4.2 Diagramme
Ein gut gewähltes Diagramm zeigt eine Aussage in Sekunden — ein schlecht gewähltes verwirrt oder täuscht. In diesem Kapitel lernst du die vier Standard-Diagramme der deskriptiven Statistik kennen, wann welches passt, und wie sich Daten durch Form und Streuung charakterisieren lassen.
- univariate Daten charakterisieren (kategorial, diskret, stetig), ordnen, klassieren (Rangliste, Klasseneinteilung) und visualisieren (Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Histogramm, Boxplot)
- Diagramme charakterisieren und interpretieren (symmetrisch, schief, unimodal, multimodal)
- bivariate Daten charakterisieren, visualisieren und interpretieren
- entscheiden, wann welches Diagramm angemessen ist
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Daten klassieren: Klassenzahl und Klassenbreite sinnvoll wählen.
- Ich kann die vier Standarddiagramme (Säulen-, Kreis-, Histogramm, Boxplot) erstellen und lesen.
- Ich kann zum Merkmalstyp und zur Fragestellung den passenden Diagrammtyp begründen.
- Ich kann Diagramme charakterisieren und manipulative Darstellungen erkennen.
- Ich kann bivariate Daten im Streudiagramm darstellen und Zusammenhänge beschreiben.
Einstieg — vier Daten, vier Diagramme
Eine Schule erhebt vier ganz unterschiedliche Datensätze. Wähle einen aus und drücke Animation starten — du siehst, wie das passende Diagramm Datenpunkt für Datenpunkt entsteht. Frage dabei mit: Warum passt dieses Diagramm zu genau diesen Daten?
Jeder Datensatz hat seinen eigenen Datentyp — kategorial, stetig oder diskret. Genau dieser Typ entscheidet, welches Diagramm sinnvoll ist. In den folgenden Abschnitten klären wir das systematisch.
Klassieren — der Schritt vor dem Diagramm ↩ 4.1
Bei stetigen Daten sind alle Werte verschieden (z.B. Körpergrössen 169.3 cm, 169.4 cm, 169.7 cm). Eine Strichliste „wie oft kommt jeder Wert vor?" produziert dann meist nur Einsen — nutzlos. Deshalb fasst man Werte in Klassen (Intervalle gleicher Breite) zusammen.
Daten werden in Klassen \(K_1, K_2, \dots, K_k\) eingeteilt — typischerweise gleich breite, aneinandergrenzende Intervalle. Für jede Klasse \(K_i\) zählt man, wie viele Werte hineinfallen — die absolute Häufigkeit \(h_i\). Der Anteil \(h_i / n\) ist die relative Häufigkeit.
Faustregel für die Anzahl Klassen bei \(n\) Werten:
\[ k \approx \sqrt{n} \]Bei \(n = 60\) also etwa 8 Klassen, bei \(n = 200\) etwa 14.
60 Lernende, Grössen zwischen 156 cm und 184 cm. Mit 6 Klassen à 5 cm:
| Klasse [cm] | \(h_i\) | \(h_i/n\) |
|---|---|---|
| [155; 160[ | 5 | 0.083 |
| [160; 165[ | 12 | 0.200 |
| [165; 170[ | 18 | 0.300 |
| [170; 175[ | 14 | 0.233 |
| [175; 180[ | 8 | 0.133 |
| [180; 185[ | 3 | 0.050 |
| Summe | 60 | 1.000 |
Die Notation [155; 160[ bedeutet: 155 inklusive, 160 exklusiv — so wird jeder Wert genau einer Klasse zugeordnet.
✏️ Mini-Check — Klassieren
Klassieren heisst …
- die Werte sortieren
- die Werte in Intervalle einteilen
- die Werte runden
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Spannweite 40, 8 Klassen → Klassenbreite .
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In welche Klasse gehört der Wert 17.3 bei den Klassen \([10; 15[\), \([15; 20[\), \([20; 25[\)?
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Was passiert bei zu vielen bzw. zu wenigen Klassen?
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Die vier Standarddiagramme
Klick auf eine Kachel, um Definition und Beispiel zu sehen.
Balkendiagramm
Für kategoriale oder diskrete Daten. Jede Kategorie wird zu einem Rechteck, dessen Höhe die Häufigkeit darstellt. Die Balken berühren sich nicht — die Lücken signalisieren: zwischen den Kategorien gibt es nichts.
✏️ Mini-Check — Die vier Standarddiagramme
Häufigkeiten eines kategorialen Merkmals zeigt …
- das Säulendiagramm
- das Streudiagramm
- der Boxplot
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Das Histogramm stellt Daten dar.
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6 von 24 Nennungen: relative Häufigkeit und Kreissektor?
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Welche fünf Kennwerte zeigt ein Boxplot — und wofür eignet er sich besonders?
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Diagramme charakterisieren
Histogramme und Boxplots zeigen die Form der Verteilung. Drei Begriffspaare reichen, um die meisten Verteilungen zu beschreiben:
Eine Verteilung ist symmetrisch, wenn die linke und rechte Hälfte des Histogramms spiegelbildlich aussehen. Sie ist linksschief, wenn der Schwanz nach links ausläuft (die Masse rechts), rechtsschief, wenn der Schwanz nach rechts ausläuft (die Masse links).
Diese Schiefe lässt sich auch an den Lagemassen ablesen: Bei rechtsschiefer Verteilung ist der Mittelwert grösser als der Median (der lange Schwanz nach rechts zieht den Mittelwert hoch), bei linksschiefer Verteilung ist er kleiner. Mehr dazu in Kapitel 4.3.
Ein Histogramm ist unimodal, wenn es genau einen Gipfel hat. Es ist bimodal bei zwei Gipfeln, allgemein multimodal bei mehreren. Mehrere Gipfel sind oft ein Hinweis darauf, dass die Stichprobe aus zwei verschiedenen Gruppen stammt (z.B. Körpergrössen einer Klasse, in der Frauen und Männer beide stark vertreten sind).
Dieselben Daten lassen sich ehrlich oder irreführend darstellen. Die häufigsten Tricks:
- Abgeschnittene \(y\)-Achse. Beginnt die Achse nicht bei \(0\), wirken kleine Unterschiede riesig: Säulen \(4\) und \(8\) sehen bei \(y\)-Start \(3\) aus wie \(1 : 5\) statt \(1 : 2\).
- Fehlende oder unklare Achsenbeschriftung. Ohne Grösse und Einheit ist keine Zahl interpretierbar.
- Ungleiche Klassenbreiten / gestauchte Skala. Verzerrt das Histogramm-Bild; die Fläche stimmt dann nicht mehr mit der Häufigkeit überein.
- Flächen- und 3D-Verzerrung. Verdoppelt ein Piktogramm Höhe und Breite, wächst die Fläche auf das Vierfache — das Auge liest Flächen, nicht Höhen. 3D-Perspektive verstärkt vordere Säulen.
- Rosinenpickerei. Ein bewusst gewählter Zeit- oder Datenausschnitt erzeugt einen Trend, den die Gesamtdaten nicht hergeben.
Gegenmittel: Achsen prüfen (Nulllinie? Einheit?), Skala prüfen, und im Zweifel die Rohdaten oder das Verhältnis der Zahlen selbst nachrechnen.
✏️ Mini-Check — Diagramme charakterisieren
Am stärksten manipulativ wirkt in der Regel …
- eine abgeschnittene y-Achse
- eine Legende
- eine Achsenbeschriftung
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Jede Achse braucht Grösse und .
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Säulen 4 und 8 bei \(y\)-Start 3: Wie wirkt das Verhältnis statt 1 : 2?
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Ein Piktogramm verdoppelt Höhe und Breite eines Symbols. Warum überzeichnet das?
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Bivariate Daten — Streudiagramm
Bisher betrachteten wir univariate Daten: ein Merkmal pro Person. Bei bivariaten Daten erheben wir zwei Merkmale gleichzeitig — zum Beispiel Körpergrösse und Schuhgrösse jeder Person. Die natürliche Visualisierung ist das Streudiagramm:
Jede Person wird zu einem Punkt \((x_i, y_i)\) im Koordinatensystem. Die x-Koordinate ist das eine Merkmal, die y-Koordinate das andere. Aus der Form der Punktwolke liest man Zusammenhänge ab.
Ein Zusammenhang im Streudiagramm bedeutet nicht, dass die eine Grösse die andere verursacht. Klassisches Beispiel: Eis-Verkauf und Sonnenbrände korrelieren stark — beides hängt aber von der dritten Grösse Sonnenintensität ab. Eis kaufen verursacht keinen Sonnenbrand.
🎯 Entscheidungstabelle: Welches Diagramm wann?
| Datentyp | Frage | Diagramm |
|---|---|---|
| kategorial | Häufigkeitsvergleich | Balkendiagramm |
| kategorial | Anteile am Ganzen | Kuchendiagramm |
| diskret | Häufigkeit pro Wert | Balkendiagramm |
| stetig | Verteilungsform | Histogramm |
| numerisch | 5-Zahlen-Übersicht, Vergleich Gruppen | Boxplot |
| bivariat | Zusammenhang zweier Grössen | Streudiagramm |
Die Wahl des Diagramms folgt immer aus zwei Fragen:
- Was für Daten habe ich? Kategorial (Lieblingsfach), diskret (Anzahl Geschwister), stetig (Körpergrösse) oder bivariat (zwei Merkmale gleichzeitig)?
- Was möchte ich zeigen? Häufigkeiten vergleichen, Anteile darstellen, Verteilungsform zeigen oder Zusammenhang erkunden?
Erst diese zwei Fragen klären, dann die Tabelle oben konsultieren — so vermeidest du den Reflex, einfach das Diagramm zu nehmen, das man am häufigsten gesehen hat (typischerweise Kuchendiagramm oder Balken — beide oft fehl am Platz).
Beide haben rechteckige Balken, sind aber für verschiedene Datentypen gemacht. Beim Balkendiagramm stehen die Balken für kategoriale Daten (Lieblingsfach, Verkehrsmittel) und sind durch Lücken getrennt. Beim Histogramm stehen sie für klassierte stetige Daten (Körpergrösse in 5-cm-Klassen) und stehen lückenlos nebeneinander — die x-Achse ist hier eine echte Zahlenachse, keine Aufzählung. Lücken oder keine Lücken: das ist das Signal.
✏️ Mini-Check — Streudiagramm
Ein Streudiagramm zeigt …
- die Verteilung einer Variablen
- den Zusammenhang zweier Merkmale
- Anteile am Ganzen
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Eine Punktwolke von links unten nach rechts oben zeigt einen en Zusammenhang.
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Trage die Person (Grösse 180 cm, Gewicht 75 kg) ins Streudiagramm ein.
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Eisverkauf und Sonnenbrände korrelieren stark. Verursacht Eis Sonnenbrand?
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Aufgaben
Welches Diagramm ist jeweils am besten geeignet?
- Lieblingssport von 200 Personen — 7 Sportarten zur Auswahl.
- Marktanteile von 4 Smartphone-Herstellern (in %).
- Verteilung der Wartezeit am Pizza-Stand (gemessen in Minuten, n = 80).
- Vergleich der Mathe-Noten in den Klassen A, B und C.
- Zusammenhang zwischen täglicher Lernzeit und Notendurchschnitt.
- Balkendiagramm — 7 Kategorien sind für ein Kuchendiagramm zu viele (zu schmale Sektoren).
- Kuchendiagramm — wenige Kategorien, Anteile addieren sich zu 100%.
- Histogramm — stetige Daten, Verteilungsform interessiert.
- Boxplots nebeneinander — drei Gruppen vergleichen, kompakt.
- Streudiagramm — bivariat, Zusammenhang sichtbar machen.
Bei einer Stadtumfrage ergab sich: \(n = 100\), Werte zwischen 0 und 50.
- Wie viele Klassen empfiehlt die Faustregel?
- Schlage gleichbreite Klassen vor.
- Wie nennt man eine Tabelle, die zu jeder Klasse die Anzahl Werte angibt?
- \(k \approx \sqrt{100} = 10\) Klassen.
- 10 Klassen à 5 Einheiten: [0; 5[, [5; 10[, …, [45; 50].
- Häufigkeitstabelle.
Bei der Klassen-Folge \([0;5[, [5;10[, \dots, [45;50[\) würde der Wert \(50\) in keine Klasse fallen — er wäre in der Auszählung verloren. Damit der Maximalwert mitgezählt wird, schreibt man die letzte Klasse beidseitig geschlossen: \([45; 50]\). Alle übrigen Klassen bleiben halboffen \([\text{links}; \text{rechts}[\), damit Werte am Klassen-Übergang eindeutig einer einzigen Klasse zugeordnet sind.
Gegeben: Lernzeit pro Woche (in Stunden) von 30 Lernenden.
2, 3, 5, 1, 4, 6, 3, 5, 7, 2, 8, 4, 5, 3, 6, 4, 9, 5, 4, 3, 7, 5, 4, 6, 2, 5, 4, 3, 6, 5
- Erstelle eine Häufigkeitstabelle mit Klassen [1; 3[, [3; 5[, [5; 7[, [7; 9[, [9; 11[.
- Charakterisiere die Verteilung (symmetrisch / schief, unimodal / multimodal).
Häufigkeiten zählen:
| Klasse [h] | \(h_i\) |
|---|---|
| [1; 3[ | 4 |
| [3; 5[ | 11 |
| [5; 7[ | 11 |
| [7; 9[ | 3 |
| [9; 11[ | 1 |
| Σ | 30 |
Charakteristik: leicht rechtsschief (langer Schwanz nach rechts) und unimodal bzw. flache Doppelspitze bei den beiden mittleren Klassen.
Folgender Boxplot zeigt die Punktzahlen einer Mathe-Prüfung (max. 60 Punkte):
- Wie viele Punkte hatte das schlechteste / beste Resultat?
- Was ist der Median?
- Welche Punkt-Spanne umfasst die mittleren 50%?
- Ist die Verteilung eher symmetrisch, links- oder rechtsschief?
- Schlechtestes 15 Punkte, bestes 54 Punkte.
- Median = 35 Punkte.
- Q₁ = 28, Q₃ = 45 — die mittleren 50% liegen zwischen 28 und 45 Punkten (Quartilsdifferenz \(Q_3 - Q_1 = 17\)).
- Hier zeigt der Boxplot widersprüchliche Signale: Innerhalb der Box liegt der Median (35) näher am unteren Quartil (Abstand zu Q₁ = 7) als am oberen (Abstand zu Q₃ = 10) — das deutet auf rechtsschiefe Box (mehr Streuung oben). Die Antennen geben das Gegenteil her: die linke Antenne (15 bis 28, Länge 13) ist länger als die rechte (45 bis 54, Länge 9) — das deutet auf linksschiefen Schwanz. Die Verteilung ist also nicht eindeutig schief; ein Boxplot allein kann hier keine klare Diagnose liefern, dafür bräuchte es ein Histogramm oder die Rohdaten.
Eine Studie misst bei 50 Studierenden zwei Merkmale: Anzahl Stunden Schlaf in der Nacht vor der Prüfung (\(x\)) und erreichte Punktzahl (\(y\)). Das Streudiagramm zeigt eine deutlich aufsteigende Punktwolke mit moderater Streuung. Bei 4 Studierenden mit jeweils 9 h Schlaf liegen die Punktzahlen aber zwischen 30 und 90.
- Welcher Zusammenhang besteht zwischen \(x\) und \(y\)?
- Darfst du folgern: „Wer mehr schläft, schreibt automatisch besser"?
- Wie erklärst du die grosse Streuung bei 9 h Schlaf?
- Positiver Zusammenhang — mehr Schlaf geht tendenziell mit höheren Punktzahlen einher.
- Nein. Korrelation ist nicht Kausalität. Wer regelmässig genug schläft, lernt vielleicht auch sonst strukturierter — der Schlaf wäre dann nur ein Indikator, nicht die Ursache. Kontrollierte Experimente wären nötig.
- Andere Faktoren spielen mit: Vorbereitung, Talent, Schwierigkeit der Aufgaben, Tagesform. Auch bei gleicher Schlafdauer können Punktzahlen weit auseinanderliegen. — Wer es technischer mag: Wenn die Streuung von \(y\) für unterschiedliche \(x\)-Bereiche stark variiert, spricht man von Heteroskedastizität. Bei 9 h Schlaf scheint die Streuung deutlich grösser als bei 5 h — ein Hinweis darauf.
Ein Zeitungsartikel zeigt ein Balkendiagramm mit drei Werten: 8.0, 8.2, 8.5. Die y-Achse beginnt bei 7.5. Die Schlagzeile lautet: „Riesige Steigerung beim Quartalsumsatz!"
Was ist an dieser Darstellung problematisch?
Die abgeschnittene y-Achse (Beginn bei 7.5 statt bei 0) lässt die Unterschiede grösser erscheinen, als sie sind:
- Tatsächlicher Anstieg von 8.0 auf 8.5: +6.25%.
- Im Diagramm sieht der dritte Balken ungefähr doppelt so hoch aus wie der erste — visuell suggerierte Steigerung etwa +100%.
Saubere Darstellung: y-Achse bei 0 beginnen lassen, oder einen Achsenbruch deutlich kennzeichnen. Die Schlagzeile passt nicht zu einer 6%-Steigerung.
Vier Datensätze sollen jeweils visualisiert werden. Entscheide pro Datensatz, welches Diagramm angemessen ist (Balken-, Kuchen-, Histogramm- oder Boxplot), und begründe.
- (I) Marktanteile der fünf grössten Smartphone-Hersteller in der Schweiz (in Prozent, zusammen 100 %).
- (II) Körpergrösse von 80 Lernenden, in 5-cm-Klassen \([150\,\text{cm}; 155\,\text{cm}[\), \([155\,\text{cm}; 160\,\text{cm}[\), …
- (III) Mathematik-Endnoten einer Klasse mit 22 Lernenden — Min/Max/Median sind interessant.
- (IV) Lieblingssportart der gleichen Klasse (Fussball, Tennis, Basketball, Reiten, anderes).
(I) Kuchendiagramm — Anteile am Ganzen (Summe genau 100 %). Alternativ Balkendiagramm bei vielen Kategorien.
(II) Histogramm — stetige Daten, klassiert; Balken stehen lückenlos nebeneinander.
(III) Boxplot — Min/Max/Median sind explizit ablesbar; zeigt zusätzlich Quartile und Ausreisser.
(IV) Balkendiagramm — kategoriale Daten ohne natürliche Ordnung, Balken mit Lücken.
Das passende Diagramm folgt aus dem Datentyp und der Fragestellung — diese Wahl ist ein wichtiger Teil jedes datenanalytischen Projekts.
Zusammenfassung
Das richtige Diagramm folgt dem Datentyp, nicht der Vorliebe. Drei Fragen entscheiden: (1) Kategorial, diskret oder stetig? (2) Geht es um Häufigkeit, Verteilungsform oder Zusammenhang? (3) Eine Gruppe oder mehrere? Aus den Antworten ergibt sich die Wahl.
| Diagramm | Datentyp | Zeigt |
|---|---|---|
| Balkendiagramm | kategorial / diskret | Häufigkeit pro Kategorie |
| Kuchendiagramm | kategorial | Anteile am Ganzen |
| Histogramm | stetig (klassiert) | Verteilungsform |
| Boxplot | numerisch | 5-Zahlen-Übersicht |
| Streudiagramm | bivariat | Zusammenhang \(x\) ↔ \(y\) |
Zusatzmaterial
Zum Ausdrucken und Mitnehmen — Theorie, Formelsammlung, Karteikarten und Aufgaben mit Lösungen.