Sechs Anwendungsaufgaben aus Alltag und Technik. Lösungen mit Begründungen folgen jeweils unter der Aufgabe.
Ein Stab von 1.50 m Höhe wirft zur Mittagszeit einen Schatten von 0.90 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von 8.40 m. Wie hoch ist der Baum?
Wegen gleichem Sonnenstand sind die Höhe-Schatten-Dreiecke ähnlich (WW: 90°-Winkel und gleicher Sonnenwinkel). Also gleiche Höhe-zu-Schatten-Verhältnisse:
\[\frac{h_{Baum}}{8.40} = \frac{1.50}{0.90} \quad\Rightarrow\quad h_{Baum} = 8.40 \cdot \frac{1.50}{0.90} = 14.00\,\text{m}\]
Auf einer Landkarte 1:25 000 misst ein See eine Fläche von 4.8 cm². Wie gross ist der See in Wirklichkeit (in Hektaren)?
Streckenfaktor \(k = 25\,000\). Flächenfaktor \(k^2 = 625\,000\,000\).
\[A_{real} = 4.8\,\text{cm}^2 \cdot 6.25 \cdot 10^8 = 3 \cdot 10^9\,\text{cm}^2 = 3 \cdot 10^5\,\text{m}^2 = 30\,\text{ha}\]
Von einem Aussichtspunkt \(S\) führen zwei gerade Wanderwege weg. Auf dem ersten liegt der Bahnhof \(A\) in 200 m Entfernung, dahinter in weiteren 300 m ein Dorf \(A'\). Auf dem zweiten Weg liegt eine Brücke \(B\) in 240 m Entfernung. Wie weit ist es von \(S\) bis zum Wirtshaus \(B'\), das auf dem zweiten Weg liegt — dort, wo die Parallele zu \(AB\) durch das Dorf \(A'\) den Weg kreuzt?
1. Strahlensatz: \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\).
\(\overline{SA} = 200\), \(\overline{SA'} = 200 + 300 = 500\), \(\overline{SB} = 240\).
\[\frac{200}{500} = \frac{240}{\overline{SB'}} \quad\Rightarrow\quad \overline{SB'} = \frac{500 \cdot 240}{200} = 600\,\text{m}\]
Ein Sparrenpaar bildet ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis 8.00 m und Höhe 3.20 m. In welcher Höhe über der Basis hat das Sparrenpaar eine Breite von 5.00 m? (Querbalken-Höhe.)
Spitze \(S\) oben, Basis unten. Sparrendreieck und Querbalken-Dreieck sind durch zentrische Streckung von \(S\) aus ähnlich (parallele Basis und Querbalken).
Auf Basis-Höhe \(h_0 = 0\) ist die Breite 8.00 m, auf Spitzen-Höhe \(h = 3.20\) m die Breite 0. Lineare Skalierung:
\[\frac{b(h)}{8.00} = \frac{3.20 - h}{3.20}\]
Für \(b = 5.00\): \(5.00 = 8.00 \cdot \dfrac{3.20 - h}{3.20}\), also \(3.20 - h = 2.00\) und \(h = 1.20\,\text{m}\).
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse \(c = 17\,\text{cm}\) und einer der Hypotenusen-Abschnitte \(p = 8\,\text{cm}\). Berechne den anderen Abschnitt \(q\), die Höhe \(h\) auf der Hypotenuse sowie die beiden Katheten \(a\) und \(b\).
\(q = c - p = 17 - 8 = 9\,\text{cm}\).
Höhensatz: \(h^2 = p \cdot q = 8 \cdot 9 = 72\), also \(h = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8.49\,\text{cm}\).
Kathetensatz: \(a^2 = p \cdot c = 8 \cdot 17 = 136\), also \(a = \sqrt{136} \approx 11.66\,\text{cm}\).
\(b^2 = q \cdot c = 9 \cdot 17 = 153\), also \(b = \sqrt{153} \approx 12.37\,\text{cm}\).
Probe Pythagoras: \(a^2 + b^2 = 136 + 153 = 289 = 17^2\). ✓
Ein historisches Beispiel: Thales von Milet soll die Höhe einer Pyramide mit dem Schatten bestimmt haben. Sein Stab von 1.70 m Höhe wirft einen Schatten von 1.02 m. Die Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge 230 m; vom Pyramidenrand aus reicht ihr Schatten 84 m weit. Wie hoch ist die Pyramide?
Der Pyramidenschatten reicht ab dem Pyramidenrand 84 m weit; die Pyramidenspitze projiziert aber ab dem Pyramidenmittelpunkt. Mittelpunkt-bis-Schattenende: \(230/2 + 84 = 115 + 84 = 199\,\text{m}\). Dies ist die „Schattenlänge der Pyramidenspitze".
Verhältnis Höhe : Schatten ist konstant: \(\dfrac{h_{Pyr}}{199} = \dfrac{1.70}{1.02}\), also
\[h_{Pyr} = 199 \cdot \frac{1.70}{1.02} \approx 199 \cdot 1.667 \approx 331.7\,\text{m}\]
Hinweis: Die Cheops-Pyramide ist heute ca. 138.75 m hoch (ursprünglich 146.6 m). Die hier konstruierten Zahlen sind didaktisch gewählt und nicht historisch korrekt.