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Aufgaben

1. In einem Dreieck ist \(\alpha = 52°\) und \(\beta = 71°\). Berechne den dritten Innenwinkel \(\gamma\).
2. In einem Dreieck gilt \(\alpha = 38°,\; \gamma = 90°\). Berechne den Aussenwinkel \(\beta'\) bei \(B\) auf zwei Wegen.
3. Ein gleichschenkliges Dreieck hat den Spitzenwinkel \(\gamma = 110°\). Wie gross sind die Basiswinkel \(\alpha\) und \(\beta\)?
4. Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge \(s = 6\,\text{cm}\). Berechne die Höhe \(h\) (exakt und gerundet auf 2 Nachkommastellen).
5. Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten \(a = 3\,\text{cm}\) und \(b = 4\,\text{cm}\). Berechne die Hypotenuse \(c\) und die Fläche \(A\).
6. Rechtwinkliges Dreieck mit \(c = 17\,\text{cm}\) und \(a = 8\,\text{cm}\). Berechne die zweite Kathete \(b\).
7. Ist das Dreieck mit \(a = 7,\; b = 24,\; c = 25\) rechtwinklig? Begründe.
8. Im rechtwinkligen Dreieck (\(\gamma = 90°\)) ist \(c = 10\,\text{cm}\) und der Hypotenusenabschnitt \(p = 3.6\,\text{cm}\). Berechne die Kathete \(a\) (Kathetensatz).
9. Im rechtwinkligen Dreieck mit \(p = 4\,\text{cm}\) und \(q = 9\,\text{cm}\): wie hoch ist \(h\) (Höhensatz)?
10. Bestimme die Diagonale eines Rechtecks mit Seiten \(5\,\text{cm}\) und \(12\,\text{cm}\).
11. Konstruierbar? Drei Seiten \(a = 3,\; b = 4,\; c = 8\). Begründe.
12. Welche Kongruenz-Bedingung liegt vor: \(a = 5,\; b = 4,\; \gamma = 60°\)?
13. Welche Kongruenz-Bedingung liegt vor: \(a = 8,\; \alpha = 35°,\; \beta = 70°\)?
14. Was ist der Schwerpunkt? Wie schneidet er die Seitenhalbierenden?
15. Welcher merkwürdige Punkt liegt beim rechtwinkligen Dreieck genau auf der Mitte der Hypotenuse?

Lösungen

1. \(\gamma = 180° - 52° - 71° = 57°\).
2. Über Nebenwinkel: \(\beta = 180° - 38° - 90° = 52°,\; \beta' = 180° - 52° = 128°\). Über Aussenwinkelsatz: \(\beta' = \alpha + \gamma = 38° + 90° = 128°\). ✓
3. \(\alpha = \beta = (180° - 110°)/2 = 35°\).
4. \(h = \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = \dfrac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5.20\,\text{cm}\).
5. \(c = \sqrt{9 + 16} = 5\,\text{cm}\). \(A = \tfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 4 = 6\,\text{cm}^2\).
6. \(b = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\,\text{cm}\). (8-15-17-Tripel.)
7. Ja: \(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2\). (Kehrsatz des Pythagoras.)
8. \(a^2 = p \cdot c = 3.6 \cdot 10 = 36\), also \(a = 6\,\text{cm}\).
9. \(h^2 = p \cdot q = 4 \cdot 9 = 36\), also \(h = 6\,\text{cm}\).
10. \(d = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}\).
11. Nein. Dreiecksungleichung: \(a + b = 3 + 4 = 7 < 8 = c\). Das Dreieck existiert nicht.
12. SWS (Seite, Winkel zwischen den Seiten, Seite) — eindeutig konstruierbar.
13. WSW (Seite und zwei anliegende Winkel; \(\gamma = 180° - 35° - 70° = 75°\)) — eindeutig konstruierbar.
14. Der Schwerpunkt \(S\) ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt jede Seitenhalbierende vom Eckpunkt aus im Verhältnis \(2:1\).
15. Der Umkreismittelpunkt \(M_U\). (Folgt aus dem Satz des Thales: jeder rechtwinklige Eckpunkt liegt auf dem Thaleskreis über der Hypotenuse.)