Eine Funktion \( f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) heisst quadratische Funktion, wenn sie sich in der Form
\[ f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c, \qquad a, b, c \in \mathbb{R},\; a \neq 0 \]schreiben lässt. Die Zuordnung wird auch geschrieben als
\[ f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, \quad x \longmapsto a x^2 + b x + c. \]Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel.
Jede quadratische Funktion lässt sich in drei äquivalenten Formen schreiben — alle enthalten dieselbe Information, machen aber je eine andere geometrische Eigenschaft direkt sichtbar:
| Form | Gleichung | Direkt ablesbar |
|---|---|---|
| Allgemeine Form (Polynomform, Grundform) |
\( f(x) = a x^2 + b x + c \) | \(y\)-Achsenabschnitt: \( f(0) = c \) Öffnung: Vorzeichen von \(a\) |
| Scheitelform | \( f(x) = a (x - u)^2 + v \) | Scheitelpunkt: \( S(u \mid v) \) Streckung und Öffnung: \(a\) |
| Linearfaktorform (Produktform) |
\( f(x) = a (x - x_1)(x - x_2) \) | Nullstellen: \(x_1\) und \(x_2\) (falls reelle Nullstellen existieren) |
| Bedingung | Wirkung auf die Parabel |
|---|---|
| \( a > 0 \) | nach oben geöffnet |
| \( a < 0 \) | nach unten geöffnet |
| \( |a| > 1 \) | enger als die Normalparabel (gestreckt) |
| \( |a| < 1 \) | breiter als die Normalparabel (gestaucht) |
| \( a = 1,\; b = c = 0 \) | Normalparabel \( y = x^2 \) |
Aus \( f(x) = a x^2 + b x + c \) ergibt sich der Scheitelpunkt:
\[ S(u \mid v),\qquad u = -\frac{b}{2a},\qquad v = c - \frac{b^2}{4a} = \frac{4ac - b^2}{4a} \]Alternativ: \( v = f(u) \) durch Einsetzen.
Die Parabel ist symmetrisch zur senkrechten Geraden durch den Scheitelpunkt:
\[ x = u = -\frac{b}{2a} \]Die Nullstellen einer quadratischen Funktion \( f(x) = a x^2 + b x + c \) sind die Lösungen von \( f(x) = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]Der Ausdruck unter der Wurzel heisst Diskriminante:
\[ D = b^2 - 4ac \]Ihr Vorzeichen entscheidet über die Anzahl reeller Nullstellen.
| Diskriminante | Anzahl Nullstellen | Geometrische Lage | Linearfaktorform |
|---|---|---|---|
| \( D > 0 \) | zwei verschiedene Nullstellen \(x_1, x_2\) | Parabel schneidet die \(x\)-Achse | \( a (x - x_1)(x - x_2) \) |
| \( D = 0 \) | eine doppelte Nullstelle \(x_1\) | Parabel berührt die \(x\)-Achse (Scheitel auf der Achse) | \( a (x - x_1)^2 \) |
| \( D < 0 \) | keine reelle Nullstelle | Parabel berührt die \(x\)-Achse nicht | existiert nicht in \( \mathbb{R} \) |
| Von | Nach | Vorgehen |
|---|---|---|
| Allgemeine Form | Scheitelform | \( u = -\dfrac{b}{2a} \), \( v = c - \dfrac{b^2}{4a} \), \(a\) übernehmen |
| Scheitelform | Allgemeine Form | Klammer ausmultiplizieren |
| Allgemeine Form | Linearfaktorform | Nullstellen \( x_{1,2} \) berechnen, \(a\) übernehmen |
| Linearfaktorform | Allgemeine Form | Klammern ausmultiplizieren |
Jede Form hat zwei typische Einsatzgebiete: einmal zum Zeichnen einer gegebenen Funktion, einmal zum Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen.
| Form | Anwendung | Vorgehen |
|---|---|---|
| Allgemeine Form \( ax^2 + bx + c \) |
Nullstellen / Achsenschnittpunkte bestimmen | \( 0 = ax^2 + bx + c \) mit Mitternachtsformel lösen. Achsenschnittpunkte: \( S_{x_1}(x_1\mid 0),\;S_{x_2}(x_2\mid 0),\;S_y(0\mid c) \) |
| Funktionsgleichung aus 3 Punkten bestimmen | Setze die 3 Punkte einzeln in \( y = ax^2 + bx + c \) ein. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten \(a,\,b,\,c\) — lösen. | |
| Scheitelform \( a(x-u)^2 + v \) |
Parabel zeichnen / Transformation | Ausgehend von der Normalparabel \( y = x^2 \) verschieben in \( S(u\mid v) \) und mit \(a\) strecken (\(|a|>1\)) bzw. stauchen (\(|a|<1\)); bei \(a<0\) zusätzlich an der waagerechten Achse spiegeln. |
| Funktionsgleichung aus Scheitel und einem Punkt | Setze \(u\), \(v\) und die Koordinaten des zweiten Punktes in \( y = a(x-u)^2 + v \) ein und löse nach \(a\) auf. | |
| Linearfaktorform \( a(x-x_1)(x-x_2) \) |
Parabel aus den Nullstellen zeichnen | \(x_1\) und \(x_2\) auf der \(x\)-Achse eintragen. Symmetrieachse: \( x_S = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \). Mit \( y_S = f(x_S) \) den Scheitel bestimmen — Parabel zeichnen. |
| Funktionsgleichung aus Nullstellen und einem Punkt | Setze \(x_1\), \(x_2\) und die Koordinaten des Punktes in \( y = a(x-x_1)(x-x_2) \) ein und löse nach \(a\) auf. |
| Typ | Gleichung | Bedingung | Eigenschaft |
|---|---|---|---|
| Normalparabel | \( f(x) = x^2 \) | \(a=1,\,b=0,\,c=0\) | Scheitel im Ursprung |
| reine quadratische Fkt. | \( f(x) = a x^2 + c \) | \(b = 0\) | Symmetrieachse ist \(y\)-Achse, \( S(0 \mid c) \) |
| Scheitel auf \(x\)-Achse | \( f(x) = a(x-u)^2 \) | \(v = 0\) | doppelte Nullstelle bei \(x_1 = u\) |
| Scheitel im Ursprung | \( f(x) = a x^2 \) | \(b = c = 0\) | verlängerte / gestauchte Normalparabel |
In Anwendungssituationen entspricht die quadratische Funktion oft einem realen Sachverhalt:
| Sachverhalt | Modell | Bedeutung der Parameter |
|---|---|---|
| Wurfparabel | \( h(x) = a(x-u)^2 + v \) | \(S(u\mid v)\): höchster Punkt; Nullstellen: Auftreffpunkte |
| freier Fall (s-t) | \( s(t) = \tfrac{1}{2} g\, t^2 + s_0 \) | \(g\): Erdbeschleunigung, \(s_0\): Starthöhe |
| Bremsweg | \( s_B(v) = \dfrac{v^2}{2 a_B} \) | \(a_B\): Bremsverzögerung; Faustformel: \(s_B \approx v^2/100\) (\(v\) in km/h) |
| Brückenbogen / Kabel | \( h(x) = a x (x - L) \) | \(L\): Spannweite, \(a<0\) bei nach unten hängendem Bogen |
| Umsatz / Gewinn | \( U(x) = (p_0 + x)(n_0 - k\, x) \) | Preis\(\cdot\)Menge — Maximum am Scheitelpunkt |
Bei Anwendungsaufgaben gehören Grösse und Einheit an die Achsen, z.B. \( t \) [s], \( h \) [m], \( v \) [m/s]. Die Skalierung wird aufgabenbezogen gewählt — bei reiner Mathematik dagegen 1:1, mit Achsen \(x\) und \(y\) ohne Einheit.
| Grösse | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| \( f \) | \( f(x) = a x^2 + b x + c \) | allgemeine Form, \(a \neq 0\) |
| \( S \) | \( S\!\left(-\dfrac{b}{2a}\;\Big|\;c - \dfrac{b^2}{4a}\right) \) | Scheitelpunkt |
| \( x_{1,2} \) | \( x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) | Mitternachtsformel |
| \( D \) | \( D = b^2 - 4ac \) | Diskriminante (entscheidet Anzahl Nullstellen) |
| \( S_y \) | \( S_y(0 \mid c),\; c = f(0) \) | Schnitt mit der \(y\)-Achse |