Mathe begreifbar · Grundlagenfach · Lineare Funktionen

Handout — Theorie

1. Definition

📘 Lineare Funktion

Eine Funktion \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) heisst lineare Funktion, wenn sie sich in der Form

\[ f(x) = m \cdot x + b, \qquad m,\, b \in \mathbb{R} \]

schreiben lässt. Die Zuordnung wird auch geschrieben als

\[ f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto m \cdot x + b. \]

Der Graph einer linearen Funktion ist stets eine Gerade.

Die zwei Parameter

Symbol	Name	Geometrische Bedeutung
\(m\)	Steigung	Zunahme des \(y\)-Wertes pro \(\Delta x = 1\). Bestimmt die Neigung der Geraden.
\(b\)	y-Achsenabschnitt	Schnittpunkt der Geraden mit der \(y\)-Achse. Es gilt \( f(0) = b \).

2. Steigung, Achsenabschnitt, Nullstelle

📘 Steigung \( m \)

\[ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2) \]

📘 y-Achsenabschnitt \( b \)

\[ b = f(0) \]

📘 Nullstelle \( x_0 \)

Die Nullstelle ist der \(x\)-Wert, an dem die Gerade die \(x\)-Achse schneidet:

\[ 0 = m \cdot x_0 + b \;\Longrightarrow\; x_0 = -\frac{b}{m} \quad (m \neq 0) \]

3. Die drei Darstellungsformen

Jede lineare Funktion lässt sich in drei Formen darstellen — alle enthalten dieselbe Information:

Darstellung

Beispiel \( f(x) = 2 \cdot x - 3 \)

Stärke

Funktionsgleichung

\( f(x) = 2 \cdot x - 3 \)

kompakt, beliebige \(x\)-Werte einsetzbar

Wertetabelle

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	−3	−1	1	3

einzelne Punkte ablesbar

Graph

Gerade durch \( P(0 \mid -3) \) und \( P(2 \mid 1) \)

Verlauf, Eigenschaften visuell

4. Typen linearer Funktionen

Typ	Gleichung	Bedingung	Graph
Allgemeine lineare Fkt.	\( f(x) = m \cdot x + b \)	\( m \neq 0 \)	schiefe Gerade
Proportionale Funktion	\( f(x) = m \cdot x \)	\( b = 0 \)	Gerade durch Ursprung
Identität	\( f(x) = x \)	\( m = 1,\; b = 0 \)	Winkelhalbierende
Konstante Funktion	\( f(x) = b \)	\( m = 0 \)	waagerechte Gerade
Senkrechte Gerade	\( x = c \)	kein \( m \)	senkrechte Gerade (keine Funktion!)

Geradenschar

5. Lage zweier Geraden

📘 Parallele und senkrechte Geraden

Gegeben: \( g_1(x) = m_1 \cdot x + b_1 \) und \( g_2(x) = m_2 \cdot x + b_2 \).

Beziehung	Bedingung	Beispiel
parallel \(\parallel\)	\( m_1 = m_2,\; b_1 \neq b_2 \)	\( y = 2 \cdot x + 1 \) und \( y = 2 \cdot x - 3 \)
senkrecht \(\perp\)	\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)	\( y = 2 \cdot x + 1 \) und \( y = -\tfrac{1}{2} \cdot x + 3 \)
identisch	\( m_1 = m_2,\; b_1 = b_2 \)	dieselbe Gerade
schneidend	\( m_1 \neq m_2 \)	genau ein Schnittpunkt

6. Funktionsgleichung aufstellen

Aus Steigung und y-Achsenabschnitt

\(m\) und \(b\) sind direkt gegeben:

\[ f(x) = m \cdot x + b \]

Aus Steigung und einem Punkt

Gegeben: \(m\) und \( P(x_1 \mid y_1) \). Punktprobe in \( f(x_1) = m \cdot x_1 + b \) liefert:

\[ b = y_1 - m \cdot x_1 \]

Aus zwei Punkten

Gegeben: \( P_1(x_1 \mid y_1) \) und \( P_2(x_2 \mid y_2) \) mit \( x_1 \neq x_2 \).

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \qquad b = y_1 - m \cdot x_1 \]

🟢 Beispiel — Aus zwei Punkten

Gegeben: \( P_1(1 \mid 2),\; P_2(3 \mid 8) \).

\[ m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3, \qquad b = 2 - 3 \cdot 1 = -1 \] \[ \;\Longrightarrow\; f(x) = 3 \cdot x - 1 \]

7. Schnittpunkt zweier Geraden

Gegeben: \( g_1(x) = m_1 \cdot x + b_1 \) und \( g_2(x) = m_2 \cdot x + b_2 \) mit \( m_1 \neq m_2 \).

Vorgehen: Gleichsetzen \( g_1(x) = g_2(x) \), nach \(x\) auflösen, dann \(y\) durch Einsetzen berechnen.

\[ m_1 \cdot x + b_1 = m_2 \cdot x + b_2 \;\Longrightarrow\; x_S = \frac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2}, \quad y_S = g_1(x_S) \]

8. Anwendung: Lineare Modellierung

In Anwendungssituationen entspricht die lineare Funktion oft einem realen Sachverhalt:

Symbol mathematisch	Symbol physikalisch	Bedeutung
\( y = m \cdot x + b \)	\( K = k \cdot x + K_{\mathrm{fix}} \)	Kostenfunktion
	\( s = v \cdot t + s_0 \)	gleichförmige Bewegung
	\( U = R \cdot I \)	ohmsches Gesetz (proportional)
	\( L = \alpha \cdot L_0 \cdot \Delta T + L_0 \)	Wärmedehnung

⚠ Achsen mit Einheit beschriften

Bei Anwendungsaufgaben gehören Grösse und Einheit an die Achsen, z.B. \( t \) [s], \( K \) [CHF], \( T \) [°C]. Die Skalierung wird aufgabenbezogen gewählt.

9. Zusammenfassung

Grösse	Formel	Bedeutung
\(m\)	\( m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)	Steigung der Geraden
\(b\)	\( b = f(0) \)	y-Achsenabschnitt
\(x_0\)	\( x_0 = -\dfrac{b}{m} \quad (m \neq 0) \)	Nullstelle
\(\parallel\)	\( m_1 = m_2,\; b_1 \neq b_2 \)	parallel
\(\perp\)	\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)	senkrecht
\( S \)	\( x_S = \dfrac{b_2 - b_1}{m_1 - m_2} \)	Schnittpunkt-\(x\)

Der Graph einer linearen Funktion \( f(x) = m \cdot x + b \) ist stets eine Gerade. Zwei Punkte genügen, um sie eindeutig zu bestimmen.