Teste dich selbst — Grundlagenaufgaben

15 kurze Aufgaben zum Selbstcheck. Lösungen stehen direkt darunter.

Aufgaben

1. Welche Strecken/Geraden am Kreis sind Strecken (haben endliche Länge)?
2. Welche sind Geraden (gehen ins Unendliche)?
3. Wie verhält sich der Radius zur Tangente im Berührungspunkt?
4. Was unterscheidet eine Sehne von einer Sekante?
5. Berechne den Umfang eines Kreises mit \(r = 8\,\text{cm}\) (auf 3 Stellen).
6. Berechne die Fläche desselben Kreises (auf 3 Stellen).
7. Bestimme den Radius eines Kreises mit Fläche \(A = 200\,\text{cm}^2\).
8. Wie viele Nachkommastellen von \(\pi\) hat Archimedes mit \(n = 96\) sichergestellt? (Schätze grob.)
9. Berechne die Bogenlänge eines Sektors mit \(r = 10\,\text{cm}\) und \(\varphi = 72°\).
10. Berechne die Sektorfläche derselben Aufgabe — auf zwei Arten.
11. Welcher Bruchteil des Vollkreises ist ein \(\varphi = 144°\)-Sektor?
12. Kreisring: \(R = 7\), \(r = 4\) — bestimme Fläche und \(r_m\).
13. Sehne im Kreis mit \(r = 5\,\text{cm}\) zu \(\varphi = 60°\): wie lang?
14. Segmenthöhe \(h\) zu obigem Segment?
15. Was bedeutet „\(\pi\) ist transzendent"?

Lösungen

1. Strecken: \(r\) (Radius), \(d\) (Durchmesser), \(s\) (Sehne).
2. Geraden: \(g\) (Sekante), \(t\) (Tangente), \(p\) (Passante).
3. Der Radius steht senkrecht auf der Tangente: \(t \perp r\).
4. Die Sehne ist eine Strecke zwischen zwei Punkten der Kreislinie; die Sekante ist die Gerade, die diese Strecke fortsetzt.
5. \(U = 2\pi r = 16\pi \approx \mathbf{50.265\,\text{cm}}\).
6. \(A = \pi r^2 = 64\pi \approx \mathbf{201.062\,\text{cm}^2}\).
7. \(r = \sqrt{A/\pi} = \sqrt{200/\pi} \approx \mathbf{7.979\,\text{cm}}\).
8. Etwa 3 Nachkommastellen: \(3.1408 < \pi < 3.1429\). Damit ist \(\pi \approx 3.141\) sicher.
9. \(b = \dfrac{r \pi \varphi}{180°} = \dfrac{10 \pi \cdot 72}{180} = 4\pi \approx \mathbf{12.566\,\text{cm}}\).
10. Variante 1: \(A_{SK} = \dfrac{r^2 \pi \varphi}{360°} = \dfrac{100\pi \cdot 72}{360} = 20\pi \approx \mathbf{62.832\,\text{cm}^2}\).
    Variante 2: \(A_{SK} = \tfrac{1}{2}\,b r = \tfrac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot 10 = 20\pi\). ✓
11. \(\dfrac{144°}{360°} = \dfrac{2}{5} = \mathbf{40\,\%}\).
12. \(A = (49 - 16)\pi = 33\pi \approx \mathbf{103.67}\). \(r_m = (7+4)/2 = \mathbf{5.5}\). Kontrolle: \(2\pi \cdot 5.5 \cdot 3 = 33\pi\). ✓
13. \(s = 2r\sin(\varphi/2) = 2 \cdot 5 \cdot \sin 30° = 10 \cdot 0.5 = \mathbf{5.00\,\text{cm}}\).
14. \(h = r(1 - \cos(\varphi/2)) = 5(1 - \cos 30°) = 5(1 - \tfrac{\sqrt{3}}{2}) \approx 5 \cdot 0.1340 \approx \mathbf{0.670\,\text{cm}}\).
15. \(\pi\) ist nicht Lösung einer Polynomgleichung mit rationalen Koeffizienten — daher z. B. nicht konstruierbar mit Zirkel und Lineal (Quadratur des Kreises ist unmöglich).