Ein Dreieck ist die einfachste geradlinig begrenzte Fläche der Ebene: drei nicht kollineare Eckpunkte \(A, B, C\), verbunden durch drei Seiten \(a = BC,\; b = CA,\; c = AB\), eingefasst von drei Innenwinkeln \(\alpha, \beta, \gamma\). Eine Seite heisst stets nach dem ihr gegenüberliegenden Eckpunkt.
Standard-Notation (links gegen den Uhrzeigersinn):
| Eckpunkt | gegenüberliegende Seite | Innenwinkel |
|---|---|---|
| \(A\) | \(a = BC\) | \(\alpha\) |
| \(B\) | \(b = CA\) | \(\beta\) |
| \(C\) | \(c = AB\) | \(\gamma\) |
Die Summe der Innenwinkel jedes Dreiecks beträgt \[\alpha + \beta + \gamma = 180°.\]
Der Beweis nutzt Wechselwinkel an einer Parallelen durch \(C\) zur Seite \(c\): die beiden „Aussenstücke" sind kongruent zu \(\alpha\) und \(\beta\); zusammen mit \(\gamma\) liegen sie auf einer gestreckten Geraden, ergeben also \(180°\).
Jeder Eckpunkt hat einen Aussenwinkel als Nebenwinkel des Innenwinkels: \(\alpha' = 180° - \alpha\). Es gilt zusätzlich der
Jeder Aussenwinkel ist gleich der Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel: \[\alpha' = \beta + \gamma.\]
| Typ | Charakterisierung | Folgerung |
|---|---|---|
| gleichschenklig | zwei Seiten gleich lang | Basiswinkel gleich gross |
| gleichseitig | alle drei Seiten gleich | alle Innenwinkel \(= 60°\) |
| rechtwinklig | ein Innenwinkel \(= 90°\) | Satz des Pythagoras gilt |
| spitzwinklig | alle Winkel \(< 90°\) | Höhenschnittpunkt im Innern |
| stumpfwinklig | ein Winkel \(> 90°\) | Höhenschnittpunkt aussen |
| Schnittpunkt | aus | besondere Eigenschaft |
|---|---|---|
| Höhenschnittpunkt \(H\) | drei Höhen | im Innern (spitz), auf \(C\) (rechtwinklig), aussen (stumpf) |
| Schwerpunkt \(S\) | drei Seitenhalbierenden | teilt jede im Verhältnis \(2:1\) (vom Eckpunkt) |
| Umkreismittelpunkt \(M_U\) | drei Mittelsenkrechten | gleich weit von allen Eckpunkten |
| Inkreismittelpunkt \(M_I\) | drei Winkelhalbierenden | gleich weit von allen Seiten |
Ein Dreieck ist eindeutig festgelegt, wenn drei seiner sechs Stücke (Seiten/Winkel) gegeben sind, die einem der vier Kongruenzsätze entsprechen:
| Satz | Gegeben | Bedingung |
|---|---|---|
| SSS | drei Seiten | Dreiecksungleichung erfüllt |
| SWS | zwei Seiten, eingeschlossener Winkel | — |
| WSW | eine Seite, zwei anliegende Winkel | Winkelsumme \(< 180°\) |
| SsW | zwei Seiten, Winkel gegenüber der grösseren | — |
Hier ist das Dreieck im Allgemeinen nicht eindeutig. Je nach Verhältnis \(b \cdot \sin\alpha\) zu \(a\) gibt es null, eine oder zwei Lösungen.
\[A = \tfrac{1}{2}\, g \cdot h,\] wobei \(g\) eine beliebige Grundseite und \(h\) die zugehörige Höhe ist (Lot auf \(g\) vom gegenüberliegenden Eckpunkt).
Für ein gleichseitiges Dreieck mit Seite \(s\): \(A = \dfrac{s^2 \sqrt{3}}{4}\).
Im rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei \(C\) gilt:
| Satz | Formel |
|---|---|
| Satz des Pythagoras | \(a^2 + b^2 = c^2\) |
| Kathetensatz | \(a^2 = p \cdot c,\quad b^2 = q \cdot c\) |
| Höhensatz | \(h^2 = p \cdot q\) |
Dabei sind \(p, q\) die Hypotenusenabschnitte (\(p + q = c\)) und \(h\) die Höhe auf der Hypotenuse.
30°-60°-90°-Dreieck (halbes gleichseitiges): Seitenverhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\).
45°-45°-90°-Dreieck (halbes Quadrat): Seitenverhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\).
Berühmte ganzzahlige Pythagoras-Tripel: \((3, 4, 5),\; (5, 12, 13),\; (8, 15, 17),\; (7, 24, 25)\).