3.1 Grundlagen
Eine Funktion ist eine Vorschrift, die jeder Zahl aus einem Definitionsmenge genau eine Zahl im Wertemenge zuordnet. Hier lernst du die zentralen Begriffe — Zuordnung, Funktionsgleichung, Wertetabelle, Graph — und übst die Notationen, die in allen folgenden Funktionstypen wiederkehren.
- reelle Funktionen als Zuordnung/Abbildung zwischen dem reellen Definitionsmenge \(D\) und dem reellen Wertemenge \(W\) verstehen und erläutern
- mit Funktionen beschreiben, wie sich Änderungen einer Grösse auf eine abhängige Grösse auswirken und damit auch den Zusammenhang als Ganzes erfassen
- reelle Funktionen verbal, tabellarisch, grafisch (in kartesischen Koordinaten) und analytisch mit beliebigen Symbolen für Argumente und Werte lesen, schreiben und interpretieren
- Funktionsgleichung, Wertetabelle und Graph kontextspezifisch anwenden
- reelle Funktionen \(f : D \longrightarrow W\) in verschiedenen Notationen lesen und schreiben (Zuordnungsvorschrift \(x \longmapsto f(x)\), Funktionsgleichung \(f : D \longrightarrow W\) mit \(y = f(x)\), Funktionsterm \(f(x)\))
- Gleichungen mithilfe von Funktionen visualisieren und interpretieren
- Schnittpunkte von Funktionsgraphen grafisch und rechnerisch bestimmen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine Funktion als eindeutige Zuordnung zwischen Definitionsmenge \(D\) und Wertemenge \(W\) erklären.
- Ich kann Funktionen verbal, tabellarisch, grafisch und analytisch lesen, schreiben und ineinander übersetzen.
- Ich kann die drei Notationen (Zuordnungsvorschrift, Funktionsgleichung, Funktionsterm) unterscheiden und verwenden.
- Ich kann entscheiden, ob eine Zuordnung oder ein Graph eine Funktion ist.
- Ich kann Achsenschnittpunkte und Schnittpunkte zweier Graphen grafisch und rechnerisch bestimmen.
Einstieg — Wasser im Becher
Ein Wasserhahn liefert konstant 3 dl pro Sekunde in einen Becher. Zu jedem Zeitpunkt \(t\) (in Sekunden) gehört eindeutig eine Wassermenge \(V\) (in dl) im Becher:
\[ V(t) = 3 \cdot t \]Stelle den Schieberegler unten ein und beobachte, wie zu jedem \(t\) genau ein \(V\) gehört. Genau diese Eindeutigkeit ist das Kernstück des Funktionsbegriffs.
Egal welchen Zeitpunkt \(t\) man wählt: es gibt genau einen Wert \(V(t)\). Niemals zwei verschiedene Wassermengen zur selben Zeit. Das ist der Funktionsbegriff in einem Satz: Eine Funktion ordnet jedem \(x\) genau ein \(y\) zu.
Definition
Eine reelle Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, die jedem Element \(x\) einer Menge \(D \subseteq \mathbb{R}\) (dem Definitionsmenge) genau einen Wert \(y \in W \subseteq \mathbb{R}\) (dem Wertemenge) zuordnet. Schreibweise:
\[ f : D \longrightarrow W, \qquad x \longmapsto f(x) \]Lies: „\(f\) ist eine Funktion von \(D\) nach \(W\), die jedem \(x\) den Funktionswert \(f(x)\) zuordnet."
Die Variable \(x\) heisst Argument oder unabhängige Variable. Der dazugehörige Wert \(y = f(x)\) heisst Funktionswert oder abhängige Variable.
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Argument | \(x\) | Eingangswert, unabhängig wählbar aus \(D\) |
| Funktionswert | \(f(x), y\) | Resultat der Zuordnung, abhängig von \(x\) |
| Definitionsmenge | \(D\) | Menge aller erlaubten \(x\) |
| Wertemenge | \(W\) | Menge aller tatsächlich auftretenden \(y\) |
| Funktionsterm | \(f(x)\) | Rechenvorschrift, z.B. \(2 \cdot x + 1\) |
| Funktionsgleichung | \(y = f(x)\) | vollständige Schreibweise inkl. Variable |
Für \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \; x \longmapsto 2 \cdot x + 1\) ist:
- \(f(0) = 2 \cdot 0 + 1 = 1\)
- \(f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)
- \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3\)
Das Argument wird in den Funktionsterm eingesetzt; das Ergebnis ist der Funktionswert.
✏️ Mini-Check — Funktionsbegriff
Eine Funktion \(f\) ordnet jedem \(x \in D\) … zu.
- mehrere \(y\)-Werte
- genau einen \(y\)-Wert
- keinen Wert
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Die Menge \(D\) heisst bereich.
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Berechne \(f(2)\) für \(f(x) = 3x - 1\).
Lösung anzeigen
Warum beschreibt die Kreisgleichung \(x^2 + y^2 = 1\) keine Funktion \(y = f(x)\)?
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Vier Darstellungsformen
Eine Funktion kann auf vier verschiedene Arten beschrieben werden — jede macht andere Aspekte sichtbar. Alle vier beschreiben dieselbe Funktion, sofern die Darstellung vollständig ist (Term, verbale Vorschrift, Graph) bzw. die Funktion eindeutig festlegt (eine Wertetabelle allein genügt das im Allgemeinen nicht — sie zeigt nur einzelne Punkte).
| \(t\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(V\) | 0 | 3 | 6 | 9 | 12 |
Verbal: nützlich für Aufgabenstellungen und Modellierung.
Wertetabelle: liefert konkrete Punkte zum Zeichnen oder Rechnen.
Graph: zeigt das qualitative Verhalten (Steigung, Schnittpunkte, Extrema) auf einen Blick.
Term: ist die kompakteste Form und ermöglicht exaktes Rechnen für beliebige \(x\).
Eine Wertetabelle zeigt nur die Werte an den eingetragenen Stellen — was zwischen und ausserhalb dieser Stellen passiert, bleibt offen. Betrachte die Wertetabelle
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(f(x)\) | 0 | 1 | 4 | 9 |
Die Werte passen zu \(f(x) = x^2\). Sie passen aber auch zu \(h(x) = x^2 + x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3)\) — denn der zusätzliche Term verschwindet an genau \(x = 0, 1, 2, 3\). Probe: \(h(0)=0\), \(h(1)=1\), \(h(2)=4\), \(h(3)=9\) ✓. Trotzdem ist \(h\) keineswegs \(f\): an \(x = 4\) liefert \(f\) den Wert 16, \(h\) hingegen 40. Es gibt unendlich viele Funktionen mit derselben Wertetabelle — man kann beliebige Terme hinzufügen, die an den Tabellenstellen verschwinden.
Konsequenz: Eine Wertetabelle allein bestimmt eine Funktion nur, wenn der Funktionstyp (z.B. „lineare Funktion") vorgegeben ist. Verbale Vorschrift, Graph und Funktionsterm sind in dem Sinn vollständiger — sie legen den Wert für jedes \(x\) im Definitionsmenge fest.
Drei Schreibweisen für dieselbe Funktion
In Lehrmitteln und Aufgaben begegnen drei gleichwertige Schreibweisen. Bei der Berufsmaturität muss die Vollform-Schreibweise mit Definitions- und Wertemenge beherrscht werden.
| Form | Schreibweise | Bemerkung |
|---|---|---|
| Zuordnungsvorschrift | \(x \longmapsto 2 \cdot x + 1\) | betont die Abbildung „\(x\) wird abgebildet auf …" |
| Funktionsgleichung | \(y = 2 \cdot x + 1\) | übliche Form für Schule und Anwendung |
| Vollform mit \(D, W\) | \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \; x \longmapsto 2 \cdot x + 1\) | vollständig — inkl. Definitions- und Zielmenge* |
* Die Menge hinter dem Pfeil (\(\mathbb{R}\)) ist die Zielmenge — der Vorrat an \(y\)-Werten, aus dem die Funktion schöpfen darf. Die Wertemenge \(W\) ist die Teilmenge davon, die tatsächlich angenommen wird. Für \(f(x)=2x+1\) fallen beide zusammen (\(W = \mathbb{R}\)); im Allgemeinen ist \(W\) echt kleiner als die Zielmenge.
Definitions- und Wertemenge
Nicht jede Rechenvorschrift ist für jedes \(x\) sinnvoll. Beispiele für Einschränkungen:
| Funktion | Einschränkung | Definitionsmenge |
|---|---|---|
| \(f(x) = 2 \cdot x + 1\) | keine | \(D = \mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | Nenner darf nicht 0 sein | \(D = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | Radikand muss \(\geq 0\) sein | \(D = \mathbb{R}_{\geq 0} = [0; \infty[\) |
| \(f(x) = x^2\) | keine | \(D = \mathbb{R},\; W = \mathbb{R}_{\geq 0}\) (\(y\) nie negativ) |
Bei Anwendungsaufgaben ist \(D\) oft kleiner als der mathematisch mögliche Bereich. Beispiel: \(V(t) = 3 \cdot t\) ist mathematisch für alle \(t \in \mathbb{R}\) definiert — physikalisch ergibt aber nur \(t \geq 0\) Sinn (negative Zeit?). Der Definitionsmenge der Anwendung lautet daher z.B. \(D = [0\,\text{s};\, T_{\max}]\), wobei \(T_{\max}\) durch das Becherfassungsvermögen begrenzt ist.
✏️ Mini-Check — Notationen, D und W
\(x \mapsto f(x)\) heisst …
- Funktionsterm
- Zuordnungsvorschrift
- Wertetabelle
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Die Menge \(W\) heisst bereich.
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Bestimme den Definitionsmenge von \(f(x) = \sqrt{x}\).
Lösung anzeigen
Bestimme den Definitionsmenge von \(f(x) = \dfrac{1}{x - 2}\).
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Funktion oder keine Funktion?
Der Schlüssel ist die Eindeutigkeit: jedes \(x \in D\) hat genau einen \(y\)-Wert. Geometrisch lässt sich das mit dem Vertikaltest (auch Senkrechten- oder Vertikallinientest genannt) prüfen: schiebt man gedanklich eine senkrechte Gerade über den Graphen, darf sie ihn an jeder Stelle höchstens einmal schneiden.
Eine Kurve im Koordinatensystem ist genau dann der Graph einer Funktion, wenn jede zur \(y\)-Achse parallele Gerade die Kurve höchstens in einem Punkt schneidet.
Die folgenden vier Kurven sollst du als Funktion oder Nicht-Funktion einordnen. Klicke unter jedem Bild auf den Knopf, der deine Vermutung trägt.
✏️ Mini-Check — Funktion oder nicht?
Ein Graph gehört zu einer Funktion, wenn jede senkrechte Gerade ihn …
- höchstens einmal schneidet
- mindestens zweimal schneidet
- nie schneidet
Lösung anzeigen
Die senkrechte Gerade \(x = 3\) ist Funktion.
Lösung anzeigen
Eine Wertetabelle enthält die Zeilen \(x = 1 \to y = 2\) und \(x = 1 \to y = 5\). Funktion?
Lösung anzeigen
Ist \(y^2 = x\) eine Funktion \(y = f(x)\)? Und \(y = \sqrt{x}\)?
Lösungsweg anzeigen
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Zwei besondere Punkte interessieren bei jedem Funktionsgraphen: der Schnitt mit der \(y\)-Achse und die Schnitte mit der \(x\)-Achse. Wir betrachten zwei Beispiele unterschiedlicher Funktionsart.
y-Achsenabschnitt (Schnitt mit \(y\)-Achse, dort gilt \(x = 0\)):
\[ y_0 = f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6 \]Punkt: \((0 \mid -6)\).
Nullstelle (Schnitt mit \(x\)-Achse, dort gilt \(y = 0\)):
\[ f(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 2 \cdot x - 6 = 0 \;\Longrightarrow\; 2 \cdot x = 6 \;\Longrightarrow\; x = 3 \]Punkt: \((3 \mid 0)\).
y-Achsenabschnitt:
\[ y_0 = g(0) = 0^2 - 4 = -4 \]Punkt: \((0 \mid -4)\).
Nullstellen — eine Funktion kann mehr als eine haben:
\[ g(x) = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2 \]Zwei Nullstellen: \((-2 \mid 0)\) und \((2 \mid 0)\).
Bemerkung: Eine Funktion hat höchstens einen y-Achsenabschnitt (\(x = 0\) ist eine einzige Stelle), aber sie kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.
- y-Achsenabschnitt: Setze \(x = 0\) in den Funktionsterm ein und berechne \(y_0 = f(0)\).
- Nullstellen: Setze \(f(x) = 0\) und löse die entstandene Gleichung nach \(x\) auf.
- Schreibe die Schnittpunkte als Koordinatenpaare \((0 \mid f(0))\) bzw. \((x_0 \mid 0)\).
Stelle die Parameter \(a\) und \(b\) ein und beobachte, wie sich y-Achsenabschnitt und Nullstelle der Geraden \(f(x) = a \cdot x + b\) verändern:
Eine quadratische Funktion in Scheitelform \(g(x) = (x - u)^2 + v\) hat — je nach Lage des Scheitels — keine, eine oder zwei Nullstellen. Verschiebe die Parabel und beobachte:
Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen
Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich in einem Punkt \(S\), wenn ihre Funktionswerte dort übereinstimmen: \(f(x) = g(x)\). Diese Bedingung ist eine Gleichung in \(x\) und liefert die \(x\)-Koordinate(n) des Schnittpunkts. Die \(y\)-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen in eine der beiden Funktionen.
Gegeben: \(f(x) = 2 \cdot x - 4\) und \(g(x) = -x + 5\).
Gleichsetzen: \(2 \cdot x - 4 = -x + 5\)
Auflösen: \(3 \cdot x = 9 \;\Longrightarrow\; x_S = 3\)
\(y\)-Koordinate: \(y_S = f(3) = 2 \cdot 3 - 4 = 2\) (Probe mit \(g\): \(g(3) = -3 + 5 = 2\) ✓)
Schnittpunkt: \(S(3 \mid 2)\)
Gegeben: \(f(x) = x + 1\) und \(g(x) = x^2 - 1\).
Gleichsetzen: \(x + 1 = x^2 - 1\)
Umstellen: \(x^2 - x - 2 = 0\)
Mitternachtsformel oder Faktorisieren: \(x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = 2,\; x_2 = -1\)
\(y\)-Koordinaten: \(y_1 = f(2) = 3\), \(y_2 = f(-1) = 0\). Probe: \(g(2) = 3\) ✓, \(g(-1) = 0\) ✓.
Zwei Schnittpunkte: \(S_1(2 \mid 3)\) und \(S_2(-1 \mid 0)\).
Bemerkung: Beim Schnitt zweier Funktionen unterschiedlichen Grades können mehrere Schnittpunkte auftreten.
- Funktionsterme gleichsetzen: \(f(x) = g(x)\).
- Resultierende Gleichung nach \(x\) auflösen → \(x_S\) (es können mehrere Lösungen entstehen).
- Jedes \(x_S\) in eine der Funktionen einsetzen → \(y_S\).
- Andere Funktion als Probe verwenden.
Verschiebe die Gerade \(f(x) = m \cdot x + b\) und beobachte, wie sich Anzahl und Lage der Schnittpunkte mit der festen Parabel \(g(x) = x^2\) verändern. Die Schnittbedingung \(m \cdot x + b = x^2\) ergibt eine quadratische Gleichung — die Diskriminante entscheidet:
Die Notation \(f(3) = 5\) bedeutet: das Argument ist \(x = 3\), der Funktionswert ist \(y = 5\). Im Punkt \((3 \mid 5)\) auf dem Graphen. Wer das vertauscht (\(x = 5\), \(y = 3\)), liest den Punkt falsch ab und kommt bei jeder Folgeaufgabe auf falsche Resultate. Eselsbrücke: was in der Klammer steht, geht in die Funktion hinein.
Für „Schnittpunkt von \(f\) und \(g\)" reicht eine Gleichung: \(f(x) = g(x)\). Das ergibt die \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts. Den \(y\)-Wert bekommst du, indem du diese \(x\)-Lösung in irgendeine der beiden Funktionen einsetzt — beide Funktionen liefern denselben Wert, weil sie sich ja genau dort schneiden. Diese Doppelprobe (\(x\)-Lösung in \(f\) und in \(g\) einsetzen, beide Werte vergleichen) ist die einfachste Probe, die du dir vorstellen kannst.
✏️ Mini-Check — Achsenschnitte und Schnittpunkte
Den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse findet man über …
- \(f(0)\)
- \(f(x) = 0\)
- \(x = y\)
Lösung anzeigen
Nullstellen bestimmt man mit dem Ansatz \(f(x) =\) .
Lösung anzeigen
Bestimme Nullstelle und \(y\)-Achsenabschnitt von \(f(x) = 2x - 4\).
Lösung anzeigen
Berechne den Schnittpunkt von \(f(x) = 2x - 4\) und \(g(x) = -x + 5\).
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Aufgaben
Gegeben: \(f(x) = -3 \cdot x + 5\). Berechne die fehlenden Werte:
\(f(0) = -3 \cdot 0 + 5 = 5\), \(f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -1\),
\(f(-1) = -3 \cdot (-1) + 5 = 8\), \(f(\tfrac{5}{3}) = -3 \cdot \tfrac{5}{3} + 5 = -5 + 5 = 0\).
Beobachtung: \(f(\tfrac{5}{3}) = 0\) — die Stelle \(x = \tfrac{5}{3}\) ist also die Nullstelle.
Gib den grösstmöglichen reellen Definitionsmenge \(D\) jeder Funktion an.
- \(f(x) = \dfrac{4}{x - 3}\)
- \(g(x) = \sqrt{x + 5}\)
- \(h(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) Vertiefung
- \(k(x) = x^2 - 7\)
- Nenner \(\neq 0\): \(x \neq 3\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
- Radikand \(\geq 0\): \(x + 5 \geq 0 \Longrightarrow x \geq -5\). \(D = [-5; \infty[\).
- Wurzel-Radikand \(\geq 0\) und Nenner \(\neq 0\): \(x > 0\). \(D = ]0; \infty[\).
- Keine Einschränkung. \(D = \mathbb{R}\).
Welche der folgenden Aussagen sind richtig? Klicke pro Aussage auf ✓ oder ✗.
- Falsch. Senkrechte Geraden sind keine Funktionen — siehe 2.
- Richtig. Bei \(x = 2\) gibt es unendlich viele \(y\)-Werte, also keine Eindeutigkeit.
- Falsch. Ein Kreis hat zu jedem \(x\) im Innern zwei \(y\)-Werte (oben und unten). Vertikaltest schlägt fehl.
- Richtig. Quadratische Funktionen sind eindeutig.
Gegeben: \(f(x) = -2 \cdot x + 8\). Bestimme:
y-Achsenabschnitt: \(f(0) = -2 \cdot 0 + 8 = 8\). Punkt \((0 \mid 8)\).
Nullstelle: \(-2 \cdot x + 8 = 0 \Longrightarrow x = 4\). Punkt \((4 \mid 0)\).
Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Funktionsgraphen \(f(x) = x + 2\) und \(g(x) = -2 \cdot x + 8\).
Gleichsetzen: \(x + 2 = -2 \cdot x + 8 \Longrightarrow 3 \cdot x = 6 \Longrightarrow x_S = 2\).
\(y_S = f(2) = 2 + 2 = 4\). Probe: \(g(2) = -4 + 8 = 4\) ✓. \(S(2 \mid 4)\).
Ein Tank enthält 200 L Wasser. Pro Minute fliessen 8 L ab.
- Stelle die Funktion \(V(t)\) (Wassermenge in L, \(t\) in min) auf.
- Was bedeuten die Achsenschnittpunkte in der Sachsituation?
- Wie lange ist die Funktion sinnvoll definiert?
- \(V(t) = 200 - 8 \cdot t\). Mit \(t\) in min, \(V\) in L.
- y-Achsenabschnitt \(V(0) = 200\): Anfangsfüllung. Nullstelle \(V(t) = 0 \Longrightarrow t = 25\): nach 25 min ist der Tank leer.
- Sachlich: \(D = [0\,\text{min};\, 25\,\text{min}]\). Mathematisch wäre \(D = \mathbb{R}\), aber für \(t < 0\) und \(t > 25\) macht das Modell physikalisch keinen Sinn (negative Zeit, negative Wassermenge).
Bei \(t = 25\) ist \(V(25) = 0\) — der Tank ist gerade leer. Mathematisch ist \(0\) ein zulässiger Wassermengen-Wert; deshalb wird \(t = 25\) typischerweise eingeschlossen: \(D = [0;25]\). Wer das Modell streng als „Wasser fliesst ab" liest, könnte \(t = 25\) ausschliessen (\(D = [0;25[\)), weil nach diesem Zeitpunkt nichts mehr abfliesst. Beide Konventionen sind verteidigbar — wichtig ist, die Entscheidung im Sachzusammenhang zu begründen. Im Zweifel: geschlossen, wenn der Randwert physikalisch erreichbar ist.
Zwei Mobilfunkanbieter bieten Datentarife für \(g\) Gigabyte:
- Anbieter A: \(P_A(g) = 5\cdot g + 10\) (CHF)
- Anbieter B: \(P_B(g) = 2\cdot g + 25\) (CHF)
- Bestimme den Schnittpunkt der beiden Funktionen rechnerisch und interpretiere ihn im Sachzusammenhang.
- Welcher Anbieter ist bei einem Verbrauch von 3 GB günstiger? Welcher bei 10 GB?
- Beschreibe in einem Satz, in welchem Verbrauchsbereich welcher Anbieter günstiger ist.
- Schnittpunkt: \(P_A(g) = P_B(g) \Rightarrow 5g + 10 = 2g + 25 \Rightarrow 3g = 15 \Rightarrow g = 5\). Preis bei diesem Verbrauch: \(P_A(5) = 35 = P_B(5)\). Interpretation: bei \(5\,\text{GB}\) kosten beide Anbieter gleich viel (35 CHF).
- Bei \(3\,\text{GB}\): \(P_A = 25\), \(P_B = 31\) → A ist günstiger. Bei \(10\,\text{GB}\): \(P_A = 60\), \(P_B = 45\) → B ist günstiger.
- Bei einem Datenverbrauch unter 5 GB ist A günstiger, über 5 GB ist B günstiger; bei genau 5 GB sind beide gleich teuer. ↗ 3.2
Zusammenfassung
Eine Funktion ordnet jedem Argument genau einen Funktionswert zu. Die Wahl von Definitions- und Wertemenge ist Teil der Funktion — bei Anwendungsaufgaben oft enger als der mathematisch mögliche Bereich.
| Konzept | Symbol/Schreibweise | Zentrale Aussage |
|---|---|---|
| Funktion | \(f : D \to W,\; x \mapsto f(x)\) | jedes \(x\) hat genau ein \(y\) |
| Argument · Wert | \(x\) · \(f(x) = y\) | unabhängig · abhängig |
| Definitionsmenge | \(D\) | erlaubte \(x\)-Werte |
| Wertemenge | \(W\) | tatsächlich auftretende \(y\) |
| Vier Darstellungen | verbal · Tabelle · Graph · Term | beschreiben dieselbe Funktion, wenn die Darstellung vollständig bzw. eindeutig ist |
| Vertikaltest | jede Senkrechte schneidet höchstens einmal | geometrisches Funktionskriterium |
| y-Achsenabschnitt | \(y_0 = f(0)\) | Schnitt mit \(y\)-Achse |
| Nullstelle | \(f(x) = 0\) | Schnitt mit \(x\)-Achse |
| Schnittpunkt zweier Funktionen | \(f(x) = g(x)\) | gleichsetzen, dann auflösen |
Mit den Grundbegriffen aus diesem Kapitel hast du das Fundament — jetzt geht es um die zwei zentralen Funktionsfamilien des Grundlagenfachs:
| Thema | Form | Was du dort lernst |
|---|---|---|
| ↗ 3.2 Lineare Funktionen | \(f(x) = m\cdot x + b\) | Steigung, Achsenabschnitt, Gleichung aus Graph/zwei Punkten aufstellen |
| ↗ 3.3 Quadratische Funktionen | \(f(x) = a\cdot x^2 + b\cdot x + c\) | Parabel-Formen, Scheitelpunkt, Nullstellen, Extremwertaufgaben |
Zusatzmaterial
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