12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 40 Minuten.
Vervollständige die Definition:
Gegeben: \(f(x) = -2 \cdot x + 5\). Berechne:
(a) \(f(0)\) (b) \(f(3)\) (c) \(f(-1)\) (d) \(f(\tfrac{5}{2})\).
Liegt der Punkt \(P(2 \mid -3)\) auf dem Graphen von \(f(x) = x^2 - 4 \cdot x + 1\)? Begründe rechnerisch.
Bestimme den grösstmöglichen reellen Definitionsbereich:
(a) \(f(x) = \dfrac{3}{x + 2}\) (b) \(g(x) = \sqrt{2 \cdot x - 6}\) (c) \(h(x) = \dfrac{x}{x^2 - 9}\)
Bestimme den Wertebereich der Funktionen für \(D = \mathbb{R}\):
(a) \(f(x) = x^2\) (b) \(g(x) = -x^2 + 3\) (c) \(h(x) = 2 \cdot x + 1\)
Welche der folgenden Kurven sind Graphen einer Funktion? Begründe jeweils kurz mit dem Vertikaltest.
(a) Gerade \(y = -3 \cdot x + 2\) (b) Senkrechte Gerade \(x = 4\) (c) Parabel \(y = x^2 - 1\) (d) Kreis um Ursprung mit Radius 3
Beschreibt die Gleichung \(y^2 = x\) eine Funktion \(y\) in Abhängigkeit von \(x\)? Begründe.
Bestimme \(y\)-Achsenabschnitt und Nullstelle von \(f(x) = -3 \cdot x + 12\).
Bestimme \(y\)-Achsenabschnitt und alle Nullstellen von \(g(x) = x^2 - 6 \cdot x + 8\).
Berechne den Schnittpunkt von \(f(x) = 3 \cdot x - 5\) und \(g(x) = -x + 7\). Mache die Probe.
Berechne die Schnittpunkte von \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x + 2\). Skizziere beide Graphen im untenstehenden Koordinatensystem und markiere die Schnittpunkte.
In einem Tank befinden sich 480 L Wasser. Pro Minute fliessen 12 L ab.
(a) Stelle die Funktion \(V(t)\) auf (\(V\) in L, \(t\) in min).
(b) Was bedeuten \(y\)-Achsenabschnitt und Nullstelle in der Sachsituation?
(c) Gib den sachlich sinnvollen Definitions- und Wertebereich an.
\(D\) (Definitionsbereich); \(W\) (Wertebereich); \(D \longrightarrow W\); \(f(x)\).
(a) \(f(0) = 5\) (b) \(f(3) = -1\) (c) \(f(-1) = 7\) (d) \(f(\tfrac{5}{2}) = 0\)
\(f(2) = 4 - 8 + 1 = -3\). Da \(f(2) = -3\) passt, liegt \(P(2 \mid -3)\) auf dem Graphen. ✓
(a) Nenner \(\neq 0\): \(x \neq -2\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
(b) Radikand \(\geq 0\): \(2 \cdot x - 6 \geq 0 \Longrightarrow x \geq 3\). \(D = [3; \infty[\).
(c) Nenner \(x^2 - 9 = 0 \Longrightarrow x = \pm 3\). \(D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}\).
(a) \(W = [0; \infty[\) (Quadrat ist immer \(\geq 0\)).
(b) \(W = ]-\infty; 3]\) (nach unten geöffnet, Maximum 3 bei \(x = 0\)).
(c) \(W = \mathbb{R}\) (lineare Funktion mit \(m \neq 0\)).
(a) Ja — schiefe Gerade, jeder \(x\)-Wert hat genau ein \(y\).
(b) Nein — bei \(x = 4\) gibt es unendlich viele \(y\)-Werte.
(c) Ja — Parabeln sind eindeutig.
(d) Nein — bei \(|x| < 3\) zwei \(y\)-Werte (oben und unten).
Nein. Aus \(y^2 = x\) folgt \(y = \pm \sqrt{x}\) — zu jedem \(x > 0\) gehören zwei \(y\)-Werte. Es ist eine Relation, aber keine Funktion. Vertikaltest schlägt fehl.
\(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = 12\). Punkt \((0 \mid 12)\).
Nullstelle: \(-3 \cdot x + 12 = 0 \Longrightarrow x = 4\). Punkt \((4 \mid 0)\).
\(y\)-Achsenabschnitt: \(g(0) = 8\). Punkt \((0 \mid 8)\).
Nullstellen: \(x^2 - 6 \cdot x + 8 = 0 \Longrightarrow (x - 2)(x - 4) = 0\).
\(x_1 = 2\), \(x_2 = 4\). Punkte \((2 \mid 0)\) und \((4 \mid 0)\).
Gleichsetzen: \(3 \cdot x - 5 = -x + 7 \Longrightarrow 4 \cdot x = 12 \Longrightarrow x_S = 3\).
\(y_S = f(3) = 9 - 5 = 4\). Probe: \(g(3) = -3 + 7 = 4\) ✓. \(S(3 \mid 4)\).
Gleichsetzen: \(x^2 = x + 2 \Longrightarrow x^2 - x - 2 = 0\).
Faktorisieren: \((x - 2)(x + 1) = 0 \Longrightarrow x_1 = 2,\; x_2 = -1\).
\(y_1 = f(2) = 4\), \(y_2 = f(-1) = 1\). Schnittpunkte \(S_1(2 \mid 4)\), \(S_2(-1 \mid 1)\).
(a) \(V(t) = 480 - 12 \cdot t\) (in L, \(t\) in min).
(b) \(V(0) = 480\): Anfangsfüllmenge. Nullstelle \(V(t) = 0 \Longrightarrow t = 40\): nach 40 min ist der Tank leer.
(c) Sachlich: \(D = [0; 40]\) min, \(W = [0; 480]\) L. Mathematisch wäre \(D = \mathbb{R}\), aber für \(t < 0\) und \(t > 40\) ergibt das Modell physikalisch keinen Sinn.
Wenn du 10 oder mehr Aufgaben richtig gelöst hast, beherrschst du die Grundlagen. Bei weniger als 8: Handout nochmals durcharbeiten und die nicht gelösten Aufgaben erneut versuchen.