Sechs Anwendungsaufgaben aus Bauwesen, Architektur und Vermessung. Mit ausführlichen Lösungen.
Ein symmetrischer Dachgiebel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die Mauerbreite beträgt \(b = 7.5\,\text{m}\), die Firsthöhe \(h = 2.8\,\text{m}\) über dem oberen Mauerrand. Berechne (a) die Länge eines Dachschenkels, (b) den Neigungswinkel des Daches gegen die Waagerechte, (c) die Gesamtfläche beider Dachflächen, wenn das Haus \(L = 14\,\text{m}\) lang ist.
Eine \(5\,\text{m}\) lange Leiter wird an eine Hauswand gelehnt. Der Fusspunkt liegt \(1.4\,\text{m}\) von der Wand entfernt. (a) Wie hoch reicht die Leiter? (b) Welchen Winkel bildet sie mit dem Boden?
Zwei Punkte \(A\) und \(B\) liegen am gegenüberliegenden Ufer eines Teichs. Vom Standpunkt \(C\) misst man \(AC = 42\,\text{m}\), \(BC = 56\,\text{m}\) und stellt fest, dass die Strecke \(AC\) senkrecht auf \(BC\) steht. Wie weit sind \(A\) und \(B\) voneinander entfernt?
Auf einem Bauplatz soll ein dreieckiges Beet abgesteckt werden. Vorgaben: Seite \(a = 8.0\,\text{m}\), Seite \(b = 6.0\,\text{m}\) und der von \(a\) und \(b\) eingeschlossene Winkel \(\gamma = 60°\). (a) Welcher Kongruenzsatz garantiert Eindeutigkeit? (b) Beschreibe die Konstruktionsschritte für das Beet. Den rechnerischen Wert für \(c\) bestimmen wir später in 5.3 mit dem Cosinussatz.
Eine Treppe überwindet eine Höhe von \(2.70\,\text{m}\). Sie hat 15 gleich grosse Stufen; jede Stufe ist \(28\,\text{cm}\) tief (waagerecht) und \(18\,\text{cm}\) hoch (senkrecht). (a) Wie lang ist eine einzelne Stufenkante (Hypotenuse)? (b) Wie lang ist die schräge Stufenlinie über die ganze Treppe?
Eine quadratische Pyramide steht auf einer Grundfläche der Seitenlänge \(s = 5.0\,\text{m}\). Ihre Höhe (von der Grundflächenmitte zur Spitze) beträgt \(h = 4.0\,\text{m}\). Berechne (a) die Länge einer Seitenkante (von Grundecke zur Spitze) und (b) die Schräghöhe einer Seitenfläche (von der Mitte einer Grundkante zur Spitze).
Halbiere den Giebel entlang der Höhe. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(b/2 = 3.75\,\text{m}\) (waagerecht) und \(h = 2.8\,\text{m}\) (senkrecht).
(a) \(s = \sqrt{(b/2)^2 + h^2} = \sqrt{14.0625 + 7.84} = \sqrt{21.9025} \approx \mathbf{4.68\,\text{m}}\).
(b) \(\tan\varphi = \dfrac{h}{b/2} = \dfrac{2.8}{3.75} \approx 0.7467\), also \(\varphi = \arctan(0.7467) \approx \mathbf{36.7°}\).
(c) Eine Dachfläche: \(A_1 = s \cdot L \approx 4.68 \cdot 14 \approx 65.5\,\text{m}^2\). Beide zusammen: \(2 \cdot A_1 \approx \mathbf{131\,\text{m}^2}\).
Rechtwinkliges Dreieck: Hypotenuse = Leiter \(c = 5\,\text{m}\), Kathete = Bodenabstand \(a = 1.4\,\text{m}\), Kathete = Wandhöhe \(b\).
(a) \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25 - 1.96} = \sqrt{23.04} = \mathbf{4.80\,\text{m}}\).
(b) Winkel mit dem Boden: \(\cos\alpha = \dfrac{a}{c} = \dfrac{1.4}{5} = 0.28\), also \(\alpha = \arccos(0.28) \approx \mathbf{73.7°}\). (Eine sicher aufgestellte Leiter liegt zwischen \(70°\) und \(75°\) zum Boden — passt.)
Da \(AC \perp BC\), ist Dreieck \(ABC\) bei \(C\) rechtwinklig mit Katheten \(42\,\text{m}\) und \(56\,\text{m}\). Pythagoras:
\(AB = \sqrt{42^2 + 56^2} = \sqrt{1764 + 3136} = \sqrt{4900} = \mathbf{70\,\text{m}}\).
(Hinweis: \(42 = 6 \cdot 7,\; 56 = 8 \cdot 7,\; 70 = 10 \cdot 7\) — ein Vielfaches des 3-4-5-Tripels.)
(a) Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel — SWS. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar.
(b) Konstruktionsschritte: Seite \(a = 8.0\,\text{m}\) als Strecke \(BC\) abtragen. Am Punkt \(C\) den Winkel \(\gamma = 60°\) anlegen. Auf dem zweiten Schenkel den Punkt \(A\) im Abstand \(b = 6.0\,\text{m}\) eintragen. Die Strecke \(AB\) ist die gesuchte Seite \(c\); ihre Länge lässt sich auf der Konstruktion abmessen.
Vorgriff auf 5.3 (Cosinussatz): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0.5 = 100 - 48 = 52\), also \(c = \sqrt{52} \approx \mathbf{7.21\,\text{m}}\).
(a) Eine Stufenkante hat Katheten \(28\,\text{cm}\) und \(18\,\text{cm}\): \(\sqrt{28^2 + 18^2} = \sqrt{784 + 324} = \sqrt{1108} \approx \mathbf{33.3\,\text{cm}}\).
(b) Gesamte Treppe: Höhenüberwindung \(2.70\,\text{m} = 270\,\text{cm}\), waagerecht \(15 \cdot 28 = 420\,\text{cm}\). Hypotenuse: \(\sqrt{270^2 + 420^2} = \sqrt{72\,900 + 176\,400} = \sqrt{249\,300} \approx \mathbf{499.3\,\text{cm}} \approx 5.0\,\text{m}\).
Probe: exakt \(15 \cdot \sqrt{1108} = \sqrt{225 \cdot 1108} = \sqrt{249\,300} \approx 499.3\,\text{cm}\) ✓. (Mit dem gerundeten Zwischenwert \(33.3\,\text{cm}\) ergäbe sich \(15 \cdot 33.3 = 499.5\,\text{cm}\) — die Differenz von \(0.2\,\text{cm}\) ist reiner Rundungsfehler.)
(a) Halbdiagonale der Grundfläche: \(d/2 = \dfrac{s\sqrt{2}}{2} = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3.536\,\text{m}\). Seitenkante \(k\): rechtwinkliges Dreieck aus halber Diagonale (waagerecht) und Pyramidenhöhe (senkrecht).
\(k = \sqrt{(s\sqrt{2}/2)^2 + h^2} = \sqrt{12.5 + 16} = \sqrt{28.5} \approx \mathbf{5.34\,\text{m}}\).
(b) Schräghöhe \(h_s\): rechtwinkliges Dreieck aus halber Grundkante (waagerecht, \(s/2 = 2.5\,\text{m}\)) und Pyramidenhöhe (senkrecht).
\(h_s = \sqrt{(s/2)^2 + h^2} = \sqrt{6.25 + 16} = \sqrt{22.25} \approx \mathbf{4.72\,\text{m}}\).
Beachte: \(k > h_s\), denn die Seitenkante hat einen längeren waagerechten Anteil als die Schräghöhe.