Mathe begreifbar · Grundlagenfach · 5.2d Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Handout — Theorie

1. Zentrische Streckung

📘 Definition

Eine zentrische Streckung mit Zentrum \(Z\) und Streckfaktor \(k \neq 0\) bildet jeden Punkt \(P\) ab auf \(P'\) mit \(\overrightarrow{ZP'} = k \cdot \overrightarrow{ZP}\).

Eigenschaften der zentrischen Streckung:

Gleichsinnig (bei \(k > 0\); bei \(k < 0\) am Zentrum gespiegelt)
Parallelentreu: Parallele bleiben parallel
Winkeltreu: Winkel bleiben gleich gross
Verhältnistreu: Quotient Bildstrecke / Originalstrecke \( = k\) (konstant)

Folgerung: Strecken \(\times |k|\), Flächen \(\times k^2\), Volumina (im Raum) \(\times |k|^3\).

2. Strahlensätze

⭐ 1. Strahlensatz (ohne Parallelenabschnitte)

Werden zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt \(S\) von zwei Parallelen \(AB\) und \(A'B'\) (\(AB \parallel A'B'\)) geschnitten, gilt:

\[\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'} \qquad\text{und}\qquad \overline{SA} : \overline{AA'} = \overline{SB} : \overline{BB'}\]

⭐ 2. Strahlensatz (mit Parallelenabschnitten)

Unter denselben Voraussetzungen:

\[\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{AB} : \overline{A'B'} \qquad\text{und}\qquad \overline{SB} : \overline{SB'} = \overline{AB} : \overline{A'B'}\]

Umkehrung des 1. Strahlensatzes: Gilt \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), sind \(AB\) und \(A'B'\) parallel. (Standardkonstruktion für eine Parallele durch einen Punkt.)

3. Ähnliche Figuren

📘 Definition — Ähnlichkeit

Zwei Figuren \(F_1\) und \(F_2\) sind ähnlich (\(F_1 \sim F_2\)), wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (zentrische Streckung kombiniert mit Verschiebung / Drehung / Spiegelung) ineinander überführt werden können.

Eigenschaften ähnlicher Figuren:

Sich entsprechende Winkel sind gleich gross: \(\alpha = \alpha'\), \(\beta = \beta'\), …
Sich entsprechende Streckenverhältnisse sind konstant: \(\tfrac{a'}{a} = \tfrac{b'}{b} = \ldots = k\)
Flächenverhältnis: \(\tfrac{A'}{A} = k^2\)

4. Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

⭐ Hauptähnlichkeitssatz (WW)

Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen. Wegen Winkelsumme 180° ist dann automatisch auch der dritte Winkel gleich.

Weitere Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie übereinstimmen in

(SSS) im Verhältnis aller drei entsprechender Seiten,
(sWs) im Verhältnis zweier entsprechender Seiten und im eingeschlossenen Winkel,
(SsW) im Verhältnis zweier Seiten und im Gegenwinkel der grösseren Seite.

5. Höhe im rechtwinkligen Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) mit rechtem Winkel bei \(C\), Hypotenuse \(c = \overline{AB}\), Höhe \(h\) auf \(c\) (Fusspunkt \(H\)), Hypotenusenabschnitte \(p = \overline{HB}\) und \(q = \overline{AH}\):

⭐ Hauptähnlichkeitssatz im rechtwinkligen Dreieck

\[\triangle ABC \,\sim\, \triangle AHC \,\sim\, \triangle CHB\]

Daraus folgen direkt:

Kathetensatz: \(a^2 = p \cdot c\) und \(b^2 = q \cdot c\)
Höhensatz: \(h^2 = p \cdot q\)
Pythagoras als Folge: \(a^2 + b^2 = (p+q)\,c = c^2\).

6. Plausibilitäts-Tipps

Verhältnis statt Länge. Strahlensatz-Aufgaben sind reine Verhältnisaufgaben — vergleiche immer „gleicher Strahl zu gleicher Parallele".
WW ist die häufigste Anwendung. Zwei Winkel gleich? Dann sind Dreiecke ähnlich — daraus folgen alle Seitenverhältnisse.
Flächenfaktor \(\boldsymbol{k^2}\). Wenn der Massstab 1:50 angegeben ist, sind die Flächen im Verhältnis 1:2500 (nicht 1:50).
Kathetensatz und Höhensatz immer prüfen, ob ein rechtwinkliges Dreieck überhaupt vorliegt — und ob \(p\) (zur Kathete \(a\)) bzw. \(q\) (zur Kathete \(b\)) korrekt zugeordnet sind.