Sechs Anwendungsaufgaben aus Bauwesen, Architektur und Gestaltung. Mit ausführlichen Lösungen.
Ein Schwimmbecken hat die Form eines Trapezes (Draufsicht): die Längsseiten sind \(25.0\,\text{m}\) bzw. \(15.0\,\text{m}\) lang, die Querseiten je \(9.0\,\text{m}\), und die Tiefe in horizontaler Ebene (senkrechter Abstand der Längsseiten) beträgt \(7.5\,\text{m}\). Berechne (a) die Wasseroberfläche, (b) die Mittellinie des Trapezes, (c) den Umfang des Beckens.
Ein regelmässiges sechseckiges Bodenmosaik hat Seitenlänge \(s = 10\,\text{cm}\). Berechne (a) den Umfang, (b) den Apothem (Inkreisradius), (c) die Fläche. Vergleiche die Fläche mit der einer quadratischen Fliese gleicher Kantenlänge — wie viel Prozent mehr/weniger Bodenfläche bedeckt sie?
Ein Buntglasfenster hat die Form eines regelmässigen Achtecks, das in ein Quadrat einbeschrieben ist — die acht Achteck-Ecken liegen paarweise auf den vier Quadratseiten, sodass jede Quadratseite das Achteck an einer Seite berührt. Das umschriebene Quadrat hat Seitenlänge \(L = 120\,\text{cm}\). Berechne (a) den Apothem \(r\) und den Umkreisradius \(R\) des Achtecks (Tipp: \(\cos 22.5° \approx 0.9239\)), (b) die Seitenlänge \(s\) des Achtecks (Tipp: \(\sin 22.5° \approx 0.3827\) oder \(\tan 22.5° \approx 0.4142\)), (c) den Umfang des Achtecks.
Ein Werbetransparent in Drachenform hat Diagonalen \(e = 1.40\,\text{m}\) (horizontal) und \(f = 2.10\,\text{m}\) (vertikal); die kürzere Diagonale teilt die längere im Verhältnis \(2 : 5\) von oben gemessen. Berechne (a) die Fläche des Transparents, (b) die Längen der vier Seiten (Tipp: zwei rechtwinklige Dreiecke je Hälfte). (c) Wie lang ist der Umfang?
Ein Sehnenviereck in einem mittelalterlichen Fenster hat die Innenwinkel \(\alpha = 85°,\;\beta = 102°\). Berechne die fehlenden Innenwinkel. Welcher Spezialfall liegt vor, wenn zusätzlich \(\alpha = \delta\) gilt? Begründe.
Ein Aussichtspavillon hat einen Grundriss als regelmässiges Zwölfeck mit Umkreisradius \(R = 4.0\,\text{m}\). (a) Bestimme den Zentriwinkel und den Innenwinkel. (b) Berechne die Fläche näherungsweise mit \(\sin 15° \approx 0.2588\) und \(\cos 15° \approx 0.9659\). (c) Wie nahe kommt die Pavillon-Fläche der eines Kreises mit Radius \(R\)? Gib die Differenz in Prozent.
(a) Wasseroberfläche (Trapezfläche): \(A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h = \tfrac{1}{2}(25 + 15) \cdot 7.5 = \tfrac{1}{2} \cdot 40 \cdot 7.5 = \mathbf{150\,\text{m}^2}\).
(b) Mittellinie: \(m = \tfrac{1}{2}(25 + 15) = \mathbf{20\,\text{m}}\). Probe: \(A = m \cdot h = 20 \cdot 7.5 = 150\,\text{m}^2\). ✓
(c) Umfang: \(U = 25 + 15 + 9 + 9 = \mathbf{58\,\text{m}}\).
(a) \(U = 6s = 6 \cdot 10 = \mathbf{60\,\text{cm}}\).
(b) Apothem im regelmässigen Sechseck: Das Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke mit Seite \(s\). Der Apothem ist die Höhe eines dieser Dreiecke: \(r = \dfrac{s\sqrt{3}}{2} = \dfrac{10\sqrt{3}}{2} = \mathbf{5\sqrt{3} \approx 8.66\,\text{cm}}\).
(c) Sechseck-Fläche: \(A = 6 \cdot \tfrac{1}{2} s \cdot r = 3 \cdot 10 \cdot 5\sqrt{3} = 150\sqrt{3} \approx \mathbf{259.81\,\text{cm}^2}\). Alternativ: \(A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} s^2\).
Vergleich: Quadrat mit \(s = 10\,\text{cm}\) hat \(A_\square = 100\,\text{cm}^2\). Die Sechseck-Fliese deckt \(259.81 / 100 - 1 \approx \mathbf{+159.8\%}\) mehr Fläche ab — vereinfachte Zahl: rund \(2.6\) mal so viel wie das Quadrat gleicher Kantenlänge.
(a) Bei dieser Einbeschreibung berühren sich Quadrat und Achteck an vier Achteck-Seiten — die Mittellinien dieser Seiten gehen durch den Mittelpunkt. Damit ist der Apothem des Achtecks gleich dem halben Quadrat-Seitenmass: \(r = L/2 = \mathbf{60\,\text{cm}}\). Der Umkreisradius folgt aus \(r = R \cos 22.5°\), also \(R = r / \cos 22.5° \approx 60 / 0.9239 \approx \mathbf{64.94\,\text{cm}}\).
(b) Seitenlänge: \(s = 2R \cdot \sin 22.5° \approx 2 \cdot 64.94 \cdot 0.3827 \approx \mathbf{49.71\,\text{cm}}\). Alternativ direkt aus dem Apothem: \(s = 2r \cdot \tan 22.5° \approx 2 \cdot 60 \cdot 0.4142 \approx 49.70\,\text{cm}\) — gleicher Wert (Rundung).
(c) Umfang: \(U = 8s \approx 8 \cdot 49.71 \approx \mathbf{397.65\,\text{cm}}\).
(a) \(A = \tfrac{1}{2}\,e \cdot f = \tfrac{1}{2} \cdot 1.40 \cdot 2.10 = \mathbf{1.47\,\text{m}^2}\).
(b) Vertikale Diagonale \(f = 2.10\,\text{m}\), Aufteilung \(2 : 5\): die kürzere Diagonale schneidet \(f\) im Punkt mit Abstand \(\tfrac{2}{7} \cdot 2.10 = 0.60\,\text{m}\) von oben und \(\tfrac{5}{7} \cdot 2.10 = 1.50\,\text{m}\) von unten. Die horizontale Diagonale halbiert sich an diesem Punkt: \(e/2 = 0.70\,\text{m}\) je Seite.
Obere Seiten (zur Drachenspitze oben): \(a = \sqrt{0.70^2 + 0.60^2} = \sqrt{0.49 + 0.36} = \sqrt{0.85} \approx \mathbf{0.922\,\text{m}}\).
Untere Seiten: \(b = \sqrt{0.70^2 + 1.50^2} = \sqrt{0.49 + 2.25} = \sqrt{2.74} \approx \mathbf{1.655\,\text{m}}\).
(c) Umfang: \(U = 2(a + b) \approx 2 \cdot (0.922 + 1.655) = 2 \cdot 2.577 \approx \mathbf{5.15\,\text{m}}\).
Im Sehnenviereck ist \(\alpha + \gamma = 180°\) und \(\beta + \delta = 180°\).
Daraus: \(\gamma = 180° - 85° = \mathbf{95°}\) und \(\delta = 180° - 102° = \mathbf{78°}\).
Probe: \(\alpha + \beta + \gamma + \delta = 85 + 102 + 95 + 78 = 360°\). ✓
Fall \(\alpha = \delta\): Wenn ein Sehnenviereck zwei gleiche angrenzende Winkel \(\alpha = \delta\) hat (an einer der beiden Diagonalen), dann ist es ein gleichschenkliges Trapez. Begründung: aus \(\alpha = \delta\) und \(\alpha + \gamma = 180°,\;\beta + \delta = 180°\) folgt \(\beta + \alpha = 180°\) — also sind \(AB\) und \(DC\) parallel (die Winkel an Schenkel \(AD\) ergänzen sich auf \(180°\)). Aus \(\alpha = \delta\) folgt zusätzlich die Symmetrie senkrecht zu den Parallelen.
(a) \(\zeta_{12} = 360°/12 = \mathbf{30°}\); \(\alpha_{12} = 180° - 30° = \mathbf{150°}\).
(b) Seitenlänge \(s = 2R\,\sin 15° = 2 \cdot 4 \cdot 0.2588 \approx 2.071\,\text{m}\). Apothem \(r = R\,\cos 15° = 4 \cdot 0.9659 \approx 3.864\,\text{m}\).
Fläche: \(A = \tfrac{1}{2}\,U \cdot r = \tfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot s \cdot r = 6 \cdot 2.071 \cdot 3.864 \approx \mathbf{48.00\,\text{m}^2}\).
Kontrolle mit Formel \(A = \tfrac{1}{2}\,n \cdot R^2 \sin(2\pi/n) = 6 \cdot 16 \cdot \sin 30° = 96 \cdot 0.5 = 48.0\,\text{m}^2\). ✓
(c) Kreis mit Radius \(R = 4\,\text{m}\): \(A_\circ = \pi R^2 = 16\pi \approx 50.27\,\text{m}^2\).
Differenz: \((50.27 - 48.00) / 50.27 \approx 0.0451\) — der Zwölfeck-Pavillon ist etwa \(4.5\,\%\) kleiner als der entsprechende Vollkreis.