4.3 Masszahlen

Gleicher Mittelwert: die Streuung macht den Unterschied

1. 0:00Zwei Klassen haben dieselbe Prüfung geschrieben, und beide haben den Mittelwert vier Komma fünf. Sind die beiden Klassen deshalb gleich?
2. 0:09Bei hundert Prozent liegen die Noten von Klasse B zwischen drei und sechs. Die Spannweite ist drei, die Standardabweichung rund eins Komma eins neun. Klasse A hat nur eins und null Komma zwei neun.
3. 0:22Bei fünfzig Prozent rücken die Noten zusammen: Spannweite zwei, Standardabweichung null Komma sieben drei. Der Mittelwert bleibt vier Komma fünf.
4. 0:31Bei null Prozent hat Klasse B genau die Noten von Klasse A, mit derselben Spannweite und Standardabweichung. Der Mittelwert war die ganze Zeit vier Komma fünf.
5. 0:41Merke: Der Mittelwert allein beschreibt eine Verteilung nicht. Es braucht ein Streumass dazu, etwa die Spannweite oder die Standardabweichung. Bei gleichem Mittelwert streut Klasse B rund viermal so stark wie Klasse A.

Quartile: vom Listenplatz in den Boxplot

1. 0:00Die fünf Zahlen des Boxplots heissen Q null bis Q vier. In der Animation wählst du eine davon und siehst sie in der sortierten Liste und im Boxplot. Woher kommt jede Zahl?
2. 0:11Klasse B hat acht Werte. Die Mitte liegt zwischen Position vier und fünf, also werden die beiden Werte gemittelt: Der Median ist vier Komma fünf. Im Boxplot ist er der Strich in der Box.
3. 0:22Q eins ist die Mitte der unteren Hälfte, Positionen eins bis vier. Drei und drei Komma acht geben drei Komma vier: der linke Rand der Box. Q drei ist genauso der rechte.
4. 0:33Beim Datensatz mit sieben Werten steht der Median sieben auf Position vier. Er bleibt aus beiden Hälften draussen. Die untere Hälfte zwei, vier, fünf hat ihre Mitte auf Position zwei: Q eins ist vier.
5. 0:46Merke: Alle fünf Zahlen kommen aus der sortierten Liste. Liegt eine Mitte zwischen zwei Werten, werden sie gemittelt. Die Breite der Box ist die Quartilsdifferenz, bei Klasse B zwei Komma zwei.

Ausreisser: der Mittelwert wandert, der Median bleibt

1. 0:00Sechs Angestellte verdienen zwischen dreitausendfünfhundert und viertausendsechshundert Franken. Den Lohn der Inhaberin ziehst du mit dem Regler. Welches Lagemass wandert mit?
2. 0:10Verdient die Inhaberin viertausendsechshundert Franken, liegt der Mittelwert bei rund viertausendeinhundertsiebenundfünfzig und der Median bei viertausendzweihundert. Die beiden sind fast gleich.
3. 0:22Bei fünfundzwanzigtausend springt der Mittelwert auf rund siebentausendeinundsiebzig. Das ist mehr, als jeder der sechs Angestellten verdient. Der Median bleibt der vierte Wert, viertausendzweihundert.
4. 0:34Bei dreissigtausend steht der Mittelwert bei rund siebentausendsiebenhundertsechsundachtzig. Jeder Franken mehr für die Inhaberin hebt ihn um einen Siebtel Franken. Der Median rührt sich nicht.
5. 0:46Merke: Der Mittelwert wird von einem Ausreisser mitgezogen. Der Median zählt nur Positionen und bleibt stehen. Bei Löhnen, Mieten und Immobilienpreisen ist darum meist der Median die ehrlichere Auskunft.

Lagemasse: der Mittelwert

1. 0:00Das bekannteste Lagemass: der Mittelwert. Alles zusammenzählen, durch die Anzahl teilen.
2. 0:08An unserem Datensatz: zwei plus vier plus vier plus fünf plus sechs plus sieben plus acht plus zwölf ist achtundvierzig. Geteilt durch acht gibt sechs.
3. 0:18Anschaulich ist der Mittelwert der Ausgleichspunkt: Legt man die Daten auf einen Balken, balanciert er genau dort. Die Abweichungen nach oben und nach unten heben sich auf.
4. 0:28Zwei Dinge dazu: Der Mittelwert muss kein Wert der Datenreihe sein, und er reagiert stark auf einzelne Ausreisser.
5. 0:36Zum Mitnehmen: Summe durch Anzahl. Er nutzt jeden einzelnen Wert — das ist seine Stärke und zugleich seine Schwäche.

Lagemasse: der Median

1. 0:00Der Median ist der Wert in der Mitte — nicht der Grösse nach gerechnet, sondern dem Platz nach.
2. 0:08Und der erste Schritt ist Pflicht: sortieren. Ohne Sortierung ist die Mitte der Reihe nicht die Mitte der Daten.
3. 0:16Bei ungerader Anzahl ist es einfach: Der mittlere Wert ist der Median. Bei fünf Werten der dritte.
4. 0:23Bei gerader Anzahl gibt es keine Mitte. Dann nimmt man das Mittel der beiden mittleren Werte — hier fünf und sechs, also fünf Komma fünf.
5. 0:32Und seine Stärke: Er zählt Plätze, nicht Grössen. Wird aus der Zwölf eine Zwanzig, ändert sich am Median gar nichts — der mittlere Platz bleibt derselbe.
6. 0:41Zum Mitnehmen: sortieren, dann die Mitte. Bei gerader Anzahl das Mittel der beiden mittleren — und er hält einem Ausreisser stand.

Lagemasse: der Modus

1. 0:00Das dritte Lagemass ist das einfachste: der Modus, auch Modalwert. Es ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.
2. 0:08In unserem Datensatz kommt die Vier zweimal vor, alle anderen einmal. Der Modus ist also vier.
3. 0:17Und seine Besonderheit: Er ist das einzige Lagemass, das auch bei qualitativen Daten funktioniert. Die häufigste Lieblingsfarbe gibt es — die mittlere Lieblingsfarbe nicht.
4. 0:27Zwei Schwächen: Es kann mehrere Modi geben, und bei stetigen Daten oft gar keinen — dort kommt fast jeder Wert nur einmal vor.
5. 0:36Zum Mitnehmen: der häufigste Wert. Er braucht nur Zählen, dafür ist er oft nicht eindeutig.

Lagemasse: Median gegen Mittelwert

1. 0:00Zwei Masse für die Mitte. Meistens sagen sie dasselbe.
2. 0:09Ohne Ausreisser sagen beide dasselbe: fünf.
3. 0:19Jetzt wird aus der Sieben eine Siebenundvierzig. Ein Tippfehler, ein Ausreisser.
4. 0:25Der Mittelwert springt von fünf auf dreizehn — über vier der fünf Werte hinaus.
5. 0:31Der Median steht immer noch bei fünf. Er zählt Plätze, nicht Grössen.
6. 0:39Bei Ausreissern der Median, bei symmetrischen Daten der Mittelwert.

Lagemasse: aus einer Datenreihe mit dem Rechner

1. 0:00Sieben Werte, Mittelwert und Median gesucht. Von Hand geht das — mit dem Rechner geht es schneller, und bei fünfzig Werten geht es nur noch so.
2. 0:08Die data-Taste öffnet den Listen-Editor mit den drei Listen L1, L2 und L3. Die Werte kommen in L1, jeder mit enter bestätigt.
3. 0:28Dann das Statistik-Menü aufrufen, eine Variable wählen, Liste eins bestätigen. Der Rechner zeigt die Anzahl, den Mittelwert und — eine Zeile tiefer — den Median.
4. 0:39Und jetzt der Teil, den kein Rechner ersetzt: nachschauen, ob es stimmen kann. Die Summe ist sechsunddreissig, geteilt durch sieben gibt fünf Komma eins vier. Der mittlere von sieben geordneten Werten ist der vierte — eine Fünf. Beides passt.
5. 0:53Der Rechner nimmt dir das Tippen ab, nicht das Urteilen. Ein Mittelwert weit ausserhalb der Daten heisst fast immer: ein Wert ist falsch eingetippt.

Lagemasse: aus einer Häufigkeitstabelle statt aus der Urliste

1. 0:00Eine Klasse mit zweiundzwanzig Noten. Niemand tippt zweiundzwanzig Zahlen ein — man hat ja eine Häufigkeitstabelle. Genau dafür hat der Dateneditor eine zweite Spalte.
2. 0:11Die Taste data öffnet den Dateneditor mit drei Listen. In L1 kommen die Noten, in L2 die Anzahlen — Zeile für Zeile nebeneinander. Jede Liste fasst bis zu fünfzig Einträge.
3. 0:22Dann zweit-Taste, stat-reg, und eins-Var-Stats. Jetzt kommt der Schritt, den man leicht überspringt: Der Rechner fragt nicht nur nach der Datenliste, sondern auch nach der Häufigkeit. DATA gleich L1, FRQ gleich L2.
4. 0:37Im Variablenmenü steht dann n gleich zweiundzwanzig — das ist die Probe, dass die Häufigkeiten angekommen sind. Der Mittelwert ist vier Komma neun drei, der Median fünf.
5. 0:47Und so gross ist der Unterschied. Ohne Häufigkeitsspalte mittelt der Rechner die fünf verschiedenen Noten und kommt auf glatt fünf. Mit Häufigkeitsspalte kommt vier Komma neun drei heraus — denn die Vierer wiegen dreifach und die Sechser nur doppelt.
6. 1:01Nachprüfen lässt sich das ohne Rechner. Die Summe aller Noten ist hundertacht Komma fünf, geteilt durch zweiundzwanzig. Und der Median: Bei zweiundzwanzig Werten liegt er zwischen dem elften und dem zwölften — beide liegen in der Fünfer-Gruppe, also ist der Median fünf.
7. 1:17Werte in L1, Anzahlen in L2 — und dann prüfen, ob n stimmt.

Streumasse: die Spannweite

1. 0:00Lagemasse sagen, wo die Daten liegen. Streumasse sagen, wie weit sie auseinandergehen — und das einfachste ist die Spannweite.
2. 0:08In unserem Datensatz: zwölf minus zwei ist zehn. Mehr ist nicht zu rechnen.
3. 0:16Und ihre Schwäche: Sie benutzt genau zwei Werte und ignoriert alle übrigen. Zwei ganz verschieden verteilte Datensätze können dieselbe Spannweite haben.
4. 0:25Dazu kommt: Ein einziger Ausreisser bläht sie auf. Wird aus der Zwölf eine Zwanzig, springt die Spannweite von zehn auf achtzehn — obwohl sich an sieben von acht Werten nichts geändert hat.
5. 0:36Zum Mitnehmen: grösster minus kleinster Wert. Schnell gerechnet, leicht verstanden — und leicht zu täuschen.

Streumasse: die Quartile

1. 0:00Der Median teilt die Daten in zwei Hälften. Die Quartile teilen sie in vier Viertel.
2. 0:08Unter Q eins liegen fünfundzwanzig Prozent der Werte, unter Q zwei fünfzig, unter Q drei fünfundsiebzig. Q zwei ist genau der Median.
3. 0:17Die Methode heisst Median der Hälften: Erst den Median bestimmen, dann in jeder Hälfte noch einmal den Median. Bei ungerader Anzahl bleibt der Median selbst aussen vor.
4. 0:28An unserem Datensatz: Untere Hälfte zwei, vier, vier, fünf gibt Q eins gleich vier. Obere Hälfte sechs, sieben, acht, zwölf gibt Q drei gleich sieben Komma fünf.
5. 0:39Zum Mitnehmen: sortieren, Median, dann Median in jeder Hälfte. Die drei Quartile sind zugleich die Box im Boxplot.

Streumasse: die Quartilsdifferenz

1. 0:00Die Spannweite schaut nur auf die Ränder. Die Quartilsdifferenz macht das Gegenteil: Sie schaut nur auf die Mitte.
2. 0:08In unserem Datensatz: sieben Komma fünf minus vier ist drei Komma fünf. In diesem Bereich liegen die mittleren fünfzig Prozent der Daten.
3. 0:16Und jetzt ihre Stärke: Wird aus der Zwölf eine Zwanzig, ändert sich die Quartilsdifferenz überhaupt nicht. Der Ausreisser liegt ausserhalb der mittleren Hälfte und zählt darum nicht mit.
4. 0:28Sichtbar ist sie im Boxplot als Breite der Box. Eine schmale Box heisst: die mittlere Hälfte liegt eng beieinander.
5. 0:35Zum Mitnehmen: Q drei minus Q eins, die Breite der mittleren Hälfte. Sie ignoriert die äusseren Viertel — und damit auch jeden Ausreisser.

Streumasse: die Varianz

1. 0:00Spannweite und Quartilsdifferenz benutzen zwei Werte. Die Varianz benutzt alle — sie misst, wie weit die Werte im Mittel vom Mittelwert weg sind.
2. 0:09Der erste Gedanke wäre, die Abweichungen einfach zu mitteln. Das geht nicht: Ihre Summe ist immer null, weil sich plus und minus aufheben.
3. 0:18Also quadrieren. An unserem kleinen Datensatz mit Mittelwert sechs: die Abweichungen sind minus zwei, minus zwei, null, zwei, zwei — quadriert vier, vier, null, vier, vier.
4. 0:29Und jetzt geteilt — nicht durch n, sondern durch n minus eins. Bei fünf Werten also durch vier: sechzehn durch vier ist vier.
5. 0:38Zum Mitnehmen: Abweichungen bilden, quadrieren, mitteln über n minus eins. Und die quadrierte Einheit ist der Grund, warum es dabei nicht bleibt.

Streumasse: die Standardabweichung

1. 0:00Die Varianz hat ein Problem: ihre Einheit ist quadriert. Die Standardabweichung behebt es mit einem einzigen Schritt.
2. 0:08An unserem Datensatz war die Varianz vier. Die Wurzel daraus ist zwei — die Standardabweichung beträgt also zwei Punkte.
3. 0:16Die Deutung: Sie ist die typische Abweichung vom Mittelwert. Bei Mittelwert sechs und Standardabweichung zwei liegen die Werte typischerweise zwischen vier und acht.
4. 0:25Und ihr Nutzen: Sie macht zwei Datensätze vergleichbar. Gleicher Mittelwert, kleinere Standardabweichung heisst gleichmässiger.
5. 0:33Zum Mitnehmen: Wurzel aus der Varianz, dieselbe Einheit wie die Daten. Sie gehört zum Mittelwert wie die Quartilsdifferenz zum Median.

Streumasse: was ein Ausreisser anrichtet

1. 0:00Ein einziger Wert ändert sich: Aus der Zwölf wird eine Zwanzig. Sieben von acht Werten bleiben gleich. Was macht das mit den Masszahlen?
2. 0:08Drei Masszahlen reagieren deutlich. Der Mittelwert steigt von sechs auf sieben, die Spannweite von zehn auf achtzehn, die Standardabweichung von rund drei Komma null sieben auf fünf Komma fünf acht.
3. 0:20Zwei rühren sich überhaupt nicht. Der Median bleibt bei fünf Komma fünf, die Quartilsdifferenz bei drei Komma fünf — beide unverändert.
4. 0:29Daraus folgt die Regel für die Wahl: Sind Ausreisser im Spiel oder ist die Verteilung schief, nimmt man Median und Quartilsdifferenz. Sind die Daten symmetrisch und sauber, Mittelwert und Standardabweichung.
5. 0:42Und was daraus nicht folgt: Robust heisst nicht besser. Der Median verschweigt, wie extrem der Ausreisser ist — manchmal ist genau das die wichtigste Information.
6. 0:52Zum Mitnehmen: Mittelwert, Spannweite und Standardabweichung sehen die Grösse. Median und Quartilsdifferenz sehen nur den Platz.