Mathe begreifbar · Grundlagenfach · Lineare Gleichungssysteme · Zusatzmaterial

Gauss-Verfahren und Cramersche Regel

Fakultative Vertiefung — zwei systematische Lösungsverfahren für Gleichungssysteme

1. Erweiterte Koeffizientenmatrix

Ein lineares Gleichungssystem wird kompakt als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben — der senkrechte Strich trennt die Koeffizienten der Variablen von den rechten Seiten:

\[ \begin{cases} 2x + y + z = 19 \\ x + 3y + 2z = 34 \\ 3x + 2y + z = 27 \end{cases} \;\;\longleftrightarrow\;\; \left[\begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & 1 & 19 \\ 1 & 3 & 2 & 34 \\ 3 & 2 & 1 & 27 \end{array}\right] \]

Auf dieser Schreibweise basieren beide Verfahren dieser Druckseite.

2. Gauss-Verfahren

Beim Gauss-Verfahren wird die erweiterte Matrix durch Zeilenoperationen in obere Dreiecksform gebracht — alle Einträge unterhalb der Hauptdiagonale werden zu null. Anschliessend folgt das Rückwärtseinsetzen: aus der untersten Zeile z, dann y, dann x.

Erlaubte Zeilenoperationen

Diese Operationen verändern die Lösungsmenge \(\mathbb{L}\) nicht:

Operation	Schreibweise
Zwei Zeilen vertauschen	\(Z_i \leftrightarrow Z_j\)
Eine Zeile mit \(c \neq 0\) multiplizieren	\(Z_i \leftarrow c \cdot Z_i\)
Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren	\(Z_i \leftarrow Z_i + k \cdot Z_j\)

Beispiel

System: \(\begin{cases} a + b + c = 18 \\ 2a - b + c = 11 \\ a + 2b - c = 5 \end{cases}\)

Erweiterte Matrix:

\[ \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 18 \\ 2 & -1 & 1 & 11 \\ 1 & 2 & -1 & 5 \end{array}\right] \]

\(Z_2 \leftarrow Z_2 - 2 \cdot Z_1\), \(\;Z_3 \leftarrow Z_3 - Z_1\):

\[ \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 18 \\ 0 & -3 & -1 & -25 \\ 0 & 1 & -2 & -13 \end{array}\right] \]

\(Z_3 \leftarrow 3 \cdot Z_3 + Z_2\):

\[ \left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & 18 \\ 0 & -3 & -1 & -25 \\ 0 & 0 & -7 & -64 \end{array}\right] \]

Rückwärtseinsetzen:

• Aus Zeile 3: \(-7c = -64 \Rightarrow c = \tfrac{64}{7}\).
• Aus Zeile 2: \(-3b - c = -25 \Rightarrow b = \tfrac{25 - 64/7}{3} = \tfrac{37}{7}\).
• Aus Zeile 1: \(a = 18 - b - c = \tfrac{25}{7}\).

Das Ergebnis stimmt mit dem überein, das aus der Additions- und Einsetzmethode (Hauptkapitel) folgt — nur ist das Gauss-Verfahren systematischer und besser für die Maschine geeignet.

3. Determinanten

Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Sie sagt unter anderem, ob das zugehörige Gleichungssystem eindeutig lösbar ist (\(D \neq 0\)) oder nicht (\(D = 0\)).

2×2-Determinante

\[ \det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = a \cdot d - b \cdot c. \]

Beispiel: \(\det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 - 5 \cdot 3 = -7\).

3×3-Determinante — Regel von Sarrus

Bei einer 3×3-Matrix schreibt man die ersten zwei Spalten rechts daneben und summiert die drei abwärts laufenden Diagonalen mit Plus, die drei aufwärts laufenden mit Minus:

\[ \det \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh \;-\; ceg - afh - bdi. \]

Bildlich (Pfeile rechts unten = Plus, Pfeile rechts oben = Minus):

4. Cramersche Regel

Hat ein quadratisches System \(n\) Gleichungen in \(n\) Variablen und ist die Hauptdeterminante \(D \neq 0\), so lautet die Lösung

\[ x_i = \frac{D_i}{D}, \]

wobei \(D_i\) entsteht, indem in D die i-te Spalte durch die rechte Seite ersetzt wird.

2×2-Beispiel

System: \(\begin{cases} 5x + 3y = 14 \\ 2x - y = 3 \end{cases}\).

\[ D = \det\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = -5 - 6 = -11. \] \[ D_x = \det\begin{pmatrix} 14 & 3 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = -14 - 9 = -23,\quad D_y = \det\begin{pmatrix} 5 & 14 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 15 - 28 = -13. \] \[ x = \tfrac{-23}{-11} = \tfrac{23}{11},\qquad y = \tfrac{-13}{-11} = \tfrac{13}{11}. \]

3×3-Beispiel

System: \(\begin{cases} 2s + b + h = 19 \\ s + 3b + 2h = 34 \\ 3s + 2b + h = 27 \end{cases}\).

Hauptdeterminante (mit Sarrus):

\[ D = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = 6 + 6 + 2 - 9 - 8 - 1 = -4. \]

Spaltenersatz mit der rechten Seite \((19, 34, 27)\):

\[ D_s = \det\begin{pmatrix} 19 & 1 & 1 \\ 34 & 3 & 2 \\ 27 & 2 & 1 \end{pmatrix} = -12, \quad D_b = \det\begin{pmatrix} 2 & 19 & 1 \\ 1 & 34 & 2 \\ 3 & 27 & 1 \end{pmatrix} = -20, \quad D_h = \det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 19 \\ 1 & 3 & 34 \\ 3 & 2 & 27 \end{pmatrix} = -32. \] \[ s = \tfrac{-12}{-4} = 3,\quad b = \tfrac{-20}{-4} = 5,\quad h = \tfrac{-32}{-4} = 8. \]

Wieder dieselbe Lösung — Cramer ist eleganter zu notieren, das eigentliche Rechnen ist (für 3×3) aber aufwendiger als die Additionsmethode.

5. Vergleich der drei Verfahren

Verfahren	Vorteil	Nachteil
Addition + Einsetzen (Hauptkapitel)	einfach, ohne neue Notation, schnell für 2×2 und übersichtliche 3×3	bei grossen Systemen unübersichtlich
Gauss-Verfahren	systematisch, beliebig grosse Systeme, computer-freundlich	Matrix-Notation muss eingeführt werden
Cramer	liefert geschlossene Formeln \(x_i = D_i / D\)	\(n^2 \cdot n!\) Operationen — sehr aufwendig ab 4×4; nur \(D \neq 0\)

6. Drei Lösungsfälle anhand der Determinante

\(D\)	Erläuterung	Lösungsmenge
\(D \neq 0\)	Cramer liefert direkt \(x_i = D_i / D\)	genau eine Lösung — \(\mathbb{L} = \{(x_1 \mid \dots \mid x_n)\}\)
\(D = 0,\;\) ein \(D_i \neq 0\)	Cramer schlägt fehl, beim Gauss erscheint \(0 = c\) mit \(c \neq 0\)	\(\mathbb{L} = \emptyset\) (keine Lösung)
\(D = 0,\;\) alle \(D_i = 0\)	beim Gauss erscheint \(0 = 0\) — eine Variable bleibt frei	\(\mathbb{L}\) enthält unendlich viele Tupel