| Schritt | Was | Worauf achten |
|---|---|---|
| ① | Unbekannte deklarieren | immer mit Bedeutung und Einheit: «\(x\): Anzahl verkaufte Gipfeli (Stück)», nicht bloss «\(x\) = Gipfeli» |
| ② | Gleichungen aufstellen | so viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte; jede Gleichung ist eine Bilanz — dieselbe Grösse auf zwei Arten gezählt |
| ③ | Lösen | Einsetzen, Gleichsetzen, Addition bzw. Lösungsformel, wenn eine Gleichung quadratisch ist |
| ④ | Probe am Text | Werte in die Aussagen des Textes einsetzen, nicht nur in die eigenen Gleichungen; passt die Lösung zur Situation (ganzzahlig, nicht negativ, Ziffer von 0 bis 9)? |
150 Gipfeli und Weggli für zusammen 205 CHF; ein Gipfeli kostet 1.60 CHF, ein Weggli 1.10 CHF.
① \(x\): Anzahl Gipfeli (Stück), \(y\): Anzahl Weggli (Stück). ② \(x + y = 150\) (Stück) und \(1.60 \cdot x + 1.10 \cdot y = 205\) (CHF). ③ \(y = 150 - x\) einsetzen: \(0.50 \cdot x + 165 = 205\), also \(x = 80\), \(y = 70\). ④ \(80 + 70 = 150\) ✓, \(128 + 77 = 205\) CHF ✓.
Eine falsch aufgestellte Gleichung lässt sich fehlerfrei lösen, und die Probe in den eigenen Gleichungen stimmt trotzdem. Wer rechts in der Wertbilanz 150 statt 205 schreibt, erhält \(x = -30\), \(y = 180\) — erst am Text fällt auf, dass es keine negative Stückzahl gibt.
Bilanzen: Jede Aussage des Textes wird wörtlich zu einer Gleichung. Kommt ein Produkt vor, wird das System quadratisch.
«um 3 grösser als \(a\)» ist \(a + 3\), «3-mal so gross wie \(a\)» ist \(3 \cdot a\). Die 3 kommt zur kleineren Grösse. Die Zahl mit den Ziffern \(z\) und \(e\) ist \(10 \cdot z + e\), nicht \(z \cdot e\).
Quersumme 9; vertauscht man die Ziffern, wird die Zahl um 45 kleiner. \(z + e = 9\) und \(10 \cdot e + z = 10 \cdot z + e - 45\), also \(z - e = 5\): \(z = 7\), \(e = 2\). Die Zahl heisst 72; \(72 - 27 = 45\) ✓. Mit «Ziffernprodukt 14» statt der zweiten Aussage: \(z^2 - 9 \cdot z + 14 = 0\), zwei Lösungen 27 und 72.
\(x\), \(y\): Mengen der beiden Sorten in kg bzw. l.
Mengenbilanz \(x + y = M\) · Stoffbilanz \(p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot M\)
Anteile als Dezimalzahl (3.8 % → \(0.038\)). Beim Mischen von Preisen ist \(p\) der Preis pro kg. Verdünnen: Wasser hat den Anteil \(0\).
Prozent und Menge in derselben Gleichung: \(0.038 \cdot x + 0.002 \cdot y = 2.6\) ist falsch — rechts gehört die Fettmasse der Mischung \(0.026 \cdot 600 = 15.6\) kg hin. Kontrollfrage: Steht links und rechts dieselbe Einheit?
Vollmilch 3.8 % Fett und Magermilch 0.2 % Fett zu 600 kg Milch mit 2.6 % Fett. \(x\): Masse Vollmilch in kg, \(y\): Masse Magermilch in kg. \(x + y = 600\) und \(0.038 \cdot x + 0.002 \cdot y = 15.6\). Einsetzen: \(0.036 \cdot x + 1.2 = 15.6\), also \(x = 400\) kg, \(y = 200\) kg; Fett \(15.2 + 0.4 = 15.6\) kg ✓.
\(x\), \(y\), \(z\): Stückzahlen bzw. Anzahl Fahrten — ganze Zahlen, nicht negativ.
Stückbilanz \(x + y = N\) · Wertbilanz \(a \cdot x + b \cdot y = W\) (CHF, t, Personen)
Sind mehrere Artikelzahlen bekannt, gibt es pro Artikel eine eigene Stückbilanz.
Ein Set enthält zwei Artikel und zählt in beiden Stückbilanzen — es ist keine dritte Artikelsorte in einer einzigen Summe \(x + y + z\).
Skistöcke 45 CHF, Brillen 80 CHF, Set «Stöcke + Brille» 110 CHF; 21 Paar Stöcke und 17 Brillen, einzeln oder im Set, für 2215 CHF. \(x\): Stöcke einzeln, \(y\): Brillen einzeln, \(z\): Sets. \(x + z = 21\), \(y + z = 17\), \(45 \cdot x + 80 \cdot y + 110 \cdot z = 2215\). Einsetzen: \(2305 - 15 \cdot z = 2215\), also \(z = 6\) Sets, \(x = 15\), \(y = 11\); \(675 + 880 + 660 = 2215\) CHF ✓.
\(x\), \(y\): Kapitalien in CHF.
Kapitalgleichung \(x + y = K\) · Zinsgleichung \(p_1 \cdot t_1 \cdot x + p_2 \cdot t_2 \cdot y = Z\)
Zinssatz \(p\) als Dezimalzahl (2 % → \(0.02\)), Zeitanteil \(t\) in Jahren: Halbjahr \(\tfrac{1}{2}\), vier Monate \(\tfrac{4}{12} = \tfrac{1}{3}\), drei Monate \(\tfrac{1}{4}\). Einfacher Zins, ohne Zinseszins.
Zinssatz in Prozent stehen lassen: \(0.75 \cdot x + 2 \cdot y = 425\) rechnet mit 75 % und 200 %. Zeitanteil vergessen: Ein Halbjahr zum vollen Satz gibt den doppelten Zins.
30 000 CHF, ein Teil zu 0.75 %, der Rest zu 2 %; nach einem Jahr 425 CHF Zins. \(x\): Kapital zu 0.75 % in CHF, \(y\): Kapital zu 2 % in CHF. \(x + y = 30\,000\) und \(0.0075 \cdot x + 0.02 \cdot y = 425\). Einsetzen: \(225 + 0.0125 \cdot y = 425\), also \(y = 16\,000\) CHF, \(x = 14\,000\) CHF; \(105 + 320 = 425\) CHF ✓.