Acht Anwendungsaufgaben aus Bauwesen, Architektur und Technik. Mit ausführlichen Lösungen.
Ein Architekt plant ein Dach mit einer Neigung von \(35°\). Im Statikprogramm wird der Winkel in Radiant eingegeben. Welcher Wert (auf vier Nachkommastellen) muss eingetragen werden?
Ein Schiff fährt mit Kurs \(75°\) (gemessen von Nord, im Uhrzeigersinn). Es erhält einen Befehl, um \(+\dfrac{\pi}{6}\) rad zu drehen. Welcher neue Kurs (in Grad) ergibt sich?
In einem rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten \(a = 9\) cm und \(b = 12\) cm. Vor der Rechnung: gib zwei Schranken für die Hypotenuse \(c\) an. Berechne dann \(c\) und prüfe, ob das Resultat in den Schranken liegt.
Eine Wendeltreppe wickelt sich einmal vollständig um eine zentrale Säule. Pro Stufe dreht sich die Treppe um \(\dfrac{\pi}{8}\) rad. Wie viele Stufen hat die Treppe insgesamt?
Wie viele Grad und wie viele Radiant überstreicht der Minutenzeiger einer Uhr in 25 Minuten?
Ein Sonnenkollektor steht in einem Winkel von \(\alpha = 28°\) zur Horizontalen. Der „komplementäre" Stellwinkel zur Vertikalen wäre dann wie gross? Wie heisst diese Beziehung?
An einer Strassenkreuzung schneiden sich zwei Geraden. Eine Strasse läuft Richtung Norden, die andere bildet mit der Nord-Achse einen Winkel von \(112°\) im Uhrzeigersinn. Wie gross sind die vier entstehenden Winkel an der Kreuzung?
Auf einer technischen Zeichnung ist ein Winkel mit \(0.95\) rad bemasst. Wandle in Grad um (auf eine Nachkommastelle) und klassifiziere den Winkeltyp.
Im Statikprogramm 0.6109 eintragen.
Erst Radiant in Grad: \(\dfrac{\pi}{6} \cdot \dfrac{180°}{\pi} = 30°\). Neuer Kurs:
\[ 75° + 30° = 105° \]Plausibilität: liegt zwischen 0° und 360°, das Schiff dreht nach Steuerbord. ✓
Schranken: \(c\) muss länger als \(b = 12\) cm und kürzer als \(9 + 12 = 21\) cm sein.
\[ c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm} \]15 cm liegt zwischen 12 und 21 — plausibel. ✓
Eine vollständige Drehung sind \(2\pi\) rad. Anzahl Stufen:
\[ n = \dfrac{2\pi}{\pi/8} = 2\pi \cdot \dfrac{8}{\pi} = 16 \]Die Treppe hat 16 Stufen.
In 60 Minuten überstreicht der Minutenzeiger 360°. In 25 Minuten:
\[ \alpha = \dfrac{25}{60} \cdot 360° = 150° \] \[ \alpha_{\text{rad}} = 150° \cdot \dfrac{\pi}{180°} = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2.618 \text{ rad} \]Der gesuchte Stellwinkel zur Vertikalen ist das Komplement zu \(28°\):
\[ 90° - 28° = 62° \]Beziehung: komplementär (\(\alpha + \beta = 90°\)). Horizontale und Vertikale stehen senkrecht aufeinander, daher ergänzen sich die Winkel zur einen bzw. anderen Achse zu 90°.
An der Kreuzung treffen vier Winkel zusammen. Bei einem von ihnen ist \(\alpha = 112°\). Die anderen drei:
Vier Winkel: \(112°, 68°, 112°, 68°\). Summe: \(360°\) ✓.
54.4° liegt zwischen 0° und 90° — der Winkel ist spitz.