1. Lagemasse — wo liegt die Mitte?
📘 Definitionen
- Mittelwert \(\bar{x}\) = Summe aller Werte geteilt durch ihre Anzahl: \[\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\]
- Median \(\tilde{x}\) = mittlerer Wert der sortierten Liste. Bei geradem n: Mittelwert der beiden mittleren Werte.
- Modus \(\hat{x}\) = häufigster Wert. Funktioniert auch für kategoriale Daten. Treten mehrere Werte mit gleicher Maximalhäufigkeit auf, spricht man von mehrmodalen bzw. multimodalen Verteilungen (bei genau zwei: bimodal).
Wann welches Lagemass?
| Situation | besser geeignet |
|---|
| Symmetrische Verteilung, keine Ausreisser | Mittelwert |
| Schiefe Verteilung oder Ausreisser | Median |
| Kategoriale Daten | Modus |
| Vergleich zweier Stichproben | Median (robust) |
2. Streumasse — wie breit verteilt?
📘 Definitionen
- Standardabweichung \(s\) = mittlere Abweichung vom Mittelwert: \[s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\] (Quadratwurzel der Varianz \(s^2\)).
- Quartile \(Q_1\), \(Q_2 = \tilde{x}\), \(Q_3\) teilen die sortierte Liste in vier gleich grosse Teile.
- Quartilsdifferenz \(\text{QD} = Q_3 - Q_1\) — Breite der mittleren 50 % der Daten (= Boxbreite im Boxplot).
💡 Warum n − 1 (statt n) bei der Standardabweichung?
Bei einer Stichprobe liefert die Division durch \(n-1\) eine bessere Schätzung der wahren Streuung in der Grundgesamtheit. Das ist die in Tabellenkalkulationen übliche Konvention (Funktion STABW.S bzw. STDEV.S).
3. Tabellenkalkulation
| Masszahl | Excel/Calc deutsch | Englisch |
|---|
| Mittelwert | =MITTELWERT(A1:A100) | =AVERAGE(...) |
| Median | =MEDIAN(A1:A100) | =MEDIAN(...) |
| Modus | =MODUS.EINF(A1:A100) | =MODE(...) |
| Standardabweichung | =STABW.S(A1:A100) | =STDEV.S(...) |
| Q1 | =QUARTILE.INKL(...;1) | =QUARTILE.INC(...;1) |
| Q3 | =QUARTILE.INKL(...;3) | =QUARTILE.INC(...;3) |
4. Robustheit — Mittelwert oder Median?
📘 Robustheit
Eine Kennzahl heisst robust, wenn sie durch einzelne Extremwerte (Ausreisser) kaum verändert wird.
- Median — robust. Verschieben einzelner Werte ändert die Mitte der sortierten Liste kaum.
- Mittelwert — nicht robust. Jeder Wert geht mit voller Stärke in die Summe ein.
💡 Faustregel zur Lagemass-Wahl
Mittelwert und Median nahe beieinander → Verteilung ist annähernd symmetrisch, beide funktionieren. Weit auseinander → schief oder mit Ausreissern, Median bevorzugen.
5. Zusammenhang mit dem Boxplot (Kapitel 4.2)
Die fünf Zahlen jedes Boxplots sind genau die Masszahlen aus diesem Kapitel:
| Element | Wert |
|---|
| linker Whisker | Minimum |
| Box-links | \(Q_1\) |
| Mittellinie | Median \(\tilde{x}\) |
| Box-rechts | \(Q_3\) |
| rechter Whisker | Maximum |
| Boxbreite | QD = \(Q_3 - Q_1\) |
💡 Whisker — zwei verbreitete Konventionen
In diesem Lehrmittel reichen die Whisker bis zum tatsächlichen Minimum bzw. Maximum.
In Excel, R, Matplotlib und vielen Statistik-Programmen werden die Whisker dagegen oft
nur bis zu den Datenpunkten innerhalb 1.5·QD ab Box-Rand gezogen
(Tukey-Konvention); alles darüber heisst Ausreisser und wird einzeln
als Punkt eingezeichnet. Beide Konventionen sind gebräuchlich — beim Vergleichen
von Boxplots immer prüfen, welche verwendet wurde.
🎯 Merksatz: Eine Stichprobe ist erst dann beschrieben, wenn man beide Aspekte angibt: Lage (Mitte) und Streuung (Breite). Mittelwert und Standardabweichung gehen zusammen — Median und Quartilsdifferenz gehen zusammen. Die Paare nicht mischen.
⚠ Häufige Fehlerquellen
- n vs. n − 1 in der Standardabweichung — STABW.S nutzt n − 1 (Stichprobe, Standard), STABW.N nutzt n (Grundgesamtheit). Im Zweifel: STABW.S.
- Median ohne Sortierung — der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Vergessenes Sortieren liefert einen Zufallswert.
- Quartile Tukey vs. Excel — die Handrechnungsmethode (Median der Hälften) und Excels
QUARTILE.INKL (lineare Interpolation) können unterschiedliche Werte liefern, besonders bei kleinen Stichproben.
- Mittelwert von kategorialen Daten — bei Postleitzahlen, Sprachgruppen oder Lieblings-Streamingdiensten ist der Mittelwert sinnlos. Modus verwenden.
- Standardabweichung = 0 bedeutet alle Werte sind identisch — das passiert in echten Stichproben praktisch nie. Wer \(s = 0\) errechnet, hat meist einen Eingabe- oder Formel-Fehler.