Die Aufgaben stammen aus verschiedenen technischen Bereichen und sind nach zunehmendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Pro Aufgabe ist eine Seite mit Skizze und Lösungsfläche reserviert. Die Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Mechanik | Freier Fall | ●●● |
| 2 | Mechanik | Wurfparabel | ●●● |
| 3 | Fahrdynamik | Bremsweg | ●●● |
| 4 | Bauwesen | Bogenbrücke | ●●● |
| 5 | Wirtschaft | Umsatzmaximierung | ●●● |
| 6 | Pharmakologie | Optimum Wirkstoff-Konzentration | ●●● |
| 7 | Geometrie | Maximale Rechteckfläche | ●●● |
| 8 | Optik / Antenne | Parabolspiegel | ●●● |
Aus einer Höhe von \( h_0 = 45\;\text{m} \) wird ein Stein fallengelassen. Mit der Erdbeschleunigung \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \) gilt für die Höhe \(h\) (in m) zur Zeit \(t\) (in s):
\[ h(t) = h_0 - \tfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^2 \](a) Stelle die konkrete Funktionsgleichung auf.
(b) Wann erreicht der Stein den Boden?
(c) Welche Höhe hat der Stein nach \( t = 2\;\text{s} \)?
Lösungsweg:
Ein Ball wird von einer Klippe waagerecht geworfen. Seine Flugbahn lässt sich modellieren durch
\[ h(x) = -0.05 \cdot x^2 + 20 \]wobei \(x\) die horizontale Distanz und \(h\) die Höhe (beide in m) bezeichnen.
(a) Aus welcher Höhe wurde der Ball geworfen?
(b) Wie weit landet der Ball vom Klippenfuss entfernt?
(c) Welche Höhe hat der Ball nach 10 m horizontaler Distanz?
Lösungsweg:
Der Bremsweg \(s\) (in m) eines PKW in Abhängigkeit der Geschwindigkeit \(v\) (in km/h) wird durch die Faustformel
\[ s(v) = \left(\frac{v}{10}\right)^2 \quad = \quad \frac{v^2}{100} \]angenähert.
(a) Wie lang ist der Bremsweg bei \( v = 50\;\text{km/h} \) und bei \( v = 100\;\text{km/h} \)?
(b) Um welchen Faktor verlängert sich der Bremsweg, wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird?
(c) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Bremsweg 36 m?
Lösungsweg:
Eine Bogenbrücke überspannt einen Fluss. Der Bogen lässt sich durch eine Parabel beschreiben. Der Bogen ist 20 m breit (Spannweite) und in der Mitte 5 m hoch.
(a) Lege ein Koordinatensystem so, dass die \(x\)-Achse durch die beiden Auflager und der Scheitel auf der \(y\)-Achse liegt. Stelle die Funktionsgleichung in Scheitelform auf.
(b) Welche Durchfahrtshöhe hat ein Schiff, das in einem Abstand von 5 m von der Brückenmitte fährt?
(c) Bei welchem horizontalen Abstand zur Brückenmitte beträgt die Höhe nur noch 3 m?
Lösungsweg:
Eine Marktforschungsstudie eines Herstellers ergibt folgenden Zusammenhang zwischen Preis \(p\) (in CHF) und Absatzmenge \(x\) (in Stk pro Monat):
\[ x(p) = 800 - 20 \cdot p \](a) Stelle die Umsatzfunktion \( U(p) = p \cdot x(p) \) auf.
(b) Bei welchem Preis ist der Umsatz maximal? Wie hoch ist der maximale Umsatz?
(c) Bei welchen Preisen ist der Umsatz gleich Null? Interpretiere ökonomisch.
Lösungsweg:
Bei einem Präparat hängt die Wirksamkeit \(W\) (in willkürlichen Einheiten) von der Wirkstoff-Konzentration \(c\) (in mg/L) im Blutplasma näherungsweise gemäss
\[ W(c) = -0.5 \cdot c^2 + 40 \cdot c - 200 \]ab. Unterhalb einer minimalen Konzentration zeigt das Präparat keine Wirkung, oberhalb einer oberen Schwelle nimmt die Wirkung wegen toxischer Nebeneffekte wieder ab.
(a) Bei welcher Konzentration ist die Wirksamkeit maximal? Wie hoch ist sie dann?
(b) In welchem Konzentrationsbereich ist das Präparat überhaupt wirksam (\(W > 0\))? Bestimme die untere und die obere Schwelle.
(c) Wie ist der konstante Term \(-200\) physiologisch zu interpretieren?
Lösungsweg:
Ein rechteckiger Garten soll an einer Hauswand mit einem 40 m langen Zaun eingezäunt werden (drei Seiten Zaun, eine Seite Hauswand).
(a) Bezeichne mit \(x\) die Breite (senkrecht zur Hauswand). Drücke die Länge und die Fläche \(A(x)\) als Funktion von \(x\) aus.
(b) Für welche Breite \(x\) wird die Fläche maximal? Wie gross ist die Maximalfläche?
Lösungsweg:
Eine Parabolantenne hat einen Durchmesser von 1.20 m und eine Tiefe von 15 cm in der Mitte. Der Querschnitt durch die Mitte ist parabelförmig.
(a) Lege das Koordinatensystem so, dass der Scheitelpunkt der Parabel im Ursprung liegt und die Parabel nach oben offen ist. Stelle die Funktionsgleichung auf.
(b) Bestimme die Höhe der Parabel \(h\) bei einem Abstand von 0.30 m vom Scheitel.
(c) Wie tief müsste die Antenne sein, damit ein 1 m breiter Querschnitt eine Tiefe von 20 cm hätte (gleicher Streckungsfaktor \(a\))?
Lösungsweg:
(a) Mit \( h_0 = 45 \) und \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \):
\[ h(t) = 45 - 4.905 \cdot t^2 \](b) Bodenkontakt: \( h(t) = 0 \).
\[ 45 = 4.905 \cdot t^2 \;\Longrightarrow\; t^2 = \tfrac{45}{4.905} \approx 9.174 \;\Longrightarrow\; t \approx 3.03\;\text{s} \](c) \( h(2) = 45 - 4.905 \cdot 4 = 45 - 19.62 = 25.38\;\text{m} \).
(a) Wurfhöhe = \( h(0) = 20\;\text{m} \).
(b) Aufschlag: \( h(x) = 0 \).
\[ -0.05 \cdot x^2 + 20 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = 400 \;\Longrightarrow\; x = 20\;\text{m} \](negative Lösung entfällt physikalisch).
(c) \( h(10) = -0.05 \cdot 100 + 20 = -5 + 20 = 15\;\text{m} \).
(a) \( s(50) = \tfrac{2500}{100} = 25\;\text{m} \), \( s(100) = \tfrac{10\,000}{100} = 100\;\text{m} \).
(b) Verdoppelung der Geschwindigkeit \(\Longrightarrow\) Vervierfachung des Bremsweges (\( 100/25 = 4 \)). Quadratischer Zusammenhang!
(c) \( 36 = \tfrac{v^2}{100} \;\Longrightarrow\; v^2 = 3600 \;\Longrightarrow\; v = 60\;\text{km/h} \).
(a) Scheitel \( S(0 \mid 5) \), nach unten offen, Auflager bei \( x = \pm 10 \). Ansatz Scheitelform: \( h(x) = a \cdot x^2 + 5 \).
Punkt \( (10 \mid 0) \) einsetzen: \( 0 = a \cdot 100 + 5 \;\Longrightarrow\; a = -\tfrac{5}{100} = -\tfrac{1}{20} \).
\[ h(x) = -\tfrac{1}{20} \cdot x^2 + 5 \](b) \( h(5) = -\tfrac{1}{20} \cdot 25 + 5 = -1.25 + 5 = 3.75\;\text{m} \).
(c) \( 3 = -\tfrac{1}{20} \cdot x^2 + 5 \;\Longrightarrow\; x^2 = 20 \cdot 2 = 40 \).
\( x = \pm\sqrt{40} \approx \pm 6.32\;\text{m} \). Abstand zur Mitte ca. 6.3 m.
(a) \( U(p) = p \cdot x(p) = p \cdot (800 - 20 \cdot p) = -20 \cdot p^2 + 800 \cdot p \).
(b) Scheitel der nach unten offenen Parabel:
\[ p^* = -\frac{800}{2 \cdot (-20)} = 20\;\text{CHF} \] \[ U_{\max} = U(20) = -20 \cdot 400 + 800 \cdot 20 = 8000\;\text{CHF} \](c) \( U(p) = 0 \;\Longleftrightarrow\; p \cdot (800 - 20 \cdot p) = 0 \;\Longrightarrow\; p = 0 \) oder \( p = 40 \). Bei \(p = 0\): kostenlos abgegeben (keine Einnahmen). Bei \(p = 40\): zu teuer, niemand kauft (\(x = 0\)).
(a) Scheitelformel: \( c^* = -\dfrac{40}{2 \cdot (-0.5)} = 40 \). \( W(40) = -0.5 \cdot 1600 + 40 \cdot 40 - 200 = -800 + 1600 - 200 = 600 \).
Maximale Wirksamkeit: \( W_{\max} = 600 \) bei \( c^* = 40\;\text{mg/L} \).
(b) Nullstellen mit Mitternachtsformel (\(a=-0.5\), \(b=40\), \(c=-200\)):
\[ c_{1,2} = \frac{-40 \pm \sqrt{40^2 - 4 \cdot (-0.5) \cdot (-200)}}{2 \cdot (-0.5)} = \frac{-40 \pm \sqrt{1200}}{-1} \]Die Division durch \(-1\) kehrt das Vorzeichen um — übersichtlicher in der äquivalenten Form mit positivem Nenner:
\[ c_{1,2} = 40 \mp \sqrt{1200} \]\( \sqrt{1200} \approx 34.64 \). Damit \( c_1 = 40 - \sqrt{1200} \approx 5.36\;\text{mg/L} \) und \( c_2 = 40 + \sqrt{1200} \approx 74.64\;\text{mg/L} \).
Das Präparat ist wirksam etwa zwischen 5.4 mg/L (mindesttherapeutische Konzentration, in der Pharmakologie oft als MEC für „minimum effective concentration" bezeichnet) und 74.6 mg/L (toxische Schwelle, MTC für „minimum toxic concentration").
(c) Der konstante Term \(-200\) ist der Wert von \(W\) bei \(c = 0\): ohne Wirkstoff ist die Wirksamkeit deutlich negativ — das Modell drückt damit aus, dass das Präparat eine gewisse Mindest-Konzentration im Blut benötigt, um überhaupt eine messbare Wirkung zu zeigen.
(a) Zaun: \( 2 \cdot x + L = 40 \;\Longrightarrow\; L = 40 - 2 \cdot x \).
\[ A(x) = x \cdot L = x \cdot (40 - 2 \cdot x) = -2 \cdot x^2 + 40 \cdot x \]Sinnvoller Bereich: \( 0 < x < 20 \).
(b) Scheitel: \( x^* = -\dfrac{40}{2 \cdot (-2)} = 10 \).
\( A(10) = -2 \cdot 100 + 400 = 200\;\text{m}^2 \), \( L = 40 - 20 = 20\;\text{m} \).
Optimum: Breite 10 m, Länge 20 m, Fläche \( 200\;\text{m}^2 \).
(a) Scheitel im Ursprung, nach oben offen \(\Longrightarrow\) Ansatz \( y = a \cdot x^2 \).
Randpunkt: bei \( x = 0.60\;\text{m} \) (= halber Durchmesser) ist \( y = 0.15\;\text{m} \).
\[ 0.15 = a \cdot 0.36 \;\Longrightarrow\; a = \frac{0.15}{0.36} = \frac{5}{12} \approx 0.4167 \] \[ y = \tfrac{5}{12} \cdot x^2 \](b) \( y(0.30) = \tfrac{5}{12} \cdot 0.09 = 0.0375\;\text{m} = 3.75\;\text{cm} \).
(c) Mit gleichem \(a = \tfrac{5}{12}\) und Breite 1 m, also Rand bei \( x = 0.5\;\text{m} \):
\[ y(0.5) = \tfrac{5}{12} \cdot 0.25 \approx 0.1042\;\text{m} \approx 10.4\;\text{cm} \]Eine 20 cm tiefe, 1 m breite Antenne hätte einen anderen Streckungsfaktor — die Bedingung „gleiches \(a\)" und „20 cm Tiefe bei 1 m Breite" widersprechen sich. Mit \(a = \tfrac{5}{12}\) ergibt sich nur 10.4 cm Tiefe. Die geforderten 20 cm wären nur mit \( a = 0.8 \) möglich (steilere Schale).