5.2b Vierecke
Die Familie der Vierecke bildet eine klare Hierarchie. Auf dieser Seite werden Eigenschaften, Diagonalen, Symmetrien sowie Umfang und Flächeninhalt aller Vierecksformen behandelt — zusätzlich die Sonderformen Sehnen- und Tangentenviereck sowie regelmässige Vielecke.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben
- deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen
Dreiecke werden in Teil 1 (g5-2a) behandelt, Kreis und Kreisteile in Teil 3 (g5-2c), zentrische Streckung und Ähnlichkeit in Teil 4 (g5-2d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die Vierecks-Familie (Quadrat, Rechteck, Raute, Parallelogramm, Trapez, Drachen) und ihre Hierarchie erklären.
- Ich kann die Innenwinkelsumme eines \(n\)-Ecks über die Zerlegung in Dreiecke herleiten.
- Ich kann Umfang und Flächeninhalt der Standard-Vierecke berechnen.
- Ich kann Flächenformeln durch Umformung zum Rechteck begründen.
- Ich kann Sehnen-, Tangentenvierecke und regelmässige Vielecke charakterisieren.
Einstieg — die Vierecks-Familie
Vierecke sind allgegenwärtig: Fensterrahmen, Bauteile, Grundstückspläne, Verpackungen. Anders als beim Dreieck (das durch drei Stücke immer eindeutig festgelegt ist), gibt es bei Vierecken eine ganze Familie von Spezialfällen — vom unscheinbaren allgemeinen Viereck bis zum streng symmetrischen Quadrat. Jede Spezialisierung fügt eine zusätzliche Bedingung hinzu (zum Beispiel „zwei Seiten parallel" beim Trapez, „alle Winkel rechtwinklig" beim Rechteck) und macht die Figur dadurch berechenbarer.
Eine zweite Art von Spezialisierung ergibt sich, wenn man ein Viereck in einen Kreis einschreibt oder um einen Kreis herumlegt: das führt zum Sehnenviereck und zum Tangentenviereck. Werden alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich gross, erhält man das regelmässige Vieleck — der natürliche Übergang vom Viereck zum Kreis.
Verschiebe die vier Eckpunkte des Vierecks unten und beobachte, welcher Typ dabei entsteht:
Aktueller Typ
- — ein Paar paralleler Seiten
- — zweites Paar paralleler Seiten
- — alle Seiten gleich lang
- — alle Winkel rechtwinklig
Was du siehst: Je mehr Eigenschaften gleichzeitig erfüllt sind, desto spezieller wird das Viereck. Das Quadrat hat alle vier Eigenschaften — es ist also gleichzeitig Rechteck, Raute, Parallelogramm und Trapez. Diese Hierarchie ist das Gerüst des ganzen Kapitels: Ausgehend vom allgemeinen Viereck werden schrittweise Bedingungen hinzugefügt, jede gibt eine zusätzliche Berechnungsformel oder Symmetrie.
Definition — Familie der Vierecke
Ein Viereck ist eine geschlossene Figur in der Ebene aus vier Eckpunkten \(A, B, C, D\) und vier Seiten \(a = AB,\; b = BC,\; c = CD,\; d = DA\). Die Innenwinkel werden mit \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) bezeichnet, die beiden Diagonalen mit \(e = AC\) und \(f = BD\).
Wie aus der Animation oben erkennbar, gilt für jedes einfache Viereck (ohne sich kreuzende Seiten) als Spezialfall \(n = 4\):
\[\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\]
Beweis: Jede Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. Beide Dreiecke haben Innenwinkelsumme \(180°\); die vier Innenwinkel des Vierecks setzen sich genau aus den sechs Dreieckswinkeln zusammen.
Darstellungen — n-Eck in Dreiecke zerlegen
Bevor wir Vierecke im Detail klassifizieren, ein didaktischer Umweg über das allgemeine n-Eck: Jedes n-Eck lässt sich durch Diagonalen von einem Eckpunkt aus in Dreiecke zerlegen — und weil jedes Dreieck Innenwinkelsumme \(180°\) hat, folgt die Innenwinkelsumme jedes n-Ecks direkt aus der Anzahl der Dreiecke. Wähle \(n\) zwischen 3 und 8.
| n | Dreiecke | \(\sigma_n\) |
|---|---|---|
| 3 | 1 | 180° |
| 4 | 2 | 360° |
| 5 | 3 | 540° |
| 6 | 4 | 720° |
| 7 | 5 | 900° |
| 8 | 6 | 1080° |
Stelle den Schieber auf \(n = 4\): zwei Dreiecke, Summe \(360°\). Damit wissen wir, was uns beim Viereck erwartet. Jetzt zur formalen Definition.
✏️ Mini-Check — Innenwinkelsumme im n-Eck
Die Innenwinkelsumme im \(n\)-Eck beträgt …
- \(n \cdot 180°\)
- \((n-2) \cdot 180°\)
- \((n-1) \cdot 180°\)
Lösung anzeigen
Ein Viereck zerfällt entlang einer Diagonalen in Dreiecke.
Lösung anzeigen
Wie gross ist die Innenwinkelsumme im Fünfeck?
Lösung anzeigen
Wie gross ist jeder Innenwinkel im regelmässigen Sechseck?
Lösungsweg anzeigen
Typen — die Vierecks-Hierarchie
Vierecke lassen sich strikt hierarchisch ordnen. Jede speziellere Form erbt alle Eigenschaften der allgemeineren und fügt eine zusätzliche Bedingung hinzu. Eine Spezialform ist immer auch eine Allgemeinform — ein Quadrat ist gleichzeitig Rechteck, Rhombus, Parallelogramm, Trapez und Viereck.
| Typ | Zusätzliche Bedingung | Folgerungen |
|---|---|---|
| allgemeines Viereck | — | Innenwinkelsumme \(360°\) |
| Trapez | ein Paar paralleler Seiten | Mittellinie \(m = \tfrac{1}{2}(a + c)\) |
| Parallelogramm | beide Seitenpaare parallel | Gegenseiten gleich lang, Diagonalen halbieren sich |
| Rechteck | Parallelogramm mit einem rechten Winkel | alle vier Winkel \(90°\), Diagonalen gleich lang |
| Rhombus (Raute) | Parallelogramm mit allen Seiten gleich | Diagonalen senkrecht, halbieren die Winkel |
| Quadrat | Rechteck und Rhombus zugleich | höchste Symmetrie: 4 Spiegelachsen, 4 Drehwinkel |
| Drachen | zwei Paar gleich langer benachbarter Seiten | eine Symmetrieachse, Diagonalen senkrecht |
Ein Rhombus ist ein Spezialfall des Drachens, bei dem zusätzlich die beiden Seitenpaare gleich lang sind (statt nur benachbarte). Jeder Rhombus ist also ein Drachen, aber nicht jeder Drachen ist ein Rhombus.
Sonderformen — Sehnen- und Tangentenviereck ↩ 5.2c
Ein Sehnenviereck hat alle vier Ecken auf einem gemeinsamen Kreis (dem Umkreis). Ein Tangentenviereck hat einen Inkreis, der alle vier Seiten berührt.
Sehnenviereck: \(\;\alpha + \gamma = 180°\) (gegenüberliegende Winkel ergänzen sich auf \(180°\)).
Tangentenviereck: \(\;a + c = b + d\) (Summen gegenüberliegender Seiten gleich).
Ein Viereck kann gleichzeitig Sehnen- und Tangentenviereck sein (ein bizentrisches Viereck). Das Quadrat ist das einfachste Beispiel. Die nachfolgende Animation 4 zeigt beide Sonderformen mit ziehbaren Ecken bzw. Berührungspunkten.
Regelmässige Vielecke
Ein regelmässiges n-Eck hat alle \(n\) Seiten gleich lang und alle \(n\) Innenwinkel gleich gross. Es ist gleichzeitig Sehnen- und Tangentenviereck (für \(n=4\)) bzw. allgemeiner Sehnen- und Tangenten-n-Eck: es passt in einen Umkreis und um einen Inkreis.
Mit Seitenlänge \(s\), Umkreisradius \(R\), Inkreisradius (Apothem) \(r\):
- Zentriwinkel (Winkel zwischen zwei Radien zu benachbarten Ecken): \(\;\zeta_n = \dfrac{360°}{n}\)
- Innenwinkel: \(\;\alpha_n = \dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 180° - \zeta_n\)
- Seitenlänge aus Umkreisradius: \(\;s = 2R \cdot \sin(\zeta_n/2)\)
- Inkreisradius aus Umkreisradius: \(\;r = R \cdot \cos(\zeta_n/2)\)
Für die drei Werte \(n = 3, 4, 6\) sind \(R\), \(r\) und \(s\) ohne Trigonometrie aus dem halben gleichseitigen Dreieck bzw. halben Quadrat ableitbar (siehe Animation 5 unten). Für andere Werte benötigt man die Winkelfunktionen aus Kapitel 5.3.
✏️ Mini-Check — Vierecks-Hierarchie
Jedes Quadrat ist zugleich …
- ein Rechteck und eine Raute
- nur ein Rechteck
- keines von beiden
Lösung anzeigen
Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein .
Lösung anzeigen
Ein Parallelogramm hat einen Innenwinkel von \(70°\). Wie gross sind die drei übrigen Winkel?
Lösung anzeigen
Warum stehen die «spezielleren» Figuren in der Hierarchie unten?
Lösungsweg anzeigen
Umfang und Flächeninhalt
Alle Flächenformeln der Vierecke leiten sich vom Rechteck \(A = a \cdot b\) ab. Die Strategie ist immer dieselbe: das Viereck wird durch Schneiden und Anbauen oder durch Drehspiegelung in ein flächengleiches Rechteck überführt. Die Anim 2 unten festigt die Basis-Formel \(A = a \cdot b\); die Anim 3 zeigt anschliessend die fünf Konstruktionen für Parallelogramm, Dreieck (zum Vergleich), Trapez, Raute und Drachen.
| Form | Umfang | Flächeninhalt |
|---|---|---|
| Quadrat (Seite \(a\)) | \(U = 4a\) | \(A = a^2\) |
| Rechteck (Seiten \(a, b\)) | \(U = 2(a + b)\) | \(A = a \cdot b\) |
| Parallelogramm (\(a\) = Grundseite, \(b\) = zweite Seite, \(h\) = Höhe zu \(a\)) | \(U = 2(a + b)\) | \(A = a \cdot h\) |
| Trapez (Parallelseiten \(a, c\), Höhe \(h\)) | \(U = a + b + c + d\) | \(A = \tfrac{1}{2}(a+c) \cdot h\) |
| Rhombus (Seite \(a\), Diagonalen \(e, f\)) | \(U = 4a\) | \(A = \tfrac{1}{2}\, e \cdot f\) |
| Drachen (Seitenpaare \(a, b\); Diagonalen \(e, f\)) | \(U = 2(a + b)\) | \(A = \tfrac{1}{2}\, e \cdot f\) |
Wähle Länge und Breite mit den Schiebern; das Einheitsquadrat-Raster macht die Formel \(A = a \cdot b\) anschaulich (Fläche = Anzahl der Einheitsquadrate).
Bei allen anderen Vierecken nutzen wir das Rechteck als Referenz. Die folgende Animation zeigt für jede der fünf Figuren (Parallelogramm, Dreieck, Trapez, Raute, Drachen) die Konstruktion zum Rechteck. Figur per Chip wählen, dann den Schieber bedienen.
Scherung — dieselbe Fläche, andere Form
In der Flächenformel \(A = \tfrac{1}{2}(a+c) \cdot h\) kommen nur die Höhe und die beiden Parallelseiten vor. Die obere Parallelseite darf also beliebig weit seitlich verschoben werden — man nennt das eine Scherung — ohne dass sich die Fläche ändert. Der Umfang ändert sich dabei sehr wohl.
Drachen — warum die Diagonalen-Teilung egal ist
Beim Drachen und beim Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Die Querdiagonale \(f\) wird von der Symmetrieachse \(e\) halbiert — aber \(f\) muss \(e\) nicht halbieren. Verschiebe den Schnittpunkt und beobachte, was mit Fläche, Seiten und Form geschieht.
Sehnen- und Tangentenviereck im Kreis
Ziehe die Eckpunkte (Sehnenviereck) bzw. die Berührungspunkte (Tangentenviereck) auf dem Kreis. Die Animation zeigt live die charakteristischen Werte: für das Sehnenviereck die Summen gegenüberliegender Innenwinkel (müssen \(180°\) sein), für das Tangentenviereck die Summen gegenüberliegender Seiten (müssen gleich sein).
Regelmässiges Vieleck
Wähle \(n\) zwischen 3 und 20. Das Vieleck wird mit Umkreis (Radius \(R = 1\)) und Inkreis (Apothem \(r\)) gezeichnet. Die Tabelle daneben zeigt für jeden Wert \(n\) den Zentriwinkel, den Innenwinkel sowie \(R\) und \(r\). Die grün markierten Zeilen sind die Fälle (\(n = 3, 4, 6\)), in denen sich alle Werte ohne Trigonometrie aus dem halben gleichseitigen Dreieck oder dem halben Quadrat ableiten lassen.
| n | \(\zeta_n\) | \(\alpha_n\) | \(r\) | \(s\) |
|---|
grün: ohne Trigonometrie ableitbar
Die schöne Formel \(d = s\cdot\sqrt{2}\) für die Diagonale gilt nur im Quadrat (alle Seiten gleich \(s\)). Beim Rechteck mit Länge \(l\) und Breite \(b\) ist die Diagonale \(d = \sqrt{l^2 + b^2}\) — ohne den \(\sqrt{2}\)-Faktor. Wer auswendig „Diagonale = Seite mal Wurzel zwei" weiss, ohne den Spezialfall zu kennen, kommt bei jedem nicht-quadratischen Rechteck auf einen falschen Wert.
Beim Trapez \(A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h\) ist \(h\) die senkrechte Höhe zwischen den beiden Parallelseiten — nicht die schräge Schenkel-Länge. Bei einem gleichschenkligen Trapez mit Schenkel \(s\), Parallelseiten \(a\) und \(c\): die Höhe ergibt sich aus dem Pythagoras-Halbdreieck zu \(h = \sqrt{s^2 - \left(\tfrac{a-c}{2}\right)^2}\). Schräge Seite als Höhe einzusetzen, überschätzt die Fläche.
✏️ Mini-Check — Umfang und Fläche
Die Parallelogramm-Fläche ist …
- \(a \cdot b\)
- \(g \cdot h\)
- \(\tfrac{g \cdot h}{2}\)
Lösung anzeigen
Beim Trapez wird die der parallelen Seiten mit der Höhe multipliziert.
Lösung anzeigen
Trapez: \(a = 6\), \(c = 4\), \(h = 3\) — Fläche?
Lösung anzeigen
Parallelogramm mit \(g = 8\), \(h = 5\): Fläche — und warum ist die schräge Seite irrelevant?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Sieben Aufgaben zur ganzen Bandbreite: Winkel, Hierarchie, Flächenformeln, Sehnen-/Tangentenviereck, regelmässige Vielecke, Anwendung. Lösungen sind ausklappbar.
Bestimme die Innenwinkelsumme:
- im Zwölfeck
- im 100-Eck
- Ein regelmässiges n-Eck hat Innenwinkel \(150°\). Wie viele Ecken hat es?
- \(\sigma_{12} = (12 - 2) \cdot 180° = 10 \cdot 180° = \mathbf{1800°}\).
- \(\sigma_{100} = (100 - 2) \cdot 180° = 98 \cdot 180° = \mathbf{17\,640°}\).
- Innenwinkel im regelmässigen n-Eck: \(\alpha_n = \dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 150°\). Auflösen:
\((n-2) \cdot 180° = 150° \cdot n \;\Rightarrow\; 180n - 360 = 150n \;\Rightarrow\; 30n = 360 \;\Rightarrow\; \mathbf{n = 12}\). Ein regelmässiges Zwölfeck.
Welche Aussagen sind wahr? Begründe kurz.
- Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
- Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
- Jeder Rhombus ist ein Quadrat.
- Jedes Parallelogramm ist ein Trapez.
- Jeder Drachen ist ein Rhombus.
- Wahr. Ein Quadrat ist ein Rechteck mit zusätzlich gleichen Seiten.
- Wahr. Ein Rechteck hat per Definition zwei Paar paralleler Seiten.
- Falsch. Ein Rhombus hat alle Seiten gleich, aber nicht zwangsläufig rechte Winkel. Erst mit rechten Winkeln wird er zum Quadrat.
- Wahr. Ein Parallelogramm hat sogar zwei Paare paralleler Seiten — also erst recht ein Paar (Definition Trapez).
- Falsch. Ein Drachen hat zwei Paare benachbarter gleich langer Seiten — die beiden Paare müssen aber nicht gleich lang sein. Beim Rhombus sind alle vier Seiten gleich. Jeder Rhombus ist Drachen, aber nicht umgekehrt.
Die Aussage „Jedes Parallelogramm ist ein Trapez" gilt in der inklusiven Definition (Trapez = Viereck mit mindestens einem Paar paralleler Seiten) — so wird Trapez in diesem Lehrmittel, in der Schweizer Schul-Geometrie sowie im englischsprachigen Raum verstanden. In manchen älteren DACH-Lehrbüchern findet sich die exklusive Definition (Trapez = Viereck mit genau einem Paar paralleler Seiten); nach dieser wäre ein Parallelogramm kein Trapez. Die Hierarchie-Tabelle oben (Quadrat → Rechteck → Parallelogramm → Trapez → Viereck) funktioniert nur mit der inklusiven Definition — und liefert dafür den klaren Vorteil, dass jede Spezialform alle Eigenschaften ihrer Oberklassen erbt.
Drei Vierecke haben dieselbe Grundseite \(g = 12\,\text{cm}\) und Höhe \(h = 5\,\text{cm}\):
- Ein Rechteck \(12\,\text{cm} \times 5\,\text{cm}\).
- Ein Parallelogramm mit Grundseite \(12\,\text{cm}\) und Höhe \(5\,\text{cm}\) (Schenkel \(6\,\text{cm}\)).
- Ein Trapez mit Parallelseiten \(15\,\text{cm}\) und \(9\,\text{cm}\) und Höhe \(5\,\text{cm}\).
Berechne jeweils die Fläche. Was beobachtest Du?
- \(A = 12 \cdot 5 = \mathbf{60\,\text{cm}^2}\).
- \(A = g \cdot h = 12 \cdot 5 = \mathbf{60\,\text{cm}^2}\). (Der Schenkel taucht nicht in der Flächenformel auf!)
- \(A = \tfrac{1}{2}(a+c) \cdot h = \tfrac{1}{2}(15 + 9) \cdot 5 = \tfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 5 = \mathbf{60\,\text{cm}^2}\).
Beobachtung: Alle drei Flächen sind gleich gross. Das Trapez hat in Aufgabe 3) die Mittellinie \(m = \tfrac{1}{2}(15+9) = 12\,\text{cm}\) — genau die Grundseite der ersten beiden Figuren. Die Mittellinie eines Trapezes spielt also die Rolle einer „effektiven Grundseite".
Beantworte:
- Ein Sehnenviereck hat die Winkel \(\alpha = 78°\), \(\beta = 95°\), \(\gamma = 102°\). Bestimme \(\delta\). Prüfe Konsistenz.
- Ein Tangentenviereck hat Seiten \(a = 7\,\text{cm}\), \(b = 4\,\text{cm}\), \(c = 5\,\text{cm}\). Bestimme \(d\).
- Welcher der folgenden ist kein Sehnenviereck: Quadrat, Rechteck, allgemeines Parallelogramm, gleichschenkliges Trapez?
- Bedingung Sehnenviereck: \(\alpha + \gamma = 180°\). Probe: \(78° + 102° = 180°\). ✓ Also auch \(\beta + \delta = 180°\), daraus \(\delta = 180° - 95° = \mathbf{85°}\). Kontrolle Winkelsumme: \(78 + 95 + 102 + 85 = 360°\). ✓
- Bedingung Tangentenviereck: \(a + c = b + d\). Auflösen: \(d = a + c - b = 7 + 5 - 4 = \mathbf{8\,\text{cm}}\).
- Allgemeines Parallelogramm. Begründung: Im Parallelogramm gilt \(\alpha + \beta = 180°\) (zusammenliegende Winkel an parallelen Seiten). Sehnenviereck-Bedingung \(\alpha + \gamma = 180°\) zusätzlich erforderlich; im Parallelogramm ist aber \(\gamma = \alpha\) (Gegenwinkel gleich). Aus beidem würde \(2\alpha = 180°\), also \(\alpha = 90°\) folgen — das wäre dann ein Rechteck. Daher: Rechteck (und damit auch Quadrat) ist Sehnenviereck; gleichschenkliges Trapez ist Sehnenviereck (Symmetrieargument); ein allgemeines Parallelogramm aber nicht.
Ein regelmässiges Sechseck hat den Umkreisradius \(R = 4\,\text{cm}\). Bestimme:
- den Zentriwinkel \(\zeta_6\) und den Innenwinkel \(\alpha_6\)
- die Seitenlänge \(s\) (begründe, warum hier keine Trigonometrie nötig ist)
- den Inkreisradius \(r\) (Apothem)
- den Umfang \(U\) und die Fläche \(A\)
- \(\zeta_6 = 360°/6 = \mathbf{60°}\). \(\alpha_6 = 180° - 60° = \mathbf{120°}\).
- Das Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke mit Seite \(R\) (das Bestimmungsdreieck ist gleichschenklig mit Spitzwinkel \(60°\) — also gleichseitig). Daher \(s = R = \mathbf{4\,\text{cm}}\). Keine Trigonometrie nötig.
- Der Inkreisradius ist die Höhe eines dieser gleichseitigen Dreiecke: \(r = \dfrac{s \sqrt{3}}{2} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = \mathbf{2\sqrt{3} \approx 3.46\,\text{cm}}\).
- Umfang: \(U = 6s = \mathbf{24\,\text{cm}}\). Fläche: Sechs gleichseitige Dreiecke, jedes mit Fläche \(\tfrac{s^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\). Also \(A = 6 \cdot 4\sqrt{3} = \mathbf{24\sqrt{3} \approx 41.57\,\text{cm}^2}\).
Ein Grundstück hat die Form eines Trapezes. Die strassenseitige Grundseite ist \(28\,\text{m}\) lang, die parallele Rückseite \(20\,\text{m}\), die Tiefe (senkrecht zur Strasse) beträgt \(35\,\text{m}\). Berechne:
- die Grundstücksfläche
- die Länge der Mittellinie (= Tiefe in der „mittleren Breite")
- den Preis bei einem Bodenpreis von \(420\,\text{CHF/m}^2\)
- \(A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h = \tfrac{1}{2}(28 + 20) \cdot 35 = \tfrac{1}{2} \cdot 48 \cdot 35 = \mathbf{840\,\text{m}^2}\).
- Mittellinie: \(m = \tfrac{1}{2}(a + c) = \tfrac{1}{2}(28 + 20) = \mathbf{24\,\text{m}}\). Probe über die Fläche: \(A = m \cdot h = 24 \cdot 35 = 840\,\text{m}^2\). ✓
- Preis: \(840 \cdot 420 = \mathbf{352\,800\,\text{CHF}}\).
Ein Drachen (Viereck mit zwei Paaren gleicher benachbarter Seiten) wird durch zwei senkrechte Diagonalen aufgebaut. Die horizontale Diagonale ist 60 cm lang, die vertikale 80 cm lang. Der Schnittpunkt der Diagonalen teilt die vertikale Diagonale im Verhältnis \(1:3\) (von oben).
- Berechne die Längen der vier Drachenseiten
- Welche Symmetrie hat das Viereck?
- Berechne die Fläche
- Vertikale Diagonale 80 cm im Verhältnis \(1:3\) → oberer Teil \(20\,\text{cm}\), unterer Teil \(60\,\text{cm}\). Horizontale Diagonale halbiert (Drachen-Eigenschaft): je \(30\,\text{cm}\) links und rechts. Die zwei oberen Seiten: \(\sqrt{30^2 + 20^2} = \sqrt{1300} \approx 36.06\,\text{cm}\). Die zwei unteren Seiten: \(\sqrt{30^2 + 60^2} = \sqrt{4500} \approx 67.08\,\text{cm}\).
- Achsensymmetrisch zur vertikalen Diagonale. Die horizontale Diagonale ist keine Symmetrieachse, weil sie das Viereck in asymmetrische Hälften teilt.
- Drachenflächen-Formel: \(A = \tfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \tfrac{1}{2} \cdot 60 \cdot 80 = 2400\,\text{cm}^2\). Die Aufteilung der Diagonalen spielt für die Fläche keine Rolle.
Zusammenfassung
Im n-Eck beträgt die Innenwinkelsumme \((n-2) \cdot 180°\) — das gilt universell, weil sich jedes n-Eck in \(n-2\) Dreiecke zerlegen lässt. Bei den speziellen Vierecken (Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Rhombus, Trapez) hilft die Hierarchie beim Beweisen: ein Quadrat ist immer auch Rechteck, Rhombus, Parallelogramm und Trapez — was für die obere Klasse gilt, gilt auch für die unteren.
| Sachverhalt | Formel |
|---|---|
| Innenwinkelsumme im Viereck | \( \alpha + \beta + \gamma + \delta = 360° \) |
| Innenwinkelsumme im n-Eck | \( \sigma_n = (n-2) \cdot 180° \) |
| Mittellinie im Trapez | \( m = \tfrac{1}{2}(a + c) \) |
| Fläche Parallelogramm | \( A = g \cdot h \) |
| Fläche Trapez | \( A = \tfrac{1}{2}(a + c) \cdot h = m \cdot h \) |
| Fläche Rhombus / Drachen | \( A = \tfrac{1}{2}\, e \cdot f \) |
| Sehnenviereck | \( \alpha + \gamma = 180°,\;\; \beta + \delta = 180° \) |
| Tangentenviereck | \( a + c = b + d \) |
| Regelmässiges n-Eck — Zentriwinkel | \( \zeta_n = 360°/n \) |
| Regelmässiges n-Eck — Innenwinkel | \( \alpha_n = 180° - \zeta_n \) |
| Regelmässiges n-Eck — Seitenlänge | \( s = 2R \sin(\zeta_n/2) \) |
| Regelmässiges n-Eck — Inkreisradius | \( r = R \cos(\zeta_n/2) \) |
Zusatzmaterial
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