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Aufgaben

1. Berechne die Innenwinkelsumme im Sechseck.
2. Ein konvexes n-Eck hat Innenwinkelsumme \(1620°\). Wie viele Ecken hat es?
3. In einem Viereck sind drei Innenwinkel \(72°,\;108°,\;91°\). Wie gross ist der vierte?
4. Rechteck mit Seiten \(a = 12\,\text{cm},\;b = 5\,\text{cm}\). Berechne Umfang, Fläche und Diagonalenlänge.
5. Parallelogramm mit Grundseite \(g = 8\,\text{cm}\), Schenkel \(b = 6\,\text{cm}\) und Höhe \(h = 4\,\text{cm}\). Berechne \(U\) und \(A\).
6. Trapez: Parallelseiten \(a = 14,\;c = 8\,\text{cm}\), Höhe \(h = 6\,\text{cm}\). Berechne Mittellinie und Fläche.
7. Rhombus mit Diagonalen \(e = 12\,\text{cm},\;f = 9\,\text{cm}\). Berechne Fläche und Seitenlänge.
8. Drachen mit Diagonalen \(e = 10\,\text{cm},\;f = 14\,\text{cm}\). Wie gross ist die Fläche?
9. Welche Aussage ist falsch: (a) Jedes Quadrat ist ein Rhombus. (b) Jeder Drachen ist ein Rhombus. (c) Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm. (d) Jedes Quadrat ist ein Trapez.
10. Im Sehnenviereck ist \(\alpha = 65°\). Wie gross ist \(\gamma\)?
11. Tangentenviereck mit \(a = 9,\;b = 6,\;d = 7\). Bestimme \(c\).
12. Innenwinkel im regelmässigen Achteck?
13. Regelmässiges Sechseck mit \(R = 5\,\text{cm}\). Bestimme \(s\) und \(r\) (exakt).
14. Wie viele Diagonalen hat das Achteck insgesamt? (Tipp: vom Eckpunkt gehen \(n - 3\) Diagonalen aus.)
15. Welcher der folgenden ist kein Tangentenviereck: Quadrat, Rhombus, Rechteck (mit \(a \neq b\)), Drachen?

Lösungen

1. \(\sigma_6 = (6-2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = \mathbf{720°}\).
2. \((n-2)\cdot 180° = 1620° \Rightarrow n - 2 = 9 \Rightarrow \mathbf{n = 11}\) (Elfeck).
3. \(\delta = 360° - 72° - 108° - 91° = \mathbf{89°}\).
4. \(U = 2(12+5) = 34\,\text{cm};\; A = 12 \cdot 5 = 60\,\text{cm}^2;\; d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = \mathbf{13\,\text{cm}}\).
5. \(U = 2(g + b) = 2(8 + 6) = 28\,\text{cm};\; A = g \cdot h = 8 \cdot 4 = \mathbf{32\,\text{cm}^2}\). (Achtung: \(b\) ist Schenkel, nicht Höhe!)
6. \(m = \tfrac{1}{2}(14 + 8) = 11\,\text{cm};\; A = m \cdot h = 11 \cdot 6 = \mathbf{66\,\text{cm}^2}\).
7. \(A = \tfrac{1}{2}\cdot 12 \cdot 9 = 54\,\text{cm}^2\). Seite: halbe Diagonalen sind \(6\) und \(4.5\,\text{cm}\), Pythagoras \(\Rightarrow a = \sqrt{36 + 20.25} = \sqrt{56.25} = \mathbf{7.5\,\text{cm}}\).
8. \(A = \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 14 = \mathbf{70\,\text{cm}^2}\).
9. (b) falsch. Ein Drachen muss nicht alle Seiten gleich haben — nur paarweise benachbarte. Erst wenn alle vier Seiten gleich sind, wird der Drachen zum Rhombus.
10. Im Sehnenviereck gilt \(\alpha + \gamma = 180°\), also \(\gamma = 180° - 65° = \mathbf{115°}\).
11. Im Tangentenviereck \(a + c = b + d\), daher \(c = b + d - a = 6 + 7 - 9 = \mathbf{4}\).
12. \(\alpha_8 = (8-2)\cdot 180°/8 = 1080°/8 = \mathbf{135°}\).
13. Sechseck: \(s = R = \mathbf{5\,\text{cm}}\) (sechs gleichseitige Dreiecke), \(r = R\sqrt{3}/2 = \mathbf{5\sqrt{3}/2 \approx 4.33\,\text{cm}}\).
14. Anzahl Diagonalen im n-Eck: \(\dfrac{n(n-3)}{2}\). Für \(n = 8\): \(\dfrac{8 \cdot 5}{2} = \mathbf{20}\) Diagonalen.
15. Rechteck mit \(a \neq b\) ist kein Tangentenviereck. Probe: \(a + c = a + a = 2a\), aber \(b + d = b + b = 2b\). Aus \(2a = 2b\) folgt \(a = b\) — was ein Quadrat wäre. Quadrat, Rhombus und Drachen sind Tangentenvierecke.