5.1 Grundlagen

Grundstück und Diagonale: erst skizzieren, dann rechnen

1. 0:00In der Animation stellst du Länge und Breite eines Grundstücks ein, und die Skizze zeigt den Weg über die Diagonale. Was kann man ablesen, und was muss man rechnen?
2. 0:09Länge vierundzwanzig und Breite achtzehn Meter stehen in der Skizze. Gesucht ist die gestrichelte Diagonale d. Mit Pythagoras ist sie die Wurzel aus neunhundert, also dreissig Meter.
3. 0:21Ist eine Seite viel kürzer, etwa vierzig auf vier Meter, landet d knapp über vierzig, bei rund vierzig Komma zwei Meter. Die Diagonale bleibt länger als die längere Seite und kürzer als l plus b.
4. 0:33Merke: Die Skizze zeigt, was gegeben und was gesucht ist. Die Diagonale kommt aus dem Satz des Pythagoras, die Fläche aus l mal b. So berechnest du nicht aus Versehen die falsche Grösse.

Grad und Radiant: zwei Skalen, eine Drehung

1. 0:00Im Visualisierer drehst du einen Winkel, und die Anzeige nennt ihn in Grad und in Radiant. Wie hängen die beiden Zahlen zusammen?
2. 0:09Bei hundertachtzig Grad zeigt die Anzeige genau Pi, rund drei Komma eins vier zwei. Das ist die feste Kopplung: Grad mal Pi durch hundertachtzig ergibt Radiant.
3. 0:20Bei zweihundertsiebzig Grad steht drei Pi halbe. Der Winkeltyp wechselt hier nicht, er bleibt überstumpf. Grenzen liegen nur bei neunzig, hundertachtzig und dreihundertsechzig Grad.
4. 0:31Bei sechzig Grad ist das Bogenmass Pi Drittel, rund eins Komma null vier sieben. Die Bogenlänge auf dem Einheitskreis ist genau dieselbe Zahl. So ist das Bogenmass definiert.
5. 0:42Merke: Grad und Radiant messen dieselbe Drehung, gekoppelt über hundertachtzig Grad gleich Pi. Die Typgrenzen liegen bei neunzig, hundertachtzig und dreihundertsechzig Grad, nicht bei zweihundertsiebzig.

Zufallswinkel: ungekürzt ist richtig, aber nicht fertig

1. 0:00Der Trainer zieht einen Winkel, und du rechnest ihn in Radiant oder in Grad um. Was meldet er, wenn der Bruch nicht gekürzt ist?
2. 0:09Sechzig Grad mal Pi durch hundertachtzig Grad ergibt Pi Drittel. Eingegeben als ein Drittel mal Pi, meldet der Trainer: richtig.
3. 0:18Jetzt sechzig durch hundertachtzig. Der Trainer zählt es als richtig gerechnet, meldet aber: noch nicht gekürzt. Beide Brüche bezeichnen denselben Winkel.
4. 0:27Rückwärts ist es derselbe Dreisatz: Pi Drittel mal hundertachtzig Grad durch Pi ergibt sechzig Grad. Die Einheit, die du haben willst, steht im Zähler.
5. 0:37Merke: Beide Richtungen sind derselbe Dreisatz mit hundertachtzig Grad gleich Pi. Ein ungekürzter Bruch ist richtig gerechnet, aber noch nicht fertig.

Winkeltyp: ein Grad über der Grenze kippt die Klasse

1. 0:00Im Klassifikator stellst du einen Winkel ein und tippst auf seinen Typ. Was ändert sich, wenn du nur zwei Grad weiter drehst?
2. 0:09Neunundachtzig Grad liegt knapp unter neunzig. Die Antwort spitz ist richtig.
3. 0:17Bei einundneunzig Grad ist spitz falsch. Der Winkel liegt ein Grad über der Grenze, er ist stumpf.
4. 0:25Beim Zufallswinkel bleibt die Gradzahl verdeckt. Der bewegliche Schenkel zeigt unter die Waagrechte, also ist der Winkel überstumpf.
5. 0:33Merke: Der Typ hängt nur an festen Schwellen, bei neunzig, hundertachtzig und dreihundertsechzig Grad. Schon ein Grad darüber kippt die Klasse. Ohne Zahl entscheidet die Lage des beweglichen Schenkels.

Winkelpaare: was α gewinnt, verliert β

1. 0:00In drei Reitern veränderst du den Winkel Alpha, und der Partnerwinkel Beta passt sich an. Welche Zahl bleibt dabei stehen?
2. 0:09Komplementär: Alpha wächst von fünfunddreissig auf sechzig Grad, Beta schrumpft von fünfundfünfzig auf dreissig. Die Summe bleibt neunzig Grad.
3. 0:19Supplementär: Bei hundertzehn Grad bleibt für Beta siebzig. Zusammen sind es hundertachtzig Grad, ein gestreckter Winkel.
4. 0:27Am Schnitt zweier Geraden liegen sich die beiden Alpha gegenüber: Scheitelwinkel, beide dreiundsiebzig Grad. Daneben liegt Beta mit hundertsieben Grad, als Nebenwinkel.
5. 0:37Merke: Was Alpha gewinnt, verliert Beta. Komplementärwinkel ergänzen sich zu neunzig Grad, Supplementär- und Nebenwinkel zu hundertachtzig, und Scheitelwinkel sind gleich gross.

Stufen- und Wechselwinkel: gleich nur an Parallelen

1. 0:00Eine Gerade s schneidet zwei Geraden g und h. Die Animation markiert an beiden Schnittpunkten einen Winkel. Wann sind die beiden gleich gross?
2. 0:09Bei fünfundsechzig Grad Neigung liegen die Stufenwinkel an gleicher Stelle, verbunden durch die F-Figur. Beide messen fünfundsechzig Grad, und das bleibt so, wie du s auch drehst.
3. 0:20Umgeschaltet auf die Z-Figur und s auf hundertzwanzig Grad gedreht: Die Wechselwinkel liegen zwischen g und h, auf verschiedenen Seiten von s. Auch sie sind gleich, beide hundertzwanzig Grad.
4. 0:33Jetzt kippt h um zwölf Grad. Alpha oben bleibt fünfundsechzig Grad, Alpha Strich unten wächst um den orangen Keil auf siebenundsiebzig Grad. Die Gleichheit bricht.
5. 0:43Merke: An Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich gross, bei jeder Neigung von s. Und umgekehrt: Sind sie gleich, sind g und h parallel.

Skizze: erst die Beschriftung rechnet mit

1. 0:00Links steht eine hingeworfene Rohskizze, rechts entsteht dieselbe Skizze in vier Schritten. Ab welchem Schritt versteht jemand die Aufgabe, ohne den Text zu kennen?
2. 0:10In Schritt zwei entsteht die Zeichnung in fester Reihenfolge: Boden, Wand, Leiter. Ohne Werte sagt sie aber nicht mehr als die Rohskizze links.
3. 0:19Schritt drei beschriftet: Leiter fünf Meter, Abstand drei Meter, gesucht ist h, und der rechte Winkel an der Wand ist markiert. Erst jetzt könnte man die Skizze weitergeben.
4. 0:29In Schritt vier wird gerechnet: die Wurzel aus sechzehn, also vier Meter. Das ist plausibel, denn die Kathete h ist kürzer als die Leiter, die Hypotenuse.
5. 0:39Merke: Erst die Beschriftung macht die Skizze lesbar, nicht die saubere Linie. Gegebenes, Gesuchtes und der rechte Winkel gehören hinein.

Hypotenuse: immer zwischen zwei Schranken

1. 0:00Du stellst die beiden Katheten a und b ein, die Animation rechnet die Hypotenuse c und zeigt zwei Schranken. Liegt c immer dazwischen?
2. 0:09Mit fünf und zwölf ergibt sich c gleich dreizehn. Das liegt zwischen der längeren Kathete zwölf und der Summe siebzehn.
3. 0:17Ist eine Kathete sehr kurz, zwanzig und zwei, dann ist c rund zwanzig Komma eins. Die Hypotenuse rückt fast an die längere Kathete heran, bleibt aber grösser.
4. 0:28Bei zwei gleich langen Katheten von fünfzehn ist c rund einundzwanzig Komma zwei. Auch das liegt zwischen fünfzehn und dreissig.
5. 0:37Merke: Die Hypotenuse liegt immer zwischen der längeren Kathete und der Summe der beiden. Das ist die schnelle Kontrolle für jedes Pythagoras-Resultat.

Winkel: die Arten und wie man sie erkennt

1. 0:00Winkel bekommen Namen nach ihrer Grösse. Die Namen sind schnell gelernt — nützlich sind die Beziehungen zwischen zwei Winkeln.
2. 0:08Unter neunzig Grad spitz, genau neunzig recht, zwischen neunzig und hundertachtzig stumpf, genau hundertachtzig gestreckt, darüber überstumpf.
3. 0:17Erste Beziehung: Zwei Winkel, die zusammen eine gerade Linie bilden, ergänzen sich auf hundertachtzig Grad. Das sind Nebenwinkel.
4. 0:26Zweite Beziehung: Kreuzen sich zwei Geraden, sind die gegenüberliegenden Winkel gleich gross. Das sind Scheitelwinkel.
5. 0:33Dritte Beziehung: Schneidet eine Gerade zwei Parallelen, sind Stufenwinkel gleich gross und Wechselwinkel ebenfalls. Damit lassen sich Winkel durch eine ganze Figur weiterreichen.
6. 0:45Zum Mitnehmen: Nebenwinkel ergänzen sich auf hundertachtzig, Scheitelwinkel sind gleich. Und im Dreieck ergeben alle drei zusammen hundertachtzig Grad.