Ein Viereck hat vier Eckpunkte \(A, B, C, D\), vier Seiten \(a = AB,\; b = BC,\; c = CD,\; d = DA\), vier Innenwinkel \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) und zwei Diagonalen \(e = AC,\; f = BD\).
\[\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360°\]
Beweis: Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke, die zusammen \(2 \cdot 180° = 360°\) ergeben.
Allgemein für das n-Eck (ab Dreieck): \(\sigma_n = (n-2) \cdot 180°\). Diagonalen vom Eckpunkt \(A\) aus zerlegen es in \(n - 2\) Dreiecke.
| Typ | Zusätzliche Bedingung | Eigenschaften |
|---|---|---|
| allgemeines Viereck | — | \(\alpha+\beta+\gamma+\delta = 360°\) |
| Trapez | ein Paar paralleler Seiten | Mittellinie \(m = \tfrac{1}{2}(a+c)\) |
| Parallelogramm | beide Seitenpaare parallel | Gegenseiten gleich; Diagonalen halbieren sich |
| Rechteck | Parallelogramm mit einem 90°-Winkel | alle Winkel 90°; Diagonalen gleich lang |
| Rhombus | Parallelogramm mit allen Seiten gleich | Diagonalen senkrecht, halbieren die Winkel |
| Quadrat | Rechteck und Rhombus zugleich | höchste Symmetrie |
| Drachen | zwei Paar gleicher benachbarter Seiten | eine Symmetrieachse, Diagonalen senkrecht |
| Form | Umfang | Fläche |
|---|---|---|
| Quadrat (\(a\)) | \(4a\) | \(a^2\) |
| Rechteck (\(a, b\)) | \(2(a+b)\) | \(a \cdot b\) |
| Parallelogramm (\(a\) = Seite, \(g\) = Grundseite, \(h\) = Höhe) | \(2(a+b)\) | \(g \cdot h\) |
| Trapez (\(a, c\) parallel, \(h\) Höhe) | \(a+b+c+d\) | \(\tfrac{1}{2}(a+c)\cdot h\) |
| Rhombus (Seite \(a\), Diagonalen \(e, f\)) | \(4a\) | \(\tfrac{1}{2}\,e \cdot f\) |
| Drachen (Seitenpaare \(a, b\); Diagonalen \(e, f\)) | \(2(a+b)\) | \(\tfrac{1}{2}\,e \cdot f\) |
Die Mittellinie ist die Strecke, die die Mittelpunkte der nicht-parallelen Schenkel verbindet:
\[m = \tfrac{1}{2}(a + c),\qquad A_{\text{Trapez}} = m \cdot h.\]
Alle vier Eckpunkte liegen auf einem gemeinsamen Kreis (dem Umkreis).
Charakterisierung: \[\alpha + \gamma = 180°,\qquad \beta + \delta = 180°\] (gegenüberliegende Innenwinkel ergänzen sich auf \(180°\)).
Es gibt einen Inkreis, der alle vier Seiten berührt.
Charakterisierung: \[a + c = b + d\] (Summen gegenüberliegender Seiten gleich).
Ein Viereck kann gleichzeitig Sehnen- und Tangentenviereck sein (bizentrisch). Das Quadrat ist das einfachste Beispiel.
Ein regelmässiges n-Eck hat alle \(n\) Seiten gleich lang und alle \(n\) Innenwinkel gleich gross. Es hat einen Umkreis (Radius \(R\)) und einen Inkreis (Radius \(r\), auch Apothem genannt).
| Grösse | Formel |
|---|---|
| Zentriwinkel | \(\zeta_n = \dfrac{360°}{n}\) |
| Innenwinkel | \(\alpha_n = \dfrac{(n-2) \cdot 180°}{n} = 180° - \zeta_n\) |
| Seitenlänge | \(s = 2R \cdot \sin(\zeta_n/2)\) |
| Inkreisradius (Apothem) | \(r = R \cdot \cos(\zeta_n/2)\) |
| Umfang | \(U = n \cdot s\) |
| Fläche | \(A = \tfrac{1}{2}\,U \cdot r = n \cdot \tfrac{1}{2}\,s \cdot r\) |
n = 3 (gleichseitiges Dreieck): \(\zeta_3 = 120°,\;\alpha_3 = 60°,\;r = R/2,\;s = R\sqrt{3}\).
n = 4 (Quadrat): \(\zeta_4 = 90°,\;\alpha_4 = 90°,\;r = R\sqrt{2}/2,\;s = R\sqrt{2}\).
n = 6 (Sechseck): \(\zeta_6 = 60°,\;\alpha_6 = 120°,\;r = R\sqrt{3}/2,\;s = R\) (das Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke mit Seite \(R\)).
Alle drei folgen aus dem halben gleichseitigen Dreieck (Verhältnis \(1 : \sqrt{3} : 2\)) oder dem halben Quadrat (Verhältnis \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).