12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Gegeben sei \( f(x) = -3 \cdot x + 5 \). Bestimme:
(a) die Steigung \(m\), (b) den y-Achsenabschnitt \(b\),
(c) den Funktionswert \( f(2) \), (d) die Nullstelle \( x_0 \).
Liegt der Punkt \( P(-1 \mid 4) \) auf dem Graphen von \( f(x) = 2 \cdot x + 6 \)? Begründe rechnerisch.
Stelle die Funktionsgleichung der Geraden mit Steigung \( m = -\dfrac{2}{3} \) und y-Achsenabschnitt \( b = 4 \) auf.
Eine Gerade hat die Steigung \( m = 2 \) und geht durch \( P(3 \mid -1) \). Wie lautet die Funktionsgleichung?
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch \( A(-2 \mid 5) \) und \( B(4 \mid -1) \).
Eine Gerade hat den y-Achsenabschnitt \( b = -3 \) und geht durch \( P(2 \mid 1) \). Bestimme \(m\) und stelle die Gleichung auf.
Gegeben: \( g(x) = 4 \cdot x + 7 \). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die zu \(g\) parallel ist und durch \( P(0 \mid -2) \) verläuft.
Gegeben: \( h(x) = -\dfrac{1}{2} \cdot x + 3 \). Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden, die senkrecht zu \(h\) steht und durch \( P(1 \mid 4) \) verläuft.
Gegeben sind drei Geraden:
\[ g_1(x) = 3 \cdot x - 2, \quad g_2(x) = -\tfrac{1}{3} \cdot x + 4, \quad g_3(x) = 3 \cdot x + 5. \]Welche zwei sind parallel? Welche zwei stehen senkrecht aufeinander? Begründe.
Berechne den Schnittpunkt der Geraden
\[ f(x) = 2 \cdot x - 4 \quad \text{und} \quad g(x) = -x + 5. \]Skizziere beide Geraden im untenstehenden Koordinatensystem (1:1) und markiere den Schnittpunkt.
(a) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g_1\) durch \( P_1(-3 \mid 2) \) und \( P_2(1 \mid -2) \).
(b) Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden \(g_2\), die durch \( P(2 \mid 3) \) geht und senkrecht auf \(g_1\) steht.
(c) Berechne den Schnittpunkt \(S\) von \(g_1\) und \(g_2\). Trage alle drei Geraden ins Koordinatensystem ein.
\( f(x) = m \cdot x + b \), mit \( m,\, b \in \mathbb{R} \). Der Graph ist stets eine Gerade.
(a) \( m = -3 \) (b) \( b = 5 \)
(c) \( f(2) = -3 \cdot 2 + 5 = -1 \)
(d) \( 0 = -3 \cdot x_0 + 5 \;\Longrightarrow\; x_0 = \dfrac{5}{3} \)
\( f(-1) = 2 \cdot (-1) + 6 = 4 \). Da \( f(-1) = 4 \), liegt \( P(-1 \mid 4) \) auf dem Graphen. ✓
\( b = y_1 - m \cdot x_1 = -1 - 2 \cdot 3 = -7 \).
\[ f(x) = 2 \cdot x - 7 \]\( m = \dfrac{-1 - 5}{4 - (-2)} = \dfrac{-6}{6} = -1 \), \( b = 5 - (-1) \cdot (-2) = 3 \).
\[ f(x) = -x + 3 \]Punktprobe in \( f(x) = m \cdot x + b \): \( 1 = m \cdot 2 + (-3) \;\Longrightarrow\; m = 2 \).
\[ f(x) = 2 \cdot x - 3 \]Parallel bedeutet gleiche Steigung: \( m = 4 \). Da \( P(0 \mid -2) \) auf der \(y\)-Achse liegt, ist \( b = -2 \).
\[ f(x) = 4 \cdot x - 2 \]Senkrechte Steigung: \( m_h \cdot m = -1 \;\Longrightarrow\; m = -\dfrac{1}{m_h} = -\dfrac{1}{-1/2} = 2 \).
Punktprobe: \( b = 4 - 2 \cdot 1 = 2 \).
\[ f(x) = 2 \cdot x + 2 \]\( g_1 \) und \( g_3 \) haben die gleiche Steigung \( m = 3 \), aber verschiedene Achsenabschnitte \(\;\Longrightarrow\;\) parallel.
\( g_1 \) und \( g_2 \): \( 3 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1 \;\Longrightarrow\;\) senkrecht.
Gleichsetzen: \( 2 \cdot x - 4 = -x + 5 \;\Longrightarrow\; 3 \cdot x = 9 \;\Longrightarrow\; x_S = 3 \).
Einsetzen: \( y_S = 2 \cdot 3 - 4 = 2 \).
\[ S(3 \mid 2) \](a) \( m_1 = \dfrac{-2 - 2}{1 - (-3)} = \dfrac{-4}{4} = -1 \), \( b_1 = 2 - (-1) \cdot (-3) = -1 \).
\[ g_1(x) = -x - 1 \](b) Senkrechte Steigung: \( m_2 \cdot (-1) = -1 \;\Longrightarrow\; m_2 = 1 \).
Punktprobe: \( b_2 = 3 - 1 \cdot 2 = 1 \).
\[ g_2(x) = x + 1 \](c) Gleichsetzen: \( -x - 1 = x + 1 \;\Longrightarrow\; -2 \cdot x = 2 \;\Longrightarrow\; x_S = -1 \).
Einsetzen: \( y_S = -1 + 1 = 0 \).
\[ S(-1 \mid 0) \]Wenn du 10 oder mehr Aufgaben richtig gelöst hast, beherrschst du die Grundlagen. Bei weniger als 8: Handout nochmals durcharbeiten und die nicht gelösten Aufgaben erneut versuchen.