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Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 4.2 Diagramme

Anwendungsaufgaben — Diagramme

Sechs Anwendungsaufgaben aus Datenanalyse und Diagrammwahl. Mit Lösungen.

Aufgaben

🟠 Aufgabe 1 — Histogramm konstruieren

Eine Klasse misst die Körpergrössen (in cm) von 25 Schülerinnen:

158, 162, 165, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 182, 183, 185, 187, 189

  1. Wie viele Klassen empfiehlt die Faustregel?
  2. Bestimme Klassenbreite und Klassengrenzen.
  3. Berechne die Klassenhäufigkeiten.
  4. Charakterisiere die Verteilung (symmetrisch, schief, unimodal, bimodal).
🟠 Aufgabe 2 — Diagrammwahl rechtfertigen

Für jeden der folgenden Datensätze: nenne den passenden Diagrammtyp und begründe.

  1. Lieblingsmusikrichtung von n = 30 Personen (5 Kategorien).
  2. Wartezeiten in Minuten an einer Kasse, n = 80.
  3. Anzahl Geschwister bei n = 22 Schülerinnen.
  4. Lernzeit (Stunden) und Punkte in der Prüfung von n = 40 Lernenden.
🟠 Aufgabe 3 — Boxplot lesen

Ein Boxplot von Prüfungsergebnissen zeigt: min = 2.5, Q1 = 4.0, Median = 4.8, Q3 = 5.2, max = 5.7.

  1. Welche Form hat die Verteilung? Begründe.
  2. Wie gross ist die Quartilsdifferenz?
  3. Wo liegen die mittleren 50 % der Werte?
  4. Schätze: Mittelwert grösser oder kleiner als Median? Warum?
🟠 Aufgabe 4 — Streudiagramm interpretieren

Ein Streudiagramm zeigt für 50 Lernende: x = Lernzeit (Stunden), y = Prüfungspunkte. Die Punkte liegen näherungsweise auf einer steigenden Geraden, mit einigen Ausnahmen.

  1. Welcher Zusammenhang liegt vor?
  2. Bedeutet das, dass „mehr Lernen" automatisch zu „mehr Punkten" führt? Diskutiere.
  3. Warum sind „Ausnahmen" (Punkte abseits der Geraden) zu erwarten?
🟠 Aufgabe 5 — Diagramm-Kritik

Eine Zeitung zeigt ein Kuchendiagramm der Wahlergebnisse mit 11 Parteien. Der grösste Sektor hat 28 %, der kleinste 0.3 %. Diskutiere zwei konkrete Probleme dieser Darstellung und schlage eine bessere Alternative vor.

🟠 Aufgabe 6 — Verteilungsform aus Kontext erraten

Welche Verteilungsform erwartest du für die folgenden Erhebungen? Begründe in einem Satz.

  1. Vermögen aller Bewohner einer Stadt.
  2. Körpergrösse einer Schulklasse mit gemischten Geschlechtern.
  3. Zeit, die Studierende für die gleiche Klausur brauchen.
  4. Augenfarbe in einer Klasse.

Lösungen

🟢 Lösung 1 — Histogramm konstruieren
  1. \(\sqrt{25} = 5\) Klassen.
  2. min = 158, max = 189, Spanne = 31. Klassenbreite \(b = 31/5 = 6.2\) — aufgerundet auf 7 cm. Klassen: [158; 165[, [165; 172[, [172; 179[, [179; 186[, [186; 193[.
  3. Klassenhäufigkeiten:
    • [158; 165[: 2 Werte (158, 162)
    • [165; 172[: 8 Werte (165, 167, 168, 169, 170, 170, 171, 171)
    • [172; 179[: 8 Werte (172, 173, 173, 174, 175, 176, 177, 178)
    • [179; 186[: 5 Werte (179, 180, 182, 183, 185)
    • [186; 193[: 2 Werte (187, 189)
  4. Annähernd symmetrisch und unimodal mit Gipfel im Bereich 165–179 cm. Plausibel für ein Mischmaterial aus Frauen und Männern in einer Klasse.
🟢 Lösung 2 — Diagrammwahl rechtfertigen
  1. Kuchen- oder Balkendiagramm — kategoriales Merkmal, 5 Kategorien (Kuchen funktioniert noch gut).
  2. Histogramm — stetiges Merkmal, Wartezeiten in Klassen einteilen.
  3. Balkendiagramm mit Lücken — diskretes Merkmal, kleine Anzahl Werte.
  4. Streudiagramm — bivariate Daten, sucht Zusammenhang zwischen den beiden Grössen.
🟢 Lösung 3 — Boxplot lesen
  1. Linksschief. Der Median (4.8) liegt näher am Q3 (5.2) als am Q1 (4.0), und der untere Whisker reicht weit hinunter (bis 2.5). Der „Schwanz" der Verteilung zieht nach links.
  2. QD = Q3 − Q1 = 5.2 − 4.0 = 1.2.
  3. Die mittleren 50 % liegen zwischen 4.0 und 5.2 (= Box).
  4. Mittelwert kleiner als Median. Bei linksschiefen Verteilungen zieht der lange linke Schwanz den Mittelwert nach unten.
🟢 Lösung 4 — Streudiagramm
  1. Positiver linearer Zusammenhang — mehr Lernzeit korreliert mit mehr Punkten.
  2. Nein, nicht automatisch. Hier sind zwei verschiedene Punkte zu unterscheiden:
    • Korrelation ≠ Kausalität: Eine positive Korrelation zwischen Lernzeit und Punkten beweist nicht, dass mehr Lernen auch mehr Punkte verursacht. Möglich wären auch Drittvariablen (Motivation, Vorwissen, Schlaf) oder umgekehrte Kausalität.
    • Individuelle Unterschiede: Selbst wenn ein Kausalzusammenhang besteht, wirkt er nicht bei allen gleich stark. Lernmethoden, Konzentration und Lerneffizienz unterscheiden sich von Person zu Person — eine konkrete Stunde mehr lernen führt nicht garantiert zu \(x\) Punkten mehr.
  3. Reale Daten enthalten immer Streuung — Tagesform, Aufgabenglück, individuelle Effizienz. Eine perfekte Gerade wäre verdächtig (zu sauber, oft auf Manipulation oder kleinen n hinweisend).
🟢 Lösung 5 — Diagramm-Kritik

Probleme:

Alternative: Horizontales Balkendiagramm, Parteien nach Grösse sortiert. So sind alle Werte direkt vergleichbar und auch kleine Anteile bleiben sichtbar.

🟢 Lösung 6 — Verteilungsform
  1. Stark rechtsschief — wenige sehr Vermögende erzeugen einen langen Schwanz nach rechts.
  2. Bimodal — zwei Gipfel, je einer für Frauen und Männer (durchschnittlich unterschiedliche Körpergrösse).
  3. Symmetrisch und unimodal (näherungsweise normalverteilt) — die meisten brauchen mittellange Zeit, wenige sehr kurz oder sehr lang.
  4. Keine kontinuierliche Form — kategorial. Daher Balken- oder Kuchendiagramm, nicht Histogramm.