Teste dich selbst — Grundlagenaufgaben

15 kurze Aufgaben zum Selbstcheck. Lösungen stehen direkt darunter.

Aufgaben

1. Was bedeutet \(k = -1\) bei einer zentrischen Streckung?
2. Eine Figur mit Fläche \(A = 12\,\text{cm}^2\) wird mit \(k = 3\) gestreckt. Wie gross ist die Bildfläche?
3. Welche vier Eigenschaften zeichnet die zentrische Streckung aus? (Stichwortliste)
4. Welches der vier Stichwörter trifft nicht zu, wenn \(k = -2\)?
5. 1. Strahlensatz: Gegeben \(\overline{SA} = 3\), \(\overline{SA'} = 9\), \(\overline{SB} = 4\). Bestimme \(\overline{SB'}\).
6. 2. Strahlensatz: Gegeben \(\overline{SA} = 3\), \(\overline{SA'} = 9\), \(\overline{AB} = 5\). Bestimme \(\overline{A'B'}\).
7. Wann sagt der 1. Strahlensatz, dass zwei Geraden parallel sind?
8. Was besagt der Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke?
9. Sind zwei Dreiecke ähnlich, wenn beide einen Winkel von 90° und einen Winkel von 60° haben?
10. Massstab einer Karte ist 1:25 000. Welcher Flächenfaktor entspricht dem?
11. Rechtwinkliges Dreieck mit \(c = 13\), \(p = 5\). Bestimme \(q\), dann \(a\) (Kathetensatz).
12. Höhensatz: \(p = 9\), \(q = 4\). Bestimme \(h\).
13. Zentrische Streckung mit \(Z = (0|0)\) und \(k = -2\): bestimme das Bild von \(P = (3|4)\).
14. Welche Voraussetzung muss erfüllt sein, damit man die Strahlensätze anwenden kann?
15. Streckfaktor \(k = 0\) — was passiert mit jeder Figur?

Lösungen

1. \(k = -1\) ist eine Punktspiegelung am Zentrum \(Z\) — Längen bleiben gleich, Orientierung kehrt sich um.
2. \(A' = k^2 \cdot A = 9 \cdot 12 = 108\,\text{cm}^2\).
3. Gleichsinnig, parallelentreu, winkeltreu, verhältnistreu.
4. Gleichsinnig — bei \(k < 0\) wird die Orientierung umgekehrt (gegensinnig).
5. \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), also \(3 : 9 = 4 : \overline{SB'}\), und \(\overline{SB'} = 12\).
6. \(\overline{A'B'} = \overline{AB} \cdot \overline{SA'} / \overline{SA} = 5 \cdot 3 = 15\).
7. Umkehrung 1. Strahlensatz: Wenn \(\overline{SA} : \overline{SA'} = \overline{SB} : \overline{SB'}\), dann \(AB \parallel A'B'\).
8. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen (der dritte folgt aus 180°-Summe).
9. Ja. Die Dreiecke haben dann beide auch den dritten Winkel \(180° - 90° - 60° = 30°\), also alle drei Winkel gleich \(\Rightarrow\) ähnlich (WW).
10. Flächenfaktor \(k^2 = (1/25\,000)^2 = 1 / 625\,000\,000\), d.h. \(1\,\text{cm}^2\) auf der Karte entspricht \(625\,000\,000\,\text{cm}^2 = 62\,500\,\text{m}^2 = 6.25\,\text{ha}\) in Wirklichkeit.
11. \(q = c - p = 13 - 5 = 8\). \(a^2 = p \cdot c = 5 \cdot 13 = 65\), also \(a = \sqrt{65} \approx 8.06\).
12. \(h^2 = p \cdot q = 36\), also \(h = 6\).
13. \(P' = k \cdot P = -2 \cdot (3|4) = (-6|-8)\).
14. Zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt, von zwei zueinander parallelen Geraden geschnitten.
15. Der Fall \(k = 0\) ist als Streckfaktor definitionsgemäss ausgeschlossen — die zentrische Streckung mit \(k = 0\) wäre nicht umkehrbar (jeder Punkt würde auf \(Z\) abgebildet, eine Rück-Abbildung wäre nicht eindeutig). Hätte man dennoch \(k = 0\) formal eingesetzt, würde wegen \(\vec{ZP'} = k \cdot \vec{ZP} = \vec{0}\) jede Figur auf den einzelnen Punkt \(Z\) degenerieren.