10 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 40 Minuten.
A · Verfahren erkennen und anwenden
Löse durch Einsetzen: \( \begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + y = 0 \end{cases} \)
Löse durch Gleichsetzen: \( \begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 7 \end{cases} \)
Löse durch Addition: \( \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \)
Löse mit beliebigem Verfahren: \( \begin{cases} 4x - 3y = 11 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \)
B · Lösungsfälle erkennen
Bestimme den Lösungsfall, ohne komplett zu lösen: \( \begin{cases} 3x - 6y = 9 \\ x - 2y = 4 \end{cases} \)
Bestimme den Lösungsfall: \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 6x + 3y = 15 \end{cases} \)
C · Drei Variablen — Addition und Einsetzen
Löse mit Additions- und Einsetzmethode: \( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 0 \end{cases} \)
Löse: \( \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + 3y + 2z = 11 \\ 3x - y + z = 6 \end{cases} \)
D · Anwendungen
Eine Tüte Schrauben (10 Stück) und drei Tüten Muttern (je 8 Stück) kosten zusammen 11 Fr. Drei Tüten Schrauben und zwei Tüten Muttern kosten 13 Fr. Wie teuer ist eine Tüte Schrauben, wie teuer eine Tüte Muttern?
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch \(P(1 \mid 4)\) und \(Q(3 \mid -2)\). Hinweis: stelle ein 2×2-System für \(m\) und \(b\) auf.
Einsetzen: \(2x + (3x - 5) = 0 \Rightarrow 5x = 5 \Rightarrow x = 1\), damit \(y = -2\). \(\mathbb{L}\) = \(\{(1 \mid -2)\}\).
Gleichsetzen: \(2x + 1 = -x + 7 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\), damit \(y = 5\). \(\mathbb{L}\) = \(\{(2 \mid 5)\}\).
Addition: \(8x = 16 \Rightarrow x = 2\); aus Gl. 1: \(6 + 2y = 12 \Rightarrow y = 3\). \(\mathbb{L}\) = \(\{(2 \mid 3)\}\).
Aus Gl. 2: \(y = 7 - 2x\). Einsetzen: \(4x - 3(7 - 2x) = 11 \Rightarrow 10x = 32 \Rightarrow x = 3.2\), damit \(y = 0.6\). \(\mathbb{L}\) = \(\{(3.2 \mid 0.6)\}\).
Multipliziert man Gl. 2 mit 3, ergibt sich \(3x - 6y = 12\) — verglichen mit Gl. 1 \(3x - 6y = 9\) entsteht ein Widerspruch. Die Geraden sind parallel: Lösungsfall keine Lösung, \(\mathbb{L}\) = ∅.
Multipliziert man Gl. 1 mit 3, ergibt sich exakt Gl. 2. Die Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade: Lösungsfall identisch, \(\mathbb{L}\) enthält unendlich viele Tupel auf der Geraden \(2x + y = 5\).
Aus G1 − G2 folgt \(2y = 4 \Rightarrow y = 2\). Aus G1 − G3 folgt \(2z = 6 \Rightarrow z = 3\). Aus G1: \(x = 6 - 2 - 3 = 1\). \(\mathbb{L} = \{(1 \mid 2 \mid 3)\}\).
G2 multiplizieren mit 2, dann G2 − G1 ergibt \(5y + 5z = 21\), also \(y + z = 4.2\). G3 multiplizieren mit 2, dann G3·2 − G1·3 ergibt \(-5y + 5z = 9\), also \(-y + z = 1.8\). Diese zwei Gleichungen addieren: \(2z = 6 \Rightarrow z = 3\), daraus \(y = 1.2\) und aus G1 \(x = (1 + 3 - 1.2)/2 = 1.4\). Probe in G2: \(1.4 + 3.6 + 6 = 11\) ✓. \(\mathbb{L} = \{(1.4 \mid 1.2 \mid 3)\}\).
Sei \(s\) der Preis einer Tüte Schrauben, \(m\) der einer Tüte Muttern. System: \( s + 3m = 11,\ 3s + 2m = 13 \). Aus G1: \(s = 11 - 3m\). Einsetzen in G2: \(3(11 - 3m) + 2m = 13 \Rightarrow 33 - 7m = 13 \Rightarrow m = 20/7 \approx 2.86\) Fr., \(s = 11 - 60/7 = 17/7 \approx 2.43\) Fr.
Ansatz \(y = m \cdot x + b\). Aus den zwei Punkten: \(4 = m + b\) und \(-2 = 3m + b\). Subtrahieren: \(-6 = 2m \Rightarrow m = -3\), damit \(b = 7\). Geradengleichung: \(y = -3x + 7\).