3.1 Grundlagen

Wasser im Becher: zu jedem t genau ein V

1. 0:00Ein Hahn füllt drei Deziliter pro Sekunde in einen Becher. Wie viele Füllstände gehören zu einem einzigen Zeitpunkt?
2. 0:09Nach drei Sekunden sind neun Deziliter im Becher. Im Graphen gehört dazu genau ein Punkt.
3. 0:19Nach acht Sekunden sind es vierundzwanzig Deziliter. Welches t du auch wählst: Es gibt immer genau einen Füllstand, nie zwei.
4. 0:28Und rückwärts? Fünfzehn Deziliter sind es nur nach fünf Sekunden, denn der Becher wird stetig voller.
5. 0:38Merke: Eine Funktion ordnet jedem t genau ein V zu. Die Umkehrung muss nicht eindeutig sein; hier ist sie es nur, weil der Becher stetig voller wird.

Vier Darstellungen: die Tabelle ist nur eine Stichprobe

1. 0:00Die Animation zeigt dieselbe Funktion viermal: in Worten, als Tabelle, als Graph und als Term. Legen alle vier die Funktion ganz fest?
2. 0:09Verfolge t gleich drei. Das Dreifache ist neun: Die Tabelle zeigt neun, im Graphen liegt der Punkt drei und neun, und der Term rechnet drei mal drei.
3. 0:19Zwischen den Tabellenpunkten läuft der Graph weiter. Für t gleich zwei Komma fünf liefert der Term sieben Komma fünf. Die Tabelle hat dafür keine Spalte.
4. 0:29Der Kasten darunter zeigt die Folge: f und h gehen durch dieselben vier Tabellenpunkte. Bei x gleich vier liefert f aber sechzehn und h vierzig.
5. 0:38Merke: Worte, Graph und Term legen den Wert für jedes t fest. Die Tabelle zeigt nur einzelne Stellen: Sie ist eine Stichprobe, keine Vorschrift.

Vertikaltest: eine Stelle mit zwei Treffern genügt

1. 0:00Im Vertikaltest schiebst du eine senkrechte Gerade über eine Kurve, hier über einen Kreis. Kann er den Test bestehen?
2. 0:09Bei x gleich eins trifft die Testgerade den Kreis zweimal, bei y ungefähr plus und minus zwei Komma acht drei. Ein x, zwei y-Werte.
3. 0:19Bei x gleich drei gibt es nur einen Treffer. Das rettet den Kreis nicht: Die Stelle x gleich eins mit zwei Treffern bleibt.
4. 0:29Bei x gleich vier trifft die Gerade gar nicht. Das ist harmlos: Dieses x gehört einfach nicht zur Definitionsmenge.
5. 0:38Merke: Für eine Funktion darf jede Testgerade höchstens einmal treffen. Eine einzige Stelle mit zwei Treffern genügt, und es ist keine Funktion.

Selbsttest: Eindeutigkeit zählt, nicht die Form

1. 0:00Im Selbsttest entscheidest du bei vier Kurven: Funktion oder keine? Das Werkzeug ist wieder die senkrechte Testgerade.
2. 0:09Gerade und Parabel bestehen: Jede senkrechte Gerade trifft sie höchstens einmal. Dass die Parabel gebogen ist, spielt keine Rolle.
3. 0:18Der Kreis scheitert. Eine Senkrechte durch sein Inneres trifft ihn oben und unten, also zweimal.
4. 0:26Auch die liegende Parabel scheitert: Zu x gleich null gehören zwei y-Werte, plus und minus zwei. Es ist dieselbe Parabelform wie bei B, nur gedreht.
5. 0:36Merke: Ob eine Kurve eine Funktion ist, entscheidet nicht ihre Form, sondern ob jedes x höchstens einen y-Wert hat. Die Testgerade prüft genau das.

Achsenschnitte: x = 0 einsetzen, y = 0 lösen

1. 0:00Die Beispiele zeigen eine Gerade und eine Parabel mit ihren Schnittpunkten mit den Achsen. Welche Rechnung liefert welchen Punkt?
2. 0:09Auf der y-Achse ist x gleich null: Einsetzen gibt minus sechs. Auf der x-Achse ist y gleich null: Aus zwei x minus sechs gleich null folgt x gleich drei.
3. 0:21Bei der Parabel gilt dieselbe Regel. Einsetzen gibt minus vier. Die Gleichung x Quadrat minus vier gleich null hat aber zwei Lösungen: plus und minus zwei.
4. 0:31Merke: Der y-Achsenabschnitt ist immer Einsetzen, die Nullstelle immer eine Gleichung lösen. Darum gibt es höchstens einen y-Achsenabschnitt, aber es können mehrere Nullstellen sein.

Gerade: y-Achsenabschnitt fest, Nullstelle wandert

1. 0:00In der Animation stellst du a und b einer Geraden ein. Was passiert mit den Achsenschnitten, wenn du nur a veränderst?
2. 0:09Mit a gleich zwei und b gleich minus vier schneidet die Gerade die y-Achse bei minus vier, also bei b. Die Nullstelle liegt bei minus b durch a, also bei zwei.
3. 0:20Jetzt nur a auf eins. Der y-Achsenabschnitt bleibt minus vier. Die Gerade wird flacher, und die Nullstelle wandert nach rechts auf vier.
4. 0:30Mit a gleich null ist die Gerade waagrecht. Sie trifft die x-Achse nie: Es gibt keine Nullstelle.
5. 0:39Merke: Der y-Achsenabschnitt ist immer b, egal wie steil die Gerade ist. Die Nullstelle liegt bei minus b durch a, aber nur für a ungleich null.

Parabel: das Vorzeichen von v zählt die Nullstellen

1. 0:00Die Parabel hat ihren Scheitel bei u und v und ist nach oben geöffnet. Was entscheidet, wie viele Nullstellen sie hat?
2. 0:09Mit v gleich minus zwei liegt der Scheitel unter der x-Achse. Die Parabel schneidet sie zweimal, bei ungefähr minus null Komma vier eins und zwei Komma vier eins.
3. 0:20Mit v gleich null liegt der Scheitel genau auf der x-Achse. Die Parabel berührt sie nur dort: genau eine Nullstelle, bei x gleich eins.
4. 0:29Mit v gleich plus zwei liegt der Scheitel über der x-Achse. Ein Quadrat plus zwei ist mindestens zwei und wird nie null: keine Nullstelle.
5. 0:39Merke: Bei der nach oben geöffneten Parabel entscheidet das Vorzeichen von v. Negativ: zwei Nullstellen, null: eine, positiv: keine. u verschiebt die Parabel nur waagrecht.

Schnittpunkte: gleicher Wert an derselben Stelle

1. 0:00Die Beispiele zeigen zwei Graphen, die sich schneiden. Welche Gleichung liefert die Schnittpunkte?
2. 0:09Im Schnittpunkt haben beide Funktionen denselben Wert. Also gleichsetzen: zwei x minus vier gleich minus x plus fünf gibt x gleich drei. Beide liefern dort zwei.
3. 0:20Bei Gerade und Parabel gibt das Gleichsetzen die quadratische Gleichung x Quadrat minus x minus zwei gleich null. Sie hat zwei Lösungen, zwei und minus eins: zwei Schnittpunkte.
4. 0:31Merke: Schnittpunkte findest du immer mit f von x gleich g von x. So viele Lösungen, so viele Schnittpunkte: bei zwei verschiedenen Geraden höchstens einer, bei Gerade und Parabel bis zu zwei.

Gerade und Parabel: die Diskriminante zählt die Schnittpunkte

1. 0:00Eine Gerade mit Steigung m und Achsenabschnitt b trifft die Parabel x Quadrat. Wie viele Schnittpunkte gibt es?
2. 0:09Aus m x plus b gleich x Quadrat wird x Quadrat minus m x minus b gleich null. Mit m gleich zwei und b gleich eins ist die Diskriminante acht, also positiv: zwei Schnittpunkte.
3. 0:22Jetzt b gleich minus eins. Die Diskriminante ist null: Die Gerade berührt die Parabel nur im Punkt eins, eins. Sie ist eine Tangente.
4. 0:32Mit b gleich minus zwei wird die Diskriminante minus vier. Negativ heisst: Die Gerade verfehlt die Parabel, kein Schnittpunkt.
5. 0:41Merke: Die Schnittpunkte erfüllen x Quadrat minus m x minus b gleich null. Die Diskriminante m Quadrat plus vier b entscheidet: positiv zwei Schnittpunkte, null einer, negativ keiner.

Funktionen: was eine Funktion zur Funktion macht

1. 0:00Eine Funktion ordnet zu. Aber nicht jede Zuordnung ist eine Funktion — es gibt genau eine Bedingung.
2. 0:08Die Bedingung heisst Eindeutigkeit: Zu jedem x aus der Definitionsmenge gehört genau ein y. Nicht keines, nicht zwei — genau eines.
3. 0:17Die Zuordnung x auf x hoch zwei ist eine Funktion. Setz ein x ein, und es kommt genau ein Wert heraus. Dass zwei verschiedene x denselben Wert liefern können, stört nicht — verboten ist nur der umgekehrte Fall.
4. 0:30Und ein Gegenbeispiel: y Quadrat gleich x. Setz vier ein, dann ist y zwei oder minus zwei — zwei Werte für ein x. Das ist keine Funktion.
5. 0:40Am Graphen sieht man es sofort: Lege eine senkrechte Gerade an jede Stelle. Trifft sie den Graphen mehr als einmal, ist es keine Funktion. Das ist die Senkrechten-Probe.
6. 0:51Zum Mitnehmen: Eine Funktion darf nicht schwanken. Zu jedem x gehört genau ein y — das ist alles, was es zur Funktion braucht.

Funktionen: Definitionsmenge und Wertemenge

1. 0:00Zwei Mengen gehören zu jeder Funktion: die eine sagt, was hinein darf, die andere, was herauskommt.
2. 0:08Die Definitionsmenge ist die Menge aller x, die man einsetzen darf. Meistens sind das alle reellen Zahlen — ausser dort, wo etwas verboten ist.
3. 0:16Beispiel: eins durch x minus zwei. Der Nenner darf nicht null werden, also ist zwei verboten. D ist R ohne die Zwei.
4. 0:26Bei einer Wurzel muss stehen bleiben, was darunter steht: Wurzel aus x minus drei verlangt x grösser gleich drei.
5. 0:35Die Wertemenge liest man anders ab — nicht am Term, sondern am Verlauf. Bei x Quadrat kommt nie etwas Negatives heraus, also ist W das Intervall von null bis unendlich.
6. 0:46Zum Mitnehmen: D ist der Vorrat, W ist die Ausbeute. D findet man über die Verbote, W über den Verlauf.

Funktionen: Tabelle, Term und Graph sind dasselbe

1. 0:00Dieselbe Funktion lässt sich auf drei Arten hinschreiben. Keine ist richtiger als die andere — jede zeigt etwas anderes.
2. 0:08Der Term ist die Rechenvorschrift: nimm x, verdopple es, zieh eins ab.
3. 0:16Aus dem Term wird die Tabelle: für jedes x den Wert ausrechnen. Bei minus eins ist es minus drei, bei null minus eins, bei eins eins, bei zwei drei.
4. 0:26Und aus der Tabelle wird der Graph: jedes Paar ist ein Punkt, die Punkte liegen hier auf einer Geraden.
5. 0:32Der Rückweg geht genauso: Aus dem Graphen liest man Punkte ab, aus zwei Punkten bekommt man den Term. Der Kreis schliesst sich.
6. 0:40Zum Mitnehmen: Der Term rechnet, die Tabelle zählt auf, der Graph zeigt. Für eine Aufgabe wählt man die Darstellung, die am wenigsten Arbeit macht.

Funktionen: den Funktionswert berechnen

1. 0:00Den Funktionswert an einer Stelle zu berechnen heisst: einsetzen. Zwei Stellen muss man dabei auseinanderhalten.
2. 0:08Für jedes x in der Vorschrift wird die Zahl geschrieben. Drei zum Quadrat ist neun, minus vier mal drei ist minus zwölf, plus drei. Zusammen null.
3. 0:17Und jetzt die Stelle, an der es schiefgeht. f von null ist etwas anderes als f von x gleich null. Das eine ist eine Rechnung, das andere eine Gleichung.
4. 0:27Am Graphen sind es zwei verschiedene Stellen: f von null ist der Schnittpunkt mit der y-Achse, f von x gleich null sind die Schnittpunkte mit der x-Achse.
5. 0:37Zum Mitnehmen: In der Klammer steht immer das x. Was daneben steht, ist das Ergebnis.

Funktionen: Nullstellen bestimmen

1. 0:00Eine Nullstelle ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse trifft. Dort ist der Funktionswert null.
2. 0:08Das Verfahren ist immer dasselbe: Term gleich null setzen und die Gleichung lösen. Welche Art Gleichung dabei herauskommt, hängt an der Funktion.
3. 0:17Ein lineares Beispiel: zwei x minus sechs gleich null. Plus sechs, geteilt durch zwei — x gleich drei.
4. 0:26Und ein quadratisches: x Quadrat minus vier gleich null. Das gibt zwei Nullstellen, plus und minus zwei.
5. 0:36Zum Mitnehmen: Nullstelle heisst y gleich null, nicht x gleich null. Und gerechnet wird immer über die Gleichung f von x gleich null.

Funktionen: Schnittpunkte zweier Funktionen

1. 0:00Zwei Funktionen, ein Schnittpunkt. An dieser Stelle haben beide denselben Wert — genau das ist die Gleichung, die man aufstellt.
2. 0:08Also gleichsetzen: zwei x minus eins gleich minus x plus fünf. Alles mit x nach links, den Rest nach rechts.
3. 0:18Jetzt fehlt noch das y. Dafür setzt man das x in eine der beiden Funktionen ein — in welche, ist gleichgültig.
4. 0:27Der Schnittpunkt ist also S mit den Koordinaten zwei und drei.
5. 0:33Zum Mitnehmen: Gleichsetzen gibt das x, Einsetzen gibt das y. Wer nach dem Gleichsetzen aufhört, hat die halbe Antwort.

Funktionen: die Wertetabelle vom Rechner füllen lassen

1. 0:00Die Tabelle aus dem Dreieck Term, Tabelle, Graph — bisher hast du sie Zeile für Zeile ausgerechnet. Der Rechner füllt sie in einem Zug, wenn du ihm die Funktion einmal gibst.
2. 0:10Die Taste table öffnet ein Menü mit drei Zeilen. Die erste, Add slash Edit Func, ist die Eingabe: Dort steht f von x gleich, und du tippst den Term hin — zwei x minus eins.
3. 0:21Danach fragt der Rechner drei Dinge: Start ist die erste Zeile der Tabelle, Step der Abstand zur nächsten, und Auto heisst, dass er von selbst weiterzählt. Start minus eins, Step eins — und da steht genau die Tabelle, die du sonst von Hand gerechnet hast.
4. 0:35Trägst du bei g auch etwas ein, stehen beide Spalten nebeneinander. Bei x gleich eins steht in der g-Spalte eine Null — dort hat g eine Nullstelle. Und wo beide Spalten denselben Wert tragen, schneiden sich die zwei Graphen.
5. 0:48Nicht jede Stelle liegt auf einem Raster. Stellst du statt Auto auf ask-x, tippst du die x-Werte selber ein und der Rechner ergänzt nur die Funktionswerte — null Komma fünf gibt genau null, hundert gibt hundertneunundneunzig.
6. 1:01Und wenn du mitten in einer Rechnung nur einen einzelnen Wert brauchst: table, dann zwei — das setzt f Klammer auf in die Zeile. F von sieben ist dreizehn, ohne den Term ein zweites Mal zu tippen.
7. 1:12Die Tabelle zeigt Werte, keine Kurve. Zwischen zwei Zeilen kann alles passieren — die Nullstelle, der Scheitel, der Sprung. Was dazwischen liegt, holt die Rechnung.