = 3\) und \(4 \cdot u + v = 3\). Subtrahieren liefert \(2 \cdot u = 0\), also \(u = 0\). Die Gleichung \(\frac{1}{x} = 0\) hat keine Lösung, darum \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Ebenso bei \(u = \sqrt{x}\): Ein negativer Wert für \(u\) lässt sich nicht zurücksubstituieren.
Kommt ein nicht linearer Term in beiden Gleichungen gleich vor, ersetzt man ihn durch eine neue Variable. Dann das lineare System lösen, zurücksubstituieren und die Lösung mit der Definitionsmenge und der Probe abgleichen.
✏️ Mini-Check — Linear oder nicht, und welche Substitution?
Welches System ist nicht linear?
- \(\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5\) und \(x - y = 1\)
- \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 5\) und \(\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 0\)
- \(0.5 \cdot x + 3 \cdot y = 5\) und \(x = 2 \cdot y\)
Lösung anzeigen
Im System \(\frac{4}{x-1} + \frac{1}{y} = 3\), \(\frac{2}{x-1} - \frac{3}{y} = 5\) setzt man \(v = \frac{1}{y}\) und \(u =\) .
Lösung anzeigen
Ein System in \(u = \frac{1}{x}\) und \(v = \frac{1}{y}\) hat die Lösung \(u = \frac{1}{4}\), \(v = -\frac{1}{2}\). Bestimme \(x\) und \(y\).
Lösung anzeigen
Ist \(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5\), \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = 1\) linear? Welche Substitution hilft, und worauf ist bei der Rücksubstitution zu achten?
Lösungsweg anzeigen
Drei Lösungsfälle bei 2×2-Systemen ↩ 2.2a
Beim Lösen eines 2×2-Systems gibt es genau drei mögliche Ergebnisse. Geometrisch sind das die drei Lagebeziehungen, die zwei Geraden in der Ebene haben können:
| Lösungsfall | Was passiert beim Rechnen | Lösungsmenge |
|---|---|---|
| Eindeutig | Es kommt eine Gleichung wie \(x = 2\) heraus. | \(\mathbb{L} = \{(x \mid y)\}\) — ein Tupel |
| Keine Lösung | Es kommt etwas Falsches heraus, z. B. \(0 = 5\). | \(\mathbb{L} = \{\,\}\) |
| Unendlich viele | Es kommt etwas immer Wahres heraus, z. B. \(0 = 0\). | \(\mathbb{L}\) ist eine Gerade |
Für welches \(k\) …?
Steht in einem System ein Parameter \(k\), hängt der Lösungsfall von \(k\) ab. Gefragt ist dann: Für welche Werte von \(k\) gibt es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen? Man muss dazu nicht für jedes \(k\) neu rechnen, es genügt ein Vergleich der Koeffizienten.
1. Beide Gleichungen auf dieselbe Form bringen: \(x\) und \(y\) links in derselben Reihenfolge, die Konstante rechts:
\[ \begin{cases} a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1 \\ a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2 \end{cases} \]2. Koeffizienten vergleichen. «Proportional» heisst: Die zweite Zeile ist ein Vielfaches der ersten.
| Bedingung | Lösungsfall | Geometrie |
|---|---|---|
| \(\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}\) (Koeffizienten nicht proportional) | genau eine Lösung | verschiedene Steigungen: die Geraden schneiden sich |
| \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}\) (Koeffizienten proportional, Konstanten nicht) | keine Lösung | gleiche Steigung, verschiedene Achsenabschnitte: parallele Geraden |
| \(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) (alle drei Verhältnisse gleich) | unendlich viele Lösungen | dieselbe Gerade: identische Geraden |
Warum das die Geometrie ist: Nach \(y\) aufgelöst hat die Gerade \(a \cdot x + b \cdot y = c\) die Steigung \(-\frac{a}{b}\). Proportionale Koeffizienten bedeuten also gleiche Steigung. Zwei Geraden mit gleicher Steigung schneiden sich nie; sie sind parallel oder fallen zusammen, und das entscheidet die Konstante. Steht in einem Verhältnis eine Null im Nenner, vergleicht man über Kreuz: \(\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}\) heisst dasselbe wie \(a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1\).
Koeffizienten: \(\frac{3}{-1} = -3\) und \(\frac{-6}{2} = -3\). Die Koeffizienten sind für jedes \(k\) proportional, genau eine Lösung gibt es also nie. Geometrisch: Beide Geraden haben die Steigung \(\frac{1}{2}\), sie sind immer parallel.
Konstanten: Auch \(\frac{9}{k} = -3\) gilt genau für \(k = -3\). Rechnerisch: \(\text{(I)} + 3 \cdot \text{(II)}\) ergibt \(0 = 9 + 3 \cdot k\).
- \(k = -3\): \(0 = 0\) ist immer wahr. Die Geraden sind identisch, unendlich viele Lösungen: \(\mathbb{L} = \left\{\left(x \mid \tfrac{x - 3}{2}\right) : x \in \mathbb{R}\right\}\).
- \(k \neq -3\): \(0 = 9 + 3 \cdot k\) ist falsch. Die Geraden sind parallel, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Koeffizienten proportional, wenn \(\frac{1}{k} = \frac{k}{4}\), über Kreuz \(k \cdot k = 1 \cdot 4\), also \(k^2 = 4\): \(k = 2\) oder \(k = -2\). Für jedes andere \(k\) (auch \(k = 0\)) haben die Geraden verschiedene Steigungen und schneiden sich: genau eine Lösung.
- \(k = 2\): \(x + 2 \cdot y = 2\) und \(2 \cdot x + 4 \cdot y = 4\). Die zweite Gleichung ist genau das Doppelte der ersten, auch die Konstante (\(\frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)). Identische Geraden, unendlich viele Lösungen: \(\mathbb{L} = \left\{\left(x \mid 1 - \tfrac{x}{2}\right) : x \in \mathbb{R}\right\}\).
- \(k = -2\): \(x - 2 \cdot y = 2\) und \(-2 \cdot x + 4 \cdot y = 4\). Links steht das \((-2)\)-Fache der ersten Gleichung, rechts müsste dann \(-4\) stehen, es steht aber \(4\). Parallele Geraden, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
Im Geradenbüschel oben (Modus «Parameter \(k\) im Koeffizienten») siehst du alle drei Fälle an einem Schieber.
Nach \(x\) und \(y\) auflösen, wenn Parameter dabei sind
Man rechnet mit dem Parameter wie mit einer Zahl. Das Resultat ist dann keine Zahl, sondern ein Term in \(k\). Heikel wird es nur an einer Stelle: beim Teilen durch einen Term, der \(k\) enthält.
Die Koeffizienten \(\frac{2}{1} \neq \frac{1}{-3}\) sind nicht proportional, das System hat also für jedes \(k\) genau eine Lösung.
\(3 \cdot \text{(I)} + \text{(II)}\): \(7 \cdot x = 15 \cdot k - k = 14 \cdot k\), also \(x = 2 \cdot k\). Geteilt wird nur durch die Zahl 7, das ist immer erlaubt. In (I): \(4 \cdot k + y = 5 \cdot k\), also \(y = k\).
\(\mathbb{L} = \{(2 \cdot k \mid k)\}\). Probe: \(2 \cdot 2k + k = 5k\) ✓ und \(2k - 3k = -k\) ✓.
Wir lösen das System aus Beispiel 2, \(x + k \cdot y = 2\) (I) und \(k \cdot x + 4 \cdot y = 4\) (II).
\(\text{(II)} - k \cdot \text{(I)}\) eliminiert \(x\):
\[ (4 - k^2) \cdot y = 4 - 2 \cdot k \]Jetzt möchte man durch \(4 - k^2\) teilen. Das geht nur, wenn \(4 - k^2 \neq 0\) ist, also \(k \neq 2\) und \(k \neq -2\). Darum drei Fälle:
- Fall \(k \neq 2\) und \(k \neq -2\): \(y = \dfrac{4 - 2k}{4 - k^2} = \dfrac{2 \cdot (2 - k)}{(2 - k)(2 + k)} = \dfrac{2}{k + 2}\). In (I): \(x = 2 - k \cdot \dfrac{2}{k + 2} = \dfrac{2k + 4 - 2k}{k + 2} = \dfrac{4}{k + 2}\). Also \(\mathbb{L} = \left\{\left(\tfrac{4}{k+2} \mid \tfrac{2}{k+2}\right)\right\}\).
- Fall \(k = 2\): \(0 \cdot y = 0\) gilt für jedes \(y\). Unendlich viele Lösungen, die Geraden sind identisch.
- Fall \(k = -2\): \(0 \cdot y = 8\) ist ein Widerspruch. \(\mathbb{L} = \{\,\}\), die Geraden sind parallel.
Probe für \(k = 1\): \(\left(\tfrac{4}{3} \mid \tfrac{2}{3}\right)\) in (I): \(\tfrac{4}{3} + \tfrac{2}{3} = 2\) ✓, in (II): \(\tfrac{4}{3} + \tfrac{8}{3} = 4\) ✓.
Wer \((4 - k^2) \cdot y = 4 - 2k\) sofort teilt und kürzt, erhält \(y = \frac{2}{k+2}\) und \(x = \frac{4}{k+2}\). Diese Formel liefert für \(k = 2\) brav den Punkt \(\left(1 \mid \tfrac{1}{2}\right)\) und verschweigt, dass es dort unendlich viele Lösungen gibt. Beim Kürzen ist der Faktor \(2 - k\) verschwunden, und mit ihm der Fall \(k = 2\).
Darum vor jedem Teilen fragen: Für welche \(k\) ist der Teiler null? Diese Werte getrennt untersuchen, und zwar geometrisch begründet: gleiche Steigung heisst parallel oder identisch.
Proportionale Koeffizienten bedeuten gleiche Steigung. Dann entscheidet die Konstante: auch proportional → identische Geraden, unendlich viele Lösungen; sonst parallele Geraden, keine Lösung. Beim Auflösen mit Parameter nie durch einen Term teilen, ohne vorher seine Nullstellen als eigene Fälle zu behandeln.
✏️ Mini-Check — Lösungsfälle
Zwei parallele, nicht identische Geraden — das System hat …
- genau eine Lösung
- keine Lösung
- unendlich viele Lösungen
Lösung anzeigen
Identische Geraden → viele Lösungen.
Lösung anzeigen
Welcher Fall liegt bei \(x + y = 3\) und \(2x + 2y = 6\) vor?
Lösung anzeigen
Untersuche \(x + y = 3\) und \(x + y = 5\) rechnerisch und geometrisch.
Lösungsweg anzeigen
3×3-Systeme — drei Variablen, drei Gleichungen
Bei drei Variablen \(x, y, z\) ist eine einzelne Gleichung der Form \(a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d\) geometrisch eine Ebene im Raum. Drei solcher Ebenen schneiden sich im Allgemeinen in genau einem Punkt — und dieser Punkt ist die Lösung des 3×3-Systems.
Zur Lösung wenden wir die gleichen Verfahren wie beim 2×2-System mehrfach an. Eine besonders systematische Variante: Zuerst mit der Additionsmethode eine Variable eliminieren, sodass ein 2×2-System bleibt. Dieses lösen wir wieder mit Addition oder Einsetzen, und durch Einsetzen kommen wir auf die dritte Variable.
Mit \(x = 1, y = 2, z = 3\): \(\;1 + 2 + 3 = 6\) ✓, \(\; 2 \cdot 1 - 2 + 3 = 3\) ✓, \(\; 1 + 2 \cdot 2 - 3 = 2\) ✓. Alle drei Gleichungen sind erfüllt, also \(\mathbb{L} = \{(1 \mid 2 \mid 3)\}\).
Wie bei 2×2-Systemen kann auch ein 3×3-System verschiedene Lösungs-„Geometrien" haben. Geometrisch beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum; gesucht ist der gemeinsame Schnitt der drei Ebenen:
- Genau ein Punkt — die drei Ebenen schneiden sich in einem einzigen Punkt. \(\mathbb{L} = \{(x_0 \mid y_0 \mid z_0)\}\). Beim Eliminieren erhält man am Ende eine eindeutige Aussage wie \(z = 3\).
- Eine Gerade (unendlich viele Lösungen, eine Variable frei) — die drei Ebenen schneiden sich in einer gemeinsamen Geraden. Eine Variable ist frei wählbar, die anderen zwei hängen davon ab. Beim Eliminieren wird eine Gleichung trivial (\(0 = 0\)).
- Eine Ebene (unendlich viele Lösungen, zwei Variablen frei) — alle drei Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Sehr selten in Anwendungen; beim Eliminieren werden zwei Gleichungen trivial.
- Keine Lösung — die Ebenen haben keinen gemeinsamen Punkt (z.B. zwei parallele Ebenen). \(\mathbb{L} = \{\,\}\). Beim Eliminieren entsteht ein Widerspruch wie \(0 = 5\).
Merkregel: An der Endaussage erkennt man den Fall — \(z = 3\) (eindeutig), \(0 = 0\) (eine Variable frei → Gerade, zwei frei → Ebene), \(0 = 5\) (keine Lösung).
Wir lösen mit der Additionsmethode:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 & \text{(G1)} \\ x - y \phantom{ + 0z} = 0 & \text{(G2)} \\ 2 \cdot x + z = 6 & \text{(G3)} \end{cases} \]Schritt 1: Aus G2 folgt \(y = x\). Einsetzen in G1: \(x + x + z = 6\), also \(2x + z = 6\). Das ist aber genau G3 — die dritte Gleichung liefert keine neue Information.
Schritt 2: Aus \(2x + z = 6\) folgt \(z = 6 - 2 \cdot x\). Wir setzen den Parameter \(x = t \in \mathbb{R}\) und erhalten
\[ x = t, \qquad y = t, \qquad z = 6 - 2 \cdot t. \]Die Lösungsmenge ist eine ganze Gerade im Raum:
\[ \mathbb{L} = \{ (t \mid t \mid 6 - 2t) \;|\; t \in \mathbb{R} \}. \]Probe für \(t = 1\): \((1 \mid 1 \mid 4)\) — G1: \(1+1+4=6\) ✓, G2: \(1-1=0\) ✓, G3: \(2+4=6\) ✓. Probe für \(t = 2\): \((2 \mid 2 \mid 2)\) — G1: \(6\) ✓, G2: \(0\) ✓, G3: \(6\) ✓.
Geometrische Deutung: Jede der drei Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum. Hier ist die dritte Ebene die Summe der ersten beiden — sie trägt keine eigene Bedingung bei. Die ersten zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, und die dritte enthält diese Gerade ebenfalls. Das System ist unterbestimmt: drei Gleichungen, aber effektiv nur zwei unabhängige.
Beim Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren ermittelt man zuerst eine Variable (z. B. \(x = 4\)). Dann muss man \(x = 4\) in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen, um \(y\) zu bestimmen — nicht in die umgeformte Gleichung, aus der man \(x\) gewonnen hat (dort kommt nur \(0 = 0\) oder ähnliches heraus). Tipp: Die einfachere der zwei Originalgleichungen für den Rück-Einsetzungs-Schritt wählen.
Erscheint nach dem Eliminieren \(0 = 0\), ist das System unterbestimmt (unendlich viele Lösungen, die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade). Erscheint \(0 = 5\) oder ein anderer Widerspruch, ist das System unlösbar (parallele Geraden ohne Schnittpunkt). Wer das Verfahren stur durchzieht und am Ende „keine Lösung gefunden" als Antwort schreibt, verpasst die geometrische Aussage. Immer fragen: liegt einer der beiden Sonderfälle vor?
Die vier Verfahren sind nicht gleichwertig — je nach Form des Systems ist eines besonders schnell:
- Einsetzung: eine Gleichung ist bereits nach einer Variable aufgelöst (z.B. \(y = 2x + 3\)).
- Gleichsetzung: beide Gleichungen sind nach derselben Variable aufgelöst (häufig bei Funktions-Schnittpunkten).
- Addition / Subtraktion: Koeffizienten von \(x\) oder \(y\) sind gleich oder entgegengesetzt (z.B. \(3x + 2y = 7\) und \(3x - 2y = 1\)).
- Gauss-Verfahren (fakultativ, über RLP hinaus — siehe Zusatz-Druckseite): bei 3×3-Systemen oder wenn keines der anderen Verfahren offensichtlich passt.
Schau dir das System 5 Sekunden lang an, bevor du losrechnest — die Wahl des Verfahrens entscheidet oft, ob du in 2 oder 8 Zeilen am Ziel bist.
✏️ Mini-Check — 3×3-Systeme
Ein 3×3-System löst man systematisch durch …
- Raten und Probieren
- schrittweises Eliminieren auf ein 2×2-System
- grafisches Zeichnen in der Ebene
Lösung anzeigen
Ein eindeutig lösbares System mit drei Variablen braucht unabhängige Gleichungen.
Lösung anzeigen
Aus \(x + y + z = 6\) und \(y + z = 4\): bestimme \(x\).
Lösung anzeigen
Welche geometrische Bedeutung hat eine eindeutige Lösung eines 3×3-Systems?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Lies die Lösung des Systems aus dem Graph ab:
\[ \begin{cases} y = 2 \cdot x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases} \]Schnittpunkt: \((2 \mid 3)\). Probe: \(2 \cdot 2 - 1 = 3\) ✓ und \(-2 + 5 = 3\) ✓. Also \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 3)\}\).
Löse mit der Einsetzmethode:
\[ \begin{cases} y = 4 - x \\ 3 \cdot x + 2 \cdot y = 11 \end{cases} \]\(y = 4 - x\) in die zweite Gleichung einsetzen:
\[ 3 \cdot x + 2 \cdot (4 - x) = 11 \;\Longrightarrow\; x + 8 = 11 \;\Longrightarrow\; x = 3, \quad y = 1. \]\(\mathbb{L} = \{(3 \mid 1)\}\).
Löse mit der Additionsmethode:
\[ \begin{cases} 2 \cdot x + 3 \cdot y = 13 \\ 4 \cdot x - 3 \cdot y = 5 \end{cases} \]Beide Gleichungen addieren — die \(y\)-Terme heben sich weg:
\[ 6 \cdot x = 18 \;\Longrightarrow\; x = 3. \]Eingesetzt in G1: \(6 + 3 \cdot y = 13 \Rightarrow y = \tfrac{7}{3}\). Also \(\mathbb{L} = \left\{\left(3 \mid \tfrac{7}{3}\right)\right\}\). Du kannst „7/3" oder „2.33" eingeben.
Bestimme die Lösungsmenge:
\[ \begin{cases} 2 \cdot x - y = 4 \\ -4 \cdot x + 2 \cdot y = -8 \end{cases} \]Multipliziert man die erste Gleichung mit \(-2\), erhält man genau die zweite. Die zwei Gleichungen sind äquivalent, ihre Geraden sind identisch.
Lösungsmenge: \(\mathbb{L} = \{(x \mid 2 \cdot x - 4) : x \in \mathbb{R}\}\) — eine ganze Gerade.
Löse das System:
\[ \begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2 \cdot x - y + z = 5 \\ x + y - z = 1 \end{cases} \]Subtrahiere G3 von G1, um \(x\) und \(y\) zugleich zu eliminieren.
G1 − G3: \(\;2 \cdot z = 8 \Rightarrow z = 4\).
Um \(z\) zu eliminieren, rechnen wir G1 − G2: \(-x + 2 \cdot y = 4\), also \(2 \cdot y - x = 4\).
Aus G1 mit \(z = 4\): \(x + y = 5\). Zusammen mit \(2y - x = 4\) addieren: \(3 \cdot y = 9 \Rightarrow y = 3\), und damit \(x = 2\).
Probe: G1: \(2+3+4 = 9\) ✓, G2: \(4-3+4 = 5\) ✓, G3: \(2+3-4 = 1\) ✓. Also \(\mathbb{L} = \{(2 \mid 3 \mid 4)\}\).
Aus zwei Lötzinn-Sorten mit 80 % bzw. 30 % Zinngehalt soll eine 200 g schwere Legierung mit 60 % Zinngehalt gemischt werden. Wie viele Gramm der jeweiligen Sorte sind nötig?
Stelle ein 2×2-System auf und löse es.
Sei \(x\) die Masse der 80 %-Sorte und \(y\) die der 30 %-Sorte:
\[ \begin{cases} x + y = 200 \\ 0.80 \cdot x + 0.30 \cdot y = 0.60 \cdot 200 = 120 \end{cases} \]Aus G1: \(y = 200 - x\). Eingesetzt in G2: \(0.8 \cdot x + 0.3 \cdot (200 - x) = 120 \Rightarrow 0.5 \cdot x = 60 \Rightarrow x = 120\). Daraus \(y = 80\). Antwort: \(\mathbb{L} = \{(120 \mid 80)\}\), also 120 g der 80 %-Sorte und 80 g der 30 %-Sorte.
Bei Mischungsaufgaben braucht es immer zwei Gleichungen — und sie haben verschiedene Rollen:
- Mengenbilanz (G1): die Summe der Teilmengen ergibt die Gesamtmenge. Hier \(x + y = 200\) — wir mischen 200 g zusammen.
- Stoffbilanz / Massenbilanz (G2): die Masse des reinen Stoffes (Zinn) bleibt beim Mischen erhalten. Vor dem Mischen: \(0.80 \cdot x\) Gramm Zinn aus Sorte A plus \(0.30 \cdot y\) Gramm Zinn aus Sorte B. Nach dem Mischen: \(0.60 \cdot 200 = 120\) Gramm Zinn in der Legierung. Diese Bilanz ist die zweite Gleichung.
Dieses Schema („Mengenbilanz + Stoffbilanz") funktioniert für Lösungen, Legierungen, Treibstoffmischungen, Anlagestrategien (Geld + Zinsen) — im Kern immer dasselbe System.
Eine Schreinerei baut drei Möbel: Hocker (\(x\)), Stuhl (\(y\)) und Tisch (\(z\)). Der Materialverbrauch pro Stück:
- Bretter: Hocker 1, Stuhl 2, Tisch 3
- Schrauben (Schachteln à 10): Hocker 2, Stuhl 1, Tisch 0
- Leim (Tuben): Hocker 1, Stuhl 1, Tisch 2
Vorrat: 11 Bretter, 7 Schachteln Schrauben, 7 Tuben Leim. Wie viele Hocker, Stühle und Tische müssen gebaut werden, damit alle drei Materialien vollständig verbraucht werden?
System:
\[\begin{cases} x + 2y + 3z = 11 \\ 2x + y \phantom{ + 0z} = 7 \\ x + y + 2z = 7 \end{cases}\]
Aus (II): \(y = 7 - 2x\). In (III) einsetzen: \(x + (7 - 2x) + 2z = 7 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z\). In (I) einsetzen: \(2z + 2(7 - 4z) + 3z = 11 \Rightarrow 2z + 14 - 8z + 3z = 11 \Rightarrow -3z = -3 \Rightarrow z = 1\). Daraus \(x = 2\), \(y = 7 - 4 = 3\).
Lösung: 2 Hocker, 3 Stühle, 1 Tisch. Probe: Bretter \(2 + 6 + 3 = 11\) ✓, Schrauben \(4 + 3 + 0 = 7\) ✓, Leim \(2 + 3 + 2 = 7\) ✓.
Gib jeweils die Definitionsmenge an, wähle eine passende Substitution und bestimme die Lösungsmenge.
- \(\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = 1\) und \(\dfrac{2}{x} - \dfrac{6}{y} = 3\)
- \(\dfrac{6}{x-2} - \dfrac{2}{y+1} = 1\) und \(\dfrac{3}{x-2} + \dfrac{4}{y+1} = 3\)
- \(\dfrac{2}{x+y} + \dfrac{6}{x-y} = 2\) und \(\dfrac{6}{x+y} - \dfrac{12}{x-y} = 1\)
- \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 4\) und \(\dfrac{6}{x} + \dfrac{2}{y} = 4\)
1. Definitionsmenge: \(x \neq 0\), \(y \neq 0\). Mit \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\): \(4 \cdot u + 3 \cdot v = 1\) und \(2 \cdot u - 6 \cdot v = 3\). Erste Gleichung mal 2 plus zweite: \(10 \cdot u = 5\), also \(u = \frac{1}{2}\). Dann \(2 + 3 \cdot v = 1\), also \(v = -\frac{1}{3}\). Rücksubstitution: \(x = 2\), \(y = -3\). Probe: \(\frac{4}{2} + \frac{3}{-3} = 2 - 1 = 1\) ✓, \(\frac{2}{2} - \frac{6}{-3} = 1 + 2 = 3\) ✓. \(\mathbb{L} = \{(2 \mid -3)\}\).
2. Definitionsmenge: \(x \neq 2\), \(y \neq -1\). Mit \(u = \frac{1}{x-2}\), \(v = \frac{1}{y+1}\): \(6 \cdot u - 2 \cdot v = 1\) und \(3 \cdot u + 4 \cdot v = 3\). Erste Gleichung mal 2 plus zweite: \(15 \cdot u = 5\), also \(u = \frac{1}{3}\). Dann \(1 + 4 \cdot v = 3\), also \(v = \frac{1}{2}\). Rücksubstitution: \(x - 2 = 3\), also \(x = 5\); \(y + 1 = 2\), also \(y = 1\). Probe: \(\frac{6}{3} - \frac{2}{2} = 1\) ✓, \(\frac{3}{3} + \frac{4}{2} = 3\) ✓. \(\mathbb{L} = \{(5 \mid 1)\}\).
3. Definitionsmenge: \(y \neq -x\), \(y \neq x\). Mit \(u = \frac{1}{x+y}\), \(v = \frac{1}{x-y}\): \(2 \cdot u + 6 \cdot v = 2\) und \(6 \cdot u - 12 \cdot v = 1\). Erste Gleichung mal 2 plus zweite: \(10 \cdot u = 5\), also \(u = \frac{1}{2}\). Dann \(1 + 6 \cdot v = 2\), also \(v = \frac{1}{6}\). Rücksubstitution ergibt ein zweites System: \(x + y = 2\) und \(x - y = 6\). Addieren: \(2 \cdot x = 8\), also \(x = 4\) und \(y = -2\). Probe: \(\frac{2}{2} + \frac{6}{6} = 2\) ✓, \(\frac{6}{2} - \frac{12}{6} = 3 - 2 = 1\) ✓. \(\mathbb{L} = \{(4 \mid -2)\}\).
4. Definitionsmenge: \(x \neq 0\), \(y \neq 0\). Mit \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\): \(3 \cdot u + 2 \cdot v = 4\) und \(6 \cdot u + 2 \cdot v = 4\). Subtrahieren: \(3 \cdot u = 0\), also \(u = 0\) und \(v = 2\). Aber \(\frac{1}{x} = 0\) hat keine Lösung, zu \(u = 0\) gibt es kein \(x\). Darum \(\mathbb{L} = \{\,\}\), obwohl das System in \(u\) und \(v\) eindeutig lösbar war.
- \(4 \cdot x - 2 \cdot y = k\) und \(-6 \cdot x + 3 \cdot y = 9\). Für welches \(k\) gibt es unendlich viele Lösungen, für welche keine? Begründe geometrisch, warum es für kein \(k\) genau eine Lösung gibt.
- \(k \cdot x + 3 \cdot y = 6\) und \(2 \cdot x + y = 1\). Für welches \(k\) hat das System keine Lösung? Gibt es ein \(k\) mit unendlich vielen Lösungen? Löse für die übrigen \(k\) nach \(x\) und \(y\) auf.
- \(k \cdot x + 9 \cdot y = -6\) und \(x + k \cdot y = 2\). Bestimme, für welche \(k\) welcher Lösungsfall vorliegt, und gib im eindeutigen Fall die Lösung in Abhängigkeit von \(k\) an.
1. Koeffizienten: \(\frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}\) und \(\frac{-2}{3} = -\frac{2}{3}\), für jedes \(k\) proportional. Geometrisch: Nach \(y\) aufgelöst lauten die Geraden \(y = 2 \cdot x - \frac{k}{2}\) und \(y = 2 \cdot x + 3\). Beide haben die Steigung 2, sie sind parallel oder identisch und schneiden sich nie in genau einem Punkt. Konstanten: \(\frac{k}{9} = -\frac{2}{3}\) gilt für \(k = -6\). Rechnerisch: \(3 \cdot \text{(I)} + 2 \cdot \text{(II)}\) ergibt \(0 = 3 \cdot k + 18\).
- \(k = -6\): \(0 = 0\), identische Geraden, \(\mathbb{L} = \{(x \mid 2 \cdot x + 3) : x \in \mathbb{R}\}\).
- \(k \neq -6\): Widerspruch, parallele Geraden, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
2. Koeffizienten proportional, wenn \(\frac{k}{2} = \frac{3}{1}\), also \(k = 6\). Dann ist die Konstante \(\frac{6}{1} = 6 \neq 3\): keine Lösung für \(k = 6\) (parallele Geraden \(y = -2 \cdot x + 2\) und \(y = -2 \cdot x + 1\)). Unendlich viele Lösungen gibt es für kein \(k\), weil das Konstanten-Verhältnis 6 nie zum Koeffizienten-Verhältnis 3 passt.
Für \(k \neq 6\): \(\text{(I)} - 3 \cdot \text{(II)}\) ergibt \((k - 6) \cdot x = 3\), also \(x = \dfrac{3}{k - 6}\), und aus (II) \(y = 1 - 2 \cdot x = \dfrac{k - 12}{k - 6}\). Probe für \(k = 7\): \((3 \mid -5)\), \(21 - 15 = 6\) ✓, \(6 - 5 = 1\) ✓.
3. Koeffizienten proportional, wenn \(\frac{k}{1} = \frac{9}{k}\), also \(k^2 = 9\): \(k = 3\) oder \(k = -3\). \(\text{(I)} - k \cdot \text{(II)}\) ergibt \((9 - k^2) \cdot y = -6 - 2 \cdot k\).
- \(k = 3\): \(0 \cdot y = -12\), Widerspruch. \(3 \cdot x + 9 \cdot y = -6\) und \(3 \cdot x + 9 \cdot y = 6\) (dreifache zweite Gleichung) sind parallele Geraden, \(\mathbb{L} = \{\,\}\).
- \(k = -3\): \(0 \cdot y = 0\), immer wahr. Die erste Gleichung ist das \((-3)\)-Fache der zweiten, identische Geraden: \(\mathbb{L} = \left\{\left(x \mid \tfrac{x - 2}{3}\right) : x \in \mathbb{R}\right\}\).
- \(k \neq 3\) und \(k \neq -3\): \(y = \dfrac{-2 \cdot (k + 3)}{(3 - k)(3 + k)} = \dfrac{2}{k - 3}\) und \(x = 2 - k \cdot y = \dfrac{-6}{k - 3}\). Probe für \(k = 0\): \(\left(2 \mid -\tfrac{2}{3}\right)\), \(9 \cdot \left(-\tfrac{2}{3}\right) = -6\) ✓, \(2 = 2\) ✓.
Achtung: Nach dem Kürzen durch \(k + 3\) liefert die Formel für \(k = -3\) einen einzelnen Punkt, obwohl dort unendlich viele Lösungen vorliegen. Die Fälle \(k = \pm 3\) gehören deshalb vor das Teilen.
Zusammenfassung
Vier Wege führen zur Lösung — Grafik, Einsetzen, Gleichsetzen, Addition. Welcher Weg am bequemsten ist, hängt vom Aussehen des Systems ab. Zum Schluss immer eine Probe in alle Originalgleichungen einsetzen.
| Begriff / Verfahren | Kernidee | Spezialität |
|---|---|---|
| 2×2-System | zwei lineare Gleichungen, zwei Variablen | geometrisch: zwei Geraden in der Ebene |
| 3×3-System | drei lineare Gleichungen, drei Variablen | geometrisch: drei Ebenen im Raum |
| Grafisch | beide Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen | nur grobe Genauigkeit, schnelle Übersicht |
| Einsetzen | eine Variable isolieren, Term in andere Gleichung einsetzen | ideal, wenn schon eine Variable allein steht |
| Gleichsetzen | beide Gleichungen nach derselben Variable auflösen, gleichsetzen | ideal, wenn beide schon nach y aufgelöst sind |
| Addition | passend multiplizieren, dann beide Gleichungen addieren | ideal, wenn Koeffizienten direkt passen |
| 3 Lösungsfälle | eine / keine / unendlich viele Lösungen | erkennbar an Aussagen wie \(x = 2\) / \(0 = 5\) / \(0 = 0\) |
| Parameter \(k\) | Koeffizienten vergleichen: proportional heisst gleiche Steigung | Konstanten auch proportional: unendlich viele, sonst keine; vor dem Teilen durch einen Term in \(k\) Fälle trennen |
| Substitution | nicht linearen Term ersetzen, z. B. \(u = \frac{1}{x}\), \(v = \frac{1}{y}\) | Definitionsmenge beachten, zurücksubstituieren; zu \(u = 0\) gibt es kein \(x\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Gleichungssysteme: grafisch — der Schnittpunkt ist die Lösung
- 0:00Ein Gleichungssystem hat eine geometrische Bedeutung. Jede der beiden Gleichungen ist eine Gerade — und die Lösung ist der Punkt, der auf beiden liegt.
- 0:09Zuerst beide Gleichungen nach y auflösen. Damit steht jede in der Form, in der man Steigung und Achsenabschnitt direkt sieht.
- 0:19Beide ins selbe Koordinatensystem. Die erste beginnt bei sieben und fällt steil, die zweite beginnt bei eins und steigt flach.
- 0:27Der Schnittpunkt liegt bei x gleich zwei und y gleich drei. Das ist die Lösung des Systems — ein Zahlenpaar, kein einzelner Wert.
- 0:36Die Probe gehört dazu, denn abgelesen ist nicht gerechnet. Zwei mal zwei plus drei ist sieben, und zwei minus drei ist minus eins. Beide Gleichungen stimmen.
- 0:46Das Bild erklärt, aber es beweist nicht. Bei krummen Werten liest man höchstens eine Näherung ab. Der Gewinn ist ein anderer: Man sieht, was eine Lösung überhaupt ist — und man sieht sofort, wenn es keine oder unendlich viele gibt.
Gleichungssysteme: Einsetzverfahren
- 0:00Alle Lösungsverfahren tun dasselbe: Sie machen aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine Gleichung mit einer. Beim Einsetzverfahren geschieht das, indem eine Variable durch einen Ausdruck ersetzt wird.
- 0:12Zuerst sucht man die bequemste Stelle. In der zweiten Gleichung steht x mit dem Faktor eins — also nach x auflösen: x ist y minus eins.
- 0:21Jetzt kommt der namensgebende Schritt: Der Ausdruck wandert in die andere Gleichung. Zwei mal Klammer y minus eins, plus y, gleich sieben. Nur noch ein y — das lässt sich lösen: y ist drei.
- 0:34Zum Schluss rückwärts: y gleich drei in den Ausdruck von vorhin. x ist drei minus eins, also zwei.
- 0:41Probe in beide Gleichungen: zwei mal zwei plus drei ist sieben, zwei minus drei ist minus eins. Und die Regel für die Wahl des Verfahrens: Einsetzen lohnt sich, wenn irgendwo eine Variable schon allein steht oder den Faktor eins hat.
Gleichungssysteme: Gleichsetzverfahren
- 0:00Das Gleichsetzverfahren ist die Rechnung, die zum Bild aus dem ersten Teil gehört: Es sucht die Stelle, an der beide Geraden denselben y-Wert haben.
- 0:09Zuerst beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, meistens nach y. Aus der ersten wird y gleich sieben minus zwei x, aus der zweiten y gleich x plus eins.
- 0:21Beide Ausdrücke sind dasselbe y — also dürfen sie einander gleichgesetzt werden. Sieben minus zwei x gleich x plus eins. Nach x aufgelöst: x ist zwei.
- 0:31x gleich zwei in einen der beiden Ausdrücke einsetzen — es ist gleichgültig welchen, und genau das ist die Probe: Beide geben drei.
- 0:41Und das ist genau die Rechnung zum Bild: Der Schnittpunkt zweier Geraden ist die Stelle, an der beide Funktionsterme denselben Wert haben. Gleichsetzen lohnt sich, wenn beide Gleichungen schon nach derselben Variablen aufgelöst sind — bei Funktionsgleichungen ist das der Normalfall.
Gleichungssysteme: Additionsverfahren
- 0:00Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte. Und ein Weg, der eine davon zum Verschwinden bringt.
- 0:11Beide Gleichungen sind wahr. Dann ist auch die Summe der linken Seiten gleich der Summe der rechten.
- 0:21Schritt eins: die beiden Gleichungen addieren. Plus drei y und minus drei y heben sich auf.
- 0:32Schritt zwei: durch sechs teilen.
- 0:40Schritt drei: den Wert in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.
- 0:47Schritt vier: in beide Gleichungen einsetzen. Eine allein genügt nicht.
- 0:55Passt kein Paar von selbst, macht man es passend: eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren.
Gleichungssysteme: wenn x im Nenner steht
- 0:00Drei durch x plus zwei durch y gleich sieben. Die Unbekannten stehen im Nenner, das System ist nicht linear. Aber es sieht nur schwierig aus.
- 0:09Schritt eins: Zuerst die Definitionsmenge, x und y dürfen nicht null sein. Dann eins durch x durch u ersetzen und eins durch y durch v. Das neue System ist linear.
- 0:21Schritt zwei: addieren. Die v-Glieder heben sich weg, neun u gleich neun, also u gleich eins. Eingesetzt: drei plus zwei v gleich sieben, also v gleich zwei. Fertig ist man damit noch nicht.
- 0:34Schritt drei: zurück. x ist der Kehrwert von u, also eins. y ist der Kehrwert von v, also ein halb. Beide sind nicht null, und die Probe stimmt: drei plus vier gibt sieben, sechs minus vier gibt zwei.
- 0:47Ein Sonderfall: Ergibt die Rechnung u gleich null, gibt es kein passendes x, denn eins durch x ist nie null. Dann hat das System keine Lösung.
- 0:56Zum Mitnehmen: den störenden Term ersetzen, das lineare System lösen, zurücksubstituieren und gegen die Definitionsmenge prüfen. Das geht genauso, wenn eine ganze Klammer im Nenner steht.
Gleichungssysteme: wie viele Lösungen? Drei Fälle
- 0:00Ein Gleichungssystem aus zwei Geraden hat genau drei mögliche Ausgänge. Man muss es nicht ausrechnen, um zu wissen welcher — ein Blick auf die Steigungen genügt.
- 0:10Erster Fall: verschiedene Steigungen. Zwei und minus eins. Solche Geraden schneiden sich immer, und zwar genau einmal — das System hat genau eine Lösung.
- 0:19Zweiter Fall: gleiche Steigung, verschiedener Achsenabschnitt. Die Geraden sind parallel und treffen sich nie. Rechnerisch merkt man es daran, dass am Ende eine falsche Aussage steht: eins gleich vier.
- 0:31Dritter Fall: Die zweite Gleichung ist die erste, nur anders geschrieben. Vier x minus zwei y gleich minus zwei ist dieselbe Gerade. Jeder Punkt darauf löst beide Gleichungen — unendlich viele Lösungen. Rechnerisch bleibt null gleich null stehen: eine wahre Aussage, die nichts einschränkt.
- 0:48Das Vorgehen ist damit immer dasselbe: beide nach y auflösen, dann die Steigungen vergleichen. Sind sie verschieden, gibt es genau eine Lösung, ohne weitere Prüfung. Nur wenn sie gleich sind, entscheidet der Achsenabschnitt zwischen keiner und unendlich vielen.
- 1:04Und wenn man doch losgerechnet hat, sagt das Ergebnis selbst, welcher Fall vorliegt. Fallen beide Unbekannten weg und es bleibt eine falsche Aussage, gibt es keine Lösung. Bleibt eine wahre Aussage, sind es unendlich viele. Bleibt eine Zahl für x, ist es die eine.
Gleichungssysteme: für welches k gibt es keine Lösung?
- 0:00Drei x minus sechs y gleich neun, und minus x plus zwei y gleich k. Für welches k hat das System keine Lösung? Dafür muss man nicht jedes k durchprobieren.
- 0:11Schritt eins: die Koeffizienten vergleichen. Drei durch minus eins und minus sechs durch zwei ergeben beide minus drei. Die Koeffizienten sind proportional, beide Geraden haben die Steigung ein halb, egal welches k. Genau eine Lösung gibt es also nie.
- 0:26Schritt zwei: Die Konstante entscheidet. Gleichung eins plus dreimal Gleichung zwei lässt x und y verschwinden, es bleibt null gleich neun plus drei k. Nur für k gleich minus drei ist das wahr. Für jedes andere k, etwa eins, ist es falsch.
- 0:41Im Bild: Beide Geraden haben dieselbe Steigung. Für k gleich eins liegen sie nebeneinander und treffen sich nie. Für k gleich minus drei liegen sie aufeinander, dann ist jeder Punkt der Geraden eine Lösung.
- 0:53Zum Mitnehmen: Zuerst die Koeffizienten. Sind sie proportional, sind die Geraden parallel oder identisch, und erst die Konstante entscheidet. Hier gibt es keine Lösung für jedes k ausser minus drei.
Gleichungssysteme: drei Variablen auf zwei zurückführen
- 0:00Drei Gleichungen, drei Unbekannte. Ein neues Verfahren braucht es nicht — man führt es auf das bekannte zurück.
- 0:08Die erste Gleichung ist die einfachste. Nach z aufgelöst: z ist sechs minus x minus y.
- 0:16Dieses z kommt in die zweite und in die dritte Gleichung. Aus der zweiten wird x minus zwei y gleich minus drei, aus der dritten zwei x plus drei y gleich acht.
- 0:26Jetzt steht ein gewöhnliches System mit zwei Unbekannten da. Aus der ersten x gleich zwei y minus drei, eingesetzt in die zweite: sieben y gleich vierzehn, also y gleich zwei und x gleich eins.
- 0:40Und zurück: x und y in die freigestellte Gleichung. Sechs minus eins minus zwei ist drei. Die Lösung ist eins, zwei, drei.
- 0:49Zum Mitnehmen: eliminieren, bis zwei übrig sind, lösen, rückwärts einsetzen. Und die Probe in allen drei Gleichungen.
Gleichungssysteme: 2×2 mit sys-solv lösen
- 0:00Auch ein Gleichungssystem kann der Rechner. Er will die Koeffizienten — also muss das System vorher geordnet sein: in jeder Zeile erst x, dann y, dann die Zahl rechts.
- 0:10Zuerst ablesen, was der Rechner braucht. Erste Zeile: zwei, eins, sieben. Zweite Zeile: eins, minus eins, minus eins. Die Vorzeichen gehören dazu.
- 0:21Zweit-Taste, sys-solv. Der Rechner fragt, ob zwei mal zwei oder drei mal drei — hier zwei mal zwei.
- 0:28Dann die sechs Zahlen der Reihe nach, jede mit enter bestätigt. Erst die obere Zeile, dann die untere.
- 0:43Enter rechnet. Der Rechner zeigt x gleich zwei und y gleich drei — und legt die beiden Werte gleich in den Variablen x und y ab, man kann also direkt weiterrechnen.
- 0:53Und wenn es keine eindeutige Lösung gibt? Dann sagt der Rechner es: Entweder meldet er unendlich viele Lösungen in geschlossener Form, oder er meldet, dass es keine gibt. Das ist genau die Dreiteilung aus der Reihe Gleichungssysteme — der Rechner nimmt dir das Denken nicht ab, aber er verschweigt den Fall nicht.
Kino-Tickets: nur der Schnittpunkt erfüllt beide Gleichungen
- 0:00Zwanzig Personen zahlen zusammen zweihundertvierzig Franken, Erwachsene fünfzehn, Kinder neun Franken. Welches Paar erfüllt beide Gleichungen zugleich?
- 0:09Mit vier Erwachsenen sind es sechzehn Kinder, zusammen zwanzig Personen. Der Punkt liegt auf der roten Geraden. Das Geld ergibt aber nur zweihundertvier Franken statt zweihundertvierzig.
- 0:21Mit vierzehn Erwachsenen und sechs Kindern stimmt die Personenzahl wieder. Das Geld ist jetzt zu viel, zweihundertvierundsechzig Franken. Jeder Punkt der roten Geraden erfüllt nur die Personen-Gleichung.
- 0:33Bei zehn Erwachsenen und zehn Kindern stimmt auch das Geld: genau zweihundertvierzig Franken. Der Punkt liegt auf beiden Geraden, es ist der Schnittpunkt.
- 0:42Merke: Jede Gleichung für sich hat unendlich viele Lösungen, eine ganze Gerade. Die Lösung des Systems ist der Schnittpunkt, das einzige Zahlenpaar auf beiden Geraden.
Tabelle und Graph: gleiche y-Werte am Schnittpunkt
- 0:00Aus jeder Gleichung erhält man zu einem x einen y-Wert: y eins aus der roten, y zwei aus der blauen Gleichung. Wo sind beide gleich?
- 0:09Bei x gleich null liefert die rote Gleichung y eins gleich sieben, die blaue y zwei gleich eins. Die Werte sind verschieden, der rote Punkt liegt über dem blauen.
- 0:20Bei x gleich vier ist es umgekehrt: y eins gleich minus eins, y zwei gleich fünf. Die rote Gerade liegt jetzt unter der blauen, dazwischen müssen sie sich kreuzen.
- 0:30Bei x gleich zwei sind beide y-Werte gleich drei. In der Tabelle ist das die Zeile mit dem Haken, im Graphen der Schnittpunkt zwei, drei.
- 0:40Merke: Ein System lösen heisst, ein Paar zu finden, das beide Gleichungen erfüllt. In der Tabelle sind dort beide y-Werte gleich, im Graphen ist es der Schnittpunkt.
Drei Verfahren im Graphen: jedes eliminiert eine Variable
- 0:00Einsetzen, Gleichsetzen und Addition lösen dasselbe System. An welcher Stelle verschwindet jeweils eine Variable, und was zeigt dann der Graph?
- 0:09Beim Einsetzen löst man zuerst G zwei nach y auf und ersetzt y in G eins durch x plus eins. Damit ist y verschwunden, und die lineare Gleichung liefert x gleich zwei.
- 0:21Bei der Addition heben sich plus y und minus y direkt auf. Auch hier fällt y weg, und es folgt dasselbe x gleich zwei, nur ohne vorheriges Auflösen.
- 0:32Setzt man x gleich zwei ein, folgt y gleich drei. Im Graphen ist x gleich zwei die Senkrechte, y gleich drei die Waagrechte. Sie kreuzen sich genau im Schnittpunkt zwei, drei.
- 0:44Merke: Einsetzen, Gleichsetzen und Addition tun dasselbe. Sie eliminieren eine Variable und führen auf eine lineare Gleichung. Welches Verfahren am schnellsten ist, hängt von der Form des Systems ab.
Lösungsfälle im Bild: schneidend, parallel, identisch
- 0:00Zwei Geraden können sich schneiden, parallel liegen oder zusammenfallen. Woran erkennt man den Fall schon an den Zahlen der Gleichungen?
- 0:09Im ersten System stehen vor y verschiedene Zahlen. Die Geraden haben verschiedene Steigungen und schneiden sich in genau einem Punkt, eins, zwei.
- 0:19Hier stehen links dieselben Zahlen, rechts verschiedene. Die Geraden sind gleich steil und liegen nebeneinander. Subtrahieren ergibt null gleich drei, ein Widerspruch: keine Lösung.
- 0:30Die zweite Gleichung ist genau das Doppelte der ersten, auch rechts. Beide beschreiben dieselbe Gerade. Es bleibt null gleich null: unendlich viele Lösungen.
- 0:40Merke: Die drei Lösungsfälle sind die drei Lagen zweier Geraden. Verschiedene Steigungen schneiden sich immer in genau einem Punkt. Gleiche Steigungen schneiden sich nie, ausser die Geraden fallen zusammen.
Geradenbüschel: der Schnittpunkt flieht bei gleicher Steigung
- 0:00Die blaue Gerade bleibt fest, die orange kippt mit m und verschiebt sich mit c. Was passiert mit dem Schnittpunkt, wenn m gegen zwei geht?
- 0:09Mit m gleich eins und c gleich sechs haben die Geraden die Steigungen minus zwei und minus eins. Sie schneiden sich im Punkt minus zwei, acht.
- 0:19Mit m gleich eins Komma sieben fünf sind die Steigungen fast gleich. Der Schnittpunkt liegt jetzt bei minus acht, zwanzig, weit ausserhalb des Fensters. Er flieht, je näher m an zwei rückt.
- 0:30Bei m gleich zwei sind die Geraden parallel. Subtrahiert man die Gleichungen, bleibt null gleich zwei, ein Widerspruch: keine Lösung. Mit c gleich vier bliebe null gleich null, dann fallen die Geraden zusammen.
- 0:42Merke: Für m ungleich zwei lässt sich nach x auflösen, es gibt genau eine Lösung. Bei m gleich zwei fällt x weg, und erst c entscheidet: keine Lösung oder unendlich viele.
Schnittpunkt ablesen: erst schätzen, dann die Probe
- 0:00In Aufgabe A1 liest du die Lösung eines Systems aus dem Graphen ab. Genügt das Ablesen?
- 0:09Zuerst liest du den Schnittpunkt grob aus dem Graphen ab. Die Geraden kreuzen sich etwa bei x gleich zwei und y gleich drei. Das ist aber nur eine Schätzung.
- 0:19Dann die Probe: x gleich zwei in beide Gleichungen einsetzen. Beide ergeben y gleich drei. Erst jetzt ist sicher, dass zwei, drei die Lösung ist.
- 0:29Merke: Aus dem Graphen abgelesene Lösungen sind Schätzungen. Genau sind sie nur, wenn der Schnittpunkt auf einem Gitterpunkt liegt. Die Probe in beiden Gleichungen bestätigt das Abgelesene.
Zusatzmaterial
Zum Ausdrucken und Mitnehmen — Theorie, Formelsammlung, Karteikarten und Aufgaben mit Lösungen.