3.3 Quadratische Funktionen
Eine quadratische Funktion beschreibt jeden Vorgang mit gleichmässig wachsender Änderungsrate — vom geworfenen Ball bis zur Gewinnkurve. Hier lernst du die drei Darstellungsformen Grund-, Scheitel-, Produktform, ihre geometrische Bedeutung (Öffnung, Nullstellen, Scheitelpunkt) und löst klassische Extremwertaufgaben.
- den Unterschied zwischen den verschiedenen Darstellungsformen der Funktion (Grund-, Scheitel- und Produktform) erläutern und ineinander überführen auch ohne Hilfsmittel
- die verschiedenen Darstellungsformen der Funktion geometrisch interpretieren (Öffnung, Nullstellen, Scheitelpunkt, Achsenabschnitte) auch ohne Hilfsmittel
- die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aufstellen
- Extremwertaufgaben lösen auch ohne Hilfsmittel
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die drei Darstellungsformen (Grund-, Scheitel- und Produktform) erläutern und ineinander überführen.
- Ich kann die Formen geometrisch deuten: Öffnung, Scheitelpunkt, Nullstellen, Achsenabschnitte.
- Ich kann mit der Diskriminante die Anzahl der Nullstellen bestimmen.
- Ich kann die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion aus gegebenen Stücken aufstellen.
- Ich kann Extremwertaufgaben über den Scheitelpunkt lösen.
Einstieg — der schiefe Wurf
Du wirfst einen Ball schräg in die Luft. Aus Wurfhöhe 1 m, mit einer Anfangsgeschwindigkeit, die ihn auf eine maximale Höhe von 5 m bei einer waagrechten Distanz von 4 m bringt. Die Flugbahn ist eine Parabel — und sie wird durch eine quadratische Funktion beschrieben:
\[ h(x) = -0.25 \cdot (x - 4)^2 + 5 \]Wähle mit dem Regler eine waagrechte Distanz \(x\) — die zugehörige Tabellenzeile und der Punkt im Graphen werden sofort hervorgehoben.
Alle drei Darstellungen zeigen dieselbe Funktion — aus verschiedenen Blickwinkeln:
- Der Scheitelpunkt \(S(4\mid 5)\) ist die höchste Stelle der Wurfbahn — bei 4 m Distanz erreicht der Ball seine maximale Höhe von 5 m
- Der Streckungsfaktor \(a=-0.25\) ist negativ: die Parabel ist nach unten geöffnet (so kommt der Ball wieder runter)
- Bei \(x=0\) ist \(h(0) = 1\) — die Wurfhöhe
Definition und Parameter
Notation: \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R},\quad x \longmapsto a x^2 + b x + c\)
Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel.
Standardmässig ist \(D = \mathbb{R}\) — eine quadratische Funktion ist für jede reelle Zahl definiert. Bei Anwendungsaufgaben ist \(D\) oft durch den Sachkontext eingeschränkt: bei Wurfweite ist \(x \geq 0\) (und meist \(x \leq x_\text{Auftreff}\)); bei Geometrie-Optimierung ist \(x\) auf den geometrisch sinnvollen Bereich beschränkt (z.B. Rechteckseiten \(> 0\)). Lies in Anwendungen den Definitionsmenge immer aus dem Kontext und gib ihn in der Lösung explizit an — das schliesst auch unsinnige Lösungen automatisch aus.
Jede quadratische Funktion lässt sich in drei äquivalenten Formen schreiben — jede macht eine andere geometrische Eigenschaft direkt sichtbar:
| Form | Gleichung | Direkt ablesbar |
|---|---|---|
| Allgemeine Form (Polynomform, Grundform) |
\(f(x) = ax^2 + bx + c\) | \(y\)-Achsenabschnitt: \(f(0) = c\) Öffnung: Vorzeichen von \(a\) |
| Scheitelform | \(f(x) = a(x - u)^2 + v\) | Scheitelpunkt: \(S(u \mid v)\) Streckung und Öffnung: \(a\) |
| Linearfaktorform (Produktform) |
\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\) | Nullstellen: \(x_1\) und \(x_2\) (nur falls reelle Nullstellen existieren) |
Je nach Lehrmittel oder Werkzeug werden für den Scheitelpunkt unterschiedliche Buchstaben verwendet. Inhaltlich meinen alle dasselbe — wer aus einer anderen Quelle ein Beispiel sieht, sollte die Notation lesen können:
| Schreibweise | Form | Woher |
|---|---|---|
| \(u,\, v\) | \(f(x) = a(x - u)^2 + v\), \(S(u \mid v)\) | in diesem Lehrmittel verwendet |
| \(d,\, e\) | \(f(x) = a(x - d)^2 + e\), \(S(d \mid e)\) | in anderen Lehrmitteln |
| \(x_s,\, y_s\) | \(f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s\), \(S(x_s \mid y_s)\) | direkter Bezug zum Scheitelpunkt |
| \(h,\, k\) | \(f(x) = a(x - h)^2 + k\), \(S(h \mid k)\) | z.B. im Taschenrechner TI-30X Pro Mathprint |
✏️ Mini-Check — Parameter der Parabel
\(a < 0\) bedeutet für die Parabel …
- nach oben geöffnet
- nach unten geöffnet
- keine Parabel
Lösung anzeigen
Für \(a = 0\) wäre die Funktion nicht quadratisch, sondern .
Lösung anzeigen
Berechne \(f(2)\) für \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\).
Lösung anzeigen
Was bewirkt \(|a| > 1\) bzw. \(|a| < 1\) an der Parabelform?
Lösungsweg anzeigen
Die drei Darstellungen
Verändere die Parameter \(a\), \(u\), \(v\) — die Scheitelform wird sofort in allgemeine Form, in die Berechnung der Nullstellen und in die Linearfaktorform umgerechnet. Im Graph werden Scheitelpunkt \(S(u \mid v)\), \(y\)-Achsenabschnitt und Nullstellen markiert.
Die Linearfaktorform existiert nur, wenn die Parabel die \(x\)-Achse schneidet — also bei zwei oder einer reellen Nullstelle. Hat die Parabel keine reellen Nullstellen, gibt es keine Linearfaktorform über den reellen Zahlen.
Die Diskriminante — wie viele Nullstellen?
Aus der allgemeinen Form \(f(x) = ax^2 + bx + c\) bekommt man die Nullstellen mit der Mitternachtsformel (auch Lösungsformel oder abc-Formel genannt):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\bbox[#fde9c7, 3px]{\,b^2 - 4ac\,}}}{2a} \]↑ derselbe Ausdruck ↓
Der Ausdruck unter der Wurzel heisst Diskriminante:
\[ D = \bbox[#fde9c7, 3px]{\,b^2 - 4ac\,} \]Der orange hinterlegte Term ist in beiden Formeln gleich — die Diskriminante \(D\) sitzt unter der Wurzel und entscheidet, ob es Nullstellen gibt.
Ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl reeller Nullstellen — und damit über die Lage der Parabel relativ zur \(x\)-Achse.
Die drei Klick-Beispiele zeigen je eine quadratische Funktion mit ihrer Diskriminante: D > 0: \(x^2 - 2x - 3\) mit \(D = 16\) (zwei Nullstellen \(x_1=-1,\,x_2=3\)) · D = 0: \(x^2 - 4x + 4\) mit \(D = 0\) (doppelte Nullstelle \(x=2\)) · D < 0: \(x^2 + 3\) mit \(D = -12\) (keine reelle Nullstelle).
| Diskriminante | Anzahl Nullstellen | Geometrische Lage | Linearfaktorform |
|---|---|---|---|
| \(D > 0\) | zwei verschiedene Nullstellen \(x_1, x_2\) | Parabel schneidet \(x\)-Achse in zwei Punkten | \(a(x-x_1)(x-x_2)\) |
| \(D = 0\) | eine doppelte Nullstelle \(x_1\) | Parabel berührt \(x\)-Achse (Scheitel auf der Achse) | \(a(x-x_1)^2\) |
| \(D < 0\) | keine reelle Nullstelle | Parabel berührt \(x\)-Achse nicht | existiert nicht in \(\mathbb{R}\) |
✏️ Mini-Check — Scheitelform und Diskriminante
Die Scheitelform \(f(x) = a(x - u)^2 + v\) zeigt den Scheitel bei …
- \((u \mid v)\)
- \((-u \mid v)\)
- \((v \mid u)\)
Lösung anzeigen
Wie viele Nullstellen es gibt, entscheidet die .
Lösung anzeigen
Bestimme Scheitel und Nullstellen von \(f(x) = (x - 1)^2 - 4\).
Lösung anzeigen
Überführe \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) in die Scheitelform.
Lösungsweg anzeigen
Typen quadratischer Funktionen
Klicke auf einen Fall — nur dieser wird angezeigt:
Anwendungen der drei Formen
Jede der drei Darstellungsformen hat zwei typische Einsätze: einmal zum Zeichnen (geometrisches Verständnis) und einmal zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen. Diese Tabelle ist das Werkzeug für Aufgaben.
| Form | Anwendung | Wann besonders gut | Vorgehen |
|---|---|---|---|
| Allgemeine Form \(f(x){=}ax^2{+}bx{+}c\) |
① Nullstellen / Achsenschnittpunkte bestimmen | Wenn die Funktion bereits in Grundform vorliegt und keine bequemen Strukturmerkmale (Scheitelpunkt, Nullstellen) gegeben sind. | Setze \(0 = ax^2 + bx + c\) und löse mit der Mitternachtsformel \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Die Achsenschnittpunkte sind \(S_{x_1}(x_1 \mid 0)\), \(S_{x_2}(x_2 \mid 0)\) und \(S_y(0 \mid c)\). |
| ② Parabelgleichung aus 3 beliebigen Punkten bestimmen | Wenn drei Punkte gegeben sind, von denen keiner ausgezeichnet ist (kein Scheitelpunkt, keine Nullstelle). | Setze die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten der drei Punkte einzeln in \(y = ax^2 + bx + c\) ein. Es entsteht ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten \(a, b, c\) — lösen (z.B. mit dem Taschenrechner). | |
| Scheitel- form \(f(x){=}a(x{-}u)^2{+}v\) |
③ Parabel zeichnen / Transformation | Wenn der Scheitelpunkt gesucht ist oder geometrische Verschiebung/Streckung im Vordergrund steht. | Ausgehend von der Normalparabel \(y = x^2\) verschieben in den Scheitelpunkt \(S(u \mid v)\) und mit \(a\) strecken (\(|a| > 1\)) bzw. stauchen (\(|a| < 1\)). Bei \(a < 0\) zusätzlich an der waagrechten Achse spiegeln. |
| ④ Parabelgleichung aus dem Scheitelpunkt und einem beliebigen Punkt bestimmen | Wenn der Scheitelpunkt explizit gegeben ist (z.B. „höchster Punkt der Wurfbahn bei …"). | Setze \(u\) und \(v\) (Scheitelpunkt) sowie die Koordinaten des zweiten Punktes in \(y = a(x-u)^2 + v\) ein und löse die entstehende Gleichung nach \(a\) auf. | |
| Linear- faktorform \(f(x){=}a(x{-}x_1)(x{-}x_2)\) |
⑤ Parabel aus den Nullstellen zeichnen | Wenn beide Nullstellen explizit gegeben sind (z.B. „Wurf startet bei \(x=0\) und landet bei \(x=20\)"). | Trage \(x_1\) und \(x_2\) auf der \(x\)-Achse ein. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte zwischen ihnen: \(x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}\). Mit \(y_S = f(x_S)\) den Scheitelpunkt einzeichnen — Parabel zeichnen. |
| ⑥ Parabelgleichung aus den Nullstellen und einem beliebigen Punkt bestimmen | Wenn die Nullstellen gegeben sind und ein weiterer Punkt (oft der Scheitel-Höhenwert). | Setze \(x_1\), \(x_2\) und die Koordinaten des gegebenen Punktes \(P(x \mid y)\) in \(y = a(x-x_1)(x-x_2)\) ein und löse die Gleichung nach \(a\) auf. |
| Von | Nach | Vorgehen |
|---|---|---|
| Allgemeine Form | Scheitelform | \(u = -\dfrac{b}{2a}\), \(\;v = c - \dfrac{b^2}{4a} = \dfrac{4ac - b^2}{4a}\), \(a\) übernehmen |
| Scheitelform | Allgemeine Form | Klammer ausmultiplizieren |
| Allgemeine Form | Linearfaktorform | Nullstellen \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) berechnen, \(a\) übernehmen |
| Linearfaktorform | Allgemeine Form | Klammern ausmultiplizieren |
✏️ Mini-Check — Die drei Formen nutzen
Die Produktform \(a(x - x_1)(x - x_2)\) zeigt direkt …
- den Scheitel
- die Nullstellen
- den \(y\)-Achsenabschnitt
Lösung anzeigen
Die Grundform \(ax^2 + bx + c\) zeigt direkt den -Achsenabschnitt \(c\).
Lösung anzeigen
Nenne die Nullstellen von \(f(x) = 2(x - 1)(x + 3)\).
Lösung anzeigen
Warum löst der Scheitelpunkt Extremwertaufgaben?
Lösungsweg anzeigen
Extremwertaufgabe live — der Zaun mit dem grössten Feld
Ein Bauer hat \(40\) m Zaun und will damit ein rechteckiges Feld einzäunen. Ist die Seite \(x\) gewählt, bleibt für die andere Seite \(y = 20 - x\) (denn \(2x + 2y = 40\)). Die Fläche \(A(x) = x\,(20 - x) = -x^2 + 20x\) ist eine nach unten geöffnete Parabel — ihr Scheitel ist die Antwort.
Funktionsgleichung aufstellen — Beispiele
Gegeben: Scheitelpunkt \(S(2 \mid -3)\), Punkt \(P(0 \mid 1)\).
\[ 1 = a \cdot (0 - 2)^2 + (-3) \;\Longleftrightarrow\; 1 = 4a - 3 \;\Longleftrightarrow\; a = 1 \] \[ \Rightarrow\; f(x) = 1 \cdot (x - 2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1 \]Gegeben: Nullstellen \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\), Punkt \(P(1 \mid -8)\).
\[ -8 = a \cdot (1 - (-1)) \cdot (1 - 3) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a \;\Longrightarrow\; a = 2 \] \[ \Rightarrow\; f(x) = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6 \]Gegeben: \(P_1(-1 \mid 6)\), \(P_2(0 \mid 1)\), \(P_3(2 \mid 3)\). Setze in \(y = ax^2 + bx + c\) ein:
\[ \begin{cases} a - b + c = 6 \\ c = 1 \\ 4a + 2b + c = 3 \end{cases} \;\Rightarrow\; a = 2,\; b = -3,\; c = 1 \;\Rightarrow\; f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \]\(y = (x - 3)^2 + 2\) ist nicht dasselbe wie \(y = x^2 - 3\cdot x + 2\). Um von Scheitel- zu Grundform zu kommen, muss die Klammer ausquadriert werden: \((x - 3)^2 = x^2 - 6\cdot x + 9\), also wird daraus \(y = x^2 - 6\cdot x + 11\). Wer die Klammer einfach „auflöst" und das Quadrat vergisst, bekommt eine völlig andere Parabel.
In der Scheitelform \(y = a\cdot (x - u)^2 + v\) ist der Scheitelpunkt \(S(u \mid v)\) — das Minuszeichen in der Klammer macht das Vorzeichen von \(u\) im Punkt positiv. Aus \(y = (x + 4)^2 - 1\) wird also \(S(-4 \mid -1)\), nicht \(S(4 \mid -1)\). Achte auf das Vorzeichen in der Klammer und dreh es um, wenn du den Scheitelpunkt abliest.
Die drei Formen sind nicht gleich gut — die richtige Wahl spart viel Rechenaufwand:
- Scheitelpunkt gesucht oder gegeben: Scheitelform \(a(x-u)^2 + v\) verwenden — \(S(u \mid v)\) ist direkt ablesbar.
- Nullstellen gesucht oder gegeben: Linearfaktorform \(a(x-x_1)(x-x_2)\) verwenden — Nullstellen sind direkt ablesbar.
- y-Achsenabschnitt gesucht oder gegeben: Grundform \(ax^2 + bx + c\) verwenden — \(c\) ist der y-Achsenabschnitt.
Wer eine Aufgabe von vorne in der falschen Form bearbeitet, muss am Ende erst noch umrechnen — vermeidbarer Mehraufwand.
✏️ Mini-Check — Funktionsgleichung aufstellen
Scheitel \((2 \mid 3)\) und \(a = -1\): \(f(x) = \;?\)
- \(-(x - 2)^2 + 3\)
- \(-(x + 2)^2 + 3\)
- \((x - 2)^2 - 3\)
Lösung anzeigen
Drei Punkte bestimmen die Grundform eindeutig, weil sie Unbekannte (\(a, b, c\)) hat.
Lösung anzeigen
Scheitel \((1 \mid -2)\), Graph durch \((3 \mid 6)\): bestimme \(a\).
Lösung anzeigen
Nullstellen \(1\) und \(5\), Graph durch \((0 \mid 10)\): bestimme die Gleichung.
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Wähle eine Funktion aus und gib an, was sich direkt aus der gegebenen Form ablesen lässt.
Klicke (oder ziehe) den Scheitelpunkt im Graphen auf die richtige Position für die angegebene Funktion.
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\). Wie lautet der Scheitelpunkt \(S(u \mid v)\)?
\(f(x) = x^2 - 5x + 6\). Bestimme die Nullstellen.
Scheitelpunkt \(S(-1 \mid 4)\), Punkt \(P(1 \mid 0)\). Bestimme \(a\). Antwort als Zahl.
Nullstellen \(x_1 = -2\), \(x_2 = 4\), Punkt \(P(0 \mid -8)\). Bestimme \(a\).
Wie viele Nullstellen hat \(f(x) = 2x^2 + 3x + 5\)?
\(f(x) = 2(x - 3)^2 - 5\). Schreibe in der Form \(ax^2 + bx + c\). Antwort als z.B. 2x²-12x+13.
Ein Stein wird aus 2 m Höhe geworfen und erreicht eine maximale Höhe von 6 m bei 5 m Distanz. Stelle die Wurfparabel \(h(x)\) in Scheitelform auf. Wie weit fliegt der Stein, bevor er auf den Boden fällt?
Scheitel \(S(5 \mid 6)\), Punkt \(P(0 \mid 2)\):
\[ 2 = a(0-5)^2 + 6 \;\Rightarrow\; -4 = 25a \;\Rightarrow\; a = -\frac{4}{25} = -0.16 \] \[ h(x) = -\frac{4}{25}(x - 5)^2 + 6 \;=\; -0.16(x - 5)^2 + 6 \]Aufschlag bei \(h(x) = 0\):
\[ 0.16(x-5)^2 = 6 \;\Rightarrow\; (x-5)^2 = 37.5 \;\Rightarrow\; x = 5 \pm \sqrt{37.5} \]Zwei rechnerische Lösungen: \(x_1 \approx 5 + 6.12 = 11.12\;\text{m}\) und \(x_2 \approx 5 - 6.12 = -1.12\;\text{m}\). Die zweite Lösung liegt links vom Abwurfpunkt und ist physikalisch nicht relevant (negative Wurfweite). Antwort: der Stein fliegt rund \(11.12\;\text{m}\) weit.
Ein Verein verkauft T-Shirts. Bei einem Preis von 20 CHF werden 100 Stück verkauft; pro CHF Preiserhöhung sinkt der Verkauf um 4 Stück. Bei welchem Preis wird der Umsatz maximal?
Sei \(x\) die Anzahl CHF Preiserhöhung. Preis: \(20+x\); Stückzahl: \(100-4x\).
\[ U(x) = (20+x)(100-4x) = 2000 + 100x - 80x - 4x^2 = -4x^2 + 20x + 2000 \]Maximum am Scheitelpunkt:
\[ x_{\max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \cdot (-4)} = 2.5 \] \[ \text{Preis} = 20 + 2.5 = 22.50\;\text{CHF}, \qquad U_{\max} = U(2.5) = 2025\;\text{CHF} \]Verkaufte Stückzahl: \(100 - 4 \cdot 2.5 = 90\) Stück. Bei einem Preis von 22.50 CHF werden also 90 Stück verkauft, was den maximalen Umsatz von 2025 CHF ergibt.
Ein parabelförmiger Brückenbogen ist 20 m breit und in der Mitte 5 m hoch. Stelle die Funktionsgleichung auf (Ursprung links am Bogenfuss). Welche Höhe hat der Bogen 3 m vom linken Fuss entfernt?
Nullstellen bei \(x_1 = 0\) und \(x_2 = 20\), Scheitelpunkt bei \(x = 10\) mit Höhe 5 m. Linearfaktorform:
Die Bogenfüsse liegen auf der x-Achse, also sind \(x = 0\) und \(x = 20\) Nullstellen der gesuchten Funktion. Wenn die Nullstellen direkt gegeben sind, ist die Linearfaktorform \(h(x) = a \cdot (x - x_1)(x - x_2)\) die schnellste Darstellung — nur noch \(a\) aus einem zusätzlichen Punkt (hier dem Scheitelpunkt) bestimmen. Mit Scheitel- oder Grundform wäre das deutlich aufwendiger.
Punkt \(S(10 \mid 5)\) einsetzen:
\[ 5 = a \cdot 10 \cdot (-10) = -100a \;\Rightarrow\; a = -0.05 \] \[ h(x) = -0.05 \cdot x \cdot (x - 20) = -0.05 x^2 + x \] \[ h(3) = -0.05 \cdot 9 + 3 = -0.45 + 3 = 2.55\;\text{m} \]Eine Hängebrücke ist 80 m breit. Der Bogen über der Brücke hat in der Mitte seinen höchsten Punkt, 20 m über der Fahrbahn, und berührt an den beiden Brücken-Enden die Fahrbahn (\(y = 0\)).
- Lege ein Koordinatensystem fest und stelle eine quadratische Funktion auf, die den Bogenverlauf beschreibt (Scheitelform).
- Welche Höhe hat der Bogen bei \(x = 20\,\text{m}\) (gemessen von der Mitte)?
- An welchen Positionen liegt der Bogen genau \(15\,\text{m}\) über der Fahrbahn?
- Koordinatensystem: \(x\)-Achse entlang der Fahrbahn, Ursprung in der Mitte. Scheitel \(S(0 \mid 20)\), Nullstellen bei \(x = \pm 40\). Scheitelform: \(y = a \cdot x^2 + 20\). Mit \(y(40) = 0\): \(a \cdot 1600 + 20 = 0 \Rightarrow a = -\tfrac{1}{80}\). Also \(y = -\tfrac{1}{80}x^2 + 20\).
- Bei \(x = 20\): \(y = -\tfrac{400}{80} + 20 = -5 + 20 = 15\,\text{m}\).
- \(y = 15\) setzen: \(-\tfrac{1}{80}x^2 + 20 = 15 \Rightarrow \tfrac{1}{80}x^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 400 \Rightarrow x = \pm 20\,\text{m}\). An den Stellen \(x = -20\) und \(x = +20\) ist der Bogen 15 m hoch. Symmetrisch zum Scheitel.
A6 und A7 lösen strukturell ähnliche Aufgaben (parabelförmiger Bogen über einer Strecke), aber mit unterschiedlichen Darstellungsformen: A6 nutzt die Linearfaktorform, weil die Nullstellen vorgegeben sind; A7 verwendet die Scheitelform, weil die Aufgabenstellung die Mitte (= Scheitelpunkt) als Bezugspunkt setzt. Welche Form am schnellsten zum Ziel führt, hängt davon ab, welche Information die Aufgabe gibt — Scheitelpunkt und ein Punkt → Scheitelform; zwei Nullstellen und ein Punkt → Linearfaktorform; drei beliebige Punkte → Grundform mit Gleichungssystem.
Zusammenfassung
Der Graph einer quadratischen Funktion \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ist stets eine Parabel. Drei Punkte (oder Scheitelpunkt + ein Punkt, oder beide Nullstellen + ein Punkt) genügen, um sie eindeutig zu bestimmen.
| Grösse | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(f\) | \(f(x) = ax^2 + bx + c\) | Allgemeine Form (Polynomform), \(a \neq 0\) |
| \(S\) | \(S\!\left(-\dfrac{b}{2a}\;\Big|\;c - \dfrac{b^2}{4a}\right)\) | Scheitelpunkt; Scheitelform: \(f(x)=a(x-u)^2+v\) mit \(S(u\mid v)\) |
| \(x_{1,2}\) | \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) | Mitternachtsformel — liefert die Nullstellen |
| \(D\) | \(D = b^2 - 4ac\) | Diskriminante: \(D > 0\): zwei NS; \(D = 0\): eine; \(D < 0\): keine |
| \(c\) | \(c = f(0)\) | y-Achsenabschnitt: \(S_y(0 \mid c)\) |
| \(a\) | — | \(a > 0\): nach oben offen; \(a < 0\): nach unten offen; \(|a|\) bestimmt Streckung |
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.