Eine reelle Funktion \(f\) ist eine Zuordnung, die jedem Element \(x\) einer Menge \(D \subseteq \mathbb{R}\) (dem Definitionsbereich) genau einen Wert \(y \in W \subseteq \mathbb{R}\) (dem Wertebereich) zuordnet:
\[ f : D \longrightarrow W, \qquad x \longmapsto f(x) \]Der Wert \(y = f(x)\) heisst Funktionswert oder abhängige Variable; \(x\) ist das Argument oder die unabhängige Variable.
| Begriff | Symbol | Bedeutung |
|---|---|---|
| Argument | \(x\) | Eingangswert, frei wählbar aus \(D\) |
| Funktionswert | \(f(x), y\) | Resultat der Zuordnung |
| Definitionsbereich | \(D\) | Menge aller erlaubten \(x\) |
| Wertebereich | \(W\) | Menge aller tatsächlich auftretenden \(y\) |
| Funktionsterm | \(f(x)\) | Rechenvorschrift, z.B. \(2 \cdot x + 1\) |
| Funktionsgleichung | \(y = f(x)\) | vollständige Schreibweise |
Eine Funktion lässt sich auf vier äquivalente Arten beschreiben — alle enthalten dieselbe Information, machen aber unterschiedliche Aspekte sichtbar:
| Form | Beispiel \(V(t) = 3 \cdot t\) | Stärke |
|---|---|---|
| verbal | jeder Sekunde \(t\) wird das Dreifache zugeordnet | Modellierung, Aufgabentext |
| Wertetabelle | \(t = 0, 1, 2, 3 \;\rightarrow\; V = 0, 3, 6, 9\) | konkrete Punkte, Zeichnen |
| Graph | Gerade durch Ursprung mit Steigung 3 | qualitatives Verhalten |
| Term/Gleichung | \(V(t) = 3 \cdot t\) | kompakt, exaktes Rechnen |
| Form | Schreibweise |
|---|---|
| Zuordnungsvorschrift | \(x \longmapsto 2 \cdot x + 1\) |
| Funktionsgleichung | \(y = 2 \cdot x + 1\) |
| Vollform mit \(D, W\) | \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\; x \longmapsto 2 \cdot x + 1\) |
| Funktion | Einschränkung | \(D\) |
|---|---|---|
| \(f(x) = 2 \cdot x + 1\) | keine | \(\mathbb{R}\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | Nenner \(\neq 0\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| \(f(x) = \sqrt{x}\) | Radikand \(\geq 0\) | \([0; \infty[\) |
| \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | Radikand \(> 0\) (Wurzel + Nenner) | \(]0; \infty[\) |
Bei Anwendungen ist \(D\) häufig kleiner als der mathematisch mögliche Bereich. Beispiel: \(V(t) = 3 \cdot t\) ist mathematisch für alle \(t \in \mathbb{R}\) definiert, physikalisch aber nur für \(t \geq 0\) sinnvoll.
Eine Kurve im Koordinatensystem ist genau dann der Graph einer Funktion, wenn jede zur \(y\)-Achse parallele Gerade die Kurve höchstens in einem Punkt schneidet.
| Kurve | Funktion? | Begründung |
|---|---|---|
| schiefe Gerade \(y = m \cdot x + b\) | ja | jeder \(x\)-Wert hat genau ein \(y\) |
| senkrechte Gerade \(x = c\) | nein | bei \(x = c\) unendlich viele \(y\)-Werte |
| Parabel \(y = a \cdot x^2 + b \cdot x + c\) | ja | jeder \(x\)-Wert hat genau ein \(y\) |
| Kreis um Ursprung | nein | zwei \(y\)-Werte bei fast jedem \(x\) |
| Schnittpunkt | Bedingung | Berechnung | Punkt |
|---|---|---|---|
| \(y\)-Achsenabschnitt | \(x = 0\) | \(y_0 = f(0)\) | \((0 \mid f(0))\) |
| Nullstelle(n) | \(y = 0\) | Gleichung \(f(x) = 0\) lösen | \((x_0 \mid 0)\) |
Eine Funktion hat höchstens einen \(y\)-Achsenabschnitt, kann aber keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.
Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) schneiden sich, wenn die Funktionswerte übereinstimmen:
\[ f(x) = g(x) \]Vorgehen:
| Funktion | \(f : D \to W,\; x \mapsto f(x)\) — jedes \(x\) hat genau ein \(y\) |
| Definitionsbereich | \(D\) — erlaubte \(x\)-Werte |
| Wertebereich | \(W\) — tatsächlich auftretende \(y\) |
| y-Achsenabschnitt | \(y_0 = f(0)\) |
| Nullstelle | \(f(x) = 0\) lösen |
| Schnittpunkt zweier Funktionen | \(f(x) = g(x)\) gleichsetzen, auflösen |