3.3 Quadratische Funktionen

Wurfparabel: Abwurf, Scheitel, Landung

1. 0:00Die Animation zeigt die Flugbahn eines Balls als Parabel. Wo ist er am höchsten, und wo landet er?
2. 0:09Bei x gleich null ist h gleich eins. Der Ball startet also einen Meter über dem Boden, nicht auf der x-Achse.
3. 0:19Bei x gleich vier ist die Klammer null, und h ist fünf. Das ist der Scheitel, der höchste Punkt, denn a ist negativ und die Parabel nach unten geöffnet.
4. 0:28Der Ball landet, wo h null ist: bei x gleich vier plus Wurzel aus zwanzig, also bei etwa acht Komma vier sieben Metern. Die zweite Nullstelle liegt vor dem Abwurf und zählt hier nicht.
5. 0:40Merke: Der Scheitel ist der höchste Punkt der Flugbahn, die positive Nullstelle der Landepunkt. Die Scheitelform zeigt den Scheitel ohne Rechnung.

Drei Formen: jede zeigt ein anderes Merkmal

1. 0:00Die Animation rechnet die Scheitelform laufend in die anderen Formen um. Welche Form zeigt was, und was bewirken a, u und v?
2. 0:09Start mit a gleich null Komma fünf, u gleich eins und v gleich minus zwei. Die Scheitelform zeigt den Scheitel, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt minus eins Komma fünf, die Linearfaktorform die Nullstellen minus eins und drei.
3. 0:24Jetzt nur u, von eins auf drei. Die ganze Parabel rutscht um zwei nach rechts: Der Scheitel und beide Nullstellen wandern mit, die Form bleibt gleich.
4. 0:34Jetzt nur a, von null Komma fünf auf zwei. Der Scheitel bleibt bei drei und minus zwei, aber die Parabel wird schmaler, und die Nullstellen rücken auf zwei und vier zusammen.
5. 0:44Merke: Alle drei Formen beschreiben dieselbe Parabel. Die Scheitelform zeigt den Scheitel, die allgemeine Form den y-Achsenabschnitt, die Linearfaktorform die Nullstellen. u und v verschieben, a formt.

Diskriminante: c hebt, D entscheidet

1. 0:00In der Animation schiebst du c. Die Parabel x Quadrat minus vier x plus c wandert dabei nach oben oder unten. Wann ändert sich die Zahl der Nullstellen?
2. 0:10Bei c gleich drei ist D gleich sechzehn minus zwölf, also vier und positiv. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal, bei eins und bei drei. Ihr Scheitel liegt unter der Achse.
3. 0:22Bei c gleich vier ist D genau null. Der Scheitel liegt bei zwei auf der Achse: Die Parabel berührt sie nur, es gibt eine doppelte Nullstelle.
4. 0:31Bei c gleich sieben ist D minus zwölf. Eine Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es nicht: Die Parabel liegt ganz über der Achse und hat keine Nullstelle.
5. 0:41Merke: Ein grösseres c hebt die Parabel und macht D kleiner. Ist D positiv, gibt es zwei Nullstellen, bei null eine, und ist D negativ, keine.

Parabeltypen: was ein fehlender Parameter bewirkt

1. 0:00Die Animation zeigt verschiedene Typen quadratischer Funktionen. Alle sind Sonderfälle derselben Form. Was ändert sich, wenn ein Parameter fehlt?
2. 0:09Bei zwei x Quadrat fehlt c. Dann ist f von null gleich null: Die Parabel geht durch den Ursprung. Grau zum Vergleich die Normalparabel.
3. 0:19Bei x Quadrat minus drei fehlt b. Dann ist u gleich minus b durch zwei a gleich null: Der Scheitel liegt bei null und minus drei auf der y-Achse, und sie ist die Symmetrieachse.
4. 0:31Bei minus zwei x Quadrat plus drei ist a negativ. Die Parabel ist nach unten geöffnet, der Scheitel bei null und drei ist ihr höchster Punkt. Weil der Betrag von a zwei ist, ist sie zudem schmaler.
5. 0:43Merke: Alle Typen sind Sonderfälle von a x Quadrat plus b x plus c. Fehlt c, geht die Parabel durch den Ursprung, fehlt b, liegt der Scheitel auf der y-Achse, und ein negatives a öffnet sie nach unten.

Extremwert-Zaun: die grösste Fläche im Scheitel

1. 0:00Vierzig Meter Zaun, ein rechteckiges Feld. Ist eine Seite x, bleibt für die andere zwanzig minus x. Welches Rechteck hat die grösste Fläche?
2. 0:09Bei x gleich vier ist die andere Seite sechzehn. Die Fläche ist vier mal sechzehn, also vierundsechzig Quadratmeter.
3. 0:19Bei x gleich zehn sind beide Seiten zehn Meter lang: ein Quadrat. Der Punkt liegt genau im Scheitel, und die Fläche ist mit hundert Quadratmetern am grössten.
4. 0:28Bei x gleich neunzehn bleibt ein Streifen, neunzehn Meter lang und einen Meter breit: nur neunzehn Quadratmeter. Ganz am Rand, bei null und bei zwanzig, wäre die Fläche null. Das sind die Nullstellen der Parabel.
5. 0:41Merke: Die Fläche ist eine nach unten geöffnete Parabel, ihr Scheitel ist das Maximum. Bei festem Umfang hat das Quadrat die grösste Fläche.

Scheitel setzen: Vorzeichen lesen, a weglassen

1. 0:00In Aufgabe A2 setzt du den Scheitel einer Parabel mit der Maus. Du liest ihn aus der Scheitelform ab. Doch welche Zahl gehört dazu, und welche nicht?
2. 0:09Beispiel: minus null Komma fünf mal x plus eins im Quadrat, plus zwei. Noch bevor du klickst, hat die blasse Parabel die richtige Form: nach unten offen und breit. Das macht a, verschieben tut a nichts.
3. 0:22In der Klammer steht x plus eins, also x minus minus eins. Damit ist u gleich minus eins: Der Scheitel rückt eins nach links.
4. 0:31v gleich zwei steht mit seinem eigenen Vorzeichen hinter der Klammer. Der Scheitel liegt bei minus eins und zwei. Die Probe: f von minus eins ist zwei.
5. 0:42Merke: In a mal x minus u im Quadrat plus v liegt der Scheitel bei u und v. u steht mit umgekehrtem Vorzeichen in der Klammer, v mit eigenem dahinter. a verschiebt nichts, es bestimmt nur Öffnung und Streckung.

Quadratische Funktionen: woran man sie erkennt

1. 0:00Sobald ein x Quadrat im Term steht und nicht wegfällt, ist die Funktion quadratisch. Ihr Graph ist keine Gerade mehr, sondern eine Parabel.
2. 0:09Der Unterschied zur linearen Funktion ist die Änderungsrate. Bei der Geraden wächst y in jedem Schritt gleich viel — bei der Parabel wird der Zuwachs selbst grösser.
3. 0:19Der Graph heisst Parabel. Er ist symmetrisch, hat einen tiefsten oder höchsten Punkt — den Scheitelpunkt — und öffnet nach oben oder unten.
4. 0:27Das Vorzeichen von a entscheidet über die Öffnung: a positiv öffnet nach oben, der Scheitel ist der tiefste Punkt. A negativ öffnet nach unten.
5. 0:36Zum Mitnehmen: x Quadrat macht die Parabel, das Vorzeichen von a macht die Öffnung. Und im Unterschied zur Geraden gibt es einen ausgezeichneten Punkt — den Scheitel.

Quadratische Funktionen: die Normalparabel

1. 0:00Die einfachste quadratische Funktion ist y gleich x Quadrat. Sie heisst Normalparabel und ist die Form, aus der alle anderen entstehen.
2. 0:09Ihre Wertetabelle lohnt sich auswendig: null, eins, vier, neun, sechzehn — und links davon dasselbe noch einmal.
3. 0:17Der Graph: Scheitel im Ursprung, symmetrisch zur y-Achse, nach oben geöffnet. Nach aussen wird sie schnell steil.
4. 0:25Zwei Dinge tut sie nie: Sie wird nicht negativ, und sie wird nicht spitz. Der Scheitel ist rund — die Parabel hat dort eine waagrechte Tangente.
5. 0:33Zum Mitnehmen: Die Normalparabel ist die Schablone. Alles Weitere ist Verschieben und Strecken dieser einen Kurve.

Quadratische Funktionen: verschieben und strecken

1. 0:00Aus der Normalparabel wird jede andere Parabel durch drei Eingriffe: strecken, nach rechts oder links schieben, hinauf oder hinunter schieben.
2. 0:09Das a streckt in der Höhe. Ist der Betrag grösser als eins, wird die Parabel schmaler; liegt er zwischen null und eins, wird sie breiter. Ein negatives a klappt sie um.
3. 0:20Das d schiebt waagrecht — und hier ist die Falle: Im Term steht x minus d, aber die Parabel wandert nach rechts. Bei d gleich zwei steht x minus zwei im Term.
4. 0:29Das e schiebt senkrecht, und dort stimmt das Vorzeichen mit der Anschauung überein: plus geht hinauf, minus hinunter.
5. 0:37Alles zusammen an unserer Parabel: x minus zwei in Klammern zum Quadrat, minus eins. Also zwei nach rechts und eins nach unten — der Scheitel liegt bei zwei und minus eins.
6. 0:48Zum Mitnehmen: a formt, d schiebt waagrecht mit umgekehrtem Vorzeichen, e schiebt senkrecht mit dem seinen.

Quadratische Funktionen: die Scheitelpunktform

1. 0:00Die Scheitelpunktform ist so gebaut, dass man den Scheitel direkt ablesen kann. Sie ist keine andere Funktion — nur eine andere Schreibweise.
2. 0:08An unserer Parabel: x minus zwei zum Quadrat minus eins. Also d gleich zwei, e gleich minus eins — der Scheitel liegt bei zwei und minus eins.
3. 0:18Und die Falle: Im Term steht ein Minus vor der Zwei, der Scheitel liegt aber bei plus zwei. Wer x plus drei sieht, muss minus drei lesen.
4. 0:27Der Nutzen: Der Scheitel ist der tiefste Punkt bei nach oben geöffneter Parabel — also der kleinste Funktionswert. Damit liest man auch die Wertemenge direkt ab.
5. 0:36Zum Mitnehmen: In der Scheitelpunktform steht der Scheitel im Term. Das Vorzeichen von d dreht sich, das von e nicht.

Quadratische Funktionen: die Produktform

1. 0:00Die Produktform zeigt, was die Scheitelpunktform verbirgt: die Nullstellen. Sie steht als Produkt von zwei Klammern da.
2. 0:08An unserer Parabel: x minus eins mal x minus drei. Die Nullstellen sind also eins und drei.
3. 0:16Der Grund ist der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Also entweder die erste Klammer oder die zweite.
4. 0:25Und eine Grenze: Die Produktform gibt es nur, wenn die Parabel die x-Achse trifft. Ohne reelle Nullstellen lässt sie sich über R nicht bilden.
5. 0:34Zum Mitnehmen: Die Produktform ist die faktorisierte Parabel. Was in den Klammern steht, wird null gesetzt — und schon hat man die Nullstellen.

Quadratische Funktionen: die allgemeine Form

1. 0:00Die allgemeine Form ist die ausmultiplizierte Parabel — die Form, in der Aufgaben meistens dastehen.
2. 0:08Zwei Dinge liest man ohne Rechnung ab: das Vorzeichen von a sagt die Öffnung, und c ist der y-Achsenabschnitt.
3. 0:16An unserer Parabel: a ist eins, b ist minus vier, c ist drei. Also nach oben geöffnet, und sie schneidet die y-Achse bei drei.
4. 0:24Was sie nicht zeigt, sind Scheitel und Nullstellen. Beide muss man rechnen — dafür gibt es die allgemeine Form für jede Parabel, auch für die ohne Nullstellen.
5. 0:34Zum Mitnehmen: a zeigt die Öffnung, c den y-Achsenabschnitt, b wirkt nur zusammen mit a. Für Scheitel und Nullstellen muss man umformen oder rechnen.

Quadratische Funktionen: zwischen den drei Formen wechseln

1. 0:00Drei Formen, eine Parabel. Welche man nimmt, hängt an der Frage — und der Wechsel ist Handarbeit.
2. 0:08Jede Form zeigt etwas anderes sofort: die allgemeine den y-Achsenabschnitt, die Produktform die Nullstellen, die Scheitelpunktform den Scheitel.
3. 0:17Der Weg zur allgemeinen Form ist immer derselbe: ausmultiplizieren und ordnen. Aus beiden anderen Formen führt er direkt hin.
4. 0:26Zurück ist es Arbeit. Zur Produktform kommt man über die Nullstellen: bestimmen, dann als Klammern hinschreiben.
5. 0:33Und zur Scheitelpunktform über die quadratische Ergänzung: die Hälfte von minus vier ist minus zwei, quadriert vier — dazu und wieder weg.
6. 0:42Zum Mitnehmen: Hin ist Ausmultiplizieren, zurück ist quadratische Ergänzung oder der Umweg über die Nullstellen.

Quadratische Funktionen: die Nullstellen einer Parabel

1. 0:00Nullstellen einer Parabel heisst: Wo trifft sie die x-Achse? Die Frage führt auf eine quadratische Gleichung.
2. 0:08Anders als bei der Geraden ist die Anzahl nicht festgelegt. Die Diskriminante entscheidet: zwei, eine oder keine.
3. 0:16An unserer Parabel: b Quadrat ist sechzehn, vier a c ist zwölf, D ist vier — also zwei Nullstellen.
4. 0:25Oft geht es schneller. Hier findet der Zweiklammersatz die Nullstellen in Sekunden — Produkt drei, Summe minus vier.
5. 0:33Zum Mitnehmen: Null setzen, lösen — und die Diskriminante sagt vorher, wie viele Lösungen zu erwarten sind.

Quadratische Funktionen: den Scheitelpunkt bestimmen

1. 0:00Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder höchste Punkt der Parabel. In der allgemeinen Form steht er nicht da — man muss ihn holen.
2. 0:08Der erste Weg ist eine Formel: das x des Scheitels ist minus b durch zwei a. Hier vier durch zwei, also zwei.
3. 0:16Das y bekommt man wie immer durch Einsetzen: zwei Quadrat minus acht plus drei ist minus eins.
4. 0:23Der zweite Weg braucht die Nullstellen: Die Parabel ist symmetrisch, der Scheitel liegt genau in ihrer Mitte. Eins und drei — die Mitte ist zwei.
5. 0:32Und wer die Scheitelpunktform ohnehin braucht, ergänzt quadratisch — dann steht der Scheitel danach einfach da.
6. 0:39Zum Mitnehmen: minus b durch zwei a gibt das x, Einsetzen gibt das y — und die Mitte der Nullstellen ist die Probe.

Quadratische Funktionen: den Scheitel in der Tabelle einkreisen

1. 0:00Der Zaun von der Seite: vierzig Meter Zaun, ein rechteckiges Feld. Ist die eine Seite x, bleibt für die andere zwanzig minus x — die Fläche ist x mal Klammer zwanzig minus x. Gesucht ist die grösste Fläche, also der Scheitel.
2. 0:14Erst grob: Start fünf, Schrittweite zwei. Fünfundsiebzig, einundneunzig, neunundneunzig — die Werte steigen. Bis hierhin sagt die Tabelle nur, dass es aufwärts geht.
3. 0:25Zwei Zeilen weiter kippt es: neun gibt neunundneunzig, elf gibt auch neunundneunzig, dreizehn gibt wieder einundneunzig. Zwei gleiche Werte — und weil die Parabel symmetrisch ist, liegt der Scheitel genau in der Mitte davon, bei zehn.
4. 0:40Nachprüfen mit einer feineren Tabelle: Start neun, Schrittweite eins. Neun gibt neunundneunzig, zehn gibt hundert, elf gibt wieder neunundneunzig. Hundert Quadratmeter bei einer Seite von zehn Metern — das flächengrösste Rechteck mit festem Umfang ist das Quadrat.
5. 0:56Die Tabelle hat den Scheitel eingekreist, festgemacht hat sie ihn nicht. Das tut die Formel: minus b durch zwei a. Ausmultipliziert steht dort minus x Quadrat plus zwanzig x, also minus zwanzig durch minus zwei — genau zehn.
6. 1:10Und die Grenze des Verfahrens: Eine Tabelle findet nur, was sie trifft. Mit Schrittweite zwei lag der Scheitel zwischen zwei Zeilen, und läge er bei drei Komma fünf, träfe ihn eine ganzzahlige Tabelle nie.
7. 1:22Die Tabelle zeigt die Gegend. Den Punkt gibt die Formel.