5.2a Dreiecke
Das Dreieck ist die einfachste geradlinig begrenzte Fläche der Ebene: drei Eckpunkte, drei Seiten, drei Innenwinkel — und doch der Baustein, aus dem sich alle anderen Vielecke zusammensetzen lassen. Wer das Dreieck versteht, versteht die halbe Planimetrie.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben
- deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen
Vierecke werden in Teil 2 (g5-2b) behandelt, Kreis und Kreisteile in Teil 3 (g5-2c), zentrische Streckung und Ähnlichkeit in Teil 4 (g5-2d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Dreiecke normgerecht beschriften (Ecken, Seiten, Winkel) und die Gegenüber-Konvention anwenden.
- Ich kann die Innenwinkelsumme von \(180°\) mit Wechselwinkeln begründen und nutzen.
- Ich kann spezielle Dreiecke (gleichschenklig, gleichseitig, rechtwinklig) und ihre Eigenschaften erkennen.
- Ich kann Flächeninhalt und Umfang von Dreiecken berechnen.
- Ich kann den Satz des Pythagoras am rechtwinkligen Dreieck anwenden.
Einstieg — der einfachste Vielecks-Baustein
Ein Fotograf baut sein Stativ auf: drei Beine, gespreizt — und es steht von selbst. Warum eigentlich drei? Versuchst du es mit vier Beinen, kippelt das Stativ am ersten unebenen Boden zwischen zwei Diagonal-Positionen hin und her. Mit zwei Beinen fällt es sofort um. Drei scheint die magische Zahl zu sein.
Probier es in der Animation: Ziehe den Schieber Boden-Unebenheit nach rechts und schau, was passiert.
Drei Punkte legen ein Dreieck — und damit eine Ebene — eindeutig fest. Genau deshalb ist das Dreieck der Baustein der Planimetrie. Aus ihm lassen sich alle anderen Vielecke zusammensetzen, und alle ihre Eigenschaften gehen letztlich auf Dreieckseigenschaften zurück. Wer das Dreieck kennt, kennt die Hälfte der Planimetrie.
Dieses Kapitel beleuchtet das Dreieck aus vier Blickwinkeln:
- Allgemeines Dreieck — Bezeichnungen, Winkelsummen, Aussenwinkel
- Spezielle Dreiecke — gleichschenklig, rechtwinklig, gleichseitig
- Konstruktion — wann ist ein Dreieck eindeutig festgelegt? (Kongruenzsätze)
- Berechnung — Fläche, Pythagoras, Anwendungen
Definition — Eckpunkte, Seiten, Winkel
Ein Dreieck ist eine geradlinig begrenzte Fläche mit drei Eckpunkten \(A\), \(B\), \(C\), die nicht auf einer Geraden liegen. Die drei Verbindungsstrecken \(\overline{BC}\), \(\overline{CA}\), \(\overline{AB}\) heissen Seiten, üblicherweise mit den Kleinbuchstaben \(a\), \(b\), \(c\) bezeichnet — wobei Seite \(a\) dem Eckpunkt \(A\) gegenüber liegt, ebenso \(b\) gegenüber \(B\) und \(c\) gegenüber \(C\).
- Eckpunkte: Grossbuchstaben \(A\), \(B\), \(C\) — gegen den Uhrzeigersinn beschriftet
- Seiten: Kleinbuchstaben \(a\), \(b\), \(c\) — gegenüber dem gleichnamigen Eckpunkt
- Innenwinkel: griechische Buchstaben \(\alpha\) (bei \(A\)), \(\beta\) (bei \(B\)), \(\gamma\) (bei \(C\))
- Aussenwinkel: \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\) — der Nebenwinkel des jeweiligen Innenwinkels
Drei Strecken bilden genau dann ein Dreieck, wenn jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen:
\[ a < b + c, \qquad b < a + c, \qquad c < a + b \]Es genügt, die längste Seite zu prüfen — bei ihr ist die Bedingung am schärfsten. Gilt Gleichheit (z.B. \(c = a + b\)), so liegen die drei Punkte auf einer Geraden: ein «entartetes» Dreieck ohne Fläche.
Allgemeines Dreieck — interaktiv
Ziehe die Punkte A, B, C mit der Maus oder dem Finger. Beschriftungen aktualisieren sich live.
\(\alpha' + \beta' + \gamma' = 360°\)
✏️ Mini-Check — Bezeichnungen am Dreieck
Die Seite \(a\) liegt …
- an der Ecke \(A\)
- der Ecke \(A\) gegenüber
- beliebig
Lösung anzeigen
Die Ecken werden im sinn mit \(A\), \(B\), \(C\) beschriftet.
Lösung anzeigen
Bei Ecke \(B\): Wie heissen der Winkel dort und die gegenüberliegende Seite?
Lösung anzeigen
Warum ist das Dreieck der «einfachste Vielecks-Baustein»?
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Innenwinkelsumme — Beweis durch Wechselwinkel
Die Summe der drei Innenwinkel eines Dreiecks beträgt stets \(180°\):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180° \]Der Beweis benutzt eine Hilfslinie: durch den Eckpunkt \(C\) wird die Parallele zur Seite \(c\) (also zu \(\overline{AB}\)) gezeichnet. Die Wechselwinkel an parallelen Geraden, geschnitten von einer Quergeraden, sind gleich gross — und damit verteilt sich der gestreckte Winkel bei \(C\) genau auf \(\alpha\), \(\gamma\), \(\beta\).
Tipp zur Animation: In Schritt 3 („Wechselwinkel") werden die zwei Wechselwinkel-Paare farblich identisch markiert — der untere α (bei \(A\)) und der obere α (bei \(C\) links der Parallelen) tragen dieselbe Farbe; ebenso für β. So lässt sich die Wechselwinkel-Eigenschaft visuell nachvollziehen, bevor sie formal angewendet wird.
✏️ Mini-Check — Innenwinkelsumme
Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt …
- \(90°\)
- \(180°\)
- \(360°\)
Lösung anzeigen
Im Beweis nutzt man die Parallele zu \(AB\) durch \(C\) und die winkel.
Lösung anzeigen
\(\alpha = 50°\), \(\beta = 60°\): Wie gross ist \(\gamma\)?
Lösung anzeigen
Kann ein Dreieck zwei stumpfe Winkel haben?
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Spezielle Dreiecke und Dreieckselemente
Spezielle Dreiecke
Drei Sonderfälle sind so häufig, dass sie eigene Namen tragen:
| Typ | Eigenschaft | Folgerung |
|---|---|---|
| Gleichschenklig | zwei Seiten gleich lang (Schenkel) | zwei Basiswinkel gleich gross |
| Rechtwinklig | ein Winkel = \(90°\) | Hypotenuse gegenüber, zwei Katheten |
| Gleichseitig | alle drei Seiten gleich lang | alle drei Winkel \(= 60°\) |
Dreieckselemente
In jedem Dreieck gibt es vier ausgezeichnete Linien-Familien, die sich jeweils in einem gemeinsamen Punkt schneiden:
| Element | Definition | Schnittpunkt |
|---|---|---|
| Höhen \(h_a, h_b, h_c\) | Lot vom Eckpunkt auf die Gegenseite | Höhenschnittpunkt \(H\) |
| Mittelsenkrechten | Senkrechte durch die Mitte jeder Seite | Umkreismittelpunkt \(M_U\) |
| Seitenhalbierende | Verbindung Eckpunkt — Mitte der Gegenseite | Schwerpunkt \(S\) (teilt 2 : 1) |
| Winkelhalbierende \(w_\alpha, w_\beta, w_\gamma\) | halbiert den Innenwinkel | Inkreismittelpunkt \(M_I\) |
✏️ Mini-Check — Spezielle Dreiecke
Im gleichseitigen Dreieck misst jeder Winkel …
- \(45°\)
- \(60°\)
- \(90°\)
Lösung anzeigen
Im gleichschenkligen Dreieck sind die winkel gleich gross.
Lösung anzeigen
Ein rechtwinkliges Dreieck hat \(\alpha = 35°\). Wie gross ist der zweite spitze Winkel?
Lösung anzeigen
Ein Dreieck ist gleichschenklig mit Spitzenwinkel \(40°\). Wie gross sind die Basiswinkel?
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Berechnung — Umfang, Fläche, Kongruenz, Pythagoras
Umfang
Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe seiner drei Seitenlängen:
\[ U = a + b + c \]Sind nicht alle Seiten direkt gegeben, bestimmt man die fehlenden zuerst — etwa mit dem Satz des Pythagoras (rechtwinkliges Dreieck) oder über die Kongruenzsätze.
Flächenberechnung
Die Fläche eines Dreiecks beträgt
\[ A = \tfrac{1}{2}\, g \cdot h \]wobei \(g\) eine Grundseite und \(h\) die zugehörige Höhe ist (das Lot des gegenüberliegenden Eckpunkts auf die Grundseite).
Die Formel folgt direkt aus dem Rechteck: zwei kongruente Dreiecke bilden ein Parallelogramm der Fläche \(g \cdot h\), das durch Schneiden und Anfügen in ein Rechteck \(g \times h\) überführt wird. Das Dreieck hat genau die halbe Fläche.
Kongruenzsätze — wann ist ein Dreieck eindeutig?
Aus wie vielen Angaben lässt sich ein Dreieck eindeutig konstruieren? Die Antwort ist immer dieselbe: drei Stücke — aber nicht jede Kombination reicht. Vier Kombinationen führen zu einem eindeutigen Dreieck:
Satzgruppe Pythagoras
Im rechtwinkligen Dreieck — dem rechte Winkel sitze bei \(C\) — gelten drei verwandte Sätze. Sie alle drücken Längen-Beziehungen aus, die mit der Höhe \(h\) auf der Hypotenuse \(c\) und den Hypotenusen-Abschnitten \(p\) (unter \(a\)) und \(q\) (unter \(b\)) zusammenhängen.
| Satz | Aussage | Was er bedeutet |
|---|---|---|
| Pythagoras | \(a^2 + b^2 = c^2\) | Kathetenquadrate summieren sich zum Hypotenusenquadrat |
| Kathetensatz | \(a^2 = p \cdot c\) bzw. \(b^2 = q \cdot c\) | Kathetenquadrat = Hypotenuse mal anliegender Abschnitt |
| Höhensatz | \(h^2 = p \cdot q\) | Höhenquadrat = Produkt der Hypotenusen-Abschnitte |
Ziehe den Eckpunkt C, um den rechten Winkel zu verschieben.
Anwendung — halbes gleichseitiges Dreieck, halbes Quadrat ↗ 5.3
Zwei rechtwinklige Dreiecke tauchen so häufig auf, dass ihre Seitenverhältnisse auswendig sitzen sollten:
- Halbes gleichseitiges Dreieck (also ein 30°-60°-90°-Dreieck): Höhe halbiert die Grundseite; Verhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\).
- Halbes Quadrat (45°-45°-90°-Dreieck): Diagonale teilt das Quadrat; Verhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\).
\(a^2 + b^2 = c^2\) gilt nur, wenn zwischen \(a\) und \(b\) ein rechter Winkel liegt. Im allgemeinen (schiefwinkligen) Dreieck stimmt die Beziehung nicht — dafür braucht es Sinus- oder Cosinussatz ↗ 5.3. Bevor du Pythagoras anwendest, prüfe immer: gibt es im Dreieck einen rechten Winkel, und sind die zwei Katheten die Schenkel dieses rechten Winkels?
Die Hypotenuse ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks — und sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Wer in \(a^2 + b^2 = c^2\) die Hypotenuse als \(a\) oder \(b\) einsetzt, bekommt eine falsche Zahl heraus. Eselsbrücke: Hypo-„tenuse" wie „liegt herum" — sie liegt der \(90°\)-Ecke gegenüber.
Bevor du eine Berechnung beginnst, lohnt sich ein 30-Sekunden-Check:
- Skizze zeichnen — auch wenn der Aufgabentext keine Figur zeigt. Beschriftung mit \(A\), \(B\), \(C\) gegen den Uhrzeigersinn; \(a\) liegt gegenüber von \(A\), usw.
- Gegebene Grössen eintragen — was ist bekannt, was gesucht?
- Spezielle Eigenschaften erkennen — gleichschenklig? rechtwinklig? gleichseitig? Daraus folgen oft zusätzliche Beziehungen (gleiche Seiten, gleiche Winkel, \(90°\)-Winkel).
- Werkzeug wählen — Pythagoras (nur rechtwinklig), Innenwinkelsumme \(180°\), Flächenformel, oder bei schiefwinklig: Sinus-/Cosinussatz ↗ 5.3.
✏️ Mini-Check — Fläche und Pythagoras
Die Dreiecksfläche berechnet sich als …
- \(g \cdot h\)
- \(\tfrac{g \cdot h}{2}\)
- \(\tfrac{g + h}{2}\)
Lösung anzeigen
Der Satz des Pythagoras gilt nur im en Dreieck.
Lösung anzeigen
Grundseite \(g = 6\), Höhe \(h = 4\): Fläche?
Lösung anzeigen
Katheten \(3\) und \(4\): Wie lang ist die Hypotenuse — und warum heisst das Tripel «pythagoreisch»?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Sieben Aufgaben quer durchs Thema: Winkel, spezielle Dreiecke, Pythagoras, Kongruenz, Dreieckselemente, Anwendung. Lösungen sind ausklappbar — versuche zuerst selbst, bevor Du nachschaust.
In einem Dreieck ABC ist \(\alpha = 47°\) und \(\beta = 68°\). Bestimme:
- den dritten Innenwinkel \(\gamma\)
- den Aussenwinkel \(\alpha'\) bei A
- den Aussenwinkel \(\gamma'\) bei C — einmal über den Nebenwinkel und einmal über den Aussenwinkelsatz. Vergleiche die Resultate.
- Innenwinkelsumme: \(\gamma = 180° - \alpha - \beta = 180° - 47° - 68° = \mathbf{65°}\).
- Nebenwinkel: \(\alpha' = 180° - \alpha = 180° - 47° = \mathbf{133°}\).
- Über Nebenwinkel: \(\gamma' = 180° - \gamma = 180° - 65° = \mathbf{115°}\).
Über Aussenwinkelsatz: \(\gamma' = \alpha + \beta = 47° + 68° = \mathbf{115°}\). Beide Resultate stimmen überein — das ist kein Zufall: \( \alpha + \beta = 180° - \gamma = \gamma' \).
Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge \(s = 8\,\text{cm}\). Die Höhe halbiert es in zwei kongruente 30°-60°-90°-Dreiecke. Bestimme für eines dieser Halbdreiecke:
- die drei Seitenlängen (kurze Kathete, lange Kathete, Hypotenuse)
- die Fläche des Halbdreiecks
- die Fläche des ursprünglichen gleichseitigen Dreiecks
- Verhältnis im 30°-60°-90°: \(1 : \sqrt{3} : 2\). Hypotenuse = Schenkel des Volldreiecks = \(s = 8\,\text{cm}\).
Kurze Kathete: \(a = s/2 = \mathbf{4\,\text{cm}}\).
Lange Kathete (= Höhe): \(b = s \cdot \sqrt{3}/2 = 8 \cdot \sqrt{3}/2 = \mathbf{4\sqrt{3}\,\text{cm} \approx 6.93\,\text{cm}}\).
Hypotenuse: \(c = \mathbf{8\,\text{cm}}\). - Fläche Halbdreieck: \(A_h = \tfrac{1}{2}\, a \cdot b = \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = \mathbf{8\sqrt{3} \approx 13.86\,\text{cm}^2}\).
- Volldreieck ist doppelt so gross: \(A = 2 \cdot A_h = \mathbf{16\sqrt{3} \approx 27.71\,\text{cm}^2}\).
Ein rechtwinkliges Dreieck (rechter Winkel bei C) hat die Hypotenuse \(c = 13\,\text{cm}\) und die Kathete \(a = 5\,\text{cm}\). Bestimme:
- die zweite Kathete \(b\)
- den Umfang \(U\)
- die Höhe \(h\) auf der Hypotenuse
- die Hypotenusenabschnitte \(p\) und \(q\)
- Pythagoras: \(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = \mathbf{12\,\text{cm}}\). (Bekanntes 5-12-13-Tripel.)
- Umfang: \(U = a + b + c = 5 + 12 + 13 = \mathbf{30\,\text{cm}}\).
- Fläche zweimal ausdrücken: \(A = \tfrac{1}{2}\, a \cdot b = \tfrac{1}{2}\, c \cdot h\). Also \(h = \tfrac{a \cdot b}{c} = \tfrac{5 \cdot 12}{13} = \mathbf{\tfrac{60}{13} \approx 4.62\,\text{cm}}\).
- Kathetensatz: \(a^2 = p \cdot c \;\Rightarrow\; p = \tfrac{a^2}{c} = \tfrac{25}{13} \approx \mathbf{1.92\,\text{cm}}\).
Analog \(q = \tfrac{b^2}{c} = \tfrac{144}{13} \approx \mathbf{11.08\,\text{cm}}\).
Probe: \(p + q = \tfrac{25+144}{13} = \tfrac{169}{13} = 13 = c\). ✓
Welche der folgenden Angaben legen das Dreieck eindeutig fest? Begründe kurz mit dem zutreffenden Kongruenzsatz (SSS / SWS / WSW / SsW) — oder erkläre, warum die Angabe mehrdeutig ist.
- \(a = 5\,\text{cm},\; b = 7\,\text{cm},\; c = 9\,\text{cm}\)
- \(a = 6\,\text{cm},\; b = 4\,\text{cm},\; \gamma = 50°\)
- \(\alpha = 30°,\; \beta = 60°,\; \gamma = 90°\)
- \(a = 8\,\text{cm},\; b = 5\,\text{cm},\; \alpha = 30°\) (\(\alpha\) liegt der Seite \(a\) gegenüber)
- \(a = 4\,\text{cm},\; b = 8\,\text{cm},\; \alpha = 30°\)
- Drei Seiten — SSS, eindeutig. (Dreiecksungleichung erfüllt: \(5 + 7 > 9\). ✓)
- Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel — SWS, eindeutig.
- Nur Winkel, keine Seite — nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele ähnliche, aber verschieden grosse Dreiecke (alle 30°-60°-90°).
- Zwei Seiten, Winkel gegenüber der grösseren Seite (\(a > b\)) — SsW, eindeutig. Der Kreis um C schneidet den Strahl nur einmal.
- Zwei Seiten und der Winkel gegenüber der kleineren Seite (\(a < b\)) — der sSW-Fall. Hier entscheidet der Vergleich \(a\) gegen \(b \cdot \sin\alpha\): \(b \cdot \sin\alpha = 8 \cdot 0.5 = 4\), und \(a = 4\). Wegen \(a = b \cdot \sin\alpha\) liegt der Grenzfall vor — genau eine Lösung (rechtwinkliges Dreieck bei B). Allgemein: bei \(a > b \cdot \sin\alpha\) zwei Lösungen, bei \(a = b \cdot \sin\alpha\) eine, bei \(a < b \cdot \sin\alpha\) keine.
Ordne jedem der vier Schnittpunkte zu, durch welche drei Linien er entsteht — und welche besondere Lage er hat.
| Schnittpunkt | entsteht durch … | besondere Eigenschaft |
|---|---|---|
| H (Höhenschnittpunkt) | ? | ? |
| S (Schwerpunkt) | ? | ? |
| \(M_U\) (Umkreismittelpunkt) | ? | ? |
| \(M_I\) (Inkreismittelpunkt) | ? | ? |
| Schnittpunkt | entsteht durch … | besondere Eigenschaft |
|---|---|---|
| H | die drei Höhen | liegt im Innern (spitzwinklig), auf C (rechtwinklig) oder ausserhalb (stumpfwinklig) |
| S | die drei Seitenhalbierenden | teilt jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 (vom Eckpunkt aus) |
| \(M_U\) | die drei Mittelsenkrechten | von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt — Mittelpunkt des Umkreises |
| \(M_I\) | die drei Winkelhalbierenden | von allen drei Seiten gleich weit entfernt — Mittelpunkt des Inkreises |
Ein symmetrischer Dachgiebel ist ein gleichschenkliges Dreieck. Der Hausfirst liegt \(h = 3.5\,\text{m}\) über dem oberen Mauerrand; die Mauer ist \(b = 8\,\text{m}\) breit. Bestimme:
- die Länge eines Dachschenkels (von der Mauerecke bis zum First)
- den Neigungswinkel des Daches gegenüber der Waagerechten (Teilaufgabe braucht den Arkustangens — wird formal in 5.3 eingeführt)
- die Dachfläche, wenn das Haus \(L = 12\,\text{m}\) lang ist (zwei Dachflächen, jede ein Rechteck Schenkel × Hauslänge)
Halbieren wir den Giebel entlang der Höhe: rechtwinkliges Dreieck mit Kathete \(b/2 = 4\,\text{m}\) (waagrecht) und Kathete \(h = 3.5\,\text{m}\) (senkrecht).
- Pythagoras: \(s = \sqrt{(b/2)^2 + h^2} = \sqrt{16 + 12.25} = \sqrt{28.25} \approx \mathbf{5.32\,\text{m}}\).
- Neigungswinkel \(\varphi\) gegen Waagerechte: \(\tan\varphi = \dfrac{h}{b/2} = \dfrac{3.5}{4} = 0.875\). Daraus \(\varphi = \arctan(0.875) \approx \mathbf{41.2°}\).
- Eine Dachfläche (mit ungerundetem \(s\)): \(A_1 = s \cdot L = \sqrt{28.25} \cdot 12 \approx 63.8\,\text{m}^2\). Gesamtdachfläche: \(2 \cdot A_1 \approx \mathbf{127.6\,\text{m}^2}\).
Ein quaderförmiges Aquarium hat die Innenmasse \(80\,\text{cm} \times 60\,\text{cm} \times 50\,\text{cm}\). Eine schwimmende Laser-Pointer-Halterung soll diagonal von einer unteren Ecke zur gegenüberliegenden oberen Ecke gespannt werden.
- Berechne zuerst die Bodendiagonale (über das rechtwinklige Dreieck am Boden).
- Mit der Bodendiagonale als Kathete und der Höhe als zweiter Kathete: berechne die Raumdiagonale.
- Vergleiche das Resultat mit \(5\sqrt{5}\,\text{m}\) — passt die Grössenordnung?
- Bodendiagonale \(d_B\): \(d_B^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000 \Rightarrow d_B = 100\,\text{cm}\). Schöne runde Zahl wegen des \(3{:}4{:}5\)-Dreiecks (\(60{:}80{:}100\)).
- Raumdiagonale \(d_R\): das Dreieck mit \(d_B = 100\), Höhe \(50\) und der Raumdiagonalen ist wieder rechtwinklig. \(d_R^2 = 100^2 + 50^2 = 10000 + 2500 = 12500 \Rightarrow d_R = \sqrt{12500} = 50\sqrt{5} \approx 111.80\,\text{cm}\).
- \(5\sqrt{5}\,\text{m} = 500\sqrt{5}\,\text{cm} \approx 1118\,\text{cm}\) — das wäre eine Raumdiagonale von rund 11 Metern, also rund 10× zu gross für das Aquarium. Korrekt ist \(50\sqrt{5}\,\text{cm}\). Die Pythagoras-Idee im Raum: \(d_R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) für einen Quader mit Kanten \(a, b, c\).
Zusammenfassung
Jedes Dreieck ist durch seine drei Innenwinkel und seine drei Seiten festgelegt — aber meistens reichen drei Bestimmungsstücke (z.B. SSS, SWS, WSW), um es eindeutig zu konstruieren. Innenwinkelsumme 180° und der Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck sind die zwei Werkzeuge, die in fast jeder Aufgabe vorkommen.
| Sachverhalt | Formel |
|---|---|
| Innenwinkelsumme | \( \alpha + \beta + \gamma = 180° \) |
| Aussenwinkelsumme | \( \alpha' + \beta' + \gamma' = 360° \) |
| Innen- und Aussenwinkel | \( \alpha + \alpha' = 180° \) (Nebenwinkel) |
| Aussenwinkelsatz | \( \alpha' = \beta + \gamma \) (jeder Aussenwinkel = Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel) |
| Umfang | \( U = a + b + c \) |
| Fläche | \( A = \tfrac{1}{2}\, g \cdot h \) |
| Pythagoras (mit \(\gamma = 90°\)) | \( a^2 + b^2 = c^2 \) |
| Kathetensatz | \( a^2 = p \cdot c,\quad b^2 = q \cdot c \) |
| Höhensatz | \( h^2 = p \cdot q \) |
| Halbes gleichseitiges Δ (30°-60°-90°) | Verhältnis \( 1 : \sqrt{3} : 2 \) |
| Halbes Quadrat (45°-45°-90°) | Verhältnis \( 1 : 1 : \sqrt{2} \) |
Zusatzmaterial
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