5.2a Dreiecke

Stativ: drei Beine stehen, vier wackeln

1. 0:00In der Animation steht ein Stativ auf unebenem Boden. Warum steht es mit drei Beinen immer fest, mit vier aber nicht?
2. 0:09Drei Beine, und unter Fuss A ein Buckel von zehn Zentimetern. Trotzdem berühren alle drei Füsse den Boden. Das Stativ steht etwas schräg, aber stabil.
3. 0:19Jetzt vier Beine und derselbe Buckel. Das Stativ liegt auf A, B und C. Fuss D hängt zehn Zentimeter in der Luft.
4. 0:29Einen Moment später kippt es und liegt auf A, C und D. Nun hängt Fuss B in der Luft. Das Stativ wackelt zwischen zwei Dreiecken hin und her.
5. 0:38Merke: Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen genau eine Ebene fest. Vier Punkte im Allgemeinen nicht. Darum ist das Dreieck der Baustein jedes Vielecks.

Dreiecksungleichung: wann sich die Kreise schneiden

1. 0:00In der Animation sind a gleich drei und b gleich vier fest. Die Seite c wird länger. Bis wann entsteht noch ein Dreieck?
2. 0:09Mit c gleich sechs ist drei plus vier grösser als sechs. Die Kreise um A und B schneiden sich in C: Es gibt ein Dreieck.
3. 0:19Bei c gleich sieben liegen a und b gestreckt auf der Grundseite. Die Höhe ist null, das Dreieck entartet zur Strecke.
4. 0:28Bei c gleich acht reichen a und b zusammen nicht mehr von A nach B. Die Kreise schneiden sich nicht, es bleibt eine Lücke.
5. 0:38Merke: Die längste Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen. Genau dann schneiden sich die Kreise, und es gibt ein Dreieck.

Winkel im Dreieck: Summe 180°, Aussenwinkel β + γ

1. 0:00In der Animation zieht man an den Ecken eines Dreiecks. Was bleibt gleich, während sich die Form ändert?
2. 0:09Ein spitzwinkliges Dreieck: Alpha einundfünfzig Grad, Beta neunundfünfzig Komma fünf, Gamma neunundsechzig Komma fünf. Zusammen hundertachtzig Grad.
3. 0:20Jetzt stumpf bei C, mit Aussenwinkeln. Alpha Strich ist hundertachtzig minus fünfundvierzig, also hundertfünfunddreissig Grad. Genau so viel ergeben Beta und Gamma zusammen.
4. 0:30Drückt man C nach unten, hält die Animation an der rot gestrichelten Grenze an. Auch hier: hundertachtzig Grad. Lägen die drei Punkte auf einer Geraden, gäbe es kein Dreieck mehr.
5. 0:42Merke: Die Innenwinkelsumme ist bei jedem Dreieck hundertachtzig Grad. Ein Aussenwinkel ist so gross wie die beiden nicht anliegenden Innenwinkel zusammen.

Winkelsumme beweisen: Wechselwinkel an der Parallelen

1. 0:00Die Animation beweist, dass die Innenwinkel jedes Dreiecks hundertachtzig Grad ergeben. Ohne einen einzigen Winkel zu messen.
2. 0:09Durch C läuft die Parallele zur Seite c. An parallelen Geraden sind Wechselwinkel gleich gross. Darum taucht Alpha links von Gamma auf, Beta rechts.
3. 0:19Bei C liegen Alpha, Gamma und Beta nebeneinander auf der Parallelen. Zusammen bilden sie einen gestreckten Winkel: hundertachtzig Grad.
4. 0:29Zieht man C nach unten, wird Gamma stumpf. Parallele, Wechselwinkel, gestreckter Winkel: Jeder Schritt bleibt gültig.
5. 0:38Merke: Die Wechselwinkel an der Parallelen legen Alpha und Beta neben Gamma auf eine Gerade. Der Beweis braucht keine Messwerte, darum gilt er für jedes Dreieck.

Spezielle Dreiecke: gleiche Seiten, gleiche Winkel

1. 0:00Die Animation zeigt drei besondere Dreiecke. Welche Winkel sind gleich gross, wenn Seiten gleich lang sind?
2. 0:09Gleichschenklig: Die Schenkel a und b sind gleich lang. Die Basiswinkel Alpha und Beta messen beide fünfundfünfzig Grad, der Spitzenwinkel Gamma siebzig.
3. 0:19Rechtwinklig: Der rechte Winkel liegt bei C, gegenüber die Hypotenuse c. Mit den Katheten sechzehn und zwölf Zentimeter ist c zwanzig Zentimeter lang.
4. 0:30Gleichseitig: Alle drei Seiten sind gleich lang, und alle drei Winkel messen sechzig Grad, ein Drittel von hundertachtzig.
5. 0:39Merke: Gleiche Seiten und gleiche Winkel treten paarweise auf. Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck.

Dreieckselemente: welche Schnittpunkte nach aussen wandern

1. 0:00In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen, Mittelsenkrechten, Seitenhalbierenden und Winkelhalbierenden je in einem Punkt. Wo liegen diese Punkte bei einem stumpfen Dreieck?
2. 0:10Ein stumpfes Dreieck, Gamma misst rund hundertzehn Grad. Die Seitenhalbierenden treffen sich im Schwerpunkt S, die Winkelhalbierenden im Inkreismittelpunkt. Beide liegen innen.
3. 0:22Die drei Höhen treffen sich im Höhenschnittpunkt H, und der liegt ausserhalb, oberhalb von C. Man sieht ihn nur, wenn man die Höhen als ganze Geraden zeichnet.
4. 0:32Auch die Mittelsenkrechten treffen sich ausserhalb, unterhalb der Seite c. Der Umkreis um diesen Punkt geht trotzdem durch alle drei Ecken.
5. 0:41Merke: Je drei Linien schneiden sich in genau einem Punkt. Schwerpunkt und Inkreismittelpunkt liegen immer innen. Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt wandern beim stumpfen Dreieck nach aussen.

Dreiecksfläche: warum die Hälfte von g · h

1. 0:00Die Fläche eines Dreiecks ist ein halb mal g mal h. Die Animation zeigt, woher die Hälfte kommt.
2. 0:09Eine orange Kopie des Dreiecks dreht sich um die Mitte der schrägen Seite, um hundertachtzig Grad. Zusammen bilden die beiden Dreiecke ein Parallelogramm.
3. 0:19Nun wandert das rechte Stück des Parallelogramms nach links aussen. Die Fläche bleibt gleich, aber es entsteht ein Rechteck g mal h.
4. 0:28Das blaue Dreieck ist halb so gross wie das orange Rechteck. Das grüne Rechteck, g mal h halbe, zeigt diese Fläche direkt.
5. 0:38Merke: Zwei gleiche Dreiecke ergeben ein Rechteck g mal h. Eines davon hat die Hälfte. Die Fläche hängt also nur von Grundseite und Höhe ab.

Kongruenzsätze: SsW eindeutig, sSW nicht

1. 0:00Die Animation konstruiert Dreiecke aus drei gegebenen Stücken. Legen drei Stücke das Dreieck immer eindeutig fest?
2. 0:09Drei Seiten: Auf c liegen A und B. Der Kreis um A mit Radius b und der Kreis um B mit Radius a treffen sich oberhalb von c in C.
3. 0:20Grosses S, kleines s, W: Der Winkel Alpha liegt der längeren Seite a gegenüber. Der Kreis um C mit Radius a trifft den Strahl nur einmal, in B. Es gibt genau ein Dreieck.
4. 0:31Kleines s, grosses S, W: Jetzt liegt Alpha der kürzeren Seite a gegenüber. Der kleinere Kreis trifft den Strahl zweimal. Zwei verschiedene Dreiecke passen zu denselben Stücken.
5. 0:42Merke: Drei Stücke legen ein Dreieck fest, aber nicht in jeder Anordnung. Liegt der Winkel der kürzeren Seite gegenüber, sind zwei Dreiecke möglich.

Satzgruppe des Pythagoras: Flächen scheren und drehen

1. 0:00Die Animation zeigt den Satz des Pythagoras mit Flächen. Warum passen die beiden Kathetenquadrate genau in das Hypotenusenquadrat?
2. 0:09Über den Katheten a und b und über der Hypotenuse c steht je ein Quadrat. Die Animation misst vierhundertzwei Komma acht drei plus hundertdreiundsiebzig Komma eins sieben, also fünfhundertsechsundsiebzig Quadratzentimeter.
3. 0:24Scherung, Drehung, Scherung: Das Quadrat a Quadrat wird zum Rechteck p mal c, b Quadrat zum Rechteck q mal c. Zusammen füllen sie das Hypotenusenquadrat.
4. 0:35Beim Höhensatz dasselbe: Das Quadrat über der Höhe h wird ohne Flächenverlust zum Rechteck p mal q.
5. 0:44Merke: Scheren und Drehen ändern die Fläche nicht. Die Rechtecke p mal c und q mal c füllen zusammen c Quadrat. Darum gilt a Quadrat plus b Quadrat gleich c Quadrat.

Halbe Dreiecke: 1 : √3 : 2 und 1 : 1 : √2

1. 0:00Zwei rechtwinklige Dreiecke tauchen so oft auf, dass man ihre Seitenverhältnisse kennen sollte. Welche Wurzeln bleiben dabei stehen?
2. 0:09Die Höhe halbiert ein gleichseitiges Dreieck. Mit a gleich eins ist c gleich zwei, und Pythagoras liefert b gleich Wurzel drei.
3. 0:19Die Diagonale halbiert ein Quadrat. Beide Katheten sind eins, die Hypotenuse ist Wurzel zwei.
4. 0:28Mit a gleich g wird jede Seite g mal so lang: b gleich g mal Wurzel drei, c gleich zwei g. Das Verhältnis bleibt gleich.
5. 0:38Merke: Das halbe gleichseitige Dreieck hat die Seiten eins zu Wurzel drei zu zwei, das halbe Quadrat eins zu eins zu Wurzel zwei. Daraus folgen die exakten Werte von Sinus, Cosinus und Tangens.

Dreieck: Kathete und Hypotenuse sicher erkennen

1. 0:00Bevor man rechnet, muss man benennen. Drei Seiten, drei Namen — und zwei davon hängen nicht am Dreieck, sondern am Winkel.
2. 0:08Die Hypotenuse ist die einzige, die feststeht: Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite.
3. 0:16Die beiden anderen Seiten heissen Katheten. Welche die Gegenkathete ist und welche die Ankathete, entscheidet der Winkel, von dem aus man schaut.
4. 0:25Und das ist der Kern: Wechselt man vom einen spitzen Winkel zum anderen, tauschen Gegen- und Ankathete die Rolle. Die Hypotenuse bleibt.
5. 0:33Zum Mitnehmen: Die Hypotenuse hängt am rechten Winkel, die Katheten am betrachteten. Wer die Frage «von welchem Winkel aus?» stellt, benennt richtig.

Dreieck: der Satz des Pythagoras

1. 0:00Der Satz des Pythagoras verbindet die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Ohne rechten Winkel gilt er nicht.
2. 0:08Entscheidend ist, welche Seite wo steht. Die beiden Katheten stehen zusammen auf der einen Seite, die Hypotenuse allein auf der anderen — sie ist die längste.
3. 0:17Ein Beispiel mit drei und vier: neun plus sechzehn ist fünfundzwanzig, die Wurzel daraus fünf. Das ist das bekannteste rechtwinklige Dreieck überhaupt.
4. 0:27Sucht man eine Kathete statt der Hypotenuse, wird subtrahiert: Hypotenuse quadriert minus die bekannte Kathete quadriert.
5. 0:35Der Satz gilt auch rückwärts: Stimmt die Gleichung, ist das Dreieck rechtwinklig. Damit lässt sich prüfen, ob ein rechter Winkel vorliegt.
6. 0:44Zum Mitnehmen: Die beiden kurzen quadriert und addiert geben die lange quadriert. Und ohne rechten Winkel gilt nichts davon.