Sechs Aufgaben aus realen Anwendungskontexten. Vor dem Rechnen jeweils eine Skizze anfertigen!
Eine Pizzeria bietet zwei Grössen an: Klein mit Durchmesser \(26\,\text{cm}\) für CHF 14, Gross mit Durchmesser \(40\,\text{cm}\) für CHF 28. Welche Grösse bietet mehr Pizza pro Franken?
Klein: \(A_K = \pi \cdot 13^2 = 169\pi \approx 530.9\,\text{cm}^2\); Preis pro \(\text{cm}^2\): \(14 / 530.9 \approx \mathbf{0.0264}\) CHF/cm².
Gross: \(A_G = \pi \cdot 20^2 = 400\pi \approx 1256.6\,\text{cm}^2\); Preis: \(28 / 1256.6 \approx \mathbf{0.0223}\) CHF/cm².
Die grosse Pizza ist pro Fläche rund 16 % günstiger (genau \((0.0264 - 0.0223)/0.0264 \approx 15.5\,\%\)). Klassische „Flächeneffekt": Doppelter Durchmesser → vierfache Fläche bei nur doppeltem Preis.
Ein Velo-Rad hat Durchmesser \(d = 70\,\text{cm}\). Wie viele Umdrehungen macht das Rad bei einer Fahrt von \(5\,\text{km}\)? Wie schnell dreht es sich bei \(25\,\text{km/h}\) (in U/min)?
Umfang: \(U = \pi \cdot 0.70 \approx 2.1991\,\text{m}\).
Anzahl Umdrehungen: \(N = \dfrac{5000\,\text{m}}{2.1991\,\text{m}} \approx \mathbf{2274}\) Umdrehungen.
Bei \(v = 25\,\text{km/h} = 25000/3600 \approx 6.944\,\text{m/s}\): pro Sekunde \(6.944 / 2.1991 \approx 3.158\) Umdrehungen, also \(3.158 \cdot 60 \approx \mathbf{189.5}\) U/min.
Ein kreisförmiger Brunnen mit Radius \(r = 3.5\,\text{m}\) soll am Rand mit 12 gleichen Sektor-Mosaiken belegt werden — abwechselnd blau und weiss. Wie gross ist die Fläche eines Mosaiks, und wie lang ist sein Bogen?
Zentriwinkel: \(\varphi = 360° / 12 = 30°\) pro Mosaik.
Bogenlänge: \(b = \dfrac{r \pi \varphi}{180°} = \dfrac{3.5 \pi \cdot 30}{180} = \dfrac{3.5\pi}{6} \approx \mathbf{1.833\,\text{m}}\).
Sektorfläche: \(A_{SK} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \dfrac{12.25 \pi \cdot 30}{360} \approx \mathbf{3.207\,\text{m}^2}\).
Kontrolle: 12 Mosaiken sollten den Vollkreis ergeben: \(12 \cdot 3.207 = 38.48\,\text{m}^2\); Vollkreis: \(\pi \cdot 12.25 \approx 38.48\,\text{m}^2\). ✓
In einem Park gibt es ein kreisförmiges Beet mit Durchmesser \(d_B = 4\,\text{m}\), umgeben von einer kreisringförmigen Kiesfläche mit Breite \(b = 1.5\,\text{m}\). Berechne die Kiesfläche und den Umfang des äusseren Randes (Material für die Randsteine).
Innenradius: \(r = 2.0\,\text{m}\); Aussenradius: \(R = 2.0 + 1.5 = 3.5\,\text{m}\).
Kiesfläche: \(A = (R^2 - r^2)\pi = (12.25 - 4)\pi = 8.25\pi \approx \mathbf{25.92\,\text{m}^2}\).
Kontrolle: \(r_m = (3.5 + 2.0)/2 = 2.75\,\text{m}\); \(A = 2\pi r_m b = 2\pi \cdot 2.75 \cdot 1.5 = 8.25\pi\). ✓
Aussenumfang: \(U = 2\pi R = 7\pi \approx \mathbf{21.99\,\text{m}}\).
Ein Logo besteht aus einem Kreis mit Radius \(r = 6\,\text{cm}\), aus dem ein Segment mit Zentriwinkel \(\varphi = 120°\) ausgespart ist. Berechne die verbleibende Fläche (Vollkreis minus ein Segment).
Vollkreis: \(A_{Kreis} = \pi r^2 = 36\pi \approx 113.10\,\text{cm}^2\).
Segment: Sehne \(s = 2r\sin 60° = 12 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10.392\,\text{cm}\). Höhe \(h = r(1 - \cos 60°) = 6 \cdot 0.5 = 3\,\text{cm}\). \(r - h = 3\,\text{cm}\).
Sektorfläche: \(A_{Sek} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \dfrac{36\pi \cdot 120}{360} = 12\pi \approx 37.70\,\text{cm}^2\).
Dreieckfläche: \(A_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\,s(r - h) = \tfrac{1}{2} \cdot 10.392 \cdot 3 \approx 15.588\,\text{cm}^2\).
Segmentfläche: \(A_{SG} \approx 37.70 - 15.59 = 22.11\,\text{cm}^2\).
Logo-Fläche: \(A_{Kreis} - A_{SG} \approx 113.10 - 22.11 \approx \mathbf{90.99\,\text{cm}^2}\).
Berechne die Schranken für \(\pi\) aus einbeschriebenem und umschriebenem regelmässigem 12-Eck im Einheitskreis (\(d = 1\)). Wie viele Nachkommastellen sind dadurch gesichert?
Mit \(r = 1/2\) (Einheitskreis):
Einbeschrieben: Seitenlänge \(s_{12} = 2r \sin(180°/12) = \sin 15° \approx 0.258819\). Umfang: \(u_{12} = 12 \cdot 0.258819 \approx 3.10583\).
Umschrieben: \(S_{12} = 2r \tan(180°/12) = \tan 15° \approx 0.267949\). Umfang: \(U_{12} = 12 \cdot 0.267949 \approx 3.21539\).
Mit \(d = 1\): \(\mathbf{3.10583 < \pi < 3.21539}\). Nur die Stelle „3.1" ist sicher → 1 Nachkommastelle gesichert.
Verdopplung der Eckenzahl auf 24 liefert: \(3.13263 < \pi < 3.15966\) — 1 weitere Stelle. Mit 96-Eck (Archimedes) erreichst du \(3.1408 < \pi < 3.1429\) — also 3 Nachkommastellen.