3.2 Lineare Funktionen
Lineare Funktionen \(f(x) = m\cdot x + b\) sind das einfachste Modell für einen Zusammenhang mit konstanter Änderungsrate. Hier verknüpfst du Gleichung, Wertetabelle und Gerade, liest Steigung und Achsenabschnitt direkt am Graphen ab und stellst die Funktionsgleichung aus verschiedenen Vorgaben auf.
- den Graphen einer linearen Funktion als Gerade in der kartesischen Ebene darstellen auch ohne Hilfsmittel
- die Koeffizienten der Funktionsgleichung geometrisch interpretieren (Steigung, Achsenabschnitt) auch ohne Hilfsmittel
- die Funktionsgleichung einer Geraden aufstellen auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Graphen einer linearen Funktion \(f(x) = m \cdot x + b\) als Gerade zeichnen und umgekehrt aus einem Graphen die Gleichung ablesen.
- Ich kann \(m\) als Steigung \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) und \(b\) als \(y\)-Achsenabschnitt deuten — auch im Sachkontext (Kilopreis, Fixkosten).
- Ich kann zwischen den drei Darstellungen Gleichung, Wertetabelle und Graph wechseln und sie aufeinander beziehen.
- Ich kann die Nullstelle \(x_0 = -\frac{b}{m}\) berechnen und sie vom \(y\)-Achsenabschnitt unterscheiden.
- Ich kann die Typen linearer Funktionen (proportional, konstant, Identität) sowie parallele und senkrechte Geraden an den Koeffizienten erkennen.
- Ich kann die Funktionsgleichung einer Geraden aus Steigung und Punkt oder aus zwei Punkten aufstellen.
Einstieg — eine Kostenfunktion
Du kaufst Kartoffeln: Das Gebinde kostet 5 CHF (Fixkosten), jedes weitere Kilogramm 2 CHF. Die Kostenfunktion lautet:
\[ K(x) = 2 \cdot x + 5 \]Wähle mit dem Regler eine Menge \(x\) — die zugehörige Tabellenzeile und der Punkt im Graphen werden sofort hervorgehoben.
Alle drei Darstellungen zeigen dieselbe Funktion — aus verschiedenen Blickwinkeln:
- Die Steigung \(m=2\) entspricht dem Kilopreis: pro kg steigen die Kosten um 2 CHF
- Der Achsenabschnitt \(b=5\) sind die Fixkosten: auch ohne Kartoffeln kostet das Gebinde 5 CHF
✏️ Mini-Check — Einstieg
Was bedeutet die \(5\) in \(K(x) = 2 \cdot x + 5\)?
- Den Kilopreis der Kartoffeln
- Die Fixkosten für das Gebinde
- Die maximale Menge in kg
Lösung anzeigen
Pro zusätzliches Kilogramm steigen die Kosten um CHF — das ist die Steigung der Funktion.
Lösung anzeigen
Was kosten \(10\) kg Kartoffeln?
Lösung anzeigen
Ein zweiter Anbieter verlangt \(8\) CHF fürs Gebinde, aber nur \(1.50\) CHF pro kg: \(K_2(x) = 1.5 \cdot x + 8\). Ab welcher Menge ist er günstiger?
Lösungsweg anzeigen
Definition und Parameter
Notation: \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\quad x \longmapsto mx + b\)
Standardmässig ist \(D = \mathbb{R}\) — eine lineare Funktion ist für jede reelle Zahl definiert. Bei Anwendungsaufgaben wird \(D\) jedoch oft durch den Sachkontext eingeschränkt: Bei einer Zeitachse ist \(t \geq 0\); bei Stückzahlen ist \(n \in \mathbb{N}\); bei einer Rampe gibt es eine maximale Länge. Lies in Anwendungen die Definitionsmenge immer aus dem Kontext und gib sie in der Lösung explizit an.
| Symbol | Name | Geometrische Bedeutung |
|---|---|---|
| \(m\) | Steigung | Zunahme von \(y\) pro \(\Delta x=1\); bestimmt die Neigung |
| \(b\) | y-Achsenabschnitt | Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse: \(f(0)=b\) |
Die drei Darstellungen
Verändere \(m\), \(b\) und \(x\) — Gleichung, Tabelle und Graph aktualisieren sich gleichzeitig.
Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle
✏️ Mini-Check — Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle
Eine Gerade geht durch \(P(2 \mid 1)\) und \(Q(6 \mid 9)\). Wie gross ist die Steigung \(m\)?
- \(m = 2\)
- \(m = 4\)
- \(m = 8\)
Lösung anzeigen
Die Nullstelle von \(f(x) = m \cdot x + b\) liegt bei \(x_0 = \) (für \(m \neq 0\)).
Lösung anzeigen
Bestimme die Nullstelle von \(f(x) = 4 \cdot x - 6\).
Lösung anzeigen
Für \(f(x) = -2 \cdot x + 8\): In welchem Punkt schneidet der Graph die \(y\)-Achse, in welchem die \(x\)-Achse? Und woran erkennst du schon an der Gleichung, dass der Graph fällt?
Lösungsweg anzeigen
Typen linearer Funktionen
| Typ | Gleichung | Bedingung | Graph |
|---|---|---|---|
| Allgemeine lineare Fkt. | \(f(x)=mx+b\) | \(m\neq 0\) | schiefe Gerade |
| Proportionale Funktion | \(f(x)=mx\) | \(b=0\) | Gerade durch Ursprung |
| Identität | \(f(x)=x\) | \(m=1, b=0\) | 45°-Gerade |
| Konstante Funktion | \(f(x)=b\) | \(m=0\) | waagrechte Gerade |
| Senkrechte Gerade | \(x=k\) | kein \(m\) | senkrechte Gerade (keine Funktion!) |
| Beziehung | Bedingung | Beispiel |
|---|---|---|
| Zwei parallele Geraden | \(m_1 = m_2,\; b_1\neq b_2\) | \(y=2 \cdot x+1\) ∥ \(y=2 \cdot x-3\) |
| Zwei senkrechte Geraden | \(m_1 \cdot m_2 = -1\) | \(y=2 \cdot x+1\) ⊥ \(y=-\tfrac{1}{2} \cdot x+3\) |
| Zwei identische Geraden | \(m_1=m_2,\; b_1=b_2\) | dieselbe Gerade |
✏️ Mini-Check — Typen und Lagebeziehungen
Welche Gleichung beschreibt eine Gerade, die keine Funktion ist?
- \(y = 3\)
- \(x = 3\)
- \(y = 3 \cdot x\)
Lösung anzeigen
Eine proportionale Funktion hat die Form \(f(x) = m \cdot x\); ihr Graph geht immer durch den .
Lösung anzeigen
Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf \(y = 2 \cdot x + 1\) steht?
Lösung anzeigen
Schneiden sich die Geraden \(y = 3 \cdot x + 2\) und \(y = 3 \cdot x - 5\)? Begründe rechnerisch.
Lösungsweg anzeigen
Funktionsgleichung aufstellen
Gegeben: \(P_1(x_1\mid y_1)\) und \(P_2(x_2\mid y_2)\)
\[ m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \qquad b = y_1 - m\cdot x_1 \]\(P_1(1\mid 2)\), \(P_2(3\mid 8)\)
\[ m = \frac{8-2}{3-1}=3 \qquad b=2-3\cdot 1=-1 \qquad \Rightarrow\; f(x)=3 \cdot x-1 \]Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade — zwei Punkte genügen, um \(m\) und \(b\) eindeutig zu bestimmen.
Die Steigung \(m\) wird immer von links nach rechts gelesen: \(m = \tfrac{\Delta y}{\Delta x}\) mit \(\Delta x > 0\). Steigt der Graph dabei an, ist \(m > 0\); fällt er, ist \(m < 0\). Wer den Differenzenquotienten von rechts nach links rechnet, vertauscht oft das Vorzeichen. Tipp: zwei Punkte mit \(x_1 < x_2\) wählen, dann \(m = (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)\).
In der Gleichung \(y = m\cdot x + b\) ist \(b\) der y-Wert bei \(x = 0\) — der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse. Die Nullstelle hingegen ist der x-Wert, bei dem \(y = 0\) ist, also \(x = -b/m\). Beide Werte sind gleichzeitig im Graphen sichtbar, aber sie bedeuten verschiedene Dinge. Wer „Achsenabschnitt" hört und automatisch die Nullstelle hinschreibt, verfehlt die Aufgabe.
Suche zwei Gitterpunkte auf der Geraden — Punkte, deren \(x\)- und \(y\)-Koordinaten ganzzahlig sind. Zähle die Schritte nach rechts (\(\Delta x\)) und nach oben (\(\Delta y\), nach unten zählt negativ). Die Steigung ist \(m = \Delta y / \Delta x\). Beispiel: zwei Schritte nach rechts, drei Schritte nach unten → \(m = -3/2 = -1.5\). Wer immer Gitterpunkte wählt, vermeidet Ablese-Fehler durch ungenaue Zwischenwerte.
✏️ Mini-Check — Funktionsgleichung aufstellen
Eine Gerade mit Steigung \(m = -2\) geht durch \(P(3 \mid 1)\). Wie gross ist \(b\)?
- \(b = -5\)
- \(b = 7\)
- \(b = 5\)
Lösung anzeigen
Durch zwei verschiedene Punkte (mit \(x_1 \neq x_2\)) geht genau Gerade.
Lösung anzeigen
Stelle die Funktionsgleichung der Geraden durch \(P_1(-1 \mid 4)\) und \(P_2(2 \mid -2)\) auf.
Lösung anzeigen
Eine Gerade hat die Nullstelle \(x_0 = 5\) und den \(y\)-Achsenabschnitt \(b = 10\). Bestimme die Funktionsgleichung — ohne dass zwei Punkte direkt gegeben sind.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Gerade, lies \(m\) und \(b\) ab, gib die Gleichung ein.
📱 Hinweis: diese Aufgabe funktioniert am besten am Computer mit Maus. Auf Touch-Geräten ist das Ziehen der Punkte fummelig — wer am Smartphone arbeitet, kann auch A3 (analytisch) machen und A2 später am Computer nachholen.
\(m=3\), \(b=-4\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(m=-2\), \(P(3\mid 1)\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(b=2\), \(P(4\mid 10)\). Wie lautet \(f(x)\)?
\(A(-1\mid 5)\) und \(B(3\mid -3)\). Wie lautet \(f(x)\)?
Gesucht: eine Gerade parallel zu \(g(x)=3 \cdot x-1\), die durch \(P(2\mid 10)\) geht.
Gesucht: eine Gerade senkrecht zu \(h(x)=2 \cdot x+1\), die durch \(Q(4\mid 3)\) geht.
- a) \(m\) und \(b\) sind direkt gegeben: \(f(x) = 3 \cdot x - 4\).
- b) Ansatz \(f(x) = -2 \cdot x + b\); Punkt einsetzen: \(1 = -2 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 7\). Also \(f(x) = -2 \cdot x + 7\).
- c) Ansatz \(f(x) = m \cdot x + 2\); Punkt einsetzen: \(10 = m \cdot 4 + 2 \Rightarrow 4m = 8 \Rightarrow m = 2\). Also \(f(x) = 2 \cdot x + 2\).
- d) Steigung aus zwei Punkten: \(m = \dfrac{-3 - 5}{3 - (-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\). Dann \(b\): \(5 = -2 \cdot (-1) + b \Rightarrow b = 3\). Also \(f(x) = -2 \cdot x + 3\).
- e) Parallel heisst gleiche Steigung: \(m = 3\). Punkt einsetzen: \(10 = 3 \cdot 2 + b \Rightarrow b = 4\). Also \(f(x) = 3 \cdot x + 4\).
- f) Senkrecht heisst negativer Kehrwert der Steigung: \(m = -\tfrac{1}{2} = -0.5\). Punkt einsetzen: \(3 = -0.5 \cdot 4 + b \Rightarrow b = 5\). Also \(f(x) = -0.5 \cdot x + 5\).
Grundgebühr 15 CHF/Monat, dazu 0.08 CHF/Minute. Stelle \(K(t)\) auf. Bei welcher Minutenzahl kostet es 25 CHF?
Sprachsignale identifizieren: „pro Minute" → Steigung \(m = 0.08\); „Grundgebühr" → y-Achsenabschnitt \(b = 15\). Mit \(t\) in Minuten und \(K\) in CHF:
\[ K(t) = 0.08 \cdot t + 15 \]Gesuchte Minutenzahl bei \(K(t) = 25\):
\[ 25 = 0.08 \cdot t + 15 \;\Rightarrow\; 0.08 \cdot t = 10 \;\Rightarrow\; t = \frac{10}{0.08} = 125\;\text{min} \]Firma A: 40 CHF + 0.25 CHF/km. Firma B: 70 CHF pauschal. Ab wie vielen km ist Firma B günstiger?
Kostenfunktionen: \(K_A(x) = 0.25 \cdot x + 40\) (linear, Steigung \(0.25\)), \(K_B(x) = 70\) (konstant, Steigung \(0\)). Gleichsetzen liefert die Indifferenz-Strecke:
\[ 0.25 \cdot x + 40 = 70 \;\Rightarrow\; 0.25 \cdot x = 30 \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{0.25} = 120\;\text{km} \]Bei 120 km sind A und B gleich teuer. Da \(K_A\) mit steigender km-Zahl wächst und \(K_B\) konstant bleibt, ist Firma B günstiger für mehr als 120 km (bei nur ganzen km also ab 121 km).
\(0°C=32°F\), \(100°C=212°F\). Stelle \(F(C)\) auf. Was ist \(37°C\) in Fahrenheit?
Zwei Punkte: \(P_1(0\mid 32)\) und \(P_2(100\mid 212)\). Steigung über das Steigungsdreieck:
\[ m = \frac{\Delta F}{\Delta C} = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = 1.8 \]Achsenabschnitt aus \(P_1\): \(b = F(0) = 32\). Damit:
\[ F(C) = 1.8 \cdot C + 32 \qquad F(37) = 1.8 \cdot 37 + 32 = 66.6 + 32 = 98.6°F \]Drei Messpunkte zur Tages-Höchsttemperatur an einer Bergstation: \((1\mid 5)\), \((3\mid 9)\), \((5\mid 13)\). Erster Wert ist der Tag nach Messbeginn, zweiter Wert ist die Temperatur in °C.
- Zeige, dass die drei Punkte exakt auf einer Geraden liegen, indem du die Steigung zwischen den ersten beiden und zwischen den letzten beiden Punkten vergleichst.
- Stelle die Geradengleichung auf.
- Wie hoch wäre nach diesem Modell die Temperatur am Tag 10? Warum ist die lineare Extrapolation hier mit Vorsicht zu geniessen?
- \(m_{12} = \tfrac{9 - 5}{3 - 1} = 2\), \(m_{23} = \tfrac{13 - 9}{5 - 3} = 2\). Beide gleich → die drei Punkte liegen auf einer Geraden mit Steigung \(2\).
- Punkt-Steigungs-Form mit \((1\mid 5)\): \(y - 5 = 2 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = 2x + 3\). Probe mit \((3\mid 9)\): \(2 \cdot 3 + 3 = 9\) ✓.
- Bei \(x = 10\): \(y = 23\,°\text{C}\). Vorsicht: das Modell ist nur in einem schmalen Bereich plausibel — bei \(x = 50\) wären \(103\,°\text{C}\) prognostiziert, das ist physikalisch unsinnig. Lineare Modelle bewähren sich oft lokal, divergieren aber bei zu weiter Extrapolation.
Zusammenfassung
Der Graph einer linearen Funktion \(f(x) = mx + b\) ist stets eine Gerade. Zwei Punkte genügen, um sie vollständig zu bestimmen.
| Grösse | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(m\) | \(\displaystyle m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\) | Steigung der Geraden |
| \(b\) | \(b = f(0)\) | y-Achsenabschnitt: Schnittpunkt mit y-Achse |
| \(x_0\) | \(\displaystyle x_0 = -\frac{b}{m}\) | Nullstelle: Schnittpunkt mit x-Achse |
| \(\parallel\) | \(m_1 = m_2,\; b_1 \neq b_2\) | Zwei Geraden sind parallel |
| \(\perp\) | \(m_1 \cdot m_2 = -1\) | Zwei Geraden sind senkrecht |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Kartoffeln: Fixkosten und Kilopreis im Graphen
- 0:00In der Animation kaufst du Kartoffeln: fünf Franken fürs Gebinde, zwei Franken pro Kilogramm. Was steckt in der Gleichung?
- 0:09Stell den Regler auf null Kilogramm. Es kostet trotzdem fünf Franken: das Gebinde. Das ist der Achsenabschnitt b.
- 0:19Jedes Kilogramm mehr kostet zwei Franken mehr, von Punkt zu Punkt gleich viel. Dieser feste Zuwachs ist die Steigung m.
- 0:28Für zehn Kilogramm setzt du zehn ein: zwei mal zehn plus fünf, also fünfundzwanzig Franken. Im Graphen liegt dort der Punkt zehn, fünfundzwanzig.
- 0:38Merke: b ist der Wert bei null, m der Zuwachs pro Schritt. Eine lineare Funktion wächst immer in gleichen Schritten.
Drei Darstellungen: was b verschiebt und m kippt
- 0:00Die Animation zeigt dieselbe Funktion als Gleichung, als Tabelle und als Graph. Was passiert, wenn du b oder m veränderst?
- 0:09Start mit m gleich zwei und b gleich minus drei. Für x gleich zwei ergibt sich eins: Der Punkt zwei, eins liegt auf der Geraden.
- 0:18Jetzt nur b, von minus drei auf eins. Jeder y-Wert wächst um vier. Die Gerade rutscht nach oben und behält ihre Richtung.
- 0:27Jetzt nur m, von zwei auf minus zwei. Die Gerade kippt und fällt. Fest bleibt nur der Punkt auf der y-Achse: null und b.
- 0:37Merke: b verschiebt die Gerade senkrecht, m kippt sie um den Punkt auf der y-Achse. Alle drei Darstellungen zeigen immer dieselbe Funktion.
Steigungsdreieck: jede Grösse, dasselbe m
- 0:00In der Animation ziehst du zwei Punkte, und das Steigungsdreieck passt sich an. Hängt die Steigung davon ab, wie gross das Dreieck ist?
- 0:09P und Q liegen fünf nach rechts und vier nach oben auseinander. Die Steigung ist vier durch fünf, also null Komma acht.
- 0:17Jetzt rückt P auf der Geraden näher an Q. Das Dreieck wird kleiner: zwei durch zwei Komma fünf. Wieder null Komma acht, denn die Dreiecke sind ähnlich.
- 0:27Liegen beide Punkte übereinander, ist delta x null. Durch null lässt sich nicht teilen: m ist nicht definiert, und die senkrechte Gerade ist keine Funktion.
- 0:37Merke: Die Steigung ist ein Verhältnis. Jedes Steigungsdreieck derselben Geraden liefert dasselbe m. Nur bei delta x gleich null gibt es keines.
Typen: proportional, Identität, senkrecht
- 0:00Die Animation zeigt die Typen linearer Funktionen einzeln. Drei davon lohnen einen genauen Blick.
- 0:09Proportional heisst: b ist null. Dann geht die Gerade durch den Ursprung, und doppeltes x gibt doppeltes f von x.
- 0:19Die Identität ist eine proportionale Funktion mit m gleich eins. Jeder x-Wert wird auf sich selbst abgebildet.
- 0:28Die senkrechte Gerade x gleich drei ordnet einem einzigen x-Wert unendlich viele y-Werte zu. Darum ist sie keine Funktion.
- 0:38Merke: Proportional heisst b gleich null, die Identität hat zusätzlich m gleich eins. Eine senkrechte Gerade ist keine Funktion.
Gleichung ablesen: erst b, dann m
- 0:00In Aufgabe A1 liest du die Gleichung einer Geraden aus dem Graphen ab. Die Reihenfolge macht es einfach: erst b, dann m.
- 0:09Zuerst b: Die Gerade schneidet die y-Achse bei minus eins. Dann m: eine Einheit nach rechts, zwei nach oben. Also m gleich zwei.
- 0:19Hier ist b gleich zwei. Eine Einheit nach rechts landet zwischen den Gitterlinien. Besser zwei nach rechts und eins nach oben: m ist ein Halb.
- 0:28Merke: Erst den Achsenabschnitt ablesen, dann die Steigung über ein Dreieck, das auf Gitterpunkten endet. So musst du nie schätzen.
Gerade zeichnen: zwei Punkte über b und m
- 0:00In Aufgabe A2 ziehst du zwei Punkte, bis die Gerade zur Gleichung passt. Hier für f von x gleich minus zwei x plus vier.
- 0:09Am Anfang liegen beide Punkte auf der x-Achse. Die gestrichelte Gerade durch sie passt noch nicht.
- 0:17Zuerst P1 auf die y-Achse, bei b gleich vier. Damit stimmt der Achsenabschnitt schon.
- 0:25Dann P2: eine Einheit nach rechts und, weil m minus zwei ist, zwei nach unten. Beide Punkte liegen auf der Geraden.
- 0:35Merke: Zwei Punkte legen eine Gerade fest. Setz den ersten auf die y-Achse bei b, den zweiten eine Einheit rechts und m Einheiten höher.
Lineare Funktionen: Steigung ablesen
- 0:00Zwei Punkte sind gegeben. Gesucht ist die Geradengleichung.
- 0:09Schritt eins: das Steigungsdreieck. Wie weit nach rechts, wie weit hinauf?
- 0:19Schritt zwei: hinauf geteilt durch nach rechts.
- 0:27Schritt drei: einen der beiden Punkte einsetzen und b bestimmen.
- 0:36Schritt vier: mit dem anderen Punkt prüfen.
- 0:44Das Vorzeichen von m sagt, wohin die Gerade zeigt.
Lineare Funktionen: was die Steigung bedeutet
- 0:00Die Steigung m ist mehr als eine Zahl in der Gleichung. Sie sagt, wie stark sich y ändert, wenn x um eins wächst.
- 0:08Die Rechnung dahinter: Gehe von x eins Schritt nach rechts. Dann wächst y um genau m.
- 0:16Damit ist m eine Rate: bei m gleich drei wächst y um drei pro x-Schritt. Bei zwei Schritten sind es sechs.
- 0:25Das Vorzeichen sagt die Richtung: positiv steigt, negativ fällt, null bleibt waagrecht.
- 0:32Zum Mitnehmen: m ist hinauf durch nach rechts. Der Betrag sagt, wie steil — das Vorzeichen, wohin.
Lineare Funktionen: der y-Achsenabschnitt
- 0:00Das b in der Geradengleichung hat einen Namen und eine Bedeutung: es ist der y-Achsenabschnitt.
- 0:08Der schnellste Zugang: Setz null ein. Dann fällt der ganze x-Teil weg, und übrig bleibt b.
- 0:16Am Graphen ist b die Höhe, in der die Gerade die senkrechte Achse schneidet — bei minus eins also einen unter dem Ursprung.
- 0:23Und die Verwechslung: b ist nicht die Nullstelle. Die Nullstelle ist der Schnittpunkt mit der waagrechten Achse und muss gerechnet werden.
- 0:31Zum Mitnehmen: m dreht die Gerade, b schiebt sie hinauf und hinunter. Zusammen legen die beiden jede Gerade eindeutig fest.
Lineare Funktionen: Gerade aus Punkt und Steigung
- 0:00Gegeben sind ein Punkt und die Steigung. Gesucht ist die Geradengleichung. Die Hälfte der Arbeit ist damit schon erledigt.
- 0:08Der Ansatz ist immer derselbe: y gleich m x plus b, mit dem bekannten m eingesetzt. Übrig bleibt eine Gleichung mit einer Unbekannten.
- 0:17Jetzt der Punkt: seine x-Koordinate für x, seine y-Koordinate für y. Eins gleich drei mal zwei plus b — also b gleich minus fünf.
- 0:27Damit steht die Gerade: y gleich drei x minus fünf. Die Probe setzt den Punkt noch einmal ein — drei mal zwei minus fünf ist eins.
- 0:36Zum Mitnehmen: m einsetzen, Punkt einsetzen, b ausrechnen. Drei Schritte, und der dritte ist eine einzige Subtraktion.
Lineare Funktionen: parallel und senkrecht
- 0:00Zwei Geraden, zwei Lagen: parallel oder senkrecht. Beides erkennt man allein an den Steigungen.
- 0:08Parallel ist der einfache Fall: gleiche Steigung, verschiedenes b. Gleiche Richtung, verschobene Lage — die beiden treffen sich nie.
- 0:16Senkrecht ist überraschender: das Produkt der beiden Steigungen ist minus eins. Bei m gleich zwei gehört also minus ein Halb dazu.
- 0:25Der Grund steckt im Steigungsdreieck: Dreht man es um neunzig Grad, tauschen hinauf und nach rechts die Rolle — aus zwei zu eins wird eins zu zwei, und die Richtung kippt.
- 0:34Zum Mitnehmen: parallel heisst gleiches m, senkrecht heisst negativer Kehrwert. Und eine waagrechte Gerade steht senkrecht auf einer senkrechten — dort versagt die Produktregel, weil eine der beiden keine Steigung hat.
Zusatzmaterial
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