2.M Textaufgaben modellieren
Bei vielen Textaufgaben ist das Rechnen der kleinere Teil — schwierig ist der Weg vom Text zum Gleichungssystem. Dieser Modellier-Baukasten zeigt ein einziges Prinzip, das für die vier häufigsten Aufgabentypen trägt: zuerst die Unbekannten deklarieren, dann Bilanzen aufstellen. Im Ansatz-Trainer übst du genau diesen Schritt — ohne zu rechnen.
- gegebene Sachverhalte im technischen Kontext als Gleichung, Ungleichung oder Gleichungssystem formulieren
- den Typ einer Gleichung bestimmen und beim Lösen entsprechend beachten, Lösungs- und Umformungsmethoden zielführend einsetzen sowie Lösungen überprüfen
- ein lineares Gleichungssystem mit maximal drei Variablen lösen auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Unbekannten einer Textaufgabe mit Bedeutung und Einheit deklarieren.
- Ich kann so viele unabhängige Gleichungen aufstellen, wie es Unbekannte gibt — als Mengenbilanz und Wertbilanz.
- Ich kann Zahlenrätsel, Misch-, Verteil- und Zinsaufgaben am Text erkennen und das passende Deklarationsmuster wählen.
- Ich kann die typischen Fallen vermeiden: «um 3 grösser» gegen «3-mal so gross», Prozent gegen Menge, Sets, Zinssatz und Zeitanteil.
- Ich kann eine Lösung mit der Probe am Text überprüfen und Lösungen verwerfen, die nicht zur Situation passen.
Einstieg — vier Textaufgaben, ein Bauplan
Vier Aufgaben aus ganz verschiedenen Ecken. Auf den ersten Blick haben sie nichts gemeinsam:
| Typ | Aufgabe |
|---|---|
| Zahlenrätsel | Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9. Vertauscht man ihre Ziffern, wird die Zahl um 45 kleiner. Wie heisst die Zahl? |
| Mischen | Eine Käserei mischt Vollmilch mit 3.8 % Fett und Magermilch mit 0.2 % Fett zu 600 kg Milch mit 2.6 % Fett. Wie viele kg braucht sie von jeder Sorte? |
| Verteilen | Ein Sportgeschäft verkauft Skistöcke zu 45 CHF, Skibrillen zu 80 CHF und das Set «Stöcke + Brille» zu 110 CHF. An einem Samstag gehen 21 Paar Stöcke und 17 Brillen weg — einzeln oder im Set — für zusammen 2215 CHF. Wie viele Sets waren es? |
| Zins | Herr Keller legt 30 000 CHF an: einen Teil auf ein Sparkonto zu 0.75 %, den Rest in eine Kassenobligation zu 2 %. Nach einem Jahr erhält er 425 CHF Zins. Wie viel liegt auf dem Sparkonto? |
Gemeinsam ist allen vieren: Es gibt Grössen, die man zählt oder misst — Ziffern, Kilogramm, Stück, Franken Kapital —, und Grössen, die an diesen Mengen hängen: Stellenwert, Fett, Umsatz, Zins. Aus beiden Sorten entsteht je eine Gleichung, eine Mengenbilanz und eine Wertbilanz. Wer das einmal sieht, braucht nicht vier Rezepte, sondern eines. Alle vier Aufgaben werden weiter unten vollständig gelöst.
Oft verlangt eine Prüfungsaufgabe nur den Ansatz: Deklaration und Gleichungssystem, ohne Lösung. Genau das trainiert diese Seite. Ziel: Zu einer unbekannten Aufgabe der vier Typen stehen Deklaration und System in drei Minuten auf dem Blatt.
Das Bilanzprinzip in vier Schritten
| Schritt | Was | Worauf achten |
|---|---|---|
| ① | Unbekannte deklarieren | immer mit Bedeutung und Einheit: «\(x\): Anzahl verkaufte Gipfeli (Stück)», nicht bloss «\(x\) = Gipfeli» |
| ② | Gleichungen aufstellen | so viele unabhängige Gleichungen wie Unbekannte; jede Gleichung ist eine Bilanz — dieselbe Grösse auf zwei Arten gezählt |
| ③ | Lösen | mit einem Verfahren für Gleichungssysteme (Einsetzen, Gleichsetzen, Addition) bzw. mit der Lösungsformel, wenn eine Gleichung quadratisch ist |
| ④ | Probe am Text | die Werte in die Aussagen des Textes einsetzen, nicht nur in die eigenen Gleichungen; passt die Lösung zur Situation (ganzzahlig, nicht negativ, Ziffer von 0 bis 9)? |
Die Lösungsverfahren stehen in ↩ 2.3 Lineare Gleichungssysteme und ↩ 2.2b Quadratische Gleichungen.
Jede Aufgabe dieses Blocks ist eine Mengenbilanz plus eine Wertbilanz: Die Mengen addieren sich zur Gesamtmenge, und die Werte, die an den Mengen hängen — Preis, Stoffanteil, Zins, Stellenwert —, addieren sich zum Gesamtwert.
Eine Bäckerei verkauft an einem Morgen 150 Gipfeli und Weggli für zusammen 205 CHF. Ein Gipfeli kostet 1.60 CHF, ein Weggli 1.10 CHF. Wie viele Stück hat sie von jeder Sorte verkauft?
① \(x\): Anzahl verkaufte Gipfeli (Stück); \(y\): Anzahl verkaufte Weggli (Stück).
② Zwei Unbekannte, also zwei Bilanzen:
\[ \begin{cases} x + y = 150 & \text{(Mengenbilanz: Stück)} \\ 1.60 \cdot x + 1.10 \cdot y = 205 & \text{(Wertbilanz: CHF)} \end{cases} \]③ Einsetzen mit \(y = 150 - x\): \(1.60 \cdot x + 1.10 \cdot (150 - x) = 205\), also \(0.50 \cdot x + 165 = 205\) und \(x = 80\). Damit \(y = 70\).
④ Probe am Text: 80 Gipfeli und 70 Weggli sind 150 Stück ✓. Umsatz: \(80 \cdot 1.60 + 70 \cdot 1.10 = 128 + 77 = 205\) CHF ✓. Die Stückzahlen sind ganz und positiv — die Lösung passt zur Situation.
«\(x\) = Milch» ist keine Deklaration. Meint \(x\) die Masse in kg, das Volumen in Litern oder den Fettanteil in Prozent? Wer das offen lässt, mischt später in derselben Gleichung Kilogramm und Prozent — und merkt es nicht. Schreibe immer: Grösse, Bezug, Einheit, zum Beispiel «\(x\): Masse der Vollmilch in kg».
Eine falsch aufgestellte Gleichung lässt sich fehlerfrei lösen — die Probe in den eigenen Gleichungen stimmt dann trotzdem. Nur die Probe an den Aussagen des Textes deckt einen Fehler im Ansatz auf.
✏️ Mini-Check — Bilanzprinzip
Welche Deklaration ist vollständig?
- \(x\) = Kaffee
- \(x\): Masse der Kaffeesorte A in kg
- \(x\): Kaffeesorte A in Prozent
Lösung anzeigen
Für drei Unbekannte braucht es unabhängige Gleichungen.
Lösung anzeigen
Probe am Text: 20 Personen besuchen ein Museum, Eintritt 15 CHF für Erwachsene und 9 CHF für Kinder, zusammen 252 CHF. Passen 12 Erwachsene und 8 Kinder?
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Jemand stellt für die Gipfeli-Aufgabe die Wertbilanz \(1.60 \cdot x + 1.10 \cdot y = 150\) auf und löst das System korrekt. Wo fällt der Fehler auf?
Lösungsweg anzeigen
Vier Aufgabentypen im Überblick
Die vier Typen unterscheiden sich nur darin, was gezählt und was bewertet wird. Die Tabelle ist das Gerüst für die folgenden Abschnitte. Eine Druckfassung liegt im Zusatzmaterial.
| Typ | Deklaration | Bilanz 1 | Bilanz 2 | Falle |
|---|---|---|---|---|
| 1 Zahlen- und Ziffernrätsel | \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer; die Zahl ist \(10 \cdot z + e\). Bruch: Zähler \(z\), Nenner als Term in \(z\) | erste Aussage, z. B. Quersumme \(z + e = s\) | zweite Aussage, z. B. vertauschte Ziffern \(10 \cdot e + z = 10 \cdot z + e - d\) | «um 3 grösser als \(a\)» ist \(a + 3\); «3-mal so gross wie \(a\)» ist \(3 \cdot a\) |
| 2 Mischen | \(x\), \(y\): Mengen der beiden Sorten in kg bzw. l | Mengenbilanz \(x + y = M\) | Stoffbilanz \(p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot M\) | Prozent und Menge in derselben Gleichung vermischen; Anteile als Dezimalzahl |
| 3 Verteilen | \(x\), \(y\), \(z\): Stückzahlen bzw. Anzahl Fahrten | Stückbilanz \(x + y = N\), eine pro Artikel | Wertbilanz \(a \cdot x + b \cdot y = W\) (CHF, t, Personen) | ein Set enthält zwei Artikel und zählt in beiden Stückbilanzen |
| 4 Zins | \(x\), \(y\): Kapitalien in CHF | Kapitalgleichung \(x + y = K\) | Zinsgleichung \(p_1 \cdot t_1 \cdot x + p_2 \cdot t_2 \cdot y = Z\); \(p\) als Dezimalzahl, \(t\) in Jahren | Zinssatz in Prozent stehen lassen; Zeitanteil \(t\) vergessen |
Typ 1 — Zahlen- und Ziffernrätsel
Bei Zahlenrätseln sind die Unbekannten Zahlen oder Ziffern. Die ganze Schwierigkeit liegt in der Übersetzung: Jede Aussage des Textes wird wörtlich zu einem Term.
- Zweistellige Zahl: \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer. Die Zahl ist \(10 \cdot z + e\), ihre Quersumme \(z + e\), die Zahl mit vertauschten Ziffern \(10 \cdot e + z\). Dabei ist \(z \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) und \(e \in \{0, 1, \ldots, 9\}\).
- Bruch: \(z\): Zähler. Der Nenner wird als Term in \(z\) geschrieben — «der Nenner ist um 3 grösser als der Zähler» ergibt den Bruch \(\dfrac{z}{z + 3}\).
- Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen: \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\).
| Im Text | Als Term |
|---|---|
| um 3 grösser als \(a\) | \(a + 3\) |
| um 3 kleiner als \(a\) | \(a - 3\) |
| 3-mal so gross wie \(a\) | \(3 \cdot a\) |
| der dritte Teil von \(a\) | \(\dfrac{a}{3}\) |
| das Produkt von \(a\) und \(b\) | \(a \cdot b\) |
«Die Einerziffer ist um 3 grösser als die Zehnerziffer» heisst \(e = z + 3\). «Die Einerziffer ist 3-mal so gross wie die Zehnerziffer» heisst \(e = 3 \cdot z\). Zweite Falle ist die Richtung: Die 3 kommt zur kleineren Grösse, also \(e = z + 3\) und nicht \(e + 3 = z\). Kontrolle mit einer Zahl: Bei \(z = 2\) muss \(e = 5\) herauskommen.
Dritte Falle: Die Zahl mit den Ziffern \(z\) und \(e\) ist \(10 \cdot z + e\), nicht \(z \cdot e\) — das wäre das Produkt der Ziffern.
Die beiden folgenden Rätsel beginnen gleich. Sie unterscheiden sich nur in der zweiten Aussage — und genau die macht das System linear oder quadratisch.
Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9. Vertauscht man ihre Ziffern, wird die Zahl um 45 kleiner.
① \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer.
②
\[ \begin{cases} z + e = 9 \\ 10 \cdot e + z = 10 \cdot z + e - 45 \end{cases} \]③ Die zweite Gleichung geordnet: \(9 \cdot z - 9 \cdot e = 45\), also \(z - e = 5\). Addiert zur ersten: \(2 \cdot z = 14\), also \(z = 7\) und \(e = 2\).
④ Probe am Text: 72 hat die Quersumme 9 ✓. Vertauscht entsteht 27, und \(72 - 27 = 45\) ✓. Die Zahl heisst 72 — genau eine Lösung.
Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9. Das Produkt ihrer Ziffern ist 14.
① \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer.
②
\[ \begin{cases} z + e = 9 \\ z \cdot e = 14 \end{cases} \]③ \(e = 9 - z\) einsetzen: \(z \cdot (9 - z) = 14\), also \(z^2 - 9 \cdot z + 14 = 0\) und \((z - 2) \cdot (z - 7) = 0\). Damit \(z = 2\) mit \(e = 7\) oder \(z = 7\) mit \(e = 2\).
④ Probe am Text: 27 und 72 haben beide die Quersumme 9 und das Ziffernprodukt \(2 \cdot 7 = 14\) ✓. Es gibt zwei Zahlen: 27 und 72.
Das Produkt \(z \cdot e\) macht das zweite System quadratisch, und eine quadratische Gleichung kann zwei Lösungen haben. Welche davon zum Text passen, entscheidet die Probe — hier beide.
Der Nenner eines Bruchs ist um 4 grösser als sein Zähler. Subtrahiert man von Zähler und Nenner je 1, entsteht ein Bruch mit dem Wert \(\tfrac{1}{2}\). Wie heisst der Bruch?
① \(z\): Zähler; der Nenner ist \(z + 4\), wobei \(z + 3 \neq 0\) gelten muss.
② \(\dfrac{z - 1}{z + 4 - 1} = \dfrac{z - 1}{z + 3} = \dfrac{1}{2}\)
③ Mit \(2 \cdot (z + 3)\) multiplizieren: \(2 \cdot (z - 1) = z + 3\), also \(2 \cdot z - 2 = z + 3\) und \(z = 5\).
④ Probe am Text: Der Bruch ist \(\tfrac{5}{9}\), der Nenner ist um 4 grösser ✓. Je 1 weniger ergibt \(\tfrac{4}{8} = \tfrac{1}{2}\) ✓.
✏️ Mini-Check — Zahlen- und Ziffernrätsel
«Eine zweistellige Zahl ist um 18 grösser als ihre Quersumme.» Welche Gleichung passt?
- \(10 \cdot z + e = 18 \cdot (z + e)\)
- \(10 \cdot z + e = z + e + 18\)
- \(10 \cdot z + e + 18 = z + e\)
Lösung anzeigen
Hat eine Zahl die Zehnerziffer \(z\) und die Einerziffer \(e\), so lautet die Zahl mit vertauschten Ziffern .
Lösung anzeigen
Das Produkt zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 72. Stelle die Gleichung auf und löse sie.
Lösung anzeigen
Warum hat das lineare Ziffernrätsel oben genau eine Lösung, das quadratische aber zwei?
Lösungsweg anzeigen
Typ 2 — Mischen
Zwei Sorten werden zu einer Mischung zusammengegeben. Dabei bleiben zwei Dinge erhalten: die Menge und die Menge des Stoffs, der in den Sorten steckt — Fett, Salz, Silber. Dasselbe Muster gilt, wenn statt eines Stoffs der Preis gemischt wird.
\(x\): Menge der Sorte 1, \(y\): Menge der Sorte 2 — in kg oder l, je nach Text.
\[ \begin{cases} x + y = M & \text{(Mengenbilanz)} \\ p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot M & \text{(Stoffbilanz)} \end{cases} \]- \(p_1\), \(p_2\) sind die Anteile der Sorten, \(p\) der Anteil der Mischung, \(M\) die Gesamtmenge. Anteile stehen als Dezimalzahl: 3.8 % wird zu \(0.038\).
- Beim Mischen von Preisen ist \(p\) der Preis pro kg, und die zweite Gleichung ist eine Wertbilanz in CHF.
- Verdünnen ist ein Sonderfall: Wasser ist eine Sorte mit dem Anteil \(0\).
In \(0.038 \cdot x + 0.002 \cdot y = 2.6\) steht links eine Masse (kg Fett) und rechts eine Prozentzahl. Rechts gehört die Fettmasse der Mischung hin: \(0.026 \cdot 600 = 15.6\) kg. Ebenso falsch ist \(x + y = 2.6\) — Mengen addieren sich zur Gesamtmenge, Prozentsätze addieren sich nie.
Kontrollfrage für jede Gleichung: Welche Einheit steht links, welche rechts? Es muss dieselbe sein.
Eine Käserei mischt Vollmilch mit 3.8 % Fett und Magermilch mit 0.2 % Fett zu 600 kg Milch mit 2.6 % Fett. Wie viele kg braucht sie von jeder Sorte?
① \(x\): Masse der Vollmilch in kg; \(y\): Masse der Magermilch in kg.
② Die Mischung enthält \(0.026 \cdot 600 = 15.6\) kg Fett:
\[ \begin{cases} x + y = 600 & \text{(kg Milch)} \\ 0.038 \cdot x + 0.002 \cdot y = 15.6 & \text{(kg Fett)} \end{cases} \]③ \(y = 600 - x\) einsetzen: \(0.038 \cdot x + 0.002 \cdot (600 - x) = 15.6\), also \(0.036 \cdot x + 1.2 = 15.6\) und \(x = 400\). Damit \(y = 200\).
④ Probe am Text: \(400 + 200 = 600\) kg ✓. Fett: \(0.038 \cdot 400 + 0.002 \cdot 200 = 15.2 + 0.4 = 15.6\) kg, und \(15.6 : 600 = 0.026\), also 2.6 % ✓.
Die Mischung mit 2.6 % liegt näher bei der Vollmilch (3.8 %) als bei der Magermilch (0.2 %): Abstand 1.2 gegenüber 2.4 Prozentpunkten. Es braucht also mehr Vollmilch, und zwar im umgekehrten Verhältnis der Abstände, \(2.4 : 1.2 = 2 : 1\). Das Ergebnis 400 kg zu 200 kg bestätigt das.
✏️ Mini-Check — Mischen
Aus Sirup A mit 20 % Zucker und Sirup B mit 50 % Zucker sollen 30 kg Sirup mit 30 % Zucker entstehen. Welche Stoffbilanz stimmt?
- \(0.2 \cdot x + 0.5 \cdot y = 30\)
- \(0.2 \cdot x + 0.5 \cdot y = 0.3 \cdot 30\)
- \(20 \cdot x + 50 \cdot y = 0.3\)
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Beim Verdünnen mit Wasser hat die Sorte «Wasser» den Stoffanteil .
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Löse das System aus der Multiple-Choice-Frage mit der Mengenbilanz \(x + y = 30\).
Lösung anzeigen
Wie viel Wasser muss man zu 5 l Sirup mit 30 % Zucker giessen, damit er nur noch 12 % Zucker enthält?
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Typ 3 — Verteilen
Eine Gesamtzahl verteilt sich auf verschiedene Sorten — Artikel, Billette, Fahrten. Gezählt werden die Stücke; bewertet wird mit dem Preis, der Masse oder der Kapazität pro Stück.
\(x\), \(y\), \(z\): Stückzahlen der Sorten bzw. Anzahl Fahrten je Fahrzeug — ganze Zahlen, nicht negativ.
\[ \begin{cases} x + y = N & \text{(Stückbilanz)} \\ a \cdot x + b \cdot y = W & \text{(Wertbilanz)} \end{cases} \]\(a\), \(b\) sind die Werte pro Stück (CHF, t, Sitzplätze), \(W\) ist der Gesamtwert. Gibt es mehrere Artikel, deren Gesamtzahl bekannt ist, entsteht pro Artikel eine eigene Stückbilanz.
Ein Set «Stöcke + Brille» enthält zwei Artikel. Wer das Set als dritte Artikelsorte in eine einzige Stückbilanz \(x + y + z = 38\) steckt, zählt falsch: Die 21 Paar Stöcke stecken teils in Einzelverkäufen, teils in Sets — ebenso die 17 Brillen. Richtig ist je eine Stückbilanz pro Artikel, in der das Set in beiden auftaucht: \(x + z = 21\) und \(y + z = 17\).
Ein Sportgeschäft verkauft Skistöcke zu 45 CHF, Skibrillen zu 80 CHF und das Set «Stöcke + Brille» zu 110 CHF. An einem Samstag gehen 21 Paar Stöcke und 17 Brillen weg — einzeln oder im Set — für zusammen 2215 CHF.
① \(x\): Anzahl einzeln verkaufte Paar Stöcke; \(y\): Anzahl einzeln verkaufte Brillen; \(z\): Anzahl verkaufte Sets.
② Drei Unbekannte, drei Bilanzen:
\[ \begin{cases} x + z = 21 & \text{(Stöcke)} \\ y + z = 17 & \text{(Brillen)} \\ 45 \cdot x + 80 \cdot y + 110 \cdot z = 2215 & \text{(Umsatz in CHF)} \end{cases} \]③ \(x = 21 - z\) und \(y = 17 - z\) in die dritte Gleichung: \(45 \cdot (21 - z) + 80 \cdot (17 - z) + 110 \cdot z = 2215\), also \(2305 - 15 \cdot z = 2215\) und \(z = 6\). Damit \(x = 15\) und \(y = 11\).
④ Probe am Text: Stöcke \(15 + 6 = 21\) ✓, Brillen \(11 + 6 = 17\) ✓, Umsatz \(45 \cdot 15 + 80 \cdot 11 + 110 \cdot 6 = 675 + 880 + 660 = 2215\) CHF ✓. Es waren 6 Sets.
✏️ Mini-Check — Verteilen
Ein Zoo verkauft Einzelbillette für Erwachsene und für Kinder sowie Familienbillette (2 Erwachsene und 2 Kinder). Bekannt sind die Anzahl Erwachsener und die Anzahl Kinder. Wie viele Stückbilanzen braucht es?
- eine für alle Billette zusammen
- zwei: je eine für Erwachsene und für Kinder, das Familienbillett in beiden
- keine, die Wertbilanz genügt
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Bei Aufgaben mit Fahrten ist die Wertbilanz meist eine Bilanz der transportierten .
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40 Kinobillette, Erwachsene 18 CHF, Kinder 7 CHF, zusammen 500 CHF. Stelle das System auf und löse es.
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Beim Lösen einer Verteilaufgabe kommt \(x = 12.5\) verkaufte Artikel heraus. Was folgt daraus?
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Typ 4 — Zins
Ein Kapital wird auf zwei Anlagen verteilt. Die «Menge» ist das Kapital in CHF, der «Wert» ist der Zins, den jeder Teil abwirft.
\(x\): Kapital auf Anlage 1 in CHF, \(y\): Kapital auf Anlage 2 in CHF.
\[ \begin{cases} x + y = K & \text{(Kapitalgleichung)} \\ p_1 \cdot t_1 \cdot x + p_2 \cdot t_2 \cdot y = Z & \text{(Zinsgleichung)} \end{cases} \]- Zinssätze als Dezimalzahl: 2 % wird zu \(0.02\), 0.75 % zu \(0.0075\).
- Zeitanteil \(t\) in Jahren: ganzes Jahr \(t = 1\), Halbjahr \(t = \tfrac{1}{2}\), vier Monate \(t = \tfrac{4}{12} = \tfrac{1}{3}\), drei Monate \(t = \tfrac{1}{4}\).
- Gerechnet wird mit einfachem Zins: Zins \(= p \cdot t \cdot\) Kapital, ohne Zinseszins.
\(0.75 \cdot x + 2 \cdot y = 425\) rechnet mit 75 % und 200 % Zins. Das System mit \(x + y = 30\,000\) liefert dann ein negatives Kapital — die Probe am Text entlarvt den Fehler. Erst die Umrechnung macht daraus eine Zinsgleichung: \(0.0075 \cdot x + 0.02 \cdot y = 425\).
Zweite Falle ist der Zeitanteil: Wer ein Halbjahr zum vollen Jahressatz verzinst, rechnet den doppelten Zins; wer bei vier Monaten mit dem Faktor 4 multipliziert, den zwölffachen.
Herr Keller legt 30 000 CHF an: einen Teil auf ein Sparkonto zu 0.75 %, den Rest in eine Kassenobligation zu 2 %. Nach einem Jahr erhält er 425 CHF Zins.
① \(x\): Kapital auf dem Sparkonto in CHF; \(y\): Kapital in der Kassenobligation in CHF.
②
\[ \begin{cases} x + y = 30\,000 & \text{(CHF Kapital)} \\ 0.0075 \cdot x + 0.02 \cdot y = 425 & \text{(CHF Zins)} \end{cases} \]③ \(x = 30\,000 - y\) einsetzen: \(0.0075 \cdot (30\,000 - y) + 0.02 \cdot y = 425\), also \(225 + 0.0125 \cdot y = 425\) und \(y = 16\,000\). Damit \(x = 14\,000\).
④ Probe am Text: \(14\,000 + 16\,000 = 30\,000\) CHF ✓. Zins: \(0.0075 \cdot 14\,000 + 0.02 \cdot 16\,000 = 105 + 320 = 425\) CHF ✓. Auf dem Sparkonto liegen 14 000 CHF.
20 000 CHF werden aufgeteilt. Ein Teil liegt ein ganzes Jahr zu 0.8 % auf einem Sparkonto, der Rest nur ein halbes Jahr zu 2.4 % auf einem Festgeldkonto. Zusammen gibt das 212 CHF Zins.
① \(x\): Kapital auf dem Sparkonto in CHF; \(y\): Kapital auf dem Festgeldkonto in CHF.
②
\[ \begin{cases} x + y = 20\,000 \\ 0.008 \cdot 1 \cdot x + 0.024 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot y = 212 \end{cases} \]③ Die Zinsgleichung vereinfacht: \(0.008 \cdot x + 0.012 \cdot y = 212\). Mit \(x = 20\,000 - y\): \(160 + 0.004 \cdot y = 212\), also \(y = 13\,000\) und \(x = 7000\).
④ Probe am Text: \(7000 + 13\,000 = 20\,000\) CHF ✓. Zins: \(0.008 \cdot 7000 = 56\) CHF und \(0.024 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 13\,000 = 156\) CHF, zusammen 212 CHF ✓.
✏️ Mini-Check — Zins
Ein Kapital \(x\) liegt vier Monate zu 1.5 %. Welcher Faktor steht in der Zinsgleichung vor \(x\)?
- \(1.5 \cdot 4\)
- \(0.015 \cdot 4\)
- \(0.015 \cdot \tfrac{1}{3}\)
Lösung anzeigen
Ein Zinssatz von 0.6 % steht in der Zinsgleichung als Faktor .
Lösung anzeigen
Wie viel Zins bringen 9000 CHF zu 2 % während eines halben Jahres?
Lösung anzeigen
In der Kapitalgleichung kommen keine Zinssätze vor, in der Zinsgleichung schon. Warum steht trotzdem auf beiden Seiten jeder Gleichung dieselbe Einheit?
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Ansatz-Trainer
Hier geht es nur um die Schritte ① und ② des Bilanzprinzips. Wähle eine Aufgabe, lege fest, wofür \(x\), \(y\) und \(z\) stehen, und setze dann die Gleichungen aus Bausteinen zusammen. Die Rückmeldung prüft den Ansatz — gerechnet wird nicht, und ein Resultat verrät der Trainer nicht.
Aufgaben
Sieben Aufgaben mit zunehmender Selbstständigkeit. Schreibe bei jeder Aufgabe zuerst die Deklaration und das Gleichungssystem auf, bevor du rechnest.
Bestimme bei jedem Text den Aufgabentyp und deklariere die Unbekannten mit Bedeutung und Einheit. Stelle das Gleichungssystem auf, löse es aber nicht.
- Eine Gärtnerei mischt Blumenerde zu 2.40 CHF pro kg mit Kompost zu 0.90 CHF pro kg. Es sollen 80 kg einer Mischung zu 1.50 CHF pro kg entstehen.
- Bei einer zweistelligen Zahl ist die Zehnerziffer doppelt so gross wie die Einerziffer. Die Zahl ist um 36 grösser als die Zahl mit vertauschten Ziffern.
- Ein Umzugsunternehmen fährt mit einem Lieferwagen (Nutzlast 1.5 t) und einem Lastwagen (Nutzlast 7 t), immer voll beladen. In 15 Fahrten werden 61 t transportiert.
- Eine Pensionskasse legt 2 Millionen CHF in Obligationen zu 1.25 % und in Aktien mit 4 % erwarteter Rendite an. Der erwartete Ertrag nach einem Jahr beträgt 47 000 CHF.
- Typ 2 Mischen (Preis statt Stoffanteil). \(x\): Masse Blumenerde in kg, \(y\): Masse Kompost in kg. \(x + y = 80\) und \(2.40 \cdot x + 0.90 \cdot y = 1.50 \cdot 80\). Zur Kontrolle: 32 kg Erde, 48 kg Kompost.
- Typ 1 Ziffernrätsel. \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer. \(z = 2 \cdot e\) und \(10 \cdot z + e = 10 \cdot e + z + 36\). Zur Kontrolle: die Zahl 84.
- Typ 3 Verteilen (Fahrten). \(x\): Anzahl Fahrten Lieferwagen, \(y\): Anzahl Fahrten Lastwagen. \(x + y = 15\) und \(1.5 \cdot x + 7 \cdot y = 61\). Zur Kontrolle: 8 und 7 Fahrten.
- Typ 4 Zins. \(x\): Betrag in Obligationen in CHF, \(y\): Betrag in Aktien in CHF. \(x + y = 2\,000\,000\) und \(0.0125 \cdot x + 0.04 \cdot y = 47\,000\). Zur Kontrolle: 1 200 000 CHF und 800 000 CHF.
- Eine zweistellige Zahl ist 4-mal so gross wie ihre Quersumme. Ihre Einerziffer ist um 2 grösser als ihre Zehnerziffer. Wie heisst die Zahl?
- Multipliziert man eine ganze Zahl mit der um 5 grösseren Zahl, erhält man 84. Welche Zahl kann es sein?
1. \(z\): Zehnerziffer, \(e\): Einerziffer.
\[ \begin{cases} 10 \cdot z + e = 4 \cdot (z + e) \\ e = z + 2 \end{cases} \]Die erste Gleichung geordnet: \(6 \cdot z = 3 \cdot e\), also \(e = 2 \cdot z\). Gleichsetzen mit \(e = z + 2\): \(2 \cdot z = z + 2\), also \(z = 2\) und \(e = 4\). Probe am Text: 24 hat die Quersumme 6, und \(4 \cdot 6 = 24\) ✓; die Einerziffer 4 ist um 2 grösser als 2 ✓. Die Zahl heisst 24.
2. \(x\): die gesuchte ganze Zahl. \(x \cdot (x + 5) = 84\), also \(x^2 + 5 \cdot x - 84 = 0\) und \((x - 7) \cdot (x + 12) = 0\). Damit \(x = 7\) oder \(x = -12\).
Probe am Text: \(7 \cdot 12 = 84\) ✓ und \((-12) \cdot (-7) = 84\) ✓. Beide sind ganze Zahlen, also passen 7 und −12. Stünde im Text «natürliche Zahl», bliebe nur 7.
- Eine Goldschmiedin hat Silber 925 (92.5 % Silber) und Silber 800 (80 % Silber). Sie braucht 50 g einer Legierung mit 87.5 % Silber. Wie viele Gramm nimmt sie von jeder Sorte?
- 2 l Reinigungskonzentrat mit 40 % Wirkstoff sollen mit Wasser auf 16 % Wirkstoff verdünnt werden. Wie viel Wasser braucht es?
1. \(x\): Masse Silber 925 in g, \(y\): Masse Silber 800 in g.
\[ \begin{cases} x + y = 50 & \text{(g Legierung)} \\ 0.925 \cdot x + 0.8 \cdot y = 43.75 & \text{(g Silber)} \end{cases} \]Rechts in der Stoffbilanz steht die Silbermasse der Legierung, \(0.875 \cdot 50 = 43.75\) g.
Mit \(y = 50 - x\): \(0.925 \cdot x + 40 - 0.8 \cdot x = 43.75\), also \(0.125 \cdot x = 3.75\) und \(x = 30\), \(y = 20\). Probe am Text: \(30 + 20 = 50\) g ✓; Silber \(27.75 + 16 = 43.75\) g, und \(43.75 : 50 = 0.875\) ✓. Sie nimmt 30 g Silber 925 und 20 g Silber 800.
2. \(w\): Wassermenge in l. Die Wirkstoffmenge bleibt gleich, das Wasser bringt den Anteil 0 mit:
\[ 0.40 \cdot 2 + 0 \cdot w = 0.16 \cdot (2 + w) \]Also \(0.8 = 0.32 + 0.16 \cdot w\) und \(w = 3\). Probe am Text: 5 l Reiniger mit \(0.8\) l Wirkstoff, und \(0.8 : 5 = 0.16\) ✓. Es braucht 3 l Wasser.
Ein Kieswerk liefert mit zwei Lastwagen Kies auf eine Baustelle. Lastwagen A lädt pro Fahrt 18 t, Lastwagen B 14 t; beide fahren immer voll beladen.
- In 12 Fahrten werden 188 t geliefert. Wie viele Fahrten hat jeder Lastwagen gemacht?
- Wären mit 12 vollen Fahrten auch genau 190 t möglich?
1. \(x\): Anzahl Fahrten Lastwagen A, \(y\): Anzahl Fahrten Lastwagen B.
\[ \begin{cases} x + y = 12 & \text{(Fahrten)} \\ 18 \cdot x + 14 \cdot y = 188 & \text{(t Kies)} \end{cases} \]Mit \(y = 12 - x\): \(18 \cdot x + 168 - 14 \cdot x = 188\), also \(4 \cdot x = 20\) und \(x = 5\), \(y = 7\). Probe am Text: \(5 + 7 = 12\) Fahrten ✓, \(90 + 98 = 188\) t ✓.
2. Mit 190 t wird die Wertbilanz zu \(18 \cdot x + 14 \cdot y = 190\) und daraus \(4 \cdot x = 22\), \(x = 5.5\). Eine halbe Fahrt gibt es nicht — mit 12 vollen Fahrten sind 190 t nicht möglich. Hier leistet die Probe am Text die eigentliche Arbeit.
Anna teilt 15 000 CHF auf. Teil A legt sie für vier Monate zu 2.7 % an, Teil B für ein ganzes Jahr zu 1.2 %. Zusammen erhält sie 165 CHF Zins. Wie gross sind die beiden Teile?
\(x\): Teil A in CHF, \(y\): Teil B in CHF. Vier Monate sind \(\tfrac{1}{3}\) Jahr.
\[ \begin{cases} x + y = 15\,000 & \text{(CHF Kapital)} \\ 0.027 \cdot \tfrac{1}{3} \cdot x + 0.012 \cdot y = 165 & \text{(CHF Zins)} \end{cases} \]Die Zinsgleichung vereinfacht: \(0.009 \cdot x + 0.012 \cdot y = 165\). Mit \(y = 15\,000 - x\): \(0.009 \cdot x + 180 - 0.012 \cdot x = 165\), also \(0.003 \cdot x = 15\) und \(x = 5000\), \(y = 10\,000\).
Probe am Text: \(5000 + 10\,000 = 15\,000\) CHF ✓. Zins: \(0.027 \cdot \tfrac{1}{3} \cdot 5000 = 45\) CHF und \(0.012 \cdot 10\,000 = 120\) CHF, zusammen 165 CHF ✓. Teil A: 5000 CHF, Teil B: 10 000 CHF.
Deklariere die Unbekannten und stelle das Gleichungssystem auf. Nicht lösen — die Resultate in der Lösung dienen nur der Kontrolle.
- Der Zähler eines Bruchs ist um 5 kleiner als der Nenner. Vergrössert man Zähler und Nenner um je 1, erhält man \(\tfrac{2}{3}\).
- Ein Bioladen mischt Haselnüsse zu 18 CHF pro kg und Cashewkerne zu 32 CHF pro kg zu 5 kg einer Nussmischung, die 23.60 CHF pro kg kosten soll.
- Ein Verein legt 8000 CHF an, einen Teil zu 2.2 %, den Rest zu 0.9 %. Nach einem Jahr erhält er 111 CHF Zins.
- \(z\): Zähler; der Nenner ist \(z + 5\). Ansatz: \(\dfrac{z + 1}{z + 6} = \dfrac{2}{3}\), mit \(z \neq -6\). Kontrolle: \(z = 9\), der Bruch \(\tfrac{9}{14}\); \(\tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3}\) ✓.
- \(x\): Masse Haselnüsse in kg, \(y\): Masse Cashewkerne in kg. \(x + y = 5\) und \(18 \cdot x + 32 \cdot y = 23.60 \cdot 5\). Kontrolle: 3 kg Haselnüsse, 2 kg Cashewkerne; \(54 + 64 = 118\) CHF ✓.
- \(x\): Kapital zu 2.2 % in CHF, \(y\): Kapital zu 0.9 % in CHF. \(x + y = 8000\) und \(0.022 \cdot x + 0.009 \cdot y = 111\). Kontrolle: 3000 CHF und 5000 CHF; \(66 + 45 = 111\) CHF ✓.
5000 CHF liegen zwei Jahre lang auf einem Konto. Der Zins des ersten Jahres wird am Jahresende gutgeschrieben und im zweiten Jahr mitverzinst; der Zinssatz ist in beiden Jahren gleich. Nach zwei Jahren stehen 5304.50 CHF auf dem Konto. Wie hoch ist der Zinssatz?
\(p\): Jahreszinssatz als Dezimalzahl. Nach einem Jahr ist das Kapital \(5000 \cdot (1 + p)\), nach zwei Jahren \(5000 \cdot (1 + p) \cdot (1 + p)\):
\[ 5000 \cdot (1 + p)^2 = 5304.50 \]Also \((1 + p)^2 = 1.0609\) und \(1 + p = 1.03\) oder \(1 + p = -1.03\). Die negative Lösung \(p = -2.03\) passt nicht zur Situation. Damit \(p = 0.03\), der Zinssatz beträgt 3 %.
Probe am Text: \(5000 \cdot 1.03 = 5150\) CHF nach einem Jahr, \(5150 \cdot 1.03 = 5304.50\) CHF nach zwei Jahren ✓.
Zusatzserie: Technische Sachverhalte
Der RLP verlangt, Sachverhalte «im technischen Kontext» als Gleichung oder Gleichungssystem zu formulieren. Das Bilanzprinzip trägt auch hier: Statt Stück und Franken werden Widerstände, Kräfte, Drehmomente, Wege oder Wärme bilanziert. Die nötige Physik steht jeweils in der Aufgabe.
Zwei Widerstände \(R_1\) und \(R_2\) liegen an einer Spannung von 18 V. In Reihe geschaltet fliesst ein Strom von 0.12 A, parallel geschaltet ein Strom von 0.5 A. Bestimme \(R_1\) und \(R_2\).
Physik: Ohmsches Gesetz \(R = \dfrac{U}{I}\). Reihenschaltung \(R = R_1 + R_2\), Parallelschaltung \(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}\).
\(R_1\), \(R_2\): die beiden Widerstände in Ω. Aus dem ohmschen Gesetz: in Reihe \(R = 18 : 0.12 = 150\) Ω, parallel \(R = 18 : 0.5 = 36\) Ω.
\[ \begin{cases} R_1 + R_2 = 150 \\ \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} = \dfrac{1}{36} \end{cases} \]Die zweite Gleichung mit \(36 \cdot R_1 \cdot R_2\) multiplizieren: \(36 \cdot (R_2 + R_1) = R_1 \cdot R_2\), also \(R_1 \cdot R_2 = 36 \cdot 150 = 5400\). Mit \(R_2 = 150 - R_1\):
\[ R_1 \cdot (150 - R_1) = 5400 \] \[ R_1^2 - 150 \cdot R_1 + 5400 = 0 \] \[ R_1 = \frac{150 \pm \sqrt{22\,500 - 21\,600}}{2} = \frac{150 \pm 30}{2} \]\(R_1 = 90\) Ω (dann \(R_2 = 60\) Ω) oder \(R_1 = 60\) Ω (dann \(R_2 = 90\) Ω). Die beiden Lösungen beschreiben dasselbe Paar: ein Widerstand mit 60 Ω, einer mit 90 Ω.
Probe am Text: Reihe \(60 + 90 = 150\) Ω, \(18 : 150 = 0.12\) A ✓. Parallel \(\tfrac{1}{60} + \tfrac{1}{90} = \tfrac{5}{180} = \tfrac{1}{36}\), also 36 Ω und \(18 : 36 = 0.5\) A ✓.
Ein 1.2 m langer Träger liegt an seinen beiden Enden auf den Stützen A und B. Im Abstand von 0.4 m von A hängt eine Last mit der Gewichtskraft 900 N; das Eigengewicht des Trägers wird vernachlässigt. Wie gross sind die Stützkräfte \(F_A\) und \(F_B\)?
Physik: Im Gleichgewicht ist die Summe der Kräfte null, und die Drehmomente um jeden Punkt heben sich auf. Drehmoment = Kraft · Hebelarm.
\(F_A\), \(F_B\): Stützkräfte in N, nach oben gerichtet.
\[ \begin{cases} F_A + F_B = 900 & \text{(Kräfte)} \\ F_B \cdot 1.2 = 900 \cdot 0.4 & \text{(Momente um A)} \end{cases} \]Die erste Gleichung bilanziert Kräfte in N, die zweite Drehmomente um A in N·m.
Aus der zweiten Gleichung \(F_B = 360 : 1.2 = 300\) N, aus der ersten \(F_A = 600\) N.
Probe am Text mit den Drehmomenten um B: \(F_A \cdot 1.2 = 600 \cdot 1.2 = 720\) N·m, die Last wirkt mit \(900 \cdot 0.8 = 720\) N·m ✓. Plausibel: Die Last hängt näher bei A, also trägt A mehr. \(F_A = 600\) N, \(F_B = 300\) N.
Eine Sammellinse hat die Brennweite \(f = 12\) cm. Eine Kerze und ein Schirm stehen 50 cm auseinander. An welcher Stelle zwischen Kerze und Schirm muss die Linse stehen, damit auf dem Schirm ein scharfes Bild entsteht?
Physik: Linsengleichung \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b}\) mit der Gegenstandsweite \(g\) (Kerze bis Linse) und der Bildweite \(b\) (Linse bis Schirm).
\(g\): Abstand Kerze–Linse in cm, \(b\): Abstand Linse–Schirm in cm, mit \(0 \lt g \lt 50\).
\[ \begin{cases} g + b = 50 & \text{(Weg in cm)} \\ \dfrac{1}{g} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{12} & \text{(Linsengleichung)} \end{cases} \]\(b = 50 - g\) einsetzen und mit \(12 \cdot g \cdot (50 - g)\) multiplizieren: \(12 \cdot (50 - g) + 12 \cdot g = g \cdot (50 - g)\), also \(600 = 50 \cdot g - g^2\) und
\[ g^2 - 50 \cdot g + 600 = 0 \] \[ (g - 20) \cdot (g - 30) = 0 \]\(g = 20\) cm mit \(b = 30\) cm oder \(g = 30\) cm mit \(b = 20\) cm. Probe am Text: \(\tfrac{1}{20} + \tfrac{1}{30} = \tfrac{5}{60} = \tfrac{1}{12}\) ✓. Es gibt zwei Stellen: 20 cm oder 30 cm von der Kerze entfernt. Bei \(g = 20\) cm ist das Bild vergrössert, bei \(g = 30\) cm verkleinert.
Für ein Bad sollen 150 l Wasser mit 40 °C aus Warmwasser mit 60 °C und Kaltwasser mit 10 °C gemischt werden. Wie viele Liter braucht es von jedem? Wärmeverluste werden vernachlässigt; 1 l Wasser hat die Masse 1 kg.
Physik: Beim Mischen gibt das warme Wasser so viel Wärme ab, wie das kalte aufnimmt. Wärme \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\), für beide Wassermengen mit derselben spezifischen Wärmekapazität \(c\).
\(x\): Menge Warmwasser in l (bzw. kg), \(y\): Menge Kaltwasser in l (bzw. kg).
\[ \begin{cases} x + y = 150 & \text{(Menge)} \\ c \cdot x \cdot (60 - 40) = c \cdot y \cdot (40 - 10) & \text{(Wärme)} \end{cases} \]\(c\) kürzt sich: \(20 \cdot x = 30 \cdot y\), also \(x = 1.5 \cdot y\). Eingesetzt: \(2.5 \cdot y = 150\), \(y = 60\) und \(x = 90\).
Probe am Text: \(90 + 60 = 150\) l ✓; abgegeben \(20 \cdot 90 = 1800\), aufgenommen \(30 \cdot 60 = 1800\) (je mal \(c\) in kJ/kg) ✓. 90 l Warmwasser, 60 l Kaltwasser.
Die Wärmebilanz ist dieselbe Gleichung wie die Stoffbilanz von Typ 2: \(60 \cdot x + 10 \cdot y = 40 \cdot 150\) ergibt ebenfalls \(5400 + 600 = 6000\) ✓.
Zusammenfassung
Zuerst deklarieren, dann bilanzieren: Jede Unbekannte bekommt Bedeutung und Einheit, und jede Gleichung zählt dieselbe Grösse auf zwei Arten — Menge und Wert. Die Probe gehört an den Text, nicht an die eigenen Gleichungen.
| Typ | Erkennbar an | Mengenbilanz | Wertbilanz |
|---|---|---|---|
| Zahlen- und Ziffernrätsel | Quersumme, vertauschte Ziffern, Zähler und Nenner | erste Aussage des Textes | zweite Aussage; mit einem Produkt quadratisch |
| Mischen | Sorten mit Anteil in % oder Preis pro kg | \(x + y = M\) | \(p_1 \cdot x + p_2 \cdot y = p \cdot M\) |
| Verteilen | Stück, Billette, Fahrten, Sets | eine Stückbilanz pro Artikel | \(a \cdot x + b \cdot y = W\) |
| Zins | Kapital, Zinssatz, Laufzeit | \(x + y = K\) | \(p_1 \cdot t_1 \cdot x + p_2 \cdot t_2 \cdot y = Z\) |
| Technik | Widerstände, Kräfte, Linsen, Wärme | Summe der Teile (Ω, N, cm, l) | physikalisches Gesetz als zweite Bilanz |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Ansatz-Trainer: Wann ist ein Ansatz richtig?
- 0:00Im Ansatz-Trainer baust du den Ansatz einer Textaufgabe aus Bausteinen. Wann ist ein Ansatz richtig?
- 0:09Kaffee zu vierundzwanzig und zu sechsunddreissig Franken pro Kilogramm ergibt zwölf Kilogramm zu neunundzwanzig Franken. Unbekannt sind die Massen x und y, in Kilogramm. Erst wenn das stimmt, erscheinen die Terme.
- 0:22Gleichung eins zählt Kilogramm, Gleichung zwei den Wert in Franken. Der Trainer nennt dazu Mengenbilanz und Wertbilanz. Rechts steht der Wert der ganzen Mischung: neunundzwanzig mal zwölf Franken.
- 0:34Jetzt heisst die teure Sorte x und die günstige y. Die Bausteine übernehmen die neuen Namen. Auch mit vertauschten Seiten meldet der Trainer wieder Mengenbilanz und Wertbilanz.
- 0:45Merke: Jede Gleichung drückt eine Bilanz aus dem Text aus. Namen und Seiten sind frei. Falsch wird der Ansatz erst durch einen Übersetzungsfehler, etwa neunundzwanzig statt neunundzwanzig mal zwölf.
Textaufgaben: zuerst deklarieren, dann bilanzieren
- 0:00Hundertfünfzig Gipfeli und Weggli für zusammen zweihundertfünf Franken. Wie viele von jeder Sorte? Schwierig ist hier nicht das Rechnen, sondern der Weg vom Text zum Gleichungssystem.
- 0:11Schritt eins: jede Unbekannte deklarieren, mit Bedeutung und Einheit. x ist die Anzahl verkaufter Gipfeli in Stück, y die Anzahl verkaufter Weggli. Bloss x gleich Gipfeli genügt nicht.
- 0:23Schritt zwei: Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen, und jede ist eine Bilanz. Die Stückzahlen ergeben zusammen hundertfünfzig. Die Beträge ergeben zusammen zweihundertfünf Franken.
- 0:34Schritt drei, zum Beispiel mit Einsetzen: y ist hundertfünfzig minus x. Es bleibt null Komma fünf x plus hundertfünfundsechzig gleich zweihundertfünf, also x gleich achtzig und y gleich siebzig.
- 0:48Schritt vier: die Probe am Text. Achtzig und siebzig sind hundertfünfzig Stück. Hundertachtundzwanzig plus siebenundsiebzig Franken sind zweihundertfünf. Und die Zahlen sind ganz und positiv.
- 1:00Warum am Text? Wer rechts hundertfünfzig statt zweihundertfünf schreibt, erhält x gleich minus dreissig. In den eigenen Gleichungen stimmt die Probe trotzdem. Erst der Text zeigt: Minus dreissig Gipfeli gibt es nicht.
Zusatzmaterial
Zum Ausdrucken und Mitnehmen — Theorie, Übersichtstabelle und Karteikarten.