Die Aufgaben üben das Modellieren mit Funktionen, das Bestimmen von Definitions- und Wertebereichen, Achsenschnittpunkten und Schnittpunkten zweier Graphen — und zwar in realistischen Situationen aus Technik, Naturwissenschaft und Alltag. Die Musterlösungen folgen am Ende.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Hydraulik | Wassertank entleeren | ●●○ |
| 2 | Wärmelehre | Abkühlung im Backofen | ●●○ |
| 3 | Mechanik | Bremsweg-Modell | ●●● |
| 4 | Telekommunikation | Handy-Tarif | ●●○ |
| 5 | Mobilität | Treffpunkt zweier Fahrzeuge | ●●● |
| 6 | Messtechnik | Zwei Sensorkennlinien | ●●● |
Ein Wassertank fasst 600 L. Über ein Ventil fliessen pro Minute 15 L ab.
(a) Stelle die Funktion \(V(t)\) für die Wassermenge in L in Abhängigkeit der Zeit \(t\) in min auf. Welche Form hat sie?
(b) Berechne den \(y\)-Achsenabschnitt und die Nullstelle. Was bedeuten diese in der Sachsituation?
(c) Bestimme den sachlich sinnvollen Definitions- und Wertebereich.
(d) Wie viel Wasser ist nach 25 min noch im Tank?
Lösungsweg:
Ein Brot wird mit 200 °C aus dem Ofen genommen. Die Raumtemperatur beträgt 20 °C. Während der ersten Minuten kühlt das Brot näherungsweise mit konstant 18 °C pro Minute ab. Die Temperatur \(T\) (in °C) zur Zeit \(t\) (in min) sei näherungsweise:
\[ T(t) = 200 - 18 \cdot t \](a) Welche Temperatur hat das Brot nach 5 min?
(b) Berechne, wann das Brot rechnerisch die Raumtemperatur erreicht hätte. Warum ist das Modell nur für kurze Zeit gültig?
(c) Bestimme einen sinnvollen Definitions- und Wertebereich, sodass das Modell nicht in den physikalisch unsinnigen Bereich gerät.
Lösungsweg:
Der Bremsweg \(s\) (in m) eines PKW in Abhängigkeit der Geschwindigkeit \(v\) (in km/h) wird durch \(s(v) = \dfrac{v^2}{100}\) angenähert.
(a) Ist \(s(v)\) eine Funktion? Begründe.
(b) Welcher Definitionsbereich ist mathematisch möglich, welcher sachlich sinnvoll?
(c) Welcher \(y\)-Achsenabschnitt liegt vor und was bedeutet er physikalisch?
(d) Hat \(s(v)\) Nullstellen? Wie viele und wo?
Lösungsweg:
Ein Mobilfunkanbieter bietet zwei Tarife an:
(a) Stelle für jeden Tarif die monatlichen Kosten \(K(x)\) als Funktion der Anzahl Minuten \(x\) auf.
(b) Bestimme den \(y\)-Achsenabschnitt jeder Funktion und seine Bedeutung.
(c) Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen. Ab wann lohnt sich Tarif A?
Lösungsweg:
Zwei Fahrzeuge starten zur gleichen Zeit. Fahrzeug A startet bei \(s = 0\) km mit konstant 80 km/h. Fahrzeug B startet bei \(s = 120\) km und fährt mit konstant 60 km/h dem Fahrzeug A entgegen.
(a) Stelle die Wegfunktionen \(s_A(t)\) und \(s_B(t)\) auf (\(t\) in h, \(s\) in km).
(b) Wann und wo treffen sich die beiden Fahrzeuge?
(c) Welche \(y\)-Achsenabschnitte haben die Funktionen, und was bedeuten sie?
Lösungsweg:
Zwei Temperatursensoren liefern je ein Spannungssignal in Abhängigkeit von der gemessenen Temperatur \(T\) (in °C). Sensor A folgt der Kennlinie \(U_A(T) = 0.012 \cdot T + 0.40\), Sensor B der Kennlinie \(U_B(T) = 0.020 \cdot T + 0.20\) (Spannungen in V).
(a) Skizziere beide Kennlinien im Bereich \(T \in [0; 50]\) °C in ein gemeinsames Diagramm.
(b) Bei welcher Temperatur liefern beide Sensoren dasselbe Signal? Berechne den Schnittpunkt rechnerisch.
(c) Welcher Sensor reagiert empfindlicher auf Temperaturänderungen? Begründe mit den Steigungen.
Lösungsweg:
(a) \(V(t) = 600 - 15 \cdot t\) (lineare Funktion).
(b) \(V(0) = 600\) — Anfangsfüllmenge. Nullstelle: \(0 = 600 - 15 \cdot t \Longrightarrow t = 40\) min — Tank ist leer.
(c) Sachlich: \(D = [0; 40]\) min, \(W = [0; 600]\) L. Mathematisch wäre \(D = \mathbb{R}\), aber für \(t < 0\) und \(t > 40\) ergibt das Modell physikalisch keinen Sinn.
(d) \(V(25) = 600 - 15 \cdot 25 = 600 - 375 = 225\) L.
(a) \(T(5) = 200 - 18 \cdot 5 = 200 - 90 = 110\) °C.
(b) \(T(t) = 20 \Longrightarrow 200 - 18 \cdot t = 20 \Longrightarrow t = 10\) min. Tatsächlich folgt die Abkühlung dem Newtonschen Abkühlungsgesetz exponentiell — die lineare Näherung ist nur für die ersten paar Minuten brauchbar, danach kühlt das Brot zunehmend langsamer.
(c) Sinnvoll: \(D = [0; 10]\) min und \(W = [20; 200]\) °C. Für \(t > 10\) würde das Modell Temperaturen unter Raumtemperatur liefern, was physikalisch unmöglich ist.
(a) Ja — zu jeder Geschwindigkeit \(v\) gehört genau ein Bremsweg \(s\). Vertikaltest erfüllt.
(b) Mathematisch: \(D = \mathbb{R}\) (Quadrat ist immer definiert). Sachlich: \(D = [0, v_{\max}]\) mit \(v_{\max}\) je nach Strassentyp (z.B. 120 km/h auf der Autobahn). Negative Geschwindigkeiten machen physikalisch keinen Sinn.
(c) \(y\)-Achsenabschnitt: \(s(0) = 0\). Bei \(v = 0\) ist der Bremsweg null — das Fahrzeug steht bereits.
(d) Eine Nullstelle bei \(v = 0\) (doppelt). Für \(v \neq 0\) ist \(s > 0\).
(a) \(K_A(x) = 0.10 \cdot x + 25\), \(K_B(x) = 0.30 \cdot x\).
(b) \(K_A(0) = 25\) CHF: Grundgebühr (auch ohne Gespräche). \(K_B(0) = 0\) CHF: keine Grundgebühr.
(c) Schnittpunkt: \(0.10 \cdot x + 25 = 0.30 \cdot x \Longrightarrow 0.20 \cdot x = 25 \Longrightarrow x = 125\) min. \(K = 37.50\) CHF.
Tarif A lohnt sich ab 125 min Telefonieren pro Monat. Bei weniger Minuten ist B günstiger.
(a) \(s_A(t) = 80 \cdot t\), \(s_B(t) = 120 - 60 \cdot t\) (Fahrzeug B fährt entgegengesetzt, daher Minuszeichen vor 60).
(b) Treffen: \(s_A(t) = s_B(t) \Longrightarrow 80 \cdot t = 120 - 60 \cdot t \Longrightarrow 140 \cdot t = 120 \Longrightarrow t = \dfrac{120}{140} = \dfrac{6}{7} \approx 0.857\) h \(\approx\) 51.4 min.
Treffort: \(s_A(\tfrac{6}{7}) = 80 \cdot \tfrac{6}{7} = \tfrac{480}{7} \approx 68.6\) km.
(c) \(s_A(0) = 0\): Startposition von A. \(s_B(0) = 120\): Startposition von B.
(a) Beide Kennlinien sind Geraden — siehe Diagramm unten. Achsenbeschriftung: \(T\) [°C], \(U\) [V].
(b) Schnittpunkt: \(U_A(T) = U_B(T) \Longrightarrow 0.012 \cdot T + 0.40 = 0.020 \cdot T + 0.20 \Longrightarrow 0.20 = 0.008 \cdot T \Longrightarrow T = 25\) °C. Bei \(T = 25\) °C liefert jeder der Sensoren \(U = 0.70\) V.
(c) Sensor B ist empfindlicher: Steigung \(0.020 > 0.012\) V/°C, d.h. pro Grad Temperaturänderung ändert sich \(U_B\) stärker als \(U_A\). Bei gleicher Spannungs-Anzeige-Auflösung des Messgeräts ist Sensor B daher genauer (eine kleine, gerade noch unterscheidbare Spannungsdifferenz entspricht bei B einer kleineren Temperaturdifferenz als bei A).