Grundlagenfach · Lerngebiet 4 · Datenanalyse · 20 Lektionen

4.3 Masszahlen

Eine ganze Stichprobe in einer einzigen Zahl zusammenfassen — das ist die Idee der Masszahlen. Lagemasse (Mittelwert, Median, Modus) sagen, wo die Daten liegen. Streumasse (Standardabweichung, Quartilsdifferenz) sagen, wie weit sie auseinandergehen. Erst beide zusammen ergeben ein vollständiges Bild.

📋 Kompetenzen nach RLP 2030 — Teilgebiet 4.3

Lagemasse (Mittelwert, Median, Modus) und Streumasse (Standardabweichung, Quartilsdifferenz) von kleinen Stichproben auch ohne Hilfsmittel und von grossen Stichproben mit Hilfsmitteln berechnen, interpretieren sowie auf ihre Plausibilität hin prüfen
entscheiden, wann welche Masszahl relevant ist

🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite

Ich kann die Lagemasse Mittelwert, Median und Modus berechnen und deuten.
Ich kann die Streumasse Spannweite, Quartilsdifferenz und Standardabweichung berechnen und deuten.
Ich kann begründen, wann der Median und wann der Mittelwert das passendere Lagemass ist (Robustheit).
Ich kann Masszahlen grosser Stichproben mit der Tabellenkalkulation bestimmen.
Ich kann aus Masszahlen den Boxplot konstruieren und umgekehrt Masszahlen aus ihm ablesen.

Einstieg — Welche Klasse ist besser?

In zwei Mathe-Klassen wurde die gleiche Prüfung geschrieben. Beide Klassen haben denselben Mittelwert von 4.5. Verschiebe den Regler unten und beobachte, was mit den Noten in Klasse B passiert — und was mit dem Mittelwert:

Streuung Klasse B: 100 %

Einstieg · gleicher Mittelwert, verschiedene Streuung

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Beide Klassen haben denselben Mittelwert 4.5. Ziehe den Streuungs-Regler und achte darauf, was sich dabei ändert — und was gleich bleibt.

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der Mittelwert allein beschreibt eine Verteilung nicht. Zwei Klassen mit identischem Mittelwert können völlig verschieden aussehen: eng beieinander oder weit gestreut. Deshalb braucht es neben dem Lagemass immer auch ein Streumass — Spannweite oder Standardabweichung.

Beide Klassen haben acht Noten und denselben Mittelwert 4.5 (rote Linie). Der Regler ändert nur, wie weit die Noten von Klasse B auseinander liegen.

Was du beobachtest: Der Mittelwert bleibt fix bei 4.5, egal wie du den Regler einstellst. Trotzdem sehen die Klassen sehr unterschiedlich aus — bei voller Spreizung liegen einzelne Noten weit ausserhalb, bei null Spreizung sind beide Klassen identisch. Mittelwert alleine erzählt also nicht die ganze Geschichte. Du brauchst eine zweite Zahl, die misst, wie breit die Werte verteilt sind. In diesem Kapitel lernst du beide Arten von Masszahlen — und siehst, wann welche relevant ist.

💡 Wichtiger Bezug zu Kapitel 4.2

Den Boxplot aus Kapitel 4.2 baust du aus genau diesen Masszahlen: minimum, Q₁, Median, Q₃, maximum. Wer Masszahlen versteht, versteht den Boxplot.

Lagemasse — wo liegt die Mitte? ↩ 4.1

Arithmetisches Mittel (Mittelwert) \(\bar{x}\)

📘 Definition

Der Mittelwert ist die Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl: \[\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]

🟢 Beispiel — Klasse A

Werte: 4.0, 4.3, 4.4, 4.5, 4.5, 4.6, 4.7, 5.0

\(\bar{x} = \frac{4.0+4.3+4.4+4.5+4.5+4.6+4.7+5.0}{8} = \frac{36.0}{8} = 4.5\)

Eigenschaft: Der Mittelwert nutzt jeden Wert. Dadurch reagiert er stark auf Ausreisser (siehe weiter unten „Robustheit").

Median \(\tilde{x}\)

📘 Definition

Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Er teilt die Daten in zwei gleich grosse Hälften.

Bei ungeradem n: der Wert an Position \(\frac{n+1}{2}\).
Bei geradem n: der Mittelwert der beiden Werte an Positionen \(\frac{n}{2}\) und \(\frac{n}{2}+1\).

🟢 Beispiel: \(n\) ungerade (\(n = 7\))

Sortiert: 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10 — Position \(\frac{7+1}{2} = 4\) → Median = 7.

🟢 Beispiel: \(n\) gerade (\(n = 8\), Klasse A)

Sortiert: 4.0, 4.3, 4.4, 4.5, 4.5, 4.6, 4.7, 5.0 — Positionen 4 und 5.

\(\tilde{x} = \frac{4.5 + 4.5}{2} = 4.5\)

⚠ Häufiger Fehler

Der Median wird aus der sortierten Liste bestimmt — nicht aus der Urliste. Wer das Sortieren vergisst, liest oft eine völlig falsche Zahl ab.

Modus (Modalwert) \(\hat{x}\)

📘 Definition

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Eine Stichprobe kann auch mehrere Modi haben (bimodal, multimodal — siehe Kapitel 4.2) oder gar keinen.

🟢 Beispiel

Schuhgrössen einer Klasse: 38, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 42, 43.
Die Grösse 40 kommt dreimal vor — das ist der Modus.

Wichtig: Der Modus ist das einzige Lagemass, das auch für kategoriale Daten funktioniert. Bei „Lieblingsfach" gibt es keinen Mittelwert — aber sehr wohl ein häufigstes Fach.

✏️ Mini-Check — Lagemasse

Multiple Choice

Der Median von 2, 3, 7, 9, 14 ist …

\(7\)
\(6\)
\(9\)

Lösung anzeigen

A. Fünf Werte → der dritte der geordneten Liste.

Lückentext

Der häufigste Wert einer Stichprobe heisst .

Lösung anzeigen

Modus (Modalwert) \(\hat{x}\).

Kurze Rechnung

Berechne den Mittelwert von 4, 5, 6, 9.

Lösung anzeigen

\(\bar{x} = \tfrac{4+5+6+9}{4} = \tfrac{24}{4} = 6\).

Transfer

Bestimme den Median von 3, 5, 9, 11 — was ist bei gerader Anzahl zu tun?

Lösungsweg anzeigen

Bei gerader Anzahl gibt es keine einzelne Mitte: Mittel der beiden mittleren Werte, \(\tilde{x} = \tfrac{5+9}{2} = 7\).

Streumasse — wie breit verteilt?

Spannweite \(R\)

📘 Definition — Spannweite

Die Spannweite \(R\) ist die Differenz zwischen dem grössten und dem kleinsten Wert: \[ R = x_{\max} - x_{\min} \] Sie ist das einfachste Streumass. Nachteil: Sie hängt nur von den beiden Extremwerten ab und reagiert darum empfindlich auf einen einzigen Ausreisser — die Quartilsdifferenz (unten) ist in solchen Fällen robuster. Beispiel: Werte \(2\) bis \(14\) ergeben \(R = 14 - 2 = 12\).

Standardabweichung \(s\)

📘 Definition (empirische Standardabweichung)

Die Standardabweichung misst die typische Streuung der Werte um den Mittelwert — als quadratisches Mittel der Abweichungen: \[s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\] Das Quadrat in der Klammer heisst Varianz \(s^2\). Die Wurzel bringt die Einheit zurück (z. B. Punkte statt Punkte²).

🟢 Beispiel — Klasse A händisch

Werte 4.0, 4.3, 4.4, 4.5, 4.5, 4.6, 4.7, 5.0 mit \(\bar{x} = 4.5\).

\(x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
4.0	−0.5	0.25
4.3	−0.2	0.04
4.4	−0.1	0.01
4.5	0.0	0.00
4.5	0.0	0.00
4.6	0.1	0.01
4.7	0.2	0.04
5.0	0.5	0.25
Summe		0.60

\(s = \sqrt{\dfrac{0.60}{8-1}} = \sqrt{0.0857\dots} \approx 0.29\)

Im Vergleich: Klasse B (Werte 2.5, 3.0, 3.8, 4.5, 4.5, 5.2, 6.0, 6.5) hat \(s \approx 1.39\) — fast fünfmal grösser. Das passt zum visuellen Eindruck der breiten Streuung.

💡 Warum geteilt durch \((n-1)\) und nicht durch \(n\)?

Bei einer Stichprobe liefert die Division durch \(n-1\) eine bessere Schätzung der „wahren" Streuung in der Grundgesamtheit. Das ist die in der Schule und in Tabellenkalkulationen übliche Konvention (Funktion STABW.S).

Quartile und Quartilsdifferenz ↗ 4.2

📘 Definition — Quartile

Die Quartile Q₁, Q₂, Q₃ teilen die sortierte Stichprobe in vier gleich grosse Teile:

Q₁ (unteres Quartil): Median der unteren Hälfte — 25 % der Werte sind kleiner oder gleich Q₁.
Q₂ = Median \(\tilde{x}\) — 50 % der Werte sind kleiner oder gleich Q₂.
Q₃ (oberes Quartil): Median der oberen Hälfte — 75 % der Werte sind kleiner oder gleich Q₃.

Berechnungsmethode: Q₁ ist der Median der unteren Hälfte der sortierten Liste, Q₃ der Median der oberen Hälfte (Median-der-Hälften-Methode, auch Tukey-Methode). Bei ungeradem \(n\) wird der Median selbst nicht in die Hälften einbezogen.

📘 Definition — Quartilsdifferenz (IQR)

Die Quartilsdifferenz ist \[\text{QD} = Q_3 - Q_1\] Sie misst die Breite der mittleren 50 % der Daten — das ist genau die Boxbreite im Boxplot.

🟢 Beispiel — Klasse B (\(n = 8\))

Sortiert: 2.5, 3.0, 3.8, 4.5, 4.5, 5.2, 6.0, 6.5

Untere Hälfte: 2.5, 3.0, 3.8, 4.5 → \(Q_1 = \frac{3.0+3.8}{2} = 3.4\)
Median: \(\tilde{x} = \frac{4.5+4.5}{2} = 4.5\)
Obere Hälfte: 4.5, 5.2, 6.0, 6.5 → \(Q_3 = \frac{5.2+6.0}{2} = 5.6\)
Quartilsdifferenz: \(\text{QD} = 5.6 - 3.4 = 2.2\)

🔗 Verbindung zum Boxplot (Kapitel 4.2)

Die fünf Zahlen für jeden Boxplot sind genau: min, Q₁, Median, Q₃, max. Die Box reicht von Q₁ bis Q₃, ihre Breite ist die Quartilsdifferenz. Die Whisker reichen zum kleinsten und grössten Wert. Wer die Quartile berechnet, kann den Boxplot zeichnen — und umgekehrt.

✏️ Mini-Check — Streumasse

Multiple Choice

Die Spannweite der Werte 2 bis 14 ist …

\(12\)
\(14\)
\(16\)

Lösung anzeigen

A. \(R = x_{max} - x_{min} = 14 - 2 = 12\).

Lückentext

Die Standardabweichung misst die typische Streuung um den .

Lösung anzeigen

Mittelwert \(\bar{x}\).

Kurze Rechnung

Wie gross ist \(s\) für die Daten 4, 4, 4, 4?

Lösung anzeigen

\(s = 0\) — keine Streuung, alle Werte gleich.

Transfer

Warum ist die Quartilsdifferenz \(Q_3 - Q_1\) oft aussagekräftiger als die Spannweite?

Lösungsweg anzeigen

Die Spannweite hängt nur von den zwei Extremwerten ab — ein einziger Ausreisser bläht sie auf. Die Quartilsdifferenz beschreibt die mittleren 50% und ist robust.

Grosse Stichproben — Tabellenkalkulation

Bei \(n = 8\) ist Handrechnung noch zumutbar. Bei \(n = 200\) Prüfungsergebnissen oder \(n = 1500\) Verkaufszahlen ist eine Tabellenkalkulation der einzige sinnvolle Weg. Die deutschen Funktionsnamen in Excel und LibreOffice Calc:

Masszahl	Formel	Hinweis
Mittelwert	=MITTELWERT(A1:A200)	arithmetisches Mittel
Median	=MEDIAN(A1:A200)	auch bei Ausreissern stabil
Modus	=MODUS.EINF(A1:A200)	häufigster Wert; bei stetigen Daten oft sinnlos
Standardabweichung	=STABW.S(A1:A200)	Stichprobe (mit \(n-1\)) — Standard
1. Quartil	=QUARTILE.INKL(A1:A200; 1)	Q₁
3. Quartil	=QUARTILE.INKL(A1:A200; 3)	Q₃
Quartilsdifferenz	=QUARTILE.INKL(...;3) − QUARTILE.INKL(...;1)	QD händisch zusammensetzen

⚠ Excel-Quartile ≠ Handrechnung — zwei Methoden im Umlauf

Die Funktion QUARTILE.INKL in Excel verwendet eine andere Methode als die in diesem Kapitel gelernte: sie rechnet mit linearer Interpolation zwischen benachbarten Rangwerten (Methode nach Hyndman-Fan, Variante 7), während wir hier nach der Median-der-Hälften-Methode (auch Tukey-Methode) arbeiten. Bei kleinen Stichproben können beide Methoden unterschiedliche Werte für \(Q_1\) und \(Q_3\) liefern. Bei \(n \geq 50\) wird die Differenz typischerweise klein, kann aber auch dann noch um eine Datenpunkt-Position abweichen. Für Schul-Rechnungen ist die hier gelernte Methode verbindlich; wer Excel-Ergebnisse vergleicht, sollte die Methodik-Differenz kennen.

💡 Google Sheets / englische Versionen

In Google Sheets und in englischen Office-Versionen heissen die Funktionen AVERAGE, MEDIAN, MODE, STDEV.S, QUARTILE.INC — gleiche Bedeutung, andere Namen.

✏️ Mini-Check — Tabellenkalkulation

Multiple Choice

Die Funktion für den Mittelwert lautet …

=MITTELWERT()
=SUMME()
=ANZAHL()

Lösung anzeigen

A. Z.B. =MITTELWERT(A1:A20); =MEDIAN() analog.

Lückentext

=MEDIAN(A1:A20) liefert den des Bereichs.

Lösung anzeigen

Median.

Kurze Rechnung

Worin unterscheiden sich =STABW.S und =STABW.N?

Lösung anzeigen

STABW.S rechnet mit \(n - 1\) (Stichprobe), STABW.N mit \(n\) (Grundgesamtheit) — bei grossen \(n\) nähern sich die Werte an.

Transfer

Warum bei \(n = 200\) die Tabellenkalkulation statt Handrechnung?

Lösungsweg anzeigen

Handrechnung ist bei 200 Werten fehleranfällig und nicht reproduzierbar. Mit Funktionen bleibt der Rechenweg nachvollziehbar, Änderungen an den Rohdaten aktualisieren alle Masszahlen automatisch.

Robustheit — Mittelwert oder Median?

Die wichtigste Entscheidung in der Datenanalyse: Welches Lagemass passt zu meinen Daten? Die Antwort hängt davon ab, ob es Ausreisser gibt.

🟢 Beispiel — Löhne in einem kleinen Betrieb

Sieben Angestellte verdienen monatlich:

3500, 3800, 4000, 4200, 4400, 4600, 25 000 Franken

Der letzte Wert ist die Inhaberin.

📝 Hinweis: Die Werte sind bereits aufsteigend sortiert. Bei realen Daten erst sortieren, dann den mittleren Wert ablesen — siehe die Fehler-Box unten.

Mittelwert

\(\bar{x} = \frac{3500+3800+\dots+25000}{7} \approx 7\,071\) Fr.

→ Niemand verdient ungefähr so viel. Der Wert ist durch den Ausreisser stark verzerrt.

Median

\(\tilde{x} = 4\,200\) Fr. (mittlerer Wert)

→ Beschreibt den „typischen" Lohn realistisch. Ausreisser haben keinen Einfluss.

Lohn der Inhaberin: 25’000 Fr.

Robustheit · was ein Ausreisser mit Mittelwert und Median macht

👁 Worauf achten?

Worauf achten?

Ziehe den Lohn der Inhaberin nach oben und beobachte Mittelwert und Median gleichzeitig. Welcher der beiden Werte wandert mit — und welcher bleibt fast stehen?

💡 Erkenntnis

Erkenntnis

Der Mittelwert reagiert auf jeden einzelnen Wert und wird von einem Ausreisser mitgezogen. Der Median zählt nur Positionen und bleibt stabil — er ist robust. Bei Löhnen, Mieten und Immobilienpreisen ist deshalb fast immer der Median die ehrlichere Auskunft.

Zieh den Lohn der Inhaberin nach oben: Der Mittelwert \(\bar{x}\) (aktuell 7’071 Fr.) läuft mit dem Ausreisser mit — der Median \(\tilde{x} = 4\,200\) Fr. bleibt fest. Genau das heisst robust.

⭐ Merksatz — Robustheit

Der Median ist robust: einzelne Extremwerte verschieben ihn kaum. Der Mittelwert ist nicht robust: jeder Wert geht mit voller Stärke ein. → Bei Schiefe oder Ausreissern: Median bevorzugen. → Bei symmetrischen Verteilungen ohne Ausreisser: Mittelwert ist genauso gut und mathematisch oft handlicher.

💡 Faustregel

Wenn Mittelwert und Median nahe beieinander liegen → Verteilung ist annähernd symmetrisch. Wenn sie weit auseinander liegen → Verteilung ist schief, oft mit Ausreissern auf einer Seite. Diese Information liest du sofort aus dem Vergleich der beiden Zahlen ab.

⚠ Häufiger Fehler — Median aus unsortierter Liste

Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Aus der Urliste \(8, 3, 5, 1, 7\) den dritten Wert \(5\) als Median anzugeben, ist falsch begründet: erst sortieren (\(1, 3, 5, 7, 8\)), dann den mittleren Wert ablesen — hier kommt zufällig wieder \(5\) heraus. Bei \(8, 3, 9, 1, 7\) hingegen wäre die Urlisten-Mitte \(9\), der korrekte Median nach Sortieren (\(1, 3, 7, 8, 9\)) aber \(7\). Die Regel: sortieren ist nicht optional.

✏️ Mini-Check — Robustheit

Multiple Choice

Ausreisser beeinflussen am stärksten …

den Median
den Mittelwert
den Modus

Lösung anzeigen

B. Jeder Wert geht in die Summe ein — Extremwerte ziehen den Mittelwert mit.

Lückentext

Der Median ist gegenüber Ausreissern.

Lösung anzeigen

robust.

Kurze Rechnung

Vergleiche {4, 6, 8} und {4, 6, 80}: Median und Mittelwert?

Lösung anzeigen

Median: bleibt \(6\). Mittelwert: springt von \(6\) auf \(\tfrac{4+6+80}{3} = 30\).

Transfer

Warum wird bei Löhnen meist der Median berichtet?

Lösungsweg anzeigen

Lohnverteilungen sind rechtsschief: wenige sehr hohe Löhne ziehen den Mittelwert nach oben, ohne dass die «typische» Person mehr verdient. Der Median beschreibt die Mitte der Bevölkerung unverzerrt.

Aufgaben

💡 Klassen-Namen in diesem Kapitel

In den Theorie-Beispielen oben begegnen dir Klasse A und Klasse B — sie illustrieren immer dasselbe Konzept (Streuung bei gleichem Mittelwert) mit denselben acht Notenwerten. In den Aufgaben A5 und A7 unten kommen Klasse X und Klasse Y hinzu — bewusst andere Buchstaben, weil sie andere Datensätze enthalten und für Vergleichsaufgaben dienen. Die Namen sind nicht austauschbar.

A1 · Kleine Stichprobe händisch

🟠 A1Kleine Stichprobe händisch

Eine Klasse hat in einem Test folgende Punktzahlen erreicht:

14, 18, 12, 20, 15, 17, 12

Sortiere die Werte und berechne Mittelwert, Median und Modus.
Bestimme Q₁, Q₃ und die Quartilsdifferenz.

🟢 Lösung

Sortiert: 12, 12, 14, 15, 17, 18, 20 (n = 7). Mittelwert: \(\bar{x} = \dfrac{14+18+12+20+15+17+12}{7} = \dfrac{108}{7} \approx 15.43\). Median (Position 4 der sortierten Liste): \(\tilde{x} = 15\). Modus: \(\hat{x} = 12\) (kommt zweimal vor, alle anderen Werte einmal).
Untere Hälfte (ohne Median bei ungeradem n): 12, 12, 14 → \(Q_1 = 12\). Obere Hälfte: 17, 18, 20 → \(Q_3 = 18\). Quartilsdifferenz: \(\text{QD} = 18 - 12 = 6\).

💡 Excel rechnet anders

Wer diese Aufgabe in Excel mit =QUARTILE.INKL(...;1) nachrechnet, erhält \(Q_1 = 13\) (und \(Q_3 = 17.5\)) — Excel interpoliert linear zwischen Rangwerten, statt die untere Hälfte als eigene Stichprobe zu behandeln. Beide Resultate sind korrekt nach ihrer jeweiligen Definition. Für Handrechnungen im Unterricht gilt die hier verwendete Tukey-Methode.

A2 · Standardabweichung berechnen

🟠 A2Standardabweichung berechnen

Eine Schwimmerin hat ihre Zeiten über 50 m (in Sekunden) notiert:

28.4, 28.6, 28.5, 28.9, 28.6

Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung händisch. Runde am Ende auf zwei Nachkommastellen.

🟢 Lösung

Mittelwert: \(\bar{x} = \frac{28.4+28.6+28.5+28.9+28.6}{5} = \frac{143.0}{5} = 28.60\)

Abweichungen und Quadrate:

\(x_i\)	\(x_i - \bar{x}\)	\((x_i - \bar{x})^2\)
28.4	−0.20	0.0400
28.6	0.00	0.0000
28.5	−0.10	0.0100
28.9	0.30	0.0900
28.6	0.00	0.0000
Summe		0.1400

\(s = \sqrt{\dfrac{0.14}{5-1}} = \sqrt{0.035} \approx 0.19\) s.

Die Zeiten streuen also nur um etwa zwei Zehntelsekunden um den Mittelwert — eine sehr konstante Schwimmerin.

A3 · Mittelwert oder Median?

🟠 A3Mittelwert oder Median?

In welcher der folgenden Situationen ist der Median aussagekräftiger als der Mittelwert? Begründe jeweils kurz.

Durchschnittliche Körpergrösse aller Schülerinnen einer Klasse.
Durchschnittliches Vermögen der Bewohnerinnen eines Quartiers, in dem auch eine Milliardärin wohnt.
Durchschnittliche Wartezeit am Bankschalter, gemessen über eine Woche.
Durchschnittlicher Notendurchschnitt aller Schülerinnen einer Schule.

🟢 Lösung

Mittelwert genügt — Körpergrössen sind annähernd symmetrisch verteilt, ohne extreme Ausreisser.
Median deutlich besser — die Milliardärin verzerrt den Mittelwert massiv. Der Median beschreibt die typische Bewohnerin realistisch.
Median oft besser — Wartezeiten sind meist rechtsschief: viele kurze Wartezeiten, einzelne sehr lange. Der Median sagt, was du „normalerweise" erwarten musst.
Mittelwert genügt — Notendurchschnitte sind in einem festen Bereich (1–6), starke Ausreisser sind nicht möglich.

A4 · Tabellenkalkulation

🟠 A4Tabellenkalkulation

In einer Tabelle stehen 150 Verkaufszahlen in den Zellen A2 bis A151. Schreibe die Formeln auf für:

Mittelwert
Median
Standardabweichung der Stichprobe
Quartilsdifferenz (in einer einzigen Formel)
Anzahl der Werte, die grösser als der Mittelwert sind. (Tipp: Funktion ZÄHLENWENN.)

🟢 Lösung

=MITTELWERT(A2:A151)
=MEDIAN(A2:A151)
=STABW.S(A2:A151)
=QUARTILE.INKL(A2:A151;3) − QUARTILE.INKL(A2:A151;1)
=ZÄHLENWENN(A2:A151;">"&MITTELWERT(A2:A151))

Bei e) ist das &-Zeichen wichtig: es verbindet den Vergleichsoperator ">" mit dem Wert des Mittelwerts zu einer einzigen Zeichenkette, die ZÄHLENWENN als Kriterium akzeptiert.

💡 Alternative Formel-Varianten

Eine echte Ein-Funktions-IQR-Funktion gibt es in Excel/LibreOffice nicht. Praktikable Alternativen:

Mit Hilfszellen: in B1 =QUARTILE.INKL(A2:A151;3), in B2 =QUARTILE.INKL(A2:A151;1), dann in B3 =B1−B2. Vorteil: Q1 und Q3 sind auch einzeln sichtbar.
Alternative Quartile-Konvention: =QUARTILE.EXC(A2:A151;3) − QUARTILE.EXC(A2:A151;1) verwendet die Hyndman-Fan-Variante 6 — gibt bei kleinen Stichproben andere Werte (siehe Kasten „Excel-Quartile ≠ Handrechnung").

A5 · Zwei Klassen vergleichen

🟠 A5Zwei Klassen vergleichen

Zwei Klassen schreiben dieselbe Prüfung. Die Masszahlen lauten:

	Klasse X	Klasse Y
Mittelwert	4.6	4.6
Median	4.7	5.1
Standardabweichung	0.8	1.5
Quartilsdifferenz	1.0	2.4

Welche Klasse hat ein homogeneres Ergebnis? Begründe.
In welcher Klasse ist die Verteilung schief? Wie erkennst du das aus den Masszahlen?
In welcher Klasse vermutest du eher Ausreisser? Begründe.

🟢 Lösung

Klasse X ist homogener: kleinere Standardabweichung (0.8 vs. 1.5) und kleinere Quartilsdifferenz (1.0 vs. 2.4). Die Ergebnisse liegen näher beieinander.
Klasse Y ist schief: Mittelwert (4.6) und Median (5.1) liegen 0.5 Punkte auseinander. Da der Median höher ist als der Mittelwert, ist die Verteilung linksschief — der „Schwanz" mit den niedrigen Werten zieht den Mittelwert nach unten. In Klasse X (4.6 vs. 4.7) liegen die beiden fast gleich auf, also nahezu symmetrisch.
Klasse Y: grosse Streumasse plus deutlicher Unterschied zwischen Mittelwert und Median deuten auf einzelne weit nach unten abweichende Werte (Ausreisser) hin.

A6 · Eigene Daten analysieren

🟠 A6Eigene Daten analysieren offen

Erhebe selbst eine kleine Stichprobe (n ≥ 15) zu einem Merkmal deiner Wahl — z. B. tägliche Bildschirmzeit, Anzahl Schritte, Schlafdauer, Pulsfrequenz nach 1 min Hampelmänner. Erstelle:

Eine Urliste und eine sortierte Liste.
Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung, Q₁, Q₃, Quartilsdifferenz.
Einen Boxplot von Hand (oder mit Tabellenkalkulation).
Einen kurzen Interpretationstext (3–5 Sätze): Was sagen die Masszahlen über deine Daten? Gibt es Ausreisser? Welches Lagemass passt besser?

🟢 Lösung

Da diese Aufgabe individuell ist, hier nur ein Kontroll-Schema:

Stimmt deine Anzahl Werte? Hast du n korrekt gezählt?
Liegt der Median zwischen Q₁ und Q₃? (Sonst hast du dich verrechnet.)
Ist die Standardabweichung positiv und in einer plausiblen Grössenordnung verglichen mit dem Mittelwert?
Wenn Mittelwert und Median weit auseinander liegen → suche im Boxplot oder Histogramm nach Ausreissern. Prüfe, ob der Median das bessere Lagemass ist.
Tipp: Lass eine zweite Person dieselbe Stichprobe in der Tabellenkalkulation nachrechnen — so findest du Tippfehler.

Beispiel-Lösung mit fiktivem Datensatz (Bildschirmzeit in Minuten, \(n = 15\)):

Urliste: 95, 120, 240, 180, 75, 200, 165, 320, 145, 90, 210, 135, 110, 180, 155

Sortiert: 75, 90, 95, 110, 120, 135, 145, 155, 165, 180, 180, 200, 210, 240, 320

Mittelwert: \(\bar{x} = \dfrac{2420}{15} \approx 161.3\) min
Median (Position \(\tfrac{15+1}{2} = 8\)): \(\tilde{x} = 155\) min
Modus: 180 (zweimal, alle anderen einmal)
\(Q_1\) (Median der unteren 7 Werte 75…145): \(Q_1 = 110\) min
\(Q_3\) (Median der oberen 7 Werte 165…320): \(Q_3 = 200\) min
QD: \(200 - 110 = 90\) min
Standardabweichung: \(s \approx 64.5\) min (Quadratwurzel der Varianz \(s^2 \approx 4159\), berechnet mit \(\tfrac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2\); händisch mühsam, Tabellenkalkulation empfohlen).

Interpretation (3 Sätze): Die mittlere Bildschirmzeit liegt bei rund 161 min/Tag, der Median bei 155 min — die beiden Lagemasse stimmen fast überein, die Verteilung ist also annähernd symmetrisch. Der höchste Wert (320 min) liegt aber rund 2.5 Standardabweichungen über dem Mittelwert und ist ein klarer Ausreisser nach oben. Da der Median weniger empfindlich auf diesen Ausreisser reagiert, ist er hier das etwas robustere Lagemass — der Unterschied zum Mittelwert ist mit 6 min jedoch klein.

A7 · Zwei Klassen vergleichen — Lage und Streuung

🟠 A7Zwei Klassen vergleichen — Lage und Streuung

Zwei Klassen schreiben dieselbe Prüfung. Die Notenlisten:

Klasse X: 4.0, 4.2, 4.5, 4.5, 4.8, 5.0, 5.0, 5.3
Klasse Y: 2.5, 3.0, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5, 6.0, 6.5

Berechne für beide Klassen Mittelwert, Median und Spannweite.
Welche Klasse zeigt das homogenere Bild? Begründe mit einer Masszahl.
Eine Aussage lautet: „Klasse X ist besser als Klasse Y, weil der Mittelwert höher ist." Diskutiere kurz, was an dieser Aussage stimmt und was sie ausblendet.

🟢 Lösung

Klasse X: \(\bar{x} = \tfrac{37.3}{8} \approx 4.66\), Median \(= \tfrac{4.5 + 4.8}{2} = 4.65\), Spannweite \(= 5.3 - 4.0 = 1.3\). Klasse Y: \(\bar{y} = \tfrac{37}{8} = 4.625\), Median \(= \tfrac{4.5 + 5.0}{2} = 4.75\), Spannweite \(= 6.5 - 2.5 = 4.0\).
Klasse X ist homogener — Spannweite \(1.3\) gegenüber \(4.0\) bei Y. Die meisten X-Lernenden liegen knapp um \(4.5\), bei Y reichen die Noten von „knapp nicht bestanden" bis „sehr gut".
Die Mittelwerte sind fast identisch (\(4.66\) vs. \(4.625\)). Die Aussage „X ist besser" stützt sich also auf eine winzige Differenz und ignoriert die deutlich grössere Streuung in Y. Korrekter wäre: „Im Mittel praktisch gleich; X homogener, Y stärker gespreizt." Wer urteilt, sollte beide Aspekte (Lage + Streuung) berücksichtigen.

Zusammenfassung

⭐ Merksatz

Eine Stichprobe ist erst dann beschrieben, wenn du beide Aspekte angibst: Lage (wo liegt die Mitte?) und Streuung (wie breit verteilt sind die Daten?). Mittelwert und Standardabweichung gehen zusammen — Median und Quartilsdifferenz gehen zusammen. Mische die Paare nicht.

Masszahl	Symbol	Was sagt sie?	Wann besonders nützlich
Mittelwert	\(\bar{x}\)	Schwerpunkt der Daten	Symmetrische Verteilung, keine Ausreisser
Median	\(\tilde{x}\)	Mitte der sortierten Liste (50/50)	Schiefe Verteilung, Ausreisser, Vergleiche
Modus	\(\hat{x}\)	Häufigster Wert	Kategoriale Daten, multimodale Verteilungen
Spannweite	\(R\)	Abstand grösster − kleinster Wert	Schneller Überblick; empfindlich für Ausreisser
Standardabweichung	\(s\)	Streuung um den Mittelwert (quadratisches Mittel)	Symmetrische Daten, präzise Streuungsangabe
Quartilsdifferenz	\(Q_3 - Q_1\)	Breite der mittleren 50 %	Robust, passt zu Median und Boxplot