Die Aufgaben stammen aus verschiedenen technischen Bereichen und sind nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Pro Aufgabe ist eine Seite mit Skizze und Lösungsfläche reserviert. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Elektrotechnik | Ohmsches Gesetz | ●●○ |
| 2a | Mechanik | Gleichförmige Bewegung | ●●● |
| 2b | Mechanik | Entgegenkommende Züge | ●●● |
| 2c | Architektur | Treppensteigung | ●●● |
| 3 | Wärmelehre | Temperaturumrechnung Celsius → Kelvin | ●●● |
| 4 | Hydraulik | Behälter mit Zu- und Abfluss | ●●● |
| 5 | Gebäudetechnik | Heizkostenkennlinien | ●●○ |
| 6 | Thermodynamik | Wärmedehnung Stahlstab | ●●● |
| 7 | Elektronik | Spannungsteiler | ●●○ |
| 8 | Regelungstechnik | Zwei Sensorkennlinien | ●●○ |
| 9 | Logistik | Lagerbestand und -kosten | ●●● |
| 10 | Maschinenbau | Werkzeugverschleiss | ●●● |
Ein elektrischer Widerstand mit \( R = 47\;\Omega \) ist mit einer regelbaren Spannungsquelle verbunden. Bei \( U = 0\;\text{V} \) fliesst kein Strom; bei \( U = 12\;\text{V} \) wird \( I = 0.255\;\text{A} \) gemessen.
(a) Stelle die Funktion \( I(U) \) auf.
(b) Welcher Strom fliesst bei \( U = 5\;\text{V} \)?
(c) Bei welcher Spannung fliesst \( I = 0.1\;\text{A} \)?
Lösungsweg:
Ein Fahrzeug fährt mit konstanter Geschwindigkeit \( v = 72\;\text{km/h} \). Es startet bei \( s_0 = 15\;\text{km} \) vom Bezugspunkt entfernt.
(a) Stelle die Ortsfunktion \( s(t) \) in km in Abhängigkeit von \( t \) in h auf.
(b) Wo befindet sich das Fahrzeug nach \( t = 2.5\;\text{h} \)?
(c) Wann hat es vom Startpunkt aus einen Weg von 100 km zurückgelegt?
Lösungsweg:
Zug A startet in Basel (\( s = 0\;\text{km} \)) mit \( v_A = 120\;\text{km/h} \) Richtung Zürich. Gleichzeitig startet Zug B in Zürich (\( s = 90\;\text{km} \)) mit \( v_B = 90\;\text{km/h} \) Richtung Basel.
(a) Stelle beide Ortsfunktionen \( s_A(t) \) und \( s_B(t) \) auf.
(b) Wann und wo treffen sich die beiden Züge?
(c) Wie gross ist die Relativgeschwindigkeit?
Lösungsweg:
Für eine bequeme Treppe gilt die Schrittmassregel: zweimal die Steigungshöhe \(h\) plus der Auftritt \(t\) ergibt eine angenehme Schrittlänge von etwa 63 cm:
\[ 2 \cdot h + t = 63 \](a) Drücke den Auftritt \(t\) als lineare Funktion der Steigungshöhe \(h\) aus (beides in cm).
(b) Ein Treppenbauer fertigt eine Treppe mit Steigungshöhe \(h = 18\;\text{cm}\). Wie gross ist der Auftritt? Welche Steigungshöhe ergibt einen Auftritt von \(t = 25\;\text{cm}\)?
(c) Die Schweizer Norm SIA 358 schreibt für Wohnungstreppen \(16 \le h \le 20\;\text{cm}\) vor. Welcher Wertebereich ergibt sich daraus für den Auftritt \(t\)?
Lösungsweg:
Zwei Fixpunkte der Celsius-Skala: Gefrierpunkt \( 0\,°\text{C} = 273.15\;\text{K} \), Siedepunkt \( 100\,°\text{C} = 373.15\;\text{K} \).
(a) Stelle die lineare Funktion \( K(C) \) auf.
(b) Berechne \( 37\,°\text{C} \) in Kelvin.
(c) Berechne \( -196\,°\text{C} \) (flüssiger Stickstoff) in Kelvin.
Lösungsweg:
In einem Behälter mit Anfangsvolumen \( V_0 = 800\;\text{L} \) läuft Wasser mit \( q_{\mathrm{zu}} = 25\;\text{L/min} \) zu, gleichzeitig fliesst Wasser mit \( q_{\mathrm{ab}} = 40\;\text{L/min} \) ab.
(a) Stelle die Funktion \( V(t) \) in Liter auf.
(b) Nach wie vielen Minuten ist der Behälter leer?
(c) Ab welchem Startwert \( V_0 \) bleibt der Behälter mindestens 60 min lang nicht leer?
Lösungsweg:
Für die Heizung eines Einfamilienhauses werden zwei Anlagen verglichen. Die Gesamtkosten (Investition plus jährliche Betriebskosten) ergeben über die Nutzungsdauer \(t\) (in Jahren) lineare Kennlinien:
Wärmepumpe: \( K_{\mathrm{W}}(t) = 600 \cdot t + 25\,000 \) (CHF)
Ölheizung: \( K_{\mathrm{Ö}}(t) = 1900 \cdot t + 12\,000 \) (CHF)
(a) Erkläre, welcher Term in jeder Funktion die Investition und welcher die jährlichen Betriebskosten darstellt.
(b) Ab welchem Jahr ist die Wärmepumpe insgesamt günstiger? Berechne den Schnittpunkt.
(c) Wie hoch sind die Gesamtkosten beider Anlagen nach 15 Jahren? Welche ist günstiger und um wie viel?
Lösungsweg:
Ein Stahlstab hat bei \( T_0 = 20\,°\text{C} \) die Länge \( L_0 = 10\,000\;\text{mm} \). Der lineare Ausdehnungskoeffizient beträgt \( \alpha = 12 \cdot 10^{-6}\;\text{K}^{-1} \). Es gilt \( \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \).
(a) Stelle \( L(T) \) als lineare Funktion auf.
(b) Wie lang ist der Stab bei \( T = 200\,°\text{C} \)?
(c) Bei welcher Temperatur hat er die Länge \( L = 10\,020\;\text{mm} \)?
Lösungsweg:
In einem Spannungsteiler liegt die Gesamtspannung \( U_{\mathrm{ges}} = 24\;\text{V} \) am Gesamtwiderstand \( R_{\mathrm{ges}} = 1200\;\Omega \). Die Spannung \( U_1 \) am Widerstand \( R_1 \) hängt linear von \( R_1 \) ab:
\[ U_1(R_1) = \frac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} \cdot R_1 \](a) Schreibe \( U_1 \) als lineare Funktion in der Form \( U_1 = m \cdot R_1 \).
(b) Welche Spannung liegt an, wenn \( R_1 = 470\;\Omega \)?
(c) Bei welchem \( R_1 \) liegt \( U_1 = 12\;\text{V} \) an?
Lösungsweg:
Zwei Temperatursensoren messen dieselbe Grösse, haben aber unterschiedliche Kennlinien:
\[ U_A(T) = 0.025 \cdot T + 0.5\;[\text{V}], \qquad U_B(T) = 0.015 \cdot T + 1.2\;[\text{V}] \](a) Bei welcher Temperatur liefern beide Sensoren dieselbe Ausgangsspannung?
(b) Welche Spannung ist das?
(c) Welcher Sensor zeigt bei \( T = 0\,°\text{C} \) einen höheren Wert?
Lösungsweg:
Ein Lager wird täglich mit 50 Einh./d aufgefüllt; täglich werden 35 Einh./d entnommen. Anfangsbestand: \( B_0 = 200 \) Einheiten. Lagerkosten: \( k = 2.50\;\text{CHF} \) pro Einheit und Tag.
(a) Stelle die Bestandsfunktion \( B(t) \) auf.
(b) Berechne die täglichen Lagerkosten als Funktion \( K(t) \).
(c) Ab welchem Tag übersteigen die Tageskosten erstmals 1000 CHF?
(d) Wann ist das Lager voll, wenn die Maximalkapazität \( B_{\max} = 500 \) Einheiten beträgt?
Lösungsweg:
Ein Fräswerkzeug hat anfänglich die Schärfe \( S_0 = 100\,\% \) und verliert pro Bearbeitungsminute \( 0.12\,\%\text{/min} \) Schärfe. Es muss ersetzt werden, wenn \( S < 40\,\% \).
(a) Stelle \( S(t) \) als lineare Funktion auf.
(b) Nach wie vielen Minuten muss das Werkzeug erstmals gewechselt werden?
(c) Ein neues Konzept reduziert den Verschleiss auf \( 0.08\,\%\text{/min} \), erhöht aber die Maschinenkosten um \( 30\;\text{CHF/h} \). Ein Werkzeug kostet \( 15\;\text{CHF} \). Lohnt sich das neue Konzept im 4-Stunden-Dauerbetrieb? Vergleiche die Gesamtkosten.
Lösungsweg:
(a) Aus dem ohmschen Gesetz \( U = R \cdot I \) folgt
\[ I(U) = \frac{U}{R} = \frac{U}{47\;\Omega}. \]Es handelt sich um eine proportionale Funktion: \( b = 0 \).
(b) \( I(5\;\text{V}) = \dfrac{5}{47}\;\text{A} \approx 0.106\;\text{A} \)
(c) \( 0.1 = \dfrac{U}{47} \;\Longleftrightarrow\; U = 4.7\;\text{V} \)
Plausibilität: Bei \( U = 12\;\text{V} \) gilt \( I = 12/47 \approx 0.255\;\text{A} \) — der angegebene Wert. ✓
(a) \( s(t) = v \cdot t + s_0 = 72 \cdot t + 15 \) (in km, \(t\) in h)
(b) \( s(2.5) = 72 \cdot 2.5 + 15 = 180 + 15 = 195\;\text{km} \)
(c) Zurückgelegter Weg ab Start: \( v \cdot t = 72 \cdot t \). Mit \( v \cdot t = 100 \):
\[ t = \frac{100}{72}\;\text{h} \approx 1.389\;\text{h} \approx 1\;\text{h}\;23\;\text{min}\;20\;\text{s} \]Rundung: \(0.389\;\text{h} = 0.389 \cdot 60\;\text{min} \approx 23.33\;\text{min} = 23\;\text{min}\;20\;\text{s}\). Auf ganze Minuten gerundet ergibt sich \(1\;\text{h}\;23\;\text{min}\).
(a) \( s_A(t) = 120 \cdot t \) und \( s_B(t) = 90 - 90 \cdot t \)
(b) Schnittpunkt \( s_A = s_B \):
\[ 120 \cdot t = 90 - 90 \cdot t \;\Longleftrightarrow\; 210 \cdot t = 90 \;\Longleftrightarrow\; t = \tfrac{3}{7}\;\text{h} \approx 0.429\;\text{h} \approx 25.7\;\text{min} \] \[ s_A\!\left(\tfrac{3}{7}\right) = 120 \cdot \tfrac{3}{7} = \tfrac{360}{7}\;\text{km} \approx 51.4\;\text{km} \]Treffpunkt: 51.4 km von Basel (entsprechend 38.6 km von Zürich).
(c) Bei Bewegung aufeinander zu addieren sich die Geschwindigkeiten:
\[ v_{\mathrm{rel}} = v_A + v_B = 120 + 90 = 210\;\text{km/h} \](a) Aus \(2 \cdot h + t = 63\) folgt
\[ t(h) = 63 - 2 \cdot h. \]Das ist eine lineare Funktion mit Steigung \(-2\) und Achsenabschnitt \(63\).
(b) \( t(18) = 63 - 36 = 27\;\text{cm} \). Umgekehrt: aus \(25 = 63 - 2 \cdot h\) folgt \(2 \cdot h = 38\), also \(h = 19\;\text{cm}\).
(c) Aus \(h = 16\) folgt \(t = 31\), aus \(h = 20\) folgt \(t = 23\). Da \(t\) monoton fallend in \(h\) ist, gilt:
\[ h \in [16; 20]\;\text{cm} \;\;\Longleftrightarrow\;\; t \in [23; 31]\;\text{cm}. \](a) Ansatz: \( K(C) = m \cdot C + b \).
\[ m = \frac{373.15 - 273.15}{100 - 0} = 1, \qquad b = K(0) = 273.15 \] \[ K(C) = C + 273.15 \](b) \( K(37) = 37 + 273.15 = 310.15\;\text{K} \) (Körpertemperatur)
(c) \( K(-196) = -196 + 273.15 = 77.15\;\text{K} \) (flüssiger Stickstoff)
Die Steigung \( m = 1 \) bedeutet: eine Temperaturdifferenz von 1 °C entspricht 1 K. Die Skalen unterscheiden sich nur im Nullpunkt.
(a) Netto-Durchfluss: \( q_{\mathrm{netto}} = q_{\mathrm{zu}} - q_{\mathrm{ab}} = 25 - 40 = -15\;\text{L/min} \).
\[ V(t) = V_0 + q_{\mathrm{netto}} \cdot t = 800 - 15 \cdot t \](b) Behälter leer: \( V(t) = 0 \)
\[ 800 - 15 \cdot t = 0 \;\Longleftrightarrow\; t = \tfrac{800}{15} \approx 53.33\;\text{min} \](c) Bedingung: \( V(60) > 0 \)
\[ V_0 - 15 \cdot 60 > 0 \;\Longleftrightarrow\; V_0 > 900\;\text{L} \](a) Der konstante Term ist die Investition (Kosten zum Zeitpunkt \(t = 0\)): 25 000 CHF (Wärmepumpe) bzw. 12 000 CHF (Ölheizung). Die Steigung sind die jährlichen Betriebskosten: 600 CHF/Jahr bzw. 1900 CHF/Jahr.
(b) Schnittpunkt: \( K_{\mathrm{W}}(t) = K_{\mathrm{Ö}}(t) \)
\[ 600 \cdot t + 25\,000 = 1900 \cdot t + 12\,000 \;\Longleftrightarrow\; 13\,000 = 1300 \cdot t \;\Longleftrightarrow\; t = 10\;\text{Jahre} \]Ab dem 11. Jahr ist die Wärmepumpe insgesamt günstiger; bei \(t = 10\) Jahren kosten beide Anlagen 31 000 CHF.
(c) Nach 15 Jahren: \( K_{\mathrm{W}}(15) = 600 \cdot 15 + 25\,000 = 34\,000\;\text{CHF} \), \( K_{\mathrm{Ö}}(15) = 1900 \cdot 15 + 12\,000 = 40\,500\;\text{CHF} \). Die Wärmepumpe ist um 6500 CHF günstiger.
(a) Aus \( \Delta L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T \) und \( L = L_0 + \Delta L \):
\[ L(T) = L_0 + \alpha \cdot L_0 \cdot (T - T_0) = 10\,000 + 12 \cdot 10^{-6} \cdot 10\,000 \cdot (T - 20) \] \[ L(T) = 10\,000 + 0.12 \cdot (T - 20) = 0.12 \cdot T + 9997.6 \](b) \( L(200) = 0.12 \cdot 200 + 9997.6 = 10\,021.6\;\text{mm} \) — Verlängerung um 21.6 mm bei \( \Delta T = 180\;\text{K} \).
(c) \( 10\,020 = 0.12 \cdot T + 9997.6 \;\Longleftrightarrow\; T \approx 186.7\,°\text{C} \)
(a) Mit \( m = \dfrac{U_{\mathrm{ges}}}{R_{\mathrm{ges}}} = \dfrac{24}{1200} = 0.02\;\text{V/}\Omega \):
\[ U_1(R_1) = 0.02 \cdot R_1 \quad \text{(proportional, } b = 0\text{)} \](b) \( U_1(470) = 0.02 \cdot 470 = 9.4\;\text{V} \)
(c) \( 12 = 0.02 \cdot R_1 \;\Longleftrightarrow\; R_1 = 600\;\Omega \)
Bei \( R_1 = R_{\mathrm{ges}}/2 \) liegt genau die halbe Gesamtspannung an — plausibel.
(a) Schnittpunkt: \( U_A(T) = U_B(T) \)
\[ 0.025 \cdot T + 0.5 = 0.015 \cdot T + 1.2 \;\Longleftrightarrow\; 0.01 \cdot T = 0.7 \;\Longleftrightarrow\; T = 70\,°\text{C} \](b) \( U_A(70) = 0.025 \cdot 70 + 0.5 = 2.25\;\text{V} \) (Kontrolle: \( U_B(70) = 2.25\;\text{V} \) ✓)
(c) Bei \( T = 0\,°\text{C} \): \( U_A(0) = 0.5\;\text{V},\; U_B(0) = 1.2\;\text{V} \). Sensor B zeigt den höheren Wert (höherer Achsenabschnitt).
(a) Nettozugang pro Tag: \( 50 - 35 = 15 \) Einheiten.
\[ B(t) = B_0 + 15 \cdot t = 200 + 15 \cdot t \](b) \( K(t) = 2.50 \cdot B(t) = 2.50 \cdot (200 + 15 \cdot t) = 500 + 37.5 \cdot t \)
(c) \( K(t) > 1000 \)
\[ 500 + 37.5 \cdot t > 1000 \;\Longleftrightarrow\; t > \tfrac{500}{37.5} \approx 13.33 \]Erstmals an Tag 14 übersteigen die Tageskosten 1000 CHF.
(d) Lager voll: \( B(t) = 500 \)
\[ 200 + 15 \cdot t = 500 \;\Longleftrightarrow\; t = 20\;\text{Tage} \](a) \( S(t) = 100 - 0.12 \cdot t \) (in %, \(t\) in min)
(b) \( S(t) = 40 \;\Longleftrightarrow\; 100 - 0.12 \cdot t = 40 \;\Longleftrightarrow\; t = \tfrac{60}{0.12} = 500\;\text{min} \). Standzeit: 500 min ≈ 8.33 h.
(c) Neue Standzeit: \( S(t) = 100 - 0.08 \cdot t = 40 \;\Longrightarrow\; t = 750\;\text{min} = 12.5\;\text{h} \).
In 4 h Betrieb (= 240 min) muss in keinem Konzept gewechselt werden (\(240 < 500 < 750\)). Verbrauchter Werkzeuganteil:
\[ \text{alt: } \tfrac{240}{500} = 0.48, \qquad \text{neu: } \tfrac{240}{750} = 0.32 \]Werkzeugkostenanteil pro 4-h-Schicht: alt \( 0.48 \cdot 15 = 7.20\;\text{CHF} \), neu \( 0.32 \cdot 15 = 4.80\;\text{CHF} \).
Zusatzkosten neues Konzept: \( 30 \cdot 4 = 120\;\text{CHF} \).
Gesamtkosten pro 4-h-Schicht: alt 7.20 CHF, neu \( 4.80 + 120 = 124.80\;\text{CHF} \).
Antwort: Das neue Konzept lohnt sich nicht. Der Mehraufwand von 120 CHF/4 h für die geringere Verschleissrate übersteigt die Werkzeug-Einsparung von 2.40 CHF/4 h um ein Vielfaches.