Ein Kreis mit Mittelpunkt \(M\) und Radius \(r\) ist die Menge aller Punkte in der Ebene mit Abstand \(r\) zu \(M\).
| Symbol | Name | Art | Beschreibung |
|---|---|---|---|
| \(r\) | Radius | Strecke | von \(M\) zur Kreislinie |
| \(d\) | Durchmesser | Strecke | durch \(M\), \(d = 2r\) |
| \(s\) | Sehne | Strecke | verbindet zwei Punkte der Kreislinie |
| \(g\) | Sekante | Gerade | schneidet Kreislinie in 2 Punkten |
| \(t\) | Tangente | Gerade | berührt Kreis in 1 Punkt; \(t \perp r\) |
| \(p\) | Passante | Gerade | kein Schnittpunkt mit Kreis |
\[\pi = \frac{U}{d} \approx 3.14159\,26535\ldots\]
Pi ist irrational (kein Bruch) und sogar transzendent (nicht Lösung einer algebraischen Gleichung).
Pi-Schranken (Archimedes-Verfahren): Mit einbeschriebenem n-Eck (Umfang \(u_n\)) und umschriebenem n-Eck (Umfang \(U_n\)) gilt \(u_n < \pi d < U_n\).
Für \(n = 6\): \(u_6 = 3d\), \(U_6 = \tfrac{6d}{\sqrt{3}} \approx 3.4641\,d\), also \(3 < \pi < 3.4641\).
\[U = 2\pi r = \pi d \qquad A = \pi r^2 = \dfrac{\pi d^2}{4}\]
Bereich zwischen zwei konzentrischen Kreisen mit Aussenradius \(R\) und Innenradius \(r\). Mittlerer Radius \(r_m = (R+r)/2\), Ringbreite \(b = R - r\).
\[A = R^2\pi - r^2\pi = (R - r)(R + r)\,\pi = 2\pi r_m \cdot b\]
Die Form \(A = 2\pi r_m \cdot b\) ist mittlerer Umfang mal Breite — anschaulich der „aufgeschnittene" Ring als Rechteck.
Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) wird durch Radius \(r\) und Zentriwinkel \(\varphi\) festgelegt. Die Bogenlänge \(b\) ist proportional zum Winkel.
\[b = \dfrac{r \pi \varphi}{180°}\]
\[A_{SK} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \tfrac{1}{2}\, b \cdot r\]
Die zweite Form \(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\,b r\) ist die „Dreiecksformel" mit Bogen als Grundseite und \(r\) als Höhe.
Bereich zwischen einer Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen. Mit Radius \(r\), Sehne \(s\), Segmenthöhe \(h\), Zentriwinkel \(\varphi\):
\[A_{SG} = A_{Sektor} - A_{Dreieck} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} - \dfrac{s\,(r-h)}{2}\]
Zusammenhang: \(s = 2r\,\sin(\varphi/2)\), \(h = r(1 - \cos(\varphi/2))\), und Pythagoras: \(\left(\tfrac{s}{2}\right)^2 + (r-h)^2 = r^2\).