5.2c Kreis und Kreisteile
Der Kreis ist die Menge aller Punkte mit gleichem Abstand zu einem Mittelpunkt — die rundeste aller Figuren. Auf dieser Seite stehen Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche im Mittelpunkt, dazu die Kreisteile: Sehne, Sekante, Tangente, Passante, sowie Kreisring, Kreissektor (Kreisausschnitt) und Kreissegment (Kreisabschnitt).
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben
- deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen
Dreiecke werden in Teil 1 (g5-2a) behandelt, Vierecke in Teil 2 (g5-2b), zentrische Streckung und Ähnlichkeit in Teil 4 (g5-2d).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Kreis und seine Linien (Radius, Durchmesser, Sehne, Sekante, Tangente) definieren und unterscheiden.
- Ich kann erklären, warum \(\pi\) als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser konstant ist.
- Ich kann Umfang und Fläche des Kreises berechnen.
- Ich kann Kreisteile (Sektor, Segment, Ring, Bogen) berechnen.
- Ich kann die Flächenformel über die Sektoren-Umordnung zum Rechteck begründen.
Einstieg — der Kreis und seine Konstante π
Der Kreis ist allgegenwärtig: Räder, Zifferblätter, Pizzaränder, Brunnenränder, Logos. Mathematisch ist er die Figur mit perfekter Symmetrie — jede Drehung um den Mittelpunkt führt ihn in sich selbst über. Diese Symmetrie erklärt, warum so viele Naturphänomene Kreisform haben: Wassertropfen, Planetenbahnen, Atomorbitale.
Aus mathematischer Sicht ist der Kreis aber überraschend schwierig: Seine Umfang- und Flächenformeln enthalten die Konstante \(\pi\), eine irrationale Zahl, die sich nicht exakt als Bruch oder mit endlich vielen Dezimalstellen darstellen lässt. Schon Archimedes (3. Jh. v. Chr.) bestimmte \(\pi\) durch einbeschriebene und umschriebene Vielecke — ein Verfahren, das die Animation 2 unten interaktiv nachvollzieht.
Stell dir eine kreisförmige Pizza vor (Durchmesser 30 cm). Sie wird in gleich grosse Stücke geschnitten. Verschiebe den Regler und beobachte, wie sich der Sektorwinkel und die Bogenlänge pro Stück verändern:
- Sektorwinkel \(\varphi = 360°/n\)
- 45.0°
- Bogenlänge pro Stück
- 11.78 cm
- Pizza-Umfang gesamt
- ≈ 94.25 cm
Was du beobachtest: Je mehr Stücke, desto kleiner der Sektorwinkel und desto kürzer der Bogen. Wie gross ist die Fläche eines Stücks? Diese Frage bleibt vorerst offen — sie führt direkt auf die Kreisflächen-Formel \(A = \pi r^2\), die im Kapitel über Pi und Umfang behandelt wird. Und damit auf die berühmteste Konstante der Geometrie.
Definition — Kreis und seine Linien
Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) ist die Menge aller Punkte in der Ebene, die vom Mittelpunkt den Abstand \(r\) haben. Die Kreislinie ist die Menge dieser Punkte, die Kreisfläche zusätzlich das umschlossene Innere.
Wir unterscheiden sechs Begriffe — drei Strecken und drei Geraden (die Animation darunter zeigt sie am Kreis):
| Symbol | Name | Art | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| \(r\) | Radius | Strecke | vom Mittelpunkt zu einem Punkt auf der Kreislinie |
| \(d\) | Durchmesser | Strecke | von einem Punkt auf der Kreislinie durch \(M\) zum gegenüberliegenden Punkt; \(d = 2r\) |
| \(s\) | Sehne | Strecke | verbindet zwei Punkte auf der Kreislinie; geht sie durch \(M\), heisst sie Durchmesser |
| \(g\) | Sekante | Gerade | schneidet die Kreislinie in zwei Punkten |
| \(t\) | Tangente | Gerade | berührt die Kreislinie in genau einem Punkt; steht dort senkrecht auf dem Radius |
| \(p\) | Passante | Gerade | schneidet die Kreislinie nicht (verläuft ausserhalb) |
Radius, Durchmesser und Sehne sind Strecken (haben endliche Länge). Sekante, Tangente und Passante sind Geraden (gehen ins Unendliche). Die Sehne ist der „Strecken-Anteil" einer Sekante zwischen den beiden Schnittpunkten.
Darstellungen — Geraden und Strecken am Kreis
Am Kreis treten verschiedene Strecken und Geraden auf — sechs Begriffe, die du sicher unterscheiden können musst. Erkunde sie zuerst in der Animation: wähle den Typ per Chip; die zugehörige Strecke oder Gerade wird hervorgehoben, die Endpunkte (bzw. der Berührungspunkt der Tangente) lassen sich mit der Maus oder per Touch verschieben. Mit «a — Abstand zu M» schiebst du eine einzige Gerade mit dem Regler auf den Kreis zu: Aus der Passante wird eine Tangente und dann eine Sekante.
✏️ Mini-Check — Linien am Kreis
Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt, heisst …
- Sehne
- Sekante
- Tangente
Lösung anzeigen
Die längste Sehne ist der .
Lösung anzeigen
Radius \(r = 4\): Wie lang ist der Durchmesser?
Lösung anzeigen
Warum steht die Tangente senkrecht auf dem Berührradius?
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Pi — die Kreiszahl
Bevor wir Pi formal definieren, schauen wir mit dem Archimedes-Verfahren in die Konstante hinein: Schreibe in einen Kreis ein regelmässiges n-Eck ein und ebenfalls eines um den Kreis herum. Der Kreisumfang \(u = \pi \cdot d\) liegt zwischen den beiden Vieleck-Umfängen \(u_n < \pi d < U_n\). Je grösser \(n\), desto enger der „Sandwich" — verschiebe den Schieber von 3 bis 100.
Beobachte: das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser läuft bei jedem Kreis gegen dieselbe Konstante. Wir nennen sie \(\pi\).
\[\pi = \frac{U}{d} = \frac{U}{2r}\]
Numerischer Wert: \(\pi \approx 3.14159\,26535\,89793\ldots\). Pi ist irrational (lässt sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen) und sogar transzendent (nicht Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten).
Für \(n = 6\) (stelle die Animation oben darauf ein):
Einbeschriebenes Sechseck: Die Seitenlänge gleicht dem Radius (\(s = r\), siehe g5-2b). Umfang: \(u_6 = 6r = 3d\).
Umschriebenes Sechseck: Mit dem 30°-60°-90°-Dreieck (halbes gleichseitiges Dreieck) ergibt sich \(S = \tfrac{d}{\sqrt{3}}\), Umfang: \(U_6 = 6S = \tfrac{6d}{\sqrt{3}} \approx 3.4641\,d\).
Daraus folgt sofort: \(3 < \pi < 3.4641\). Schon mit \(n = 96\) konnte Archimedes \(\pi\) zwischen \(3.1408\) und \(3.1429\) einklemmen — eine Genauigkeit von rund 0.02 %.
Heute wird \(\pi\) per Computer auf astronomische Genauigkeit berechnet. Die offizielle Bestmarke (Stand 2025) liegt bei 300 Billionen Stellen (\(3 \cdot 10^{14}\) Stellen, Schweizer Zählweise: 1 Billion = \(10^{12}\)), berechnet 2025 durch Kioxia und Linus Media Group über 226 Tage Rechenzeit (Guinness-Eintrag).
✏️ Mini-Check — Die Kreiszahl Pi
\(\pi\) ist definiert als das Verhältnis …
- Umfang zu Radius
- Umfang zu Durchmesser
- Fläche zu Radius
Lösung anzeigen
\(\pi \approx\) (drei Dezimalen).
Lösung anzeigen
Welcher Umfang gehört zu \(d = 10\)?
Lösung anzeigen
Wie nähert man \(\pi\) mit regelmässigen \(n\)-Ecken an?
Lösungsweg anzeigen
Umfang und Fläche des Kreises
Aus der Pi-Definition \(\pi = U/d\) folgt sofort eine Umfangs-Formel; für die Fläche brauchen wir aber einen geometrischen Trick. Beide Formeln entwickeln wir Schritt für Schritt — zuerst zwei Animationen, dann der Merksatz.
Umfang — vom Kreis zur Geraden
Stell dir vor, du rollst den Kreis ab. Wie lang ist die Strecke nach einer vollen Umdrehung? Im Bild siehst du: etwa 3.14 Durchmesser — also genau \(\pi \cdot d\).
Fläche — Sektoren zum „Quasi-Rechteck"
Schneide den Kreis in \(n\) gleiche Tortenstücke (Sektoren) und füge sie so zusammen, dass abwechselnd die Spitze unten und oben sitzt: Spitze-unten und Spitze-oben greifen ineinander wie verzahnte Sägezähne. Je grösser \(n\), desto näher kommt der Streifen einem Rechteck mit Höhe \(r\) und Breite \(\pi r\) (= halber Umfang).
Beide Animationen führen direkt zu den zwei Kernformeln:
\[U = 2 \pi r = \pi d \qquad A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}\]
\(\pi\) erscheint in beiden Formeln — als Verhältnis von Umfang zu Durchmesser, und als „Korrekturfaktor" beim Quadrat (denn ein Quadrat mit Seite \(r\) hat Fläche \(r^2\), und der Einheitskreis nimmt das \(\pi\)-fache davon ein).
Kreisring
Ein Kreisring ist der Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit Aussenradius \(R\) und Innenradius \(r\). Erkunde zuerst die Geometrie: verschiebe \(R\) und \(r\); beobachte, dass \((R^2 - r^2)\pi\) und \(2\pi r_m \cdot b\) stets denselben Wert liefern.
Warum \(A = 2\pi r_m \cdot b\) gilt — den Ring aufrollen
Dass beide Formeln denselben Wert liefern, lässt sich nicht nur nachrechnen, sondern auch sehen. Schneide den Ring längs eines Radius auf und rolle ihn gerade: der innere Rand wird zur Strecke \(2\pi r\), der äussere zur Strecke \(2\pi R\), und der Abstand zwischen beiden bleibt die Ringbreite \(b\). Aus dem Ring wird ein Trapez ↩ 5.2b.
Die in der Animation verwendeten Bezeichnungen:
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| \(R\) | Aussenradius |
| \(r\) | Innenradius |
| \(b = R - r\) | Ringbreite |
| \(r_m = \tfrac{R + r}{2}\) | mittlerer Radius |
| \(A\) | Ringfläche |
\[A = R^2 \pi - r^2 \pi = (R - r)(R + r)\,\pi = 2\pi r_m \cdot b\]
Die letzte Form ist besonders elegant: mittlerer Umfang mal Breite. Sie zeigt, dass die Ringfläche näherungsweise gleich der Fläche eines „aufgeschnittenen und gerade gelegten" Streifens der Länge \(2\pi r_m\) und Breite \(b\) ist.
Kreisbogen und Kreissektor ↩ 5.1
Zwei Radien zerlegen einen Kreis in zwei Kreissektoren (Kreisausschnitte). Erkunde zuerst die Geometrie: verschiebe \(\varphi\) — bei 90° ist der Sektor ein Viertelkreis, bei 180° ein Halbkreis, bei 360° der ganze Kreis. Bogenlänge \(b\) und Sektorfläche \(A_{SK}\) wachsen proportional zum Winkel.
Die in der Animation verwendeten Bezeichnungen:
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| \(r\) | Radius |
| \(b\) | Bogenlänge |
| \(\varphi\) | Zentriwinkel, \(\varphi \in [0°; 360°[\) |
| \(A_{SK}\) | Sektorfläche |
\[b = \frac{2\pi r \cdot \varphi}{360°} = \frac{r \pi \varphi}{180°}\]
\[A_{SK} = \frac{r^2 \pi \varphi}{360°} \quad\text{oder}\quad A_{SK} = \frac{1}{2}\, b \cdot r\]
Die Formel \(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\,b \cdot r\) ist die Verallgemeinerung der Dreiecksflächenformel auf den Sektor: „halbe Grundseite mal Höhe", wobei \(b\) die (gekrümmte) „Grundseite" und \(r\) die „Höhe" ist.
Damit ist die offene Frage aus dem ↩ Einstieg beantwortet: Ein Pizzastück ist ein Kreissektor. Bei 8 Stücken ist \(\varphi = 45°\), also \(A_{SK} = \dfrac{15^2 \cdot \pi \cdot 45°}{360°} = \dfrac{225\pi}{8} \approx 88.36\,\text{cm}^2\) — gleich viel liefert \(\tfrac{1}{2}\,b \cdot r\) mit der Bogenlänge \(b = \tfrac{15\pi}{4} \approx 11.78\,\text{cm}\) aus dem Einstieg.
Kreissegment
Teilen wir einen Kreis mit einem geraden Schnitt (einer Sehne) in zwei Teile, entsteht ein Kreisabschnitt oder Kreissegment. Es ist der Bereich zwischen Sehne und Kreisbogen. Erkunde zuerst: verschiebe \(\varphi\) und blende das Dreieck ein/aus. Die Segmentfläche ist anschaulich der „Mondsichel-Rest", wenn man vom Sektor das Dreieck zwischen den beiden Schenkeln abzieht.
Die in der Animation verwendeten Bezeichnungen:
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
| \(r\) | Radius |
| \(s\) | Sehne |
| \(h\) | Segmenthöhe (Pfeilhöhe) |
| \(\varphi\) | Zentriwinkel, \(\varphi \in [0°; 360°[\) |
| \(A_{SG}\) | Segmentfläche |
Die Segmentfläche ergibt sich als Differenz Sektor minus Dreieck:
\[A_{SG} = A_{Sektor} - A_{Dreieck} = \frac{r^2 \pi \varphi}{360°} - \frac{s \cdot (r - h)}{2}\]
Dabei gilt zwischen \(s\), \(h\), \(r\) und \(\varphi\) der Pythagoras-Zusammenhang \(\left(\tfrac{s}{2}\right)^2 + (r - h)^2 = r^2\) sowie \(s = 2r \sin(\varphi/2)\) und \(h = r - r\cos(\varphi/2) = r(1 - \cos(\varphi/2))\).
Für Kopfrechnen-Plausibilität ist \(\pi \approx 3\) brauchbar, für eine grobe Antwort \(\pi \approx 3.14\). Für jede ernsthafte Aufgabe verwendet man die π-Taste des Taschenrechners (oder mindestens \(\pi \approx 3.14159\)). Wer mit \(\pi = 3\) rechnet und vier Nachkommastellen im Endresultat angibt, suggeriert eine Genauigkeit, die das Resultat nicht hat. Faustregel: Zwischenwert mit voller Taschenrechner-Genauigkeit, erst am Schluss sinnvoll runden.
\(\sin(30)\) am Taschenrechner liefert komplett verschiedene Werte, je nach Einstellung: \(\sin(30°) = 0.5\) (DEG-Modus), \(\sin(30\;\text{rad}) \approx -0.988\) (RAD-Modus). Vor jeder Trigonometrie-Aufgabe Modus prüfen — in den meisten Schul-Anwendungen DEG. Bei \(\pi\)-haltigen Ausdrücken (\(\sin(\pi/4)\)) hingegen muss RAD eingestellt sein. ↗ 5.4
Sektor und Segment lassen sich elegant über den Anteil am Vollkreis bestimmen — Mittelpunktswinkel \(\varphi\) geteilt durch \(360°\) ist der Anteil:
- Bogenlänge: \(b = \dfrac{\varphi}{360°} \cdot 2\pi r\)
- Sektorfläche: \(A_{\text{Sektor}} = \dfrac{\varphi}{360°} \cdot \pi r^2\)
- Segmentfläche: \(A_{\text{Segment}} = A_{\text{Sektor}} - A_{\text{Dreieck}}\) (Dreieck mit Schenkeln \(r\) und eingeschlossenem Winkel \(\varphi\))
Wer den Anteil zuerst berechnet, behält den Überblick — und kann das Resultat einfach plausibilisieren: ein Halbkreis hat den halben Umfang/Flächeninhalt, ein Viertelkreis ein Viertel davon.
✏️ Mini-Check — Umfang, Fläche, Kreisring
Die Kreisfläche berechnet sich als …
- \(2\pi r\)
- \(\pi r^2\)
- \(\pi d^2\)
Lösung anzeigen
Die Sektoren-Umordnung macht aus dem Kreis näherungsweise ein Rechteck mit Seiten \(r\) und .
Lösung anzeigen
\(r = 5\): Umfang und Fläche?
Lösung anzeigen
Kreisring mit \(R = 5\) und \(r = 3\): Fläche?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Sieben Aufgaben zur ganzen Bandbreite: Begriffe, Umfang/Fläche, Pi-Schranken, Sektor und Segment, Kreisring, Anwendung. Lösungen sind ausklappbar.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründe.
- Jeder Durchmesser ist auch eine Sehne.
- Jede Tangente ist auch eine Sekante.
- Eine Passante schneidet die Kreislinie genau einmal.
- Der Radius steht im Berührungspunkt senkrecht auf der Tangente.
- Wahr. Eine Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie. Der Durchmesser ist die längstmögliche Sehne (sie geht zusätzlich durch \(M\)). Aber: Eine allgemeine Sehne ist nicht zwingend ein Durchmesser.
- Falsch. Eine Sekante schneidet die Kreislinie in zwei Punkten, eine Tangente in genau einem. Tangente und Sekante sind disjunkte Begriffe.
- Falsch. Eine Passante schneidet die Kreislinie überhaupt nicht. Sie verläuft komplett ausserhalb. Eine Gerade mit genau einem Schnittpunkt wäre eine Tangente.
- Wahr. Tangenteneigenschaft: Im Berührungspunkt \(B\) ist der Radius \(MB\) senkrecht zur Tangente. Diese Eigenschaft definiert die Tangente sogar.
Berechne mit \(\pi \approx 3.14159\):
- Umfang und Fläche eines Kreises mit Radius \(r = 6\,\text{cm}\)
- Radius und Fläche eines Kreises mit Umfang \(U = 50\,\text{cm}\)
- Radius und Umfang eines Kreises mit Fläche \(A = 100\,\text{cm}^2\)
- \(U = 2\pi r = 12\pi \approx \mathbf{37.70\,\text{cm}}\); \(A = \pi r^2 = 36\pi \approx \mathbf{113.10\,\text{cm}^2}\).
- Aus \(U = 2\pi r\) folgt \(r = \dfrac{U}{2\pi} = \dfrac{50}{2\pi} \approx \mathbf{7.958\,\text{cm}}\).
Fläche: \(A = \pi r^2 \approx \pi \cdot 63.33 \approx \mathbf{198.94\,\text{cm}^2}\). - Aus \(A = \pi r^2\) folgt \(r = \sqrt{A/\pi} = \sqrt{100/\pi} \approx \mathbf{5.642\,\text{cm}}\).
Umfang: \(U = 2\pi r \approx \mathbf{35.45\,\text{cm}}\).
Berechne für das einbeschriebene und das umschriebene Sechseck im Einheitskreis (\(d = 1\), also \(r = 1/2\)):
- Seitenlänge \(s_6\) des einbeschriebenen Sechsecks; daraus \(u_6\) und untere Schranke für \(\pi\).
- Seitenlänge \(S_6\) des umschriebenen Sechsecks (Tipp: 30°-60°-90°-Dreieck mit Höhe \(r\)); daraus \(U_6\) und obere Schranke für \(\pi\).
- Zwischen welchen Werten klemmt das Sechseck \(\pi\) ein? Welche Genauigkeit ergibt sich für \(\pi\)?
- Das einbeschriebene regelmässige Sechseck zerfällt in sechs gleichseitige Dreiecke mit Seite \(r\). Damit \(s_6 = r = 1/2\), also \(u_6 = 6 \cdot s_6 = 3\). Mit \(d = 1\): \(\pi > u_6 / d = \mathbf{3}\).
- Beim umschriebenen Sechseck ist der Inkreisradius gleich \(r\) (Kreis berührt jede Seite in deren Mitte). Vom Mittelpunkt \(M\) zum Mittelpunkt \(F\) einer Seite ist der Abstand \(MF = r\) (senkrecht zur Seite). Von \(M\) zum benachbarten Eckpunkt \(E\) ist der Winkel \(\angle FME = 30°\) (halber Sektor, da \(360°/12 = 30°\)). Im rechtwinkligen Dreieck \(MFE\) mit rechtem Winkel bei \(F\) gilt:
\[\tan 30° = \frac{FE}{MF} = \frac{S/2}{r} \;\Longrightarrow\; S/2 = r \cdot \tan 30° = \frac{r}{\sqrt{3}}\]
Also \(S = \dfrac{2r}{\sqrt{3}} = \dfrac{d}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\). Umfang: \(U_6 = 6S = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx \mathbf{3.4641}\). Damit \(\pi < U_6 / d = \mathbf{2\sqrt{3}}\). - \(\mathbf{3 < \pi < 3.4641}\). Mitte \(3.232\), Abweichung von \(\pi \approx 3.1416\) etwa \(2.9\,\%\). Schon mit dem Sechseck weiss man sicher, dass \(\pi > 3\) — dieses Resultat war bereits den Babyloniern bekannt.
Ein Kreissektor hat Radius \(r = 12\,\text{cm}\) und Zentriwinkel \(\varphi = 135°\). Bestimme:
- die Bogenlänge \(b\)
- die Sektorfläche \(A_{SK}\) (auf zwei Arten: \(\tfrac{r^2 \pi \varphi}{360°}\) und \(\tfrac{1}{2}\,b r\) — Probe!)
- welcher Bruchteil des Vollkreises das ist
- den Umfang des Sektor-Randes (Bogen + zwei Radien)
- \(b = \dfrac{r \pi \varphi}{180°} = \dfrac{12 \cdot \pi \cdot 135°}{180°} = \dfrac{12 \cdot 135 \cdot \pi}{180} = 9\pi \approx \mathbf{28.27\,\text{cm}}\).
- Variante 1: \(A_{SK} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \dfrac{144 \cdot \pi \cdot 135}{360} = \dfrac{144 \cdot 135}{360}\,\pi = 54\pi \approx \mathbf{169.65\,\text{cm}^2}\).
Variante 2: \(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\,b \cdot r = \tfrac{1}{2} \cdot 9\pi \cdot 12 = 54\pi\). ✓ - Anteil: \(\dfrac{\varphi}{360°} = \dfrac{135}{360} = \dfrac{3}{8} = \mathbf{37.5\,\%}\).
- Sektor-Umfang: \(U_S = b + 2r = 9\pi + 24 \approx \mathbf{52.27\,\text{cm}}\).
Lösungen jeweils auf zwei Stellen genau:
- Kreisring mit \(R = 8\,\text{cm}\) und \(r = 5\,\text{cm}\). Berechne Fläche (auf zwei Arten — über \(R^2\pi - r^2\pi\) und über \(2\pi r_m b\)).
- Kreissegment mit \(r = 10\,\text{cm}\) und \(\varphi = 60°\). Berechne Sehne \(s\), Höhe \(h\) und Segmentfläche \(A_{SG}\). (Teilaufgabe braucht Sinus und Cosinus — wird formal in 5.3 eingeführt; die Spezialwerte \(\sin 30° = \tfrac{1}{2}\) und \(\cos 30° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}\) genügen hier und sind aus dem 30-60-90-Dreieck (g5-2a) bekannt.)
- Variante 1: \(A = R^2\pi - r^2\pi = (64 - 25)\pi = 39\pi \approx \mathbf{122.52\,\text{cm}^2}\).
Variante 2: \(r_m = (R+r)/2 = 6.5\,\text{cm}\); \(b = R - r = 3\,\text{cm}\); \(A = 2\pi r_m b = 2\pi \cdot 6.5 \cdot 3 = 39\pi\). ✓ - Sehne: \(s = 2r \sin(\varphi/2) = 2 \cdot 10 \cdot \sin 30° = 20 \cdot 0.5 = \mathbf{10.00\,\text{cm}}\).
Höhe: \(h = r(1 - \cos(\varphi/2)) = 10(1 - \cos 30°) = 10(1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}) \approx 10 \cdot 0.1340 \approx \mathbf{1.34\,\text{cm}}\).
Sektorfläche: \(A_{Sek} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \dfrac{100 \cdot \pi \cdot 60}{360} = \dfrac{50\pi}{3} \approx 52.36\,\text{cm}^2\).
Dreieckfläche: \(A_{\triangle} = \tfrac{1}{2}\,s(r - h) = \tfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot (10 - 1.34) = 5 \cdot 8.66 \approx 43.30\,\text{cm}^2\).
Segmentfläche: \(A_{SG} = A_{Sek} - A_{\triangle} \approx 52.36 - 43.30 \approx \mathbf{9.06\,\text{cm}^2}\).
Ein Verkehrskreisel hat einen kreisförmigen Innenbereich (Insel) mit Durchmesser \(d_i = 12\,\text{m}\) und eine ringförmige Fahrbahn der Breite \(b = 6.5\,\text{m}\) um die Insel herum. Berechne:
- die Aussen- und Innenradien \(R\) und \(r\)
- die Fläche der Fahrbahn (= Kreisring)
- den Umfang des äusseren Randes (für die Beschilderung)
- den Anteil eines 60°-Sektors an der gesamten Fahrbahnfläche, in m²
- Innenradius: \(r = d_i / 2 = \mathbf{6.0\,\text{m}}\). Aussenradius: \(R = r + b = 6.0 + 6.5 = \mathbf{12.5\,\text{m}}\).
- Fahrbahnfläche (Kreisring): \(A = (R^2 - r^2)\pi = (156.25 - 36)\pi = 120.25\pi \approx \mathbf{377.78\,\text{m}^2}\).
Kontrolle: \(r_m = (R+r)/2 = 9.25\,\text{m}\); \(A = 2\pi r_m b = 2\pi \cdot 9.25 \cdot 6.5 = 120.25\pi\). ✓ - Äusserer Umfang: \(U = 2\pi R = 25\pi \approx \mathbf{78.54\,\text{m}}\).
- 60°-Anteil ist \(\dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}\) der Fahrbahn: \(A_{60} = 120.25\pi / 6 \approx \mathbf{62.96\,\text{m}^2}\).
Ein Garten-Sprinkler steht auf einer Wiese und bewässert einen Kreissektor mit Radius \(r = 8\,\text{m}\) und Öffnungswinkel \(\varphi = 120°\).
- Berechne die bewässerte Fläche exakt (als Ausdruck mit \(\pi\)) und gerundet auf zwei Nachkommastellen.
- Berechne die Länge der äusseren Bogenlinie (also den Rand, an dem das Wasser gerade noch ankommt).
- Der Gartenbesitzer möchte mit demselben Sprinkler die Wiese vollständig bewässern (Vollkreis). Wie viele Sektor-Positionen muss er einnehmen, damit jeder Punkt der Wiese mindestens einmal nass wird?
- Sektorfläche \(A = \tfrac{\varphi}{360°} \cdot \pi \cdot r^2 = \tfrac{120}{360} \cdot \pi \cdot 64 = \tfrac{64\pi}{3} \approx 67.02\,\text{m}^2\).
- Bogenlänge \(b = \tfrac{\varphi}{360°} \cdot 2\pi r = \tfrac{120}{360} \cdot 16\pi = \tfrac{16\pi}{3} \approx 16.76\,\text{m}\).
- Vollkreis ist \(360°\), Sprinkler deckt pro Position \(120°\) ab. Also \(360° / 120° = 3\) Positionen sind nötig, wenn sie überlappungsfrei aneinander gesetzt werden (z. B. bei 0°, 120° und 240° Drehung).
Zusammenfassung
Am Kreis taucht überall \(\pi\) auf: \(U = 2\pi r\), \(A = \pi r^2\), Bogenlänge \(b = \tfrac{2\pi r\,\varphi}{360°}\) (kompakt \(b = r\varphi\), sobald \(\varphi\) im Bogenmass steht — dieses Winkelmass lernst du in 5.4 kennen). Die Kreiszahl \(\pi\) ist irrational und transzendent — kein endlicher Dezimalbruch, keine Wurzel aus rationalen Zahlen. Tangente \(\perp\) Radius im Berührungspunkt ist die Schlüsselbeziehung für viele Konstruktionen.
| Objekt / Sachverhalt | Formel |
|---|---|
| Kreiszahl | \(\pi = U/d \approx 3.14159\) (irrational, transzendent) |
| Kreis-Umfang | \(U = 2\pi r = \pi d\) |
| Kreis-Fläche | \(A = \pi r^2 = \pi d^2 / 4\) |
| Tangenteneigenschaft | Radius im Berührungspunkt \(\perp\) Tangente |
| Pi-Schranken (n-Eck) | \(u_n < \pi d < U_n\), bei \(n = 6\): \(3 < \pi < 2\sqrt{3} \approx 3.4641\) |
| Kreisring | \(A = R^2\pi - r^2\pi = (R-r)(R+r)\pi = 2\pi r_m \cdot b\) |
| Mittlerer Radius | \(r_m = (R + r)/2\); Ringbreite \(b = R - r\) |
| Bogenlänge | \(b = \dfrac{r \pi \varphi}{180°}\) |
| Sektorfläche | \(A_{SK} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \tfrac{1}{2}\,b r\) |
| Segmentfläche | \(A_{SG} = A_{Sektor} - A_{Dreieck} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} - \dfrac{s\,(r-h)}{2}\) |
| Sehne und Höhe (Segment) | \(s = 2r \sin(\varphi/2),\;\; h = r(1 - \cos(\varphi/2))\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Pizzastücke: je schmaler, desto gerader der Rand
- 0:00In der Animation schneidest du eine Pizza mit fünfzehn Zentimetern Radius in gleiche Stücke. Was geschieht mit einem einzelnen Stück, wenn es immer mehr Stücke werden?
- 0:10Vier Stücke: Jedes hat neunzig Grad und einen Bogen von dreiundzwanzig Komma fünf sechs Zentimetern. Die gerade Verbindung seiner Enden ist gut zwei Zentimeter kürzer.
- 0:20Acht Stücke: fünfundvierzig Grad, der Bogen misst elf Komma sieben acht Zentimeter. Die gerade Verbindung ist nur noch drei Millimeter kürzer.
- 0:29Zwölf Stücke: dreissig Grad, Bogen sieben Komma acht fünf Zentimeter. Bogen und gerade Verbindung unterscheiden sich um knapp einen Millimeter. Das Stück ist fast ein schmales Dreieck.
- 0:40Merke: Je mehr Stücke, desto weniger krumm ist der Bogen, und jedes Stück gleicht einem schmalen Dreieck. Genau das führt später zur Flächenformel A gleich pi r Quadrat.
Gerade und Kreis: der Abstand a entscheidet
- 0:00Eine Gerade kann einen Kreis verfehlen, berühren oder schneiden. Was entscheidet darüber?
- 0:09Der Abstand a der Geraden vom Mittelpunkt ist drei Komma sechs, der Radius drei. Die Gerade verfehlt den Kreis: eine Passante ohne gemeinsamen Punkt.
- 0:19Bei a gleich drei ist der Abstand genau der Radius. Die Gerade berührt den Kreis in einem Punkt: eine Tangente. Dort steht der Radius senkrecht auf ihr.
- 0:28Bei a gleich eins Komma acht kommt die Gerade näher an M heran als der Radius. Sie schneidet die Kreislinie in zwei Punkten: eine Sekante.
- 0:38Merke: Es zählt nur der Vergleich von a mit r. Grösser heisst Passante, gleich heisst Tangente, kleiner heisst Sekante. Radius, Durchmesser und Sehne dagegen sind Strecken, die im Kreis enden.
π eingeklemmt: zwei Vielecke als Schranken
- 0:00Ein n-Eck liegt im Kreis, ein zweites um ihn herum. Ihre Umfänge schliessen den Kreisumfang ein. Wie genau lässt sich pi so bestimmen?
- 0:09Beim Sechseck liegt pi zwischen drei und drei Komma vier sechs vier eins. Schon das zeigt: Pi ist grösser als drei.
- 0:19Mit vierundzwanzig Ecken liegt pi zwischen drei Komma eins drei zwei sechs und drei Komma eins fünf neun sieben. Die untere Schranke steigt, die obere sinkt.
- 0:29Bei sechsundneunzig Ecken, so weit ging Archimedes, sind beide Vielecke vom Kreis kaum zu unterscheiden. Die Lücke ist nur noch null Komma null null eins sieben.
- 0:39Merke: Die beiden Schranken schliessen pi von unten und von oben ein und rücken mit wachsendem n zusammen. So wird pi beliebig genau, aber nie exakt erreicht.
Kreis abrollen: jeder Umfang misst π Durchmesser
- 0:00Ein Rad rollt genau eine Umdrehung ab. Wie oft passt sein Durchmesser in die abgerollte Strecke, und hängt das von der Grösse des Rads ab?
- 0:09Ein Rad mit einem Komma fünf Metern Durchmesser rollt einmal ab: vier Komma sieben eins zwei Meter. Das sind etwas mehr als drei Durchmesser.
- 0:19Mit doppeltem Durchmesser, drei Meter, wird die Strecke neun Komma vier zwei fünf Meter lang, also doppelt so lang. Wieder passt d etwas mehr als dreimal hinein.
- 0:29Merke: Das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser ist bei jedem Kreis gleich, und das ist pi. Also ist U gleich pi mal d gleich zwei pi r. Der Umfang wächst proportional zum Durchmesser.
Sektoren umlegen: aus dem Kreis wird ein Rechteck
- 0:00Die Kreisfläche ist pi r Quadrat. Die Animation zeigt, woher diese Formel kommt: Man zerschneidet den Kreis und legt die Stücke neu.
- 0:09Der Kreis wird in zehn gleiche Sektoren geschnitten, wie Tortenstücke.
- 0:17Die Stücke werden abwechselnd mit der Spitze nach unten und nach oben aneinandergelegt. Die Höhe ist r, die Breite der halbe Umfang, pi r. Oben und unten wellen die Kanten noch.
- 0:28Mit hundert Sektoren sind die Wellen fast verschwunden: ein Rechteck mit der Breite pi r und der Höhe r. Seine Fläche ist pi r mal r, also pi r Quadrat.
- 0:39Merke: Mit immer feineren Sektoren wird die Figur zum Rechteck mit Höhe r und Breite pi r. Daraus liest man A gleich pi r Quadrat ab, denn beim Umordnen bleibt die Fläche gleich.
Kreisring: gleiche Breite, weitere Mitte, mehr Fläche
- 0:00Ein Kreisring liegt zwischen zwei Kreisen mit den Radien gross R und klein r. Hat ein Ring mit derselben Breite immer dieselbe Fläche?
- 0:09Aussenradius zwei, Innenradius eins: Die Ringfläche ist pi mal vier minus eins, also drei pi, rund neun Komma vier zwei. Der mittlere Radius eins Komma fünf mal zwei pi mal die Breite eins gibt denselben Wert.
- 0:24Jetzt drei Komma fünf und zwei Komma fünf. Die Breite ist wieder eins, der mittlere Radius aber drei. Die Fläche wird sechs pi, rund achtzehn Komma acht fünf, doppelt so gross.
- 0:35Merke: Die Ringfläche ist die Differenz zweier Kreisflächen. Mit der dritten binomischen Formel wird daraus der Umfang in der Mitte mal die Breite. Ein weiter Ring hat darum mehr Fläche als ein enger.
Ring aufrollen: ein Trapez mit der Höhe b
- 0:00Die Ringfläche lässt sich auch als Umfang in der Mitte mal Breite schreiben. Die Animation zeigt, warum: Man schneidet den Ring auf und rollt ihn gerade.
- 0:09Der Ring hat aussen den Radius drei, innen zwei. Der innere Rand ist zwölf Komma fünf sieben lang, der äussere achtzehn Komma acht fünf.
- 0:18Der Ring ist unten aufgeschnitten und wird gestreckt. Beide Ränder behalten ihre Länge, und ihr Abstand bleibt die Ringbreite b gleich eins.
- 0:28Am Schluss liegt ein Trapez da: unten zwölf Komma fünf sieben, oben achtzehn Komma acht fünf, Höhe eins. Die Trapezformel gibt fünfzehn Komma sieben eins, genau wie pi mal drei Quadrat minus zwei Quadrat.
- 0:42Merke: Aufgerollt ist der Ring ein Trapez mit den Parallelseiten zwei pi r und zwei pi R und der Höhe b. Die Trapezformel gibt Mittellinie mal Höhe, und die Mittellinie ist genau der Umfang in der Mitte des Rings.
Kreissektor: der Winkel bestimmt den Anteil
- 0:00Ein Kreissektor wird von zwei Radien und einem Bogen begrenzt. Was geschieht mit Bogenlänge und Fläche, wenn sich der Winkel verdoppelt?
- 0:09Radius drei, Winkel sechzig Grad: Das ist ein Sechstel des Vollkreises. Der Bogen misst rund drei Komma eins vier, die Fläche rund vier Komma sieben eins.
- 0:20Bei hundertzwanzig Grad ist es ein Drittel. Bogen sechs Komma zwei acht, Fläche neun Komma vier zwei: Beide haben sich verdoppelt.
- 0:29Jetzt halbiert sich der Radius auf eins Komma fünf. Der Bogen halbiert sich auf drei Komma eins vier, die Fläche aber schrumpft auf ein Viertel, zwei Komma drei sechs.
- 0:39Merke: Bogen und Fläche sind beide proportional zum Winkel, mit demselben Anteil phi durch dreihundertsechzig Grad. Zum Radius verhalten sie sich verschieden: Der Bogen wächst mit r, die Fläche mit r Quadrat.
Kreissegment: Sektor minus Dreieck, bei jedem Winkel
- 0:00Ein Kreissegment liegt zwischen Sehne und Bogen. Man erhält es aus dem Sektor, indem man das Dreieck abzieht. Gilt das auch für grosse Winkel?
- 0:09Radius drei, Winkel neunzig Grad. Der Sektor hat sieben Komma null sieben, das orange Dreieck vier Komma fünf. Das Segment ist der Rest: zwei Komma fünf sieben.
- 0:20Bei hundertachtzig Grad geht die Sehne durch M. Das Dreieck hat keine Fläche mehr, und das Segment ist der halbe Kreis, vierzehn Komma eins vier.
- 0:29Bei zweihundertsiebzig Grad liegt das Dreieck innerhalb des Segments. In der Formel ist r minus h jetzt negativ, darum wird die Dreiecksfläche addiert: fünfundzwanzig Komma sieben eins.
- 0:40Merke: Das Segment ist der Sektor minus das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne. Über hundertachtzig Grad wird r minus h negativ, und die Formel bleibt dieselbe. Eine eigene Segmentformel braucht man nicht.
Kreis: Umfang, Fläche und der Sektor
- 0:00Zwei Formeln beschreiben den ganzen Kreis. Beide hängen nur am Radius — und sie unterscheiden sich in einer Sache, die man leicht verwechselt.
- 0:08Der Unterschied ist die Einheit. Ein Umfang ist eine Länge, eine Fläche ein Quadrat — darum steht dort r hoch zwei.
- 0:16Bei Radius fünf: Umfang zwei mal pi mal fünf, rund einunddreissig Komma vier. Fläche pi mal fünfundzwanzig, rund achtundsiebzig Komma fünf.
- 0:26Ein Sektor ist ein Stück vom Kuchen. Sein Anteil am ganzen Kreis ist der Winkel geteilt durch dreihundertsechzig Grad — und dieser Anteil gilt für Bogen und Fläche gleichermassen.
- 0:35Bei sechzig Grad ist der Anteil ein Sechstel. Der Bogen wird rund fünf Komma zwei Zentimeter, die Sektorfläche rund dreizehn Komma eins.
- 0:44Zum Mitnehmen: Der Umfang hat r, die Fläche r Quadrat. Und der Sektor ist derselbe Kreis mal seinem Anteil.
Zusatzmaterial
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