3.2 Lineare Funktionen
Lineare Funktionen \(f(x) = m\cdot x + b\) sind das einfachste Modell für einen Zusammenhang mit konstanter Änderungsrate. Hier verknüpfst du Gleichung, Wertetabelle und Gerade, liest Steigung und Achsenabschnitt direkt am Graphen ab und stellst die Funktionsgleichung aus verschiedenen Vorgaben auf.
- den Graphen einer linearen Funktion als Gerade in der kartesischen Ebene darstellen auch ohne Hilfsmittel
- die Koeffizienten der Funktionsgleichung geometrisch interpretieren (Steigung, Achsenabschnitt) auch ohne Hilfsmittel
- die Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Graphen einer linearen Funktion \(f(x) = m \cdot x + b\) als Gerade zeichnen und umgekehrt aus einem Graphen die Gleichung ablesen.
- Ich kann \(m\) als Steigung \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) und \(b\) als \(y\)-Achsenabschnitt deuten — auch im Sachkontext (Kilopreis, Fixkosten).
- Ich kann zwischen den drei Darstellungen Gleichung, Wertetabelle und Graph wechseln und sie aufeinander beziehen.
- Ich kann die Nullstelle \(x_0 = -\frac{b}{m}\) berechnen und sie vom \(y\)-Achsenabschnitt unterscheiden.
- Ich kann die Typen linearer Funktionen (proportional, konstant, Identität) sowie parallele und senkrechte Geraden an den Koeffizienten erkennen.
- Ich kann die Funktionsgleichung einer Geraden aus Steigung und Punkt oder aus zwei Punkten aufstellen.
Einstieg — eine Kostenfunktion
Du kaufst Kartoffeln: Das Gebinde kostet 5 CHF (Fixkosten), jedes weitere Kilogramm 2 CHF. Die Kostenfunktion lautet:
\[ K(x) = 2 \cdot x + 5 \]Wähle mit dem Regler eine Menge \(x\) — die zugehörige Tabellenzeile und der Punkt im Graphen werden sofort hervorgehoben.
Alle drei Darstellungen zeigen dieselbe Funktion — aus verschiedenen Blickwinkeln:
- Die Steigung \(m=2\) entspricht dem Kilopreis: pro kg steigen die Kosten um 2 CHF
- Der Achsenabschnitt \(b=5\) sind die Fixkosten: auch ohne Kartoffeln kostet das Gebinde 5 CHF
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was bedeutet die \(5\) in \(K(x) = 2 \cdot x + 5\)?
- Den Kilopreis der Kartoffeln
- Die Fixkosten für das Gebinde
- Die maximale Menge in kg
Lösung anzeigen
Pro zusätzliches Kilogramm steigen die Kosten um CHF — das ist die Steigung der Funktion.
Lösung anzeigen
Was kosten \(10\) kg Kartoffeln?
Lösung anzeigen
Ein zweiter Anbieter verlangt \(8\) CHF fürs Gebinde, aber nur \(1.50\) CHF pro kg: \(K_2(x) = 1.5 \cdot x + 8\). Ab welcher Menge ist er günstiger?
Lösungsweg anzeigen
Definition und Parameter
Notation: \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\quad x \longmapsto mx + b\)
Standardmässig ist \(D = \mathbb{R}\) — eine lineare Funktion ist für jede reelle Zahl definiert. Bei Anwendungsaufgaben wird \(D\) jedoch oft durch den Sachkontext eingeschränkt: Bei einer Zeitachse ist \(t \geq 0\); bei Stückzahlen ist \(n \in \mathbb{N}\); bei einer Rampe gibt es eine maximale Länge. Lies in Anwendungen den Definitionsmenge immer aus dem Kontext und gib ihn in der Lösung explizit an.
| Symbol | Name | Geometrische Bedeutung |
|---|---|---|
| \(m\) | Steigung | Zunahme von \(y\) pro \(\Delta x=1\); bestimmt die Neigung |
| \(b\) | y-Achsenabschnitt | Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0)=b\) |
Die drei Darstellungen
Verändere \(m\), \(b\) und \(x\) — Gleichung, Tabelle und Graph aktualisieren sich gleichzeitig.
Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle
✏️ Mini-Check — Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle
Eine Gerade geht durch \(P(2 \mid 1)\) und \(Q(6 \mid 9)\). Wie gross ist die Steigung \(m\)?
- \(m = 2\)
- \(m = 4\)
- \(m = 8\)
Lösung anzeigen
Die Nullstelle von \(f(x) = m \cdot x + b\) liegt bei \(x_0 = \) (für \(m \neq 0\)).
Lösung anzeigen
Bestimme die Nullstelle von \(f(x) = 4 \cdot x - 6\).
Lösung anzeigen
Für \(f(x) = -2 \cdot x + 8\): In welchem Punkt schneidet der Graph die \(y\)-Achse, in welchem die \(x\)-Achse? Und woran erkennst du schon an der Gleichung, dass der Graph fällt?
Lösungsweg anzeigen
Typen linearer Funktionen
| Typ | Gleichung | Bedingung | Graph |
|---|---|---|---|
| Allgemeine lineare Fkt. | \(f(x)=mx+b\) | \(m\neq 0\) | schiefe Gerade |
| Proportionale Funktion | \(f(x)=mx\) | \(b=0\) | Gerade durch Ursprung |
| Identität | \(f(x)=x\) | \(m=1, b=0\) | 45°-Gerade |
| Konstante Funktion | \(f(x)=b\) | \(m=0\) | waagrechte Gerade |
| Senkrechte Gerade | \(x=k\) | kein \(m\) | senkrechte Gerade (keine Funktion!) |
| Beziehung | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei parallele Geraden | \(m_1 = m_2,\; b_1\neq b_2\) | \(y=2 \cdot x+1\) ∥ \(y=2 \cdot x-3\) |
| Zwei senkrechte Geraden | \(m_1 \cdot m_2 = -1\) | \(y=2 \cdot x+1\) ⊥ \(y=-\tfrac{1}{2} \cdot x+3\) |
| Zwei identische Geraden | \(m_1=m_2,\; b_1=b_2\) | dieselbe Gerade |
✏️ Mini-Check — Typen und Lagebeziehungen
Welche Gleichung beschreibt eine Gerade, die keine Funktion ist?
- \(y = 3\)
- \(x = 3\)
- \(y = 3 \cdot x\)
Lösung anzeigen
Eine proportionale Funktion hat die Form \(f(x) = m \cdot x\); ihr Graph geht immer durch den .
Lösung anzeigen
Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf \(y = 2 \cdot x + 1\) steht?
Lösung anzeigen
Schneiden sich die Geraden \(y = 3 \cdot x + 2\) und \(y = 3 \cdot x - 5\)? Begründe rechnerisch.
Lösungsweg anzeigen
Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben: \(P_1(x_1\mid y_1)\) und \(P_2(x_2\mid y_2)\)
\[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad b = y_1 - m\cdot x_1 \]\(P_1(1\mid 2)\), \(P_2(3\mid 8)\)
\[ m = \frac{8-2}{3-1}=3 \qquad b=2-3\cdot 1=-1 \qquad \Rightarrow\; f(x)=3 \cdot x-1 \]Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade — zwei Punkte genügen, um \(m\) und \(b\) eindeutig zu bestimmen.
Die Steigung \(m\) wird immer von links nach rechts gelesen: \(m = \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\) mit \(\Delta x > 0\). Steigt der Graph dabei an, ist \(m > 0\); fällt er, ist \(m < 0\). Wer den Differenzenquotienten von rechts nach links rechnet, vertauscht oft das Vorzeichen. Tipp: zwei Punkte mit \(x_1 < x_2\) wählen, dann \(m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)\).
In der Gleichung \(y = m\cdot x + b\) ist \(b\) der y-Wert bei \(x = 0\) — der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Die Nullstelle hingegen ist der x-Wert, bei dem \(y = 0\) ist, also \(x = -b/m\). Beide Werte sind gleichzeitig im Graphen sichtbar, aber sie bedeuten verschiedene Dinge. Wer „Achsenabschnitt" hört und automatisch die Nullstelle hinschreibt, verfehlt die Aufgabe.
Suche zwei Gitterpunkte auf der Geraden — Punkte, deren \(x\)- und \(y\)-Koordinaten ganzzahlig sind. Zähle die Schritte nach rechts (\(\Delta x\)) und nach oben (\(\Delta y\), nach unten zählt negativ). Die Steigung ist \(m = \Delta y / \Delta x\). Beispiel: zwei Schritte nach rechts, drei Schritte nach unten → \(m = -3/2 = -1.5\). Wer immer Gitterpunkte wählt, vermeidet Ablese-Fehler durch ungenaue Zwischenwerte.
✏️ Mini-Check — Funktionsgleichung aufstellen
Eine Gerade mit Steigung \(m = -2\) geht durch \(P(3 \mid 1)\). Wie gross ist \(b\)?
- \(b = -5\)
- \(b = 7\)
- \(b = 5\)
Lösung anzeigen
Durch zwei verschiedene Punkte (mit \(x_1 \neq x_2\)) geht genau Gerade.
Lösung anzeigen
Stelle die Funktionsgleichung der Geraden durch \(P_1(-1 \mid 4)\) und \(P_2(2 \mid -2)\) auf.
Lösung anzeigen
Eine Gerade hat die Nullstelle \(x_0 = 5\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 10\). Bestimme die Funktionsgleichung — ohne dass zwei Punkte direkt gegeben sind.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Gerade, lies \(m\) und \(b\) ab, gib die Gleichung ein.
📱 Hinweis: diese Aufgabe funktioniert am besten am Computer mit Maus. Auf Touch-Geräten ist das Ziehen der Punkte fummelig — wer am Smartphone arbeitet, kann auch A3 (analytisch) machen und A2 später am Computer nachholen.
\(m=3\), \(b=-4\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(m=-2\), \(P(3\mid 1)\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(b=2\), \(P(4\mid 10)\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(A(-1\mid 5)\) und \(B(3\mid -3)\). Wie lautet \(f(x)\)?
Gesucht: eine Gerade parallel zu \(g(x)=3 \cdot x-1\), die durch \(P(2\mid 10)\) geht.
Gesucht: eine Gerade senkrecht zu \(h(x)=2 \cdot x+1\), die durch \(Q(4\mid 3)\) geht.
- a) \(m\) und \(b\) sind direkt gegeben: \(f(x) = 3 \cdot x - 4\).
- b) Ansatz \(f(x) = -2 \cdot x + b\); Punkt einsetzen: \(1 = -2 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 7\). Also \(f(x) = -2 \cdot x + 7\).
- c) Ansatz \(f(x) = m \cdot x + 2\); Punkt einsetzen: \(10 = m \cdot 4 + 2 \Rightarrow 4m = 8 \Rightarrow m = 2\). Also \(f(x) = 2 \cdot x + 2\).
- d) Steigung aus zwei Punkten: \(m = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\). Dann \(b\): \(5 = -2 \cdot (-1) + b \Rightarrow b = 3\). Also \(f(x) = -2 \cdot x + 3\).
- e) Parallel heisst gleiche Steigung: \(m = 3\). Punkt einsetzen: \(10 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 4\). Also \(f(x) = 3 \cdot x + 4\).
- f) Senkrecht heisst negativer Kehrwert der Steigung: \(m = -\tfrac{1}{2} = -0.5\). Punkt einsetzen: \(3 = -0.5 \cdot 4 + b \Rightarrow b = 5\). Also \(f(x) = -0.5 \cdot x + 5\).
Grundgebühr 15 CHF/Monat, dazu 0.08 CHF/Minute. Stelle \(K(t)\) auf. Bei welcher Minutenzahl kostet es 25 CHF?
Sprachsignale identifizieren: „pro Minute" → Steigung \(m = 0.08\); „Grundgebühr" → y-Achsenabschnitt \(b = 15\). Mit \(t\) in Minuten und \(K\) in CHF:
\[ K(t) = 0.08 \cdot t + 15 \]Gesuchte Minutenzahl bei \(K(t) = 25\):
\[ 25 = 0.08 \cdot t + 15 \;\Rightarrow\; 0.08 \cdot t = 10 \;\Rightarrow\; t = \frac{10}{0.08} = 125\;\text{min} \]Firma A: 40 CHF + 0.25 CHF/km. Firma B: 70 CHF pauschal. Ab wie vielen km ist Firma B günstiger?
Kostenfunktionen: \(K_A(x) = 0.25 \cdot x + 40\) (linear, Steigung \(0.25\)), \(K_B(x) = 70\) (konstant, Steigung \(0\)). Gleichsetzen liefert die Indifferenz-Strecke:
\[ 0.25 \cdot x + 40 = 70 \;\Rightarrow\; 0.25 \cdot x = 30 \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{0.25} = 120\;\text{km} \]Bei 120 km sind A und B gleich teuer. Da \(K_A\) mit steigender km-Zahl wächst und \(K_B\) konstant bleibt, ist Firma B günstiger für mehr als 120 km (bei nur ganzen km also ab 121 km).
\(0°C=32°F\), \(100°C=212°F\). Stelle \(F(C)\) auf. Was ist \(37°C\) in Fahrenheit?
Zwei Punkte: \(P_1(0\mid 32)\) und \(P_2(100\mid 212)\). Steigung über das Steigungsdreieck:
\[ m = \frac{\Delta F}{\Delta C} = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = 1.8 \]Achsenabschnitt aus \(P_1\): \(b = F(0) = 32\). Damit:
\[ F(C) = 1.8 \cdot C + 32 \qquad F(37) = 1.8 \cdot 37 + 32 = 66.6 + 32 = 98.6°F \]Drei Messpunkte zur Tages-Höchsttemperatur an einer Bergstation: \((1\mid 5)\), \((3\mid 9)\), \((5\mid 13)\). Erster Wert ist der Tag nach Messbeginn, zweiter Wert ist die Temperatur in °C.
- Zeige, dass die drei Punkte exakt auf einer Geraden liegen, indem du die Steigung zwischen den ersten beiden und zwischen den letzten beiden Punkten vergleichst.
- Stelle die Geradengleichung auf.
- Wie hoch wäre nach diesem Modell die Temperatur am Tag 10? Warum ist die lineare Extrapolation hier mit Vorsicht zu geniessen?
- \(m_{12} = \tfrac{9 - 5}{3 - 1} = 2\), \(m_{23} = \tfrac{13 - 9}{5 - 3} = 2\). Beide gleich → die drei Punkte liegen auf einer Geraden mit Steigung \(2\).
- Punkt-Steigungs-Form mit \((1\mid 5)\): \(y - 5 = 2 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = 2x + 3\). Probe mit \((3\mid 9)\): \(2 \cdot 3 + 3 = 9\) ✓.
- Bei \(x = 10\): \(y = 23\,°\text{C}\). Vorsicht: das Modell ist nur in einem schmalen Bereich plausibel — bei \(x = 50\) wären \(103\,°\text{C}\) prognostiziert, das ist physikalisch unsinnig. Lineare Modelle bewähren sich oft lokal, divergieren aber bei zu weiter Extrapolation.
Zusammenfassung
Der Graph einer linearen Funktion \(f(x) = mx + b\) ist stets eine Gerade. Zwei Punkte genügen, um sie vollständig zu bestimmen.
| Grösse | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(m\) | \(\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) | Steigung der Geraden |
| \(b\) | \(b = f(0)\) | y-Achsenabschnitt: Schnittpunkt mit y-Achse |
| \(x_0\) | \(\displaystyle x_0 = -\frac{b}{m}\) | Nullstelle: Schnittpunkt mit x-Achse |
| \(\parallel\) | \(m_1 = m_2,\; b_1 \neq b_2\) | Zwei Geraden sind parallel |
| \(\perp\) | \(m_1 \cdot m_2 = -1\) | Zwei Geraden sind senkrecht |
Zusatzmaterial
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