5.2d Zentrische Streckung und Ähnlichkeit
Vergrössern und verkleinern, ohne die Form zu verändern — das ist zentrische Streckung. Sie produziert Figuren, die zueinander ähnlich sind: gleiche Winkel, proportionale Seiten. Anwendungen reichen von Massstäben auf Landkarten über Schattenwurf und Höhenmessung bis zu den klassischen Strahlensätzen.
- geometrische Sachverhalte von elementaren Objekten (Quadrat, Rechteck, allgemeine und spezielle Dreiecke, Parallelogramm, Rhombus, Trapez, Kreis) beschreiben
- deren Elemente (Höhen, Seiten- und Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte, Mittellinie im Trapez, Sehne, Sekante, Tangente, Sektor, Segment, Winkel und Winkelmass) und Zusammenhänge (Umfang, Flächeninhalt, Abstand) berechnen
- die Ähnlichkeit für Berechnungen in der Ebene nutzen
Dreiecke werden in Teil 1 (g5-2a) behandelt, Vierecke in Teil 2 (g5-2b), Kreis und Kreisteile in Teil 3 (g5-2c).
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann eine zentrische Streckung mit Zentrum und Streckfaktor \(k\) ausführen und ihre Eigenschaften nennen.
- Ich kann die Strahlensätze an Geraden durch ein Zentrum anwenden.
- Ich kann Ähnlichkeit erklären: gleiche Form, gleiche Winkel, proportionale Längen.
- Ich kann die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke anwenden.
- Ich kann Längen-, Flächen- und Streckenverhältnisse bei Ähnlichkeit unterscheiden (\(k\) bzw. \(k^2\)).
Einstieg — vom Schattenwurf zur Mathematik
Stell dir vor, eine Strassenlaterne wirft den Schatten eines Velofahrers auf die Strasse. Wie verändert sich der Schatten, wenn die Person näher zur Lampe geht oder weiter weg?
Vom Lichtpunkt der Lampe aus werden alle Punkte der Person auf den Boden projiziert. Wenn du die Werte oben vergleichst, fällt auf: das Verhältnis «Mast→Schattenende geteilt durch Mast→Person» bleibt immer gleich, egal wo die Person steht. Dieses konstante Verhältnis ist die mathematische Kernidee dieses Kapitels — der Streckfaktor \(k\). Vom Lichtpunkt (dem Streckungszentrum \(Z\)) aus wandert jeder Punkt der Person um denselben Faktor weiter.
Die entstehende Figur hat dieselbe Form wie das Original — sie ist ähnlich. Diese Idee ist eine der mächtigsten Werkzeuge der Geometrie: Höhen aus Schattenlängen, Massstäbe auf Karten, Verkleinern beim Drucken oder Photographieren, sogar Höhensatz und Kathetensatz im rechtwinkligen Dreieck sind direkte Anwendungen der Ähnlichkeit.
Darstellungen — Zentrische Streckung
Wähle ein Streckungszentrum \(Z\) und einen Streckfaktor \(k\). Jeder Punkt \(P\) wird auf einen Bildpunkt \(P'\) abgebildet, der auf der Geraden durch \(Z\) und \(P\) liegt; sein Abstand zu \(Z\) ist \(|k|\)-mal so gross wie der von \(P\) zu \(Z\). Bei \(k > 0\) liegt \(P'\) auf derselben Seite von \(Z\) wie \(P\), bei \(k < 0\) auf der gegenüberliegenden.
Die zentrische Streckung hat vier prägende Eigenschaften — sie definieren letztlich, was wir unter „ähnlichen Figuren" verstehen:
| Gleichsinnigkeit (nur bei \(k > 0\)) | Bei \(k > 0\) ist die zentrische Streckung gleichsinnig: die Orientierung der Figur bleibt erhalten. Bei \(k < 0\) ist die Abbildung gegensinnig — die Figur wird zusätzlich am Zentrum punktgespiegelt. |
| Parallelentreue | Parallele Geraden bleiben parallel. |
| Winkeltreue | Das Bild eines Winkels ist stets ein Winkel gleicher Grösse. |
| Verhältnistreue | Das Verhältnis der Längen sich entsprechender Seiten bleibt erhalten. Der Quotient aus Bildstrecke und Originalstrecke ist konstant und gleich dem Streckfaktor \(k\). |
Daraus folgt: Strecken \(\times |k|\), Flächen \(\times k^2\), Volumina im Raum \(\times |k|^3\).
✏️ Mini-Check — Zentrische Streckung
Bei Streckfaktor \(k = 2\) werden alle Strecken …
- halbiert
- verdoppelt
- unverändert gelassen
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Bei der zentrischen Streckung bleiben alle gleich gross.
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Eine Strecke von \(3\) cm wird mit \(k = 2\) gestreckt. Wie lang ist das Bild?
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Was bedeutet ein negativer Streckfaktor, z.B. \(k = -1\)?
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Strahlensätze
Schneidet man zwei Strahlen, die von einem gemeinsamen Punkt \(S\) ausgehen, mit zwei parallelen Geraden \(AB\) und \(A'B'\), so entstehen Strecken auf den Strahlen und auf den Parallelen, deren Verhältnisse miteinander gekoppelt sind. Das sind die Strahlensätze — sie folgen direkt aus der zentrischen Streckung mit Zentrum \(S\).
Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt \(S\) von zwei Parallelen \(AB\) und \(A'B'\) (\(AB \parallel A'B'\)) geschnitten, dann stehen die Strahlenabschnitte im gleichen Verhältnis:
\[\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\]
und gleichwertig
\[\overline{SA} : \overline{AA'} = \overline{SB} : \overline{BB'}\]
Unter denselben Voraussetzungen stehen die Parallelenabschnitte \(\overline{AB}\) und \(\overline{A'B'}\) im gleichen Verhältnis wie die zugehörigen Strahlenabschnitte:
\[\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{AB} : \overline{A'B'} \qquad\text{und}\qquad \overline{SB} : \overline{SB'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\]
Gilt \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), dann sind die Geraden \(AB\) und \(A'B'\) zueinander parallel. Das ist die übliche Konstruktion einer Parallelen durch einen vorgegebenen Punkt.
Strahlensatz-Labor — selber ziehen
In der Anim 2 lief die Konstruktion in festen Schritten ab. Hier bestimmst du die Figur selbst: ziehe das Zentrum \(S\) und die beiden Punkte \(A\) und \(B\), und stelle mit dem Regler den Streckfaktor \(k\) ein, der \(A'\) und \(B'\) festlegt. Die Verhältnisse in der Legende halten dabei stand — egal, wie schief die Figur wird.
✏️ Mini-Check — Strahlensätze
Die Strahlensätze gelten, wenn zwei Strahlen von einem Punkt aus von … geschnitten werden.
- zwei beliebigen Geraden
- zwei Parallelen
- zwei Senkrechten
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Der 1. Strahlensatz vergleicht Abschnitte auf den .
Lösung anzeigen
Löse die Verhältnisgleichung \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{8}{4}\).
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Ein 1.8 m grosser Mensch wirft 3 m Schatten, der Baum daneben 12 m. Wie hoch ist der Baum?
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Ähnliche Figuren — Dreieck, Rechteck, Kreis
Eine zentrische Streckung erzeugt aus jeder Figur eine ähnliche Kopie. Probier es an verschiedenen Figuren aus: Dreieck, Rechteck, Kreis. Beobachte: Winkel bleiben gleich, alle Strecken werden mit \(|k|\) skaliert, Flächen mit \(k^2\).
Zwei Figuren \(F_1\) und \(F_2\) heissen ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander überführt werden können. Notation: \(F_1 \sim F_2\).
Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine zentrische Streckung, eventuell kombiniert mit einer Kongruenzabbildung (Verschiebung, Drehung, Spiegelung). Gleichwertig: Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine zentrische Streckung in zueinander kongruente Figuren übergeführt werden können.
Sich entsprechende Winkel sind gleich gross:
\[\alpha = \alpha', \quad \beta = \beta', \quad \ldots\]
Sich entsprechende Streckenverhältnisse sind konstant (Streckfaktor \(k\)):
\[\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \ldots = k\]
Die Flächeninhalte verhalten sich wie die Quadrate der Streckenverhältnisse:
\[\frac{A'}{A} = \left(\frac{a'}{a}\right)^2 = \left(\frac{b'}{b}\right)^2 = \ldots = k^2\]
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Wann sind zwei Dreiecke ähnlich? Es genügen — analog zu den Kongruenzsätzen aus 5.2a — schon wenige Stücke, um die Ähnlichkeit zu garantieren. Der Hauptähnlichkeitssatz verlangt nur zwei gleiche Winkel; weitere Sätze ergeben sich aus Seitenverhältnissen und Winkeln.
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Kommentar: Wenn zwei Winkel gleich gross sind, ist wegen der Innenwinkelsumme \(180°\) auch der dritte Winkel gleich gross — also stimmen alle Winkel überein.
Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen in:
- im Verhältnis entsprechender Seiten (sss),
- im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und dem eingeschlossenen Winkel (sWs),
- im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und im Gegenwinkel der jeweils grösseren Seite (SsW).
Vergleich zu den Kongruenzsätzen (5.2a): Statt gleicher Seitenlängen werden gleiche Seitenverhältnisse verlangt — die Form ist dieselbe.
Schreibweise: Bei den Kongruenzsätzen (SSS, SWS, WSW, SsW) steht grosses S für eine konkrete Seitenlänge. Bei den Ähnlichkeitssätzen (sss, sWs, SsW) steht kleines s für ein Seitenverhältnis. Beim SsW-Satz markiert das grosse S ausnahmsweise die grössere der beiden Seiten — diese Konvention ist von der Kongruenz übernommen.
Ähnliche Dreiecke im rechtwinkligen Dreieck ↩ 5.2a
Zerlegt man ein rechtwinkliges Dreieck durch die Höhe \(h\) auf die Hypotenuse, entstehen zwei kleinere Dreiecke, die zum ursprünglichen ähnlich sind — und untereinander auch. Aus diesen Ähnlichkeiten folgen direkt der Höhensatz und der Kathetensatz (Satzgruppe des Pythagoras, siehe 5.2a).
Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) mit rechtem Winkel bei \(C\) und Höhe \(h\) auf der Hypotenuse \(c\) (Fusspunkt \(H\)) gilt:
\[\triangle ABC \,\sim\, \triangle AHC \,\sim\, \triangle CHB\]
Daraus folgen direkt:
- Kathetensatz: \(a^2 = p \cdot c\) und \(b^2 = q \cdot c\) (Kathete \(\times\) Kathete = Hypotenusen-Abschnitt \(\times\) Hypotenuse)
- Höhensatz: \(h^2 = p \cdot q\) (Höhe-Quadrat = Produkt der Hypotenusen-Abschnitte)
- Pythagoras folgt durch Addition: \(a^2 + b^2 = pc + qc = (p+q)c = c^2\).
Wird eine Figur mit Streckfaktor \(k\) zentrisch gestreckt, werden Längen mit \(k\) multipliziert, aber Flächen mit \(k^2\) und Volumen mit \(k^3\). Eine Pizza mit doppeltem Radius (\(k = 2\)) hat also viermal so viel Belag, nicht doppelt so viel. Wer das Flächen-Verhältnis als Streckfaktor angibt, übergeht den quadratischen Zusammenhang.
Der Strahlensatz \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\) gilt nur, wenn die Schnittgeraden \(AB\) und \(A'B'\) parallel zueinander sind. Bei beliebigen Schnittlinien stimmt die Verhältnisaussage nicht. Bevor du den Strahlensatz ansetzt: zwei Parallelen im Bild erkennen können. Sonst ist es eine andere Konstellation (z. B. allgemeines Dreieck) und du brauchst Sinus- oder Cosinussatz ↗ 5.3.
✏️ Mini-Check — Ähnlichkeit
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn …
- sie gleich gross sind
- sie gleiche Form haben (Winkel gleich, Längen proportional)
- sie gleichen Umfang haben
Lösung anzeigen
Bei Längenfaktor \(k\) wachsen Flächen mit dem Faktor .
Lösung anzeigen
Ein Dreieck wird mit \(k = 3\) gestreckt. Auf das Wievielfache wächst die Fläche?
Lösung anzeigen
Zwei Dreiecke stimmen in zwei Winkeln überein. Sind sie ähnlich?
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Aufgaben
Sieben Aufgaben rund um Streckung, Strahlensätze, Ähnlichkeit und das rechtwinklige Dreieck. Lösungen sind ausklappbar.
Ein Dreieck \(ABC\) mit \(A(0|0)\), \(B(6|0)\), \(C(2|4)\) wird vom Zentrum \(Z(1|1)\) mit \(k = 2\) gestreckt. Bestimme die Bildpunkte \(A', B', C'\) und den Flächenfaktor.
\(\overrightarrow{ZP'} = 2\,\overrightarrow{ZP}\), also \(P' = Z + 2(P - Z) = 2P - Z\).
\(A' = 2(0|0) - (1|1) = (-1|-1)\), \(B' = 2(6|0) - (1|1) = (11|-1)\), \(C' = 2(2|4) - (1|1) = (3|7)\).
Flächenfaktor \(k^2 = 4\), also \(A_{\triangle A'B'C'} = 4 \cdot A_{\triangle ABC}\).
Vom Punkt \(S\) gehen zwei Strahlen aus. Auf dem ersten liegen \(A\) und \(A'\) mit \(\overline{SA} = 4\) und \(\overline{SA'} = 10\). Auf dem zweiten liegt \(B\) mit \(\overline{SB} = 3\); der Punkt \(B'\) ist der Schnittpunkt des zweiten Strahls mit der Parallelen zu \(AB\) durch \(A'\) (es gilt also \(AB \parallel A'B'\)). Bestimme \(\overline{SB'}\) und \(\overline{BB'}\).
\(\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \dfrac{\overline{SB}}{\overline{SB'}}\), also \(\dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{\overline{SB'}}\). Daraus \(\overline{SB'} = \dfrac{10\cdot 3}{4} = 7.5\). \(\overline{BB'} = \overline{SB'} - \overline{SB} = 4.5\).
Mit \(\overline{SA} = 5\), \(\overline{SA'} = 12\) und \(\overline{AB} = 4\) (auf der ersten Parallelen). Berechne die Länge \(\overline{A'B'}\) der zweiten Parallelen, wenn \(AB \parallel A'B'\).
\(\dfrac{\overline{SA}}{\overline{SA'}} = \dfrac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}}\), also \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{4}{\overline{A'B'}}\), und \(\overline{A'B'} = \dfrac{12\cdot 4}{5} = 9.6\).
- Zwei Dreiecke haben jeweils einen Winkel \(40°\) und einen Winkel \(75°\). Sind sie ähnlich? Begründe.
- Dreieck \(D_1\) hat die Seiten \(3,\;4,\;5\), Dreieck \(D_2\) hat die Seiten \(6,\;8,\;10\). Sind sie ähnlich? Wenn ja, mit welchem Streckfaktor? Was, wenn \(D_2\) die Seiten \(6,\;8,\;9\) hätte?
- Ja, die Dreiecke sind ähnlich (Hauptähnlichkeitssatz WW). Aus \(40° + 75° = 115°\) folgt für den dritten Winkel \(180° - 115° = 65°\). Da alle drei Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke ähnlich.
- 3-4-5 vs. 6-8-10: Verhältnisse \( \tfrac{6}{3} = \tfrac{8}{4} = \tfrac{10}{5} = 2 \) — alle drei Seitenverhältnisse stimmen überein. Nach sss sind die Dreiecke ähnlich mit Streckfaktor \(k = 2\). Beide sind übrigens rechtwinklig (pythagoräisches Tripel).
Kontrast 3-4-5 vs. 6-8-9: Verhältnisse \( \tfrac{6}{3} = 2,\;\tfrac{8}{4} = 2,\;\tfrac{9}{5} = 1.8 \) — die drei Verhältnisse sind nicht gleich. Die Dreiecke sind nicht ähnlich. Sehr wichtig: zwei übereinstimmende Verhältnisse genügen nicht, alle drei müssen passen.
Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) (rechter Winkel bei \(C\)) mit Hypotenuse \(c = 25\) und Hypotenusenabschnitt \(p = 16\) (von \(B\) aus). Berechne \(q\), \(a\), \(b\) und die Höhe \(h\).
\(q = c - p = 25 - 16 = 9\).
Kathetensatz: \(a^2 = p \cdot c = 16 \cdot 25 = 400\), also \(a = 20\). Und \(b^2 = q \cdot c = 9 \cdot 25 = 225\), also \(b = 15\).
Höhensatz: \(h^2 = p \cdot q = 16 \cdot 9 = 144\), also \(h = 12\).
Probe: \(a^2 + b^2 = 400 + 225 = 625 = c^2\). ✓
Ein Stab von 1.80 m Höhe wirft einen Schatten von 1.20 m. Zur gleichen Zeit wirft ein Baum einen Schatten von 7.80 m. Wie hoch ist der Baum?
Wegen gleichem Sonnenstand sind die Schattendreiecke ähnlich (WW). Verhältnis Höhe : Schatten ist konstant:
\[\frac{h_{Baum}}{7.80} = \frac{1.80}{1.20} \quad\Rightarrow\quad h_{Baum} = 7.80 \cdot 1.5 = 11.70\,\text{m}\]
Ein Architekt hat einen Bauplan im Massstab \(1{:}200\) gezeichnet. Auf dem Plan ist ein quadratischer Raum mit Seitenlänge \(2.5\,\text{cm}\) eingezeichnet, dessen Wandbild mit \(0.8\,\text{cm}\) Höhe markiert ist. Der Plan soll auf das Doppelte vergrössert werden (neuer Massstab \(1{:}100\)).
- Welche reale Seitenlänge hat der Raum, und welche Wandbildhöhe in der Realität?
- Welche Seitenlänge und welche Wandbildhöhe haben die Elemente auf dem neuen, vergrösserten Plan?
- Wie verhält sich die Fläche des Raumquadrats auf dem neuen Plan zum alten?
- Massstab \(1{:}200\) heisst: 1 cm auf dem Plan entspricht 200 cm = 2 m in der Realität. Raum: \(2.5\,\text{cm} \cdot 200 = 500\,\text{cm} = 5\,\text{m}\) Seitenlänge. Wandbild: \(0.8\,\text{cm} \cdot 200 = 160\,\text{cm} = 1.60\,\text{m}\) hoch.
- Plan-Vergrösserung um Faktor \(k = 2\) (\(1{:}200 \to 1{:}100\)): Raum \(5\,\text{cm}\), Wandbild \(1.6\,\text{cm}\) — alle Längen doppelt so gross auf dem Papier.
- Fläche des Raumquadrats alt: \(2.5^2 = 6.25\,\text{cm}^2\); neu: \(5^2 = 25\,\text{cm}^2\). Verhältnis \(25 : 6.25 = 4 : 1\). Bestätigt: Flächen-Verhältnis = \(k^2\) — die Fläche wird viermal so gross, wenn die Längen doppelt so gross werden. Klassischer Fall der zentrischen Streckung.
Zusammenfassung
Zentrische Streckung mit Faktor \(k\) verändert Längen um \(|k|\), aber Winkel und Verhältnisse bleiben gleich — daraus folgt direkt Ähnlichkeit. Die Strahlensätze sind die rechnerische Form dieser Beobachtung: gleiche Verhältnisse auf beiden Strahlen, gleiche Verhältnisse zwischen Strahl und Parallele. Flächen skalieren mit \(k^2\), Volumen mit \(k^3\) — das ist der Grund, warum eine doppelt so grosse Pizza viermal mehr Belag braucht.
| Begriff / Satz | Aussage |
|---|---|
| Zentrische Streckung | \(\overrightarrow{ZP'} = k \cdot \overrightarrow{ZP}\); Strecken \(\times|k|\), Flächen \(\times k^2\) |
| Eigenschaften | Gleichsinnig (bei \(k>0\)), parallelentreu, winkeltreu, verhältnistreu |
| 1. Strahlensatz | \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\) |
| 2. Strahlensatz | \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\) |
| Umkehrung 1. Strahlensatz | Gleiche Strahlenverhältnisse \(\Rightarrow\) Geraden parallel |
| Ähnliche Figuren | Gleiche Winkel; \(a'/a = b'/b = \ldots = k\); \(A'/A = k^2\) |
| Hauptähnlichkeitssatz | Dreiecke mit zwei gleichen Winkeln sind ähnlich (WW) |
| Weitere Sätze | sss, sWs, SsW (mit Seitenverhältnissen statt Seitenlängen) |
| Rechtwinkliges Dreieck | \(\triangle ABC \sim \triangle AHC \sim \triangle CHB\); daraus Höhensatz \(h^2 = pq\) und Kathetensatz \(a^2 = pc\), \(b^2 = qc\) |
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Schattenwurf: ein Verhältnis, das stehen bleibt
- 0:00In der Animation geht eine Person unter einer Strassenlaterne hin und her, und ihr Schatten wird länger oder kürzer. Was verändert sich, und welches Verhältnis bleibt gleich?
- 0:11Die Person steht fünf Meter vom Mast. Ihr Schatten ist zwei Komma eins vier Meter lang, das Schattenende liegt also sieben Komma eins vier Meter vom Mast. Geteilt durch fünf gibt das rund eins Komma vier drei.
- 0:23Bei neun Metern ist der Schatten drei Komma acht sechs Meter lang, das Schattenende liegt zwölf Komma acht sechs Meter vom Mast. Wieder rund eins Komma vier drei.
- 0:32Der Grund liegt beim Lichtpunkt. Der Kopf ist vier Komma zwei Meter tiefer als die Lampe, das Schattenende sechs Meter. Der Lichtstrahl streckt den Kopf also mit dem Faktor sechs durch vier Komma zwei, egal wo die Person steht.
- 0:45Merke: Vom Lichtpunkt aus wandert jeder Punkt um denselben Faktor k weiter. Das ist eine zentrische Streckung, und ihr Zentrum ist der Lichtpunkt der Lampe.
Zentrische Streckung: was k mit dem Bild macht
- 0:00In der Animation bleibt das blaue Dreieck fest, und das orange Bild wandert mit dem Streckfaktor k. Wie hängen Abstand und Seite des Bildes von k ab?
- 0:10Bei k gleich zwei liegt jeder Bildpunkt auf dem Strahl von Z durch seinen Originalpunkt, doppelt so weit von Z entfernt. Alle Seiten des Bildes sind doppelt so lang.
- 0:20Bei k gleich eins bleibt jeder Punkt, wo er ist. Original und Bild liegen genau übereinander.
- 0:29Bei k gleich minus eins Komma fünf springt das Bild auf die andere Seite von Z. Der Abstand ist eins Komma fünf mal so gross: Das Vorzeichen wählt die Seite, der Betrag den Abstand.
- 0:40Merke: Der Bildpunkt liegt immer auf der Geraden durch Z und den Originalpunkt, sein Abstand ist Betrag von k mal so gross. Bei k gleich eins sind beide deckungsgleich, bei negativem k liegt das Bild auf der Gegenseite von Z.
Strahlensätze aufbauen: ein Faktor für alle Strecken
- 0:00In der Animation baust du die Strahlensätze Schritt für Schritt auf. Welche Streckenverhältnisse sind gleich, auf den Strahlen und auf den Parallelen?
- 0:09Im ersten Strahlensatz vergleichst du die Abschnitte auf den Strahlen. S A zu S A Strich ist zwei zu vier, S B zu S B Strich ist drei zu sechs. Beides ist eins zu zwei.
- 0:20Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelen dazu. A B ist zwei, A Strich B Strich ist vier: wieder eins zu zwei.
- 0:30Auch S B zu S B Strich ist gleich A B zu A Strich B Strich. Alle drei Seiten des kleinen Dreiecks wachsen mit dem Faktor zwei: Das grosse Dreieck ist das kleine, von S aus gestreckt.
- 0:42Merke: Die Parallele erzeugt zwei ähnliche Dreiecke mit demselben Streckfaktor. Die Strahlensätze sind die zentrische Streckung in Gleichungsform, aber nur, wenn die beiden Geraden parallel sind.
Strahlensatz-Labor: jede Lage, dasselbe |k|
- 0:00Im Strahlensatz-Labor ziehst du S, A und B, wohin du willst, und stellst den Streckfaktor k ein. Bleiben die Verhältnisse gleich, auch für negatives k?
- 0:10Bei k gleich eins Komma sechs zeigt die Legende dreimal dasselbe Verhältnis: eins Komma sechs null.
- 0:18Jetzt liegen S, A und B ganz anders, die Figur ist schief und gedreht. Die drei Verhältnisse sind trotzdem wieder eins Komma sechs null.
- 0:27Bei k gleich minus eins Komma zwei springt die Parallele auf die andere Seite von S, es entsteht eine X-Figur. Die Verhältnisse sind alle eins Komma zwei null, der Betrag von k.
- 0:38Merke: Die drei Streckenverhältnisse sind immer der Betrag von k, egal wie die Punkte liegen, auch in der X-Figur. Die Flächen dagegen wachsen mit k Quadrat: doppelte Länge, vierfache Fläche.
Ähnliche Figuren: Längen mal |k|, Flächen mal k²
- 0:00In der Animation streckst du ein Dreieck, ein Rechteck oder einen Kreis vom Zentrum Z aus. Die Längen wachsen mit dem Betrag von k. Wächst die Fläche genauso?
- 0:10Bei k gleich eins Komma fünf hat das Bild dieselben Winkel, jede Seite ist eins Komma fünf mal so lang. Die Fläche wächst aber mit dem Faktor zwei Komma zwei fünf.
- 0:21Bei k gleich zwei legen sich vier original-grosse Kopien lückenlos ins Bild. Doppelte Länge heisst also vierfache Fläche.
- 0:30Auch der Kreis bleibt ein Kreis. Bei k gleich minus eins Komma fünf liegt er auf der Gegenseite, der Radius ist eins Komma fünf mal so gross, die Fläche wieder zwei Komma zwei fünf mal.
- 0:41Merke: Winkel bleiben gleich, Längen wachsen mit dem Betrag von k, Flächen mit k Quadrat. Die Form bleibt in jedem Fall erhalten.
Ähnlichkeitssätze: zwei Winkel genügen, eine Seite stört
- 0:00In der Animation vergleichst du zwei Dreiecke nach den Ähnlichkeitssätzen. Wie wenige Stücke genügen, damit beide dieselbe Form haben?
- 0:09Beim Hauptsatz stimmen zwei Winkel überein, fünfzig und siebzig Grad. Der dritte ist dann wegen der Winkelsumme automatisch sechzig Grad: Die Dreiecke sind ähnlich.
- 0:19Mit dem Streckfaktor null Komma acht wird das zweite Dreieck kleiner. Alle drei Seitenverhältnisse sind null Komma acht, die Form bleibt dieselbe.
- 0:29Jetzt ist nur die Seite a Strich um zwanzig Prozent länger. a Strich durch a ist eins Komma sechs acht, die anderen beiden bleiben eins Komma vier. Auch die Winkel verschieben sich, alpha Strich ist rund einundsechzig statt fünfzig Grad.
- 0:42Merke: Schon zwei gleiche Winkel sichern die Ähnlichkeit, der Streckfaktor ändert nur die Grösse. Stimmt dagegen eine einzige Seite nicht, passen Verhältnisse und Winkel nicht mehr, und die Dreiecke sind nicht ähnlich.
Höhe im rechtwinkligen Dreieck: woher Katheten- und Höhensatz kommen
- 0:00In der Animation teilt die Höhe h ein rechtwinkliges Dreieck in zwei Teildreiecke. Haben alle drei dieselbe Form, und was folgt daraus?
- 0:09Das linke Teildreieck A H C hat den Winkel alpha und einen rechten Winkel, genau wie das ganze Dreieck. Also sind beide ähnlich, und daraus folgt der Kathetensatz: b Quadrat gleich q mal c, hier fünfundzwanzig gleich zwei Komma fünf mal zehn.
- 0:24Das rechte Teildreieck C H B hat den Winkel beta und einen rechten Winkel, also ist es ebenfalls ähnlich zum ganzen. Daraus folgt a Quadrat gleich p mal c, hier rund fünfundsiebzig.
- 0:36Weil beide Teildreiecke zum ganzen ähnlich sind, sind sie es auch untereinander. Die Höhe h ist in beiden eine Kathete: h Quadrat gleich p mal q, hier rund achtzehn Komma sieben fünf.
- 0:48Merke: Die Höhe auf die Hypotenuse teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei Dreiecke, die zum ganzen ähnlich sind. Daraus folgen direkt der Kathetensatz und der Höhensatz.
Ähnlichkeit: gleiche Form, andere Grösse
- 0:00Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie dieselbe Form haben und sich nur in der Grösse unterscheiden. Was das genau heisst, steht in zwei Bedingungen.
- 0:09Das gemeinsame Verhältnis heisst Streckfaktor k. Jede Seite der einen Figur ist k mal so lang wie die entsprechende der anderen.
- 0:17Und jetzt das Überraschende: Verdoppelt man alle Längen, vervierfacht sich die Fläche. Der Streckfaktor wirkt auf Flächen quadratisch.
- 0:25Ein Dreieck mit Grundlinie zwei und Höhe drei hat die Fläche drei. Mit k gleich drei wird daraus sechs mal neun — Fläche siebenundzwanzig, also neunmal so viel.
- 0:36Zum Mitnehmen: gleiche Winkel und ein gemeinsamer Streckfaktor. Längen mal k, Flächen mal k Quadrat — und Volumen mal k hoch drei.
Ähnlichkeit: die Strahlensätze
- 0:00Die Strahlensätze sind Ähnlichkeit in ihrer häufigsten Gestalt: zwei Strahlen aus einem Punkt, geschnitten von zwei Parallelen.
- 0:08Der erste Strahlensatz vergleicht Abschnitte auf demselben Strahl: Die Abschnitte vom Scheitel aus verhalten sich auf beiden Strahlen gleich.
- 0:16Ein Beispiel: auf dem ersten Strahl vier und zehn, auf dem zweiten sechs und x. Vier zu zehn gleich sechs zu x — also x gleich fünfzehn.
- 0:25Der zweite Strahlensatz nimmt die Parallelen selbst dazu: Sie verhalten sich wie die Abschnitte vom Scheitel aus.
- 0:33Zum Mitnehmen: Die Parallelität ist die Voraussetzung, nicht die Folgerung. Und man vergleicht immer Gleichartiges — Strahl mit Strahl, Parallele mit Parallele.