12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: nur Formelsammlung Promath. Zeitvorgabe: ca. 50 Minuten.
Vervollständige die Aussage und schreibe in die Lücken:
Ordne jede Funktion der passenden Darstellungsform zu (Allgemeine Form, Scheitelform, Linearfaktorform):
(a) \( f(x) = 2 \cdot (x - 3)^2 - 5 \) (b) \( g(x) = -x^2 + 4 \cdot x + 1 \) (c) \( h(x) = 0.5 \cdot (x + 2)(x - 4) \)
Gegeben: \( f(x) = -2 \cdot (x - 1)^2 + 8 \). Bestimme:
(a) den Scheitelpunkt \( S \), (b) die Öffnungsrichtung,
(c) den y-Achsenabschnitt \( c \), (d) den Funktionswert \( f(3) \).
Berechne mit der Mitternachtsformel die Nullstellen von \( f(x) = x^2 - 5 \cdot x + 6 \).
Berechne die Diskriminante \(D\) und gib jeweils die Anzahl der Nullstellen an:
(a) \( f(x) = x^2 - 6 \cdot x + 9 \) (b) \( g(x) = 2 \cdot x^2 + 3 \cdot x + 4 \) (c) \( h(x) = -x^2 + 4 \cdot x - 1 \)
Bringe \( f(x) = 3 \cdot (x - 2)^2 - 4 \) auf die Allgemeine Form \( f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \).
Bringe \( f(x) = x^2 - 4 \cdot x + 7 \) auf die Scheitelform \( f(x) = a \cdot (x - u)^2 + v \). Gib den Scheitelpunkt an.
Bringe \( f(x) = 2 \cdot x^2 - 4 \cdot x - 6 \) auf die Linearfaktorform.
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt \( S(2 \mid -3) \) und verläuft durch \( P(0 \mid 1) \). Bestimme die Funktionsgleichung.
Eine Parabel hat die Nullstellen \( x_1 = -1 \), \( x_2 = 3 \) und verläuft durch \( P(1 \mid -8) \). Bestimme die Funktionsgleichung in Allgemeiner Form.
Gegeben: \( f(x) = -\tfrac{1}{2} \cdot (x - 1)^2 + 2 \).
Bestimme Scheitel, Nullstellen und y-Achsenabschnitt rechnerisch und skizziere den Graphen im untenstehenden Koordinatensystem.
Eine Bogenbrücke wird durch \( h(x) = -0.05 \cdot x^2 + 0.5 \cdot x \) modelliert (\(x\) und \(h\) in m), gemessen ab dem linken Auflager.
(a) Wie weit reicht die Brücke (Spannweite)? (b) Berechne die maximale Höhe.
(c) Skizziere den Bogen.
\( f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \) mit \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\). Der Graph ist stets eine Parabel.
(a) Scheitelform (b) Allgemeine Form (c) Linearfaktorform
(a) \( S(1 \mid 8) \) (b) nach unten offen (\( a = -2 < 0 \))
(c) \( c = f(0) = -2 \cdot (0 - 1)^2 + 8 = -2 + 8 = 6 \)
(d) \( f(3) = -2 \cdot (3 - 1)^2 + 8 = -2 \cdot 4 + 8 = 0 \)
\( a = 1,\; b = -5,\; c = 6 \).
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]\( x_1 = 3 \), \( x_2 = 2 \)
(a) \( D = 36 - 36 = 0 \) \(\rightarrow\) 1 doppelte Nullstelle
(b) \( D = 9 - 32 = -23 < 0 \) \(\rightarrow\) keine Nullstelle
(c) \( D = 16 - 4 = 12 > 0 \) \(\rightarrow\) 2 verschiedene Nullstellen
\( f(x) = 3 \cdot (x^2 - 4 \cdot x + 4) - 4 = 3 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 12 - 4 \)
\[ f(x) = 3 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 8 \]Quadratische Ergänzung: \( x^2 - 4 \cdot x = (x - 2)^2 - 4 \).
Also \( f(x) = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3 \).
\[ f(x) = (x - 2)^2 + 3, \quad S(2 \mid 3) \]Alternative über Scheitelformel: \( u = -\dfrac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \), \( v = f(2) = 4 - 8 + 7 = 3 \). ✓
Mitternachtsformel mit \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -6\):
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{4} = \frac{4 \pm 8}{4} \]\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \).
\[ f(x) = 2 \cdot (x - 3)(x + 1) \]Ansatz Scheitelform: \( f(x) = a \cdot (x - 2)^2 - 3 \).
Punkt \( P(0 \mid 1) \) einsetzen: \( 1 = a \cdot 4 - 3 \;\Longrightarrow\; a = 1 \).
\[ f(x) = (x - 2)^2 - 3 \]Ansatz Linearfaktorform: \( f(x) = a \cdot (x + 1)(x - 3) \).
Punkt \( P(1 \mid -8) \): \( -8 = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4 \cdot a \;\Longrightarrow\; a = 2 \).
\( f(x) = 2 \cdot (x + 1)(x - 3) = 2 \cdot (x^2 - 2 \cdot x - 3) \)
\[ f(x) = 2 \cdot x^2 - 4 \cdot x - 6 \]Scheitel: \( S(1 \mid 2) \), nach unten offen (\(a = -\tfrac{1}{2}\)).
Nullstellen: \( -\tfrac{1}{2} (x - 1)^2 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x - 1)^2 = 4 \;\Longrightarrow\;
x - 1 = \pm 2 \).
\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \).
y-Achsenabschnitt: \( f(0) = -\tfrac{1}{2} \cdot 1 + 2 = 1.5 \).
(a) Spannweite = Abstand der Nullstellen.
\( -0.05 \cdot x^2 + 0.5 \cdot x = 0 \;\Longrightarrow\; x \cdot (-0.05 \cdot x + 0.5) = 0 \).
\( x_1 = 0 \), \( x_2 = 10 \). Spannweite \( = 10\,\mathrm{m} \).
(b) Maximum im Scheitel. \( u = -\dfrac{0.5}{2 \cdot (-0.05)} = 5 \), \(\; v = h(5) = -0.05 \cdot 25 + 0.5 \cdot 5 = -1.25 + 2.5 = 1.25 \).
Maximale Höhe \( = 1.25\,\mathrm{m} \) bei \( x = 5\,\mathrm{m} \).
Wenn du 10 oder mehr Aufgaben richtig gelöst hast, beherrschst du die Grundlagen. Bei weniger als 8: Handout nochmals durcharbeiten und die nicht gelösten Aufgaben erneut versuchen.