Mathe begreifbar · Grundlagenfach · Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme — Handout

1. Definition

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen und m Gleichungen hat die Form

\[ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n &= b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \dots + a_{2n} x_n &= b_2 \\ &\;\;\vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \dots + a_{mn} x_n &= b_m \end{aligned} \]

Eine Lösung ist ein Tupel \((x_1, \dots, x_n)\), das alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt.

2. Zwei Variablen — vier Verfahren

Für ein 2×2-System gibt es vier Wege zur Lösung — drei analytische und das grafische:

Verfahren	Idee	Wann?
Grafisch	Beide Gleichungen als Geraden zeichnen, Schnittpunkt ablesen.	Verständnis, schnelle Überschlags-Antwort.
Einsetzen	Eine Variable aus einer Gleichung isolieren und in die andere einsetzen.	Eine Variable bereits isoliert oder Koeffizient ±1.
Gleichsetzen	Beide Gleichungen nach derselben Variablen auflösen, dann gleichsetzen.	Beide Gleichungen leicht nach derselben Variablen auflösbar.
Addition	Gleichungen so kombinieren, dass eine Variable wegfällt.	Koeffizienten lassen sich gut auf gleiche Beträge bringen.

3. Drei Lösungsfälle bei 2×2-Systemen

Geometrisch sind die zwei Gleichungen zwei Geraden in der Ebene. Aus ihrer Lage zueinander ergeben sich genau drei Lösungsfälle:

Fall	Geometrie	Lösungsmenge
Eindeutig	Geraden schneiden sich	\(\mathbb{L} = \{(x_0 \mid y_0)\}\)
Keine Lösung	Geraden parallel, nicht identisch	\(\mathbb{L} = \emptyset\)
Unendlich viele	Geraden identisch	\(\mathbb{L}\) = ganze Gerade

4. Drei Variablen — Additions- und Einsetzmethode

Bei einem 3×3-System wendet man die bekannten Verfahren mehrfach an:

Mit der Additionsmethode wird zuerst eine Variable (häufig z) aus zwei Gleichungspaaren eliminiert. Übrig bleibt ein 2×2-System in den restlichen zwei Variablen.
Dieses 2×2-System löst man wieder mit Addition oder Einsetzen.
Mit der Einsetzmethode erhält man die dritte Variable durch Einsetzen der gefundenen Werte in eine der Originalgleichungen.

Erlaubte Operationen sind dieselben wie beim 2×2-System: Gleichungen vertauschen, mit einer Zahl ungleich null multiplizieren, ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren — die Lösungsmenge bleibt unverändert.

5. Drei Lösungsfälle bei 3×3-Systemen

Drei Ebenen im Raum können sich in einem Punkt, einer Geraden oder einer ganzen Ebene schneiden, oder sie haben keinen gemeinsamen Punkt. Die Möglichkeiten sind:

Geometrie	Lösungsmenge
Genau ein Schnittpunkt aller drei Ebenen	\(\mathbb{L} = \{(x_0 \mid y_0 \mid z_0)\}\)
Drei Ebenen schneiden sich in einer Geraden	\(\mathbb{L}\) = unendlich viele Tupel auf einer Geraden
Alle drei Ebenen sind identisch	\(\mathbb{L}\) = unendlich viele Tupel in einer Ebene
Mindestens zwei Ebenen parallel, oder „Dreiecks-Prisma"	\(\mathbb{L} = \emptyset\)

6. Probe

Eine berechnete Lösung wird in jede Gleichung des ursprünglichen Systems eingesetzt; alle müssen erfüllt sein. Dies ist die einfachste Kontrolle und sollte stets gemacht werden.

7. Zusammenfassung & Merksatz

Merksatz. Lineare Gleichungssysteme lösen heisst, gemeinsame Lösungen mehrerer linearer Gleichungen zu finden. Einsetzen, Gleichsetzen und Addition eliminieren Variable für Variable, bis nur noch eine bleibt; bei 3×3-Systemen werden die Methoden kombiniert. Geometrisch entscheidet bei 2×2 die Lage der zwei Geraden, bei 3×3 die Lage der drei Ebenen über die Lösungsmenge.