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Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 4.3 Masszahlen

Anwendungsaufgaben — Masszahlen

Sechs Anwendungsaufgaben aus Praxis und Tabellenkalkulation. Mit Lösungen.

Aufgaben

🟠 Aufgabe 1 — Klassenarbeit auswerten

20 Lernende erreichen folgende Punkte: 12, 18, 15, 14, 17, 16, 20, 14, 13, 15, 16, 18, 11, 17, 19, 14, 16, 15, 12, 18.

  1. Berechne Mittelwert, Median und Modus.
  2. Bestimme \(Q_1\), \(Q_3\) und die Quartilsdifferenz.
  3. Berechne die Standardabweichung. (Tipp: zur Erleichterung Hilfsspalten anlegen.)
  4. Charakterisiere die Verteilung kurz.
🟠 Aufgabe 2 — Robustheit bei Ausreisser

Eine Stichprobe von n = 7 Werten ergibt: 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7. Plötzlich wird ein 8. Wert hinzugefügt: 50 (Tippfehler oder Ausreisser).

  1. Berechne Mittelwert vor und nach dem Hinzufügen.
  2. Berechne Median vor und nach.
  3. Welches Lagemass ist robuster gegen den Ausreisser? Quantifiziere den Unterschied.
🟠 Aufgabe 3 — Schwimmtraining

Eine Schwimmerin notiert ihre Zeiten über 50 m (in Sekunden) an fünf Tagen: 28.4, 28.6, 28.5, 28.9, 28.6.

  1. Berechne Mittelwert und Standardabweichung.
  2. Interpretiere das Ergebnis: ist die Schwimmerin konstant?
  3. Schätze ohne Rechnung, wie sich die Standardabweichung ändert, wenn ein Tag mit 30.0 s hinzugefügt wird.
🟠 Aufgabe 4 — Tabellenkalkulation

In Spalte A (Zellen A2 bis A201) stehen 200 Verkaufszahlen einer Bäckerei. Schreibe Excel-/Calc-Formeln für:

  1. Mittelwert
  2. Median
  3. Standardabweichung der Stichprobe
  4. Quartilsdifferenz (in einer einzigen Formel)
  5. Anzahl Tage, an denen der Verkauf grösser war als der Median
🟠 Aufgabe 5 — Zwei Filialen

Bäckerei A und B notieren über 30 Tage ihre Verkaufszahlen.

Filiale A: \(\bar{x} = 320\), Median = 318, \(s = 22\), QD = 30

Filiale B: \(\bar{x} = 320\), Median = 280, \(s = 65\), QD = 50

  1. Welche Filiale hat ein konstanteres Geschäft? Begründe.
  2. Welche Filiale hat möglicherweise einzelne Spitzentage? Begründe aus den Zahlen.
  3. Welches Lagemass ist für Filiale B aussagekräftiger? Warum?
🟠 Aufgabe 6 — Eigene Erhebung

Erhebe eine kleine Stichprobe (n ≥ 15) zu einem Merkmal deiner Wahl — z. B. tägliche Bildschirmzeit, Anzahl Schritte, Pulsfrequenz nach 1 Min Hampelmänner. Erstelle:

  1. Urliste und sortierte Liste.
  2. Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung, \(Q_1\), \(Q_3\), Quartilsdifferenz.
  3. Einen Boxplot von Hand oder mit Tabellenkalkulation.
  4. 3–5 Sätze Interpretation: Was sagen die Masszahlen? Gibt es Ausreisser? Welches Lagemass passt besser?

Lösungen

🟢 Lösung 1 — Klassenarbeit

Sortiert: 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20.

  1. \(\bar{x} = 310/20 = \mathbf{15.5}\). Median = (15 + 16)/2 = 15.5. Modus: 14, 15, 16, 18 kommen je 3-mal vor (mehrere Modi).
  2. Untere Hälfte (Positionen 1–10): 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15. \(Q_1 = (14+14)/2 = \mathbf{14}\). Obere Hälfte (Positionen 11–20): 16, 16, 16, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 20. \(Q_3 = (17+18)/2 = \mathbf{17.5}\). QD = 17.5 − 14 = 3.5.
  3. Abweichungen \((x_i - 15.5)\) quadriert summieren: ergibt 115. \(s = \sqrt{115/19} \approx \mathbf{2.46}\).
  4. Mittelwert = Median, mehrere Modi → annähernd symmetrische, leicht multimodale Verteilung. Mittlere 50 % zwischen 14 und 17.5.
🟢 Lösung 2 — Robustheit
  1. Vor: \(\bar{x} = 37/7 \approx 5.29\). Nach: \(\bar{x} = 87/8 \approx 10.88\). Sprung: +5.59.
  2. Vor: Median = 5. Nach: sortiert 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 50; Median = (5+6)/2 = 5.5. Sprung: +0.5.
  3. Der Median ist deutlich robuster: Verschiebung um 0.5 vs. 5.59 beim Mittelwert. Der Ausreisser hat den Mittelwert mehr als verdoppelt — den Median kaum bewegt.
🟢 Lösung 3 — Schwimmtraining
  1. \(\bar{x} = (28.4+28.6+28.5+28.9+28.6)/5 = 143.0/5 = \mathbf{28.60}\) s. Abweichungen: −0.20, 0.00, −0.10, 0.30, 0.00. Quadrate: 0.04, 0, 0.01, 0.09, 0. Summe = 0.14. \(s = \sqrt{0.14/4} = \sqrt{0.035} \approx \mathbf{0.19}\) s.
  2. Streuung von ca. 2 Zehntelsekunden um den Mittelwert — die Schwimmerin ist sehr konstant.
  3. Der neue Wert 30.0 s liegt 1.4 s über dem bisherigen Mittelwert — das ist 7 mal die bisherige Standardabweichung. Mittelwert und vor allem Standardabweichung würden deutlich grösser. (Tatsächlich: \(\bar{x} \approx 28.83\), \(s \approx 0.59\) — Standardabweichung verdreifacht.)
🟢 Lösung 4 — Tabellenkalkulation
  1. =MITTELWERT(A2:A201)
  2. =MEDIAN(A2:A201)
  3. =STABW.S(A2:A201)
  4. =QUARTILE.INKL(A2:A201;3) − QUARTILE.INKL(A2:A201;1)
  5. =ZÄHLENWENN(A2:A201;">"&MEDIAN(A2:A201))

Hinweis zu e): Das &-Zeichen verkettet den Operator ">" mit dem Wert des Medians zu einer Zeichenkette, die ZÄHLENWENN als Kriterium akzeptiert.

🟢 Lösung 5 — Zwei Filialen
  1. Filiale A ist konstanter: kleinere Standardabweichung (22 vs. 65) und kleinere Quartilsdifferenz (30 vs. 50).
  2. Filiale B hat möglicherweise Spitzentage: Mittelwert (320) deutlich grösser als Median (280), grosse Standardabweichung (65). Schritt für Schritt: Mittelwert > Median heisst, die wenigen sehr grossen Werte ziehen den Mittelwert nach oben, während der Median sich nicht bewegt — das ist genau die Signatur einer rechtsschiefen Verteilung (langer Schwanz nach rechts).
  3. Für Filiale B ist der Median aussagekräftiger — er beschreibt den „typischen" Verkaufstag (280 Stück), während der Mittelwert (320) durch die Spitzentage nach oben gezogen wird und kein realistisches Alltagsbild liefert.
🟢 Lösung 6 — Eigene Erhebung

Individuelle Aufgabe — hier Kontroll-Schema: